Bài giảng: Phép vị tự (Hình học 12 - Chương I: KHỐI ĐA DIỆN)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 12
CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG

§3 Phép vị tự
và sự bằng nhau của các khối đa diện.
Các khối đa diện đều



Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2. Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải
như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.

2

Đ3

phép vị tự

và sự đồng dạng của các khối đa diện
các khối đa diện đều
A. bài giảng

1. Phép vị tự trong không gian
Định nghĩa 1
Cho một điểm O cố định và một số k không đổi k 0. Phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM' = k OM đợc gọi là phép vị tự
tâm O, tỉ số k.
Ký hiệu là VOk hoặc V(O; k).
Hoạt động

Phép vị tự có phải là một phép dời hình không ?

Thí dụ 1: Cho hình chóp cụt đều có hai đáy là hai đa giác Đ 1 và Đ2. HÃy chỉ ra

các phép vị tự biến Đ1 thành Đ2.
Giải
Gọi S là đỉnh của hình chóp đều chứa hình chóp cụt.
Khi đó, phép vị tự tâm S tỉ số k (k bằng độ dài cạnh của Đ2 chia Đ1) biến Đ1 thành Đ2.
Hoạt động

Trong trờng hợp nào thì phép vị tự là một phép dời hình ?

Các tính chất cđa phÐp vÞ tù
1. PhÐp vÞ tù tØ sè k biến hai điểm M, N thành hai điểm M', N' thì:
M' N ' k MN và M'N' = kMN.
2. Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi
thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng.
3. Qua phép vị tự tâm O, đờng thẳng đi qua O biến thành chính nó, và nếu tỉ số vị tự
k khác 1 thì đờng thẳng không đi qua O biến thành đờng thẳng song song với đờng thẳng đó.
4. Qua phép vị tự tâm O, mặt phẳng đi qua O biến thành chính nó, và nếu tỉ số vị tự
k khác 1 thì mặt phẳng không đi qua O biến thành mặt phẳng song song với mặt
phẳng đó.
Thí dụ 2: Chứng minh tính chất 1 của phép vị tự.
Giải
Ta có:





M ' N ' = M ' O  ON ' = kMO kON = k(MO ON) = kMN , đpcm.
Hoạt ®éng

Chøng minh c¸c tÝnh chÊt 2, 3, 4 cđa phÐp vị tự.

2. Hai hình đồng dạng
Định nghĩa 2
Hình (H) gọi là đồng dạng với hình (H') nếu có phép vị tự biến hình (H)
thành hình (H1) và hình (H1) bằng hình (H').
Hoạt động

Hai hình bằng nhau có phải là hai hình đồng dạng với

nhau không ?

3


ThÝ dơ 3: Chøng minh r»ng hai h×nh tø diƯn đều nào cũng đồng dạng với nhau,

hai hình lập phơng nào cũng đồng dạng với nhau.
Giải
a. Gọi a, b theo thứ tự là độ dài cạnh của hai hình tứ diện đều ABCD và A'B'C'D',
đặt k =

b
. Ta xét phép vị tự tâm O tỉ số k thì:
a
b
a
O

V (ABCD) A1B1C1 D1 là tứ diện đều có cạnh bằng b
A1B1C1D1 = A'B'C'D'.

Từ đó, theo định nghĩa thì tứ diện ABCD đồng dạng với tứ diện A'B'C'D'.
b. Gọi a, b theo thứ tự là độ dài cạnh của hai hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' và
b
A1B1C1D1.A'1B'1C'1D'1, đặt k = . Ta xét phép vị tự tâm O tỉ số k thì:
a
b

VOa (ABCD.A ' B 'C ' D') A 0 B 0 C 0 D 0 .A ' 0 B ' 0 C ' 0 D' 0

là tứ diện đều có cạnh bằng b, suy ra:
A0B0C0D0.A'0B'0C'0D'0 = A1B1C1D1.A'1B'1C'1D'1.
Từ đó, theo định nghĩa thì hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' đồng dạng với hình lập
phơng A1B1C1D1.A'1B'1C'1D'1.

Khối đa diện đều và sự đồng dạng của các khối đa diện đều
Định nghĩa 3
Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau:
a. Các mặt là các đa giác đều và có cùng số cạnh.
b. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng một số cạnh.
Khối đa diện đều mà mỗi mặt là đa giác đều n cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung
của p cạnh đợc gọi là khối đa diện đều loại {n; p}.
Có đúng năm loại khối đa diện đều ({3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}, {3; 5}) vµ hai
khèi đa diện đều cùng loại thì đồng dạng với nhau.

4


Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Loại
{3; 3}
{4; 3}
{3; 4}
{5; 3}
{3; 5}

Tên gọi
Tứ diện đều
Lập phơng

Bát diện đều
Mời hai mặt đều
Hai mới mặt đều

Số đỉnh
4
8
6
20
12

Số cạnh
6
12
12
30
30

Số mặt
4
6
8
12
20

Thí dụ 4: Hai đỉnh của một khối 8 mặt đều cho trớc gọi là hai đỉnh đối diện nếu

chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện
gọi là đờng chéo của khối 8 mặt đều. Chứng minh rằng trong khối 8 mặt đều:
a. Ba đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi ®êng.

b. Ba ®êng chÐo ®«i mét vu«ng gãc víi nhau.
c. Ba đờng chéo bằng nhau.
S
Giải
Giả sử SABCDS1 là khối 8 mặt đều.
B
a. Nhận xét rằng:
A
BA = BC B thuộc mặt phẳng trung trực của AC.
D
DA = DC D thuộc mặt phẳng trung trực của AC.
SA = SC S thuộc mặt phẳng trung trực của AC.
S1A = S1C S1 thuộc mặt phẳng trung trực của AC
Từ đó, suy ra B, D, S, S1 đồng phẳng và tứ giác SBS1D là hình thoi nên SS1 và SBD
1
cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng (giả sử là O).
Chứng minh tơng tự, ta có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng.
Vậy ba đờng chéo của khối 8 mặt đều cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng.
b. Từ kết quả câu a), vì SBS 1D và ABCD là hình thoi nên các đờng chéo vuông góc
với nhau.
c. Ta cã:
SAC = BAC (c.c.c)  SO = BO.
(1)
SBD = ABD (c.c.c)  SO = AO.
(2)
Tõ ®ã, suy ra AC = BD = SS1.

bài tập lần 1
Bài tập 1: Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đờng thẳng thành một đờng

thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng
song song hoặc trùng với nó.
Bài tập 2: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k 1 và phép vị tự V' t©m O' tØ sè k'.

Chøng minh r»ng nÕu kk' = 1 thì phép hợp thành V' V là một phép tịnh tiến.

Bài tập 3: Cho hai đờng tròn (C1) và (C2) nằm trên hai mặt phẳng song song. HÃy

chỉ ra các phép vị tự biến đờng tròn (C1) thành đờng tròn (C2) trong các trờng hợp:
a. (C1) và (C2) có bán kính bằng nhau.
b. (C1) và (C2) có bán kính khác nhau.
Bài tập 4: Cho hình tứ diện ABCD. Gäi A', B', C', D' theo thø tù lµ trong tâm các
tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng có phép vị tự biến tứ diện
ABCD thành tứ diện A'B'C'D'.
Bài tập 5: Chứng minh rằng hai hình cùng đồng dạng với một hình thứ ba thì

đồng dạng với nhau.
5

C


Bài tập 6: Cho hai điểm A và đờng thẳng (d) cố định. M là điểm di động trên (d),

tìm tập hợp trung điểm của đoạn AM.
Bài tập 7: Cho một khối tứ diện đều, hÃy chứng minh rằng:
a. Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.
b. Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối 8 mặt đều.
Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần Bài giảng nâng cao.

Giỏo ỏn in tử của bài giảng này giá: 450.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TO TRONG TIT DY
bài giảng nâng cao
Bài toán 1: ảnh của một hình qua phép vị tự.
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép vị tự.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng phép vị tự biến mỗi đờng thẳng thành một đờng

thẳng song song hoặc trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt
phẳng song song hoặc trùng với nó.
Hớng dẫn: Xét các trờng hợp khác nhau về vị trí tơng đối của tâm vị tự đối với đờng


Giải

thẳng hoặc mặt phẳng.

a. Với phép vị tự tâm O, tỉ số k và đờng thẳng (d) (hai điểm phân biệt M, N thuộc
(d)), ta có:

OM ' kOM
k
k

.
VO (d) = (d'),
VO (MN) = M'N'   
ON ' kON
Ta xÐt hai trêng hỵp:
6


Trờng hợp 1: Nếu O thuộc (d) thì:
O, M, N thẳng hàng O, M', N' thẳng hàng
M, N, M', N' thẳng hàng (d) (d').
Trờng hợp 2: Nếu O không thuộc (d) thì:
OM ON
MN // M'N'  (d) // (d').

OM ' ON '
b. Thùc hiƯn t¬ng tự câu a).
Ví dụ 2: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k 1 và phép vị tù V' t©m O' tØ sè k'.
Chøng minh r»ng nÕu kk' = 1 thì phép hợp thành V' V là một phép
tịnh tiến.

Hớng dẫn: Với V'V(M) = M ta đi chứng minh vectơ MM '

không đổi dựa theo tính

chất của các phép vị tự V và V.

Giải

Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số k,
V' là phép
vị tự tâm O' thỉ số k'.


Với điểm M ta lÊy M1 sao cho OM1 = k OM råi lÊy ®iĨm M' sao cho O' M ' = k'

O' M1 thì phép hợp thành V' V biến điểm M thành điểm M'.
Ta có:







MM ' = MM1 + M1 M ' = OM1 – OM + O' M ' – O' M1



1 
= OM1 – OM1 + k' O' M1 – O' M1
k




1
1 



=  1   OM1 + (k' – 1) O' M1 =  1   OM1 + (1 – k') M1O ' .
k
k


1
Chó ý rằng vì kk' = 1 nên k' = , bởi vậy đẳng thức trở thành:
k



1
k 1

MM ' = 1   ( OM1 + M1O ' ) =
OO ' .
k
k


Bài toán 2: Tìm phép vị tự biến hình (H1) thành hình (H2).
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép vị tự.
Ví dụ 1:

Cho hai đờng tròn (C1) và (C2) nằm trên hai mặt phẳng song song. HÃy
chỉ ra các phép vị tự biến đờng tròn (C1) thành đờng tròn (C2) trong các
trờng hợp:
c. (C1) và (C2) có bán kính bằng nhau.
d.
(C1) và (C2) có bán kính khác nhau.

Giải

Gọi O1, O2 theo thứ tự là tâm của các đờng tròn (C1) và (C2).
a. Gọi I là trung điểm của O1O2.
Khi đó, phép vị tự tâm I tỉ số k = 1 biến đờng tròn (C1) thành đờng tròn (C2).
R
b. Giả sử R1, R2 theo thứ tự là bán kính của các đờng tròn (C1) và (C2). Đặt k = 2 .
R1




Trên O1O2 lấy hai ®iĨm I vµ I' sao cho IO2 kIO1 vµ I ' O2  kI ' O1 .
7


Nh vậy, có hai phép vị tự tâm I tỉ số k và tâm I' tỉ số k biến đờng tròn này thành
đờng tròn kia.
Ví dụ 2: Cho hình tứ diÖn ABCD. Gäi A', B', C', D' theo thø tù là trong tâm các
tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng có phép vị tự biến
tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D'.

Hớng dẫn: Lựa chọn tâm vị tự là trọng tâm G của tứ diện ABCD bởi nó cũng chính là

trọng tâm của tứ diện ABCD. Công việc còn lại ta tìm đợc tỉ số vị tự.

Giải

A

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD, ta có:

1

1
GA'  GA , GB '  GB ,
3
3

1

1
GC '  GC , GD'  GD .
3
3
VËy, ta thÊy:


D'

C

C'

G

B

A'

1

VG 3 (ABCD) A ' B 'C ' D' .
VÝ dô 3:

B'

D

Chøng minh rằng hai hình cùng đồng dạng với một hình thứ ba thì
đồng dạng với nhau.

Hớng dẫn: Sử dụng tính chất của phép đồng dạng để suy ra tỉ số đồng dạng tơng ứng.
Giải
Giả sử (H1) đồng dạng với (H) theo tỉ số k1 và (H2) đồng dạng với (H) theo tỉ số
k
k2, suy ra (H1) đồng dạng víi (H2) theo tØ sè 1 .
k2
VÝ dơ 4:

Cho hai điểm A và đờng thẳng (d) cố định. M là điểm di động trên (d),
tìm tập hợp trung điểm của đoạn AM.

Giải

Gọi P là trung điểm của đoạn AM, ta có
M

1
H(A, )
2



.
P

Tập hợp các điểm M là đờng thẳng (d). vậy tập hợp các điểm P là đờng thẳng (d')
ảnh của d trong H(A,

1
).
2

Bài toán 3: Tính chất khối đa diện đều.
Phơng pháp áp dụng
Sử dụng định nghĩa các khèi ®a diƯn ®Ịu.
VÝ dơ 1:
Cho mét khèi tø diƯn đều, hÃy chứng minh rằng:
a. Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.
b. Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối 8
mặt đều.
Giải Bạn đọc tự vẽ hình
a. Với tứ diện đều ABCD, gäi G1, G2, G3, G4, G theo thø tù lµ trọng tâm của ABC,
ABD, ACD, BCD và tứ diện ABCD.

8


Khi đó, với phép vị tự tâm G tỉ số k 

1
, ta cã:
3

1


VG 3 (ABCD) (G 4 G 3 G 2 G1 ) .
Vì ABCD là tứ diện đều nên G1G2G3G4 cũng là một tứ diện đều.
b. Với tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi M, M, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của
các cạnh AB, AC, AD, CD, BD vµ BC.
Ta cã ngay:
a
a
MN = NP = PM = ; QR = RS = SQ = = ;
2
2
a
a
a
SM = SN = MN = ; QP = QN = NP = ; RP = RM = MP = .
2
2
2

Vậy, trung điểm của các cạnh của tứ diện đều ABCD là các đỉnh của một khối 8
mặt đều.

C. bài tập rèn luyện
Bài tập 1: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
a. Phép vị tự biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song với nó.
b. Phép vị tự biến mặt phẳng đi qua tâm vị tự thành chính nó.
c. Không có phép vị tự nào biến hai điểm phân biệt A và B lần lợt thành A và B.
d. Phép đồng dạng biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song hoặc trùng với
mặt phẳng đó.
e. Phép vị tự tỉ số k = 1 là phép đối xứng tâm.
Bài tập 2:
a. Phép vị tự có phải là một phép dời hình không ?
b. Trong trờng hợp nào thì phép vị tự là một phép dời hình ?
c. Hai hình bằng nhau có phải là hai hình đồng dạng với nhau không ?
Bài tập 3: Phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M', N'. Chứng minh
rằng M' N ' k MN vµ M'N' = kMN.
Bµi tËp 4: Chøng minh rằng:
a. Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay
đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm
đồng phẳng.
b. Qua phép vị tự tâm O, đờng thẳng đi qua O biến thành chính nó, và nếu tỉ số
vị tự k khác 1 thì đờng thẳng không đi qua O biến thành đờng thẳng song
song với đờng thẳng đó.
c. Qua phép vị tự tâm O, mặt phẳng đi qua O biến thành chính nó, và nếu tỉ số vị
tự k khác 1 thì mặt phẳng không đi qua O biến thành mặt phẳng song song với
mặt phẳng đó.
Bài tập 5: Cho phép vị tự tâm O biÕn A thµnh B, biÕt r»ng OA = 2OB. Khi đó tỉ số vị tự
là bao nhiêu ?
Bài tập 6: Cho hai đờng thẳng song song (d), (d') và một điểm O không nằm trên chúng.

Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến (d) thành (d') ?

Bài tập 7: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k 1 và một phép tịnh tiến T theo vectơ v .
Đặt F = T V và F' = V  T. Chøng minh r»ng:
a. Cã mét ®iĨm I duy nhất sao cho F(I) = I và điểm I' duy nhÊt sao cho F'(I') = I'.
9


b. F là phép vị tự tâm I tỉ số k, F' là phép vị tự tâm I' tỉ số k.
Bài tập 8: Cho hai hình tứ diện ABCD và A'B'C'D' có các cạnh tơng ứng song song
AB // A'B', AC // A'C', AD // A'D', CB // C'B', BD // B'D', DC // D'C'. Chøng minh
r»ng cã mét phÐp tịnh tiến hoặc một phép vị tự biến tứ diện nµy thµnh tø diƯn kia.
Bµi tËp 9: Chøng minh r»ng:
a. Tâm các mặt của một khối lập phơng cho trớc là các đỉnh của một khối 8 mặt
đều.
b. Tâm các mặt của một khối 8 mặt đều cho trớc là các đỉnh của một khối lập
phơng.
Bài tập 10: Cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' có cách cạnh tơng ứng tØ lƯ,nghÜa lµ
A ' B ' B 'C ' C ' D' D' A ' A 'C ' B ' D'





k . Chøng minh r»ng hai tø diƯn ®·
AB
BC
CD
DA
AC

BD
cho ®ång dạng.
D. hớng
hớng dẫn đáp sốp số
Bài tập 5: Từ gi¶ thiÕt OA = 2OB, suy ra:

1
1
1
O
OB = OA  OB  OA  k =  .
2
2
2
Bµi tËp 6: Với giả thiết ta có hai trờng hợp là:
H
O ((d), (d')) hoặc O ((d), (d')).
(d) M
Trờng hợp 1: NÕu O  ((d), (d')), víi M  (d) ta cã:

VOk (M) = M'  (d')  OM ' = k OM .
(d')
M'
H'
Gọi H, H' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O
lên (d) và (d'), suy ra:
OH ' = k OH k không đổi.
Vậy, trong trờng hợp này có đúng một phép vị tự tâm O
biến (d) thành (d').
Trờng hợp 2: Nếu O ((d), (d')) thì không có phép vị tự tâm O nào biến (d) thành

(d'), bởi nếu trái lại với M (d) ta cã: 
VOk (M) = M'  (d')  OM ' = k OM  O, M, M' th¼ng h»ng
 O ((d), (d')), mâu thuẫn.
Vậy, trong trờng hợp này không có phép vị tự tâm O nào biến (d) thành (d').
Bài tập 7:
a. Giả sử F(I) = I. Điều đóxảy rakhi và chỉ khi nếu V biến I thành I 1 thì T biến I1

thành I, tức là: nÕu OI1 = k OI th× I1 I = v .
Tõ ®ã,

 suy ra:




OI – OI1 = v , hay OI – k OI = v .
Do ®ã:


v
.
OI =
1 k
VËy, điểm I xác định duy nhất.
Giả sử F(I') = I'. Điều đó xảy ra
khi và chỉ khi nếu T biến I' thành I 1 thì V biến I'1

thành I', tức là: nếu I ' I '1 = v thì OI ' = k OI '1 .
Tõ ®ã



 suy ra: 

OI ' = k ( OI ' + I ' I '1 ) hay (k – 1) OI ' = k I ' I '1 .

10




kv
Do đó
.
OI ' =
1 k
Vậy, điểm I' xác định duy nhất.


b. Với mỗi điểm M bất kì ta lấy điểm M1 sao cho OM1 = k OM , råi lÊy ®iÓm M'


sao cho M1 M ' = v . Khi đó phép hợp thành F = T V biến M thành M'.


Ta đối xứng điểm O' sao cho OO ' = v thì O' là điểm cố định (không phơ
1 k
thc vµo
M)
vµ:





+ OM1 + M1 M '
IM ' = OI




 

= OI + k OM + v = IO + k( IM – IO ) + v




= (1 – k) IO + v + k IM = k IM .
Từ đó suy ra T V là phép vị tự tâm I tỉ số k.
Chứng minh tơng tự ta có F = V T là phép vị tự I' tỉ số k.


Bài tập 8: Vì AB // A'B' nªn cã sè k  0 sao cho AB kA ' B ' .






Ta chøng minh r»ng khi ®ã ta còng cã AC kA ' C ' , AD kA ' D ' , CB kC ' B ' ,





BD kB ' D ' , CD kC ' D ' .
Thật vậy, xét tam giác ABC và tam
giác
A'B'C'
có các cạnh tơng ứng song song
nên ta phải có các số l và m sao cho AC lA ' C ' , CB mC ' B ' .
Khi ®ã:






AB kA ' B '  AC – BC = k( A ' C ' – B ' C ' )




 l A'C' – m B'C' = k A'C' – k B'C'


 (l – k) A ' C ' = (m k) B ' C ' .


Vì hai vectơ A ' C ' và B ' C ' không cùng phơng nên đẳng thức trên xảy ra khi và
chỉ khi:
l – k = m – k = 0  l = m = k.





VËy, AC kA ' C ' vµ BC kB ' C ' .

Các đẳng thức còn lại chứng minh tơng tự.
Xét các trờng hợp k = 1.

 
  
Khi ®ã, AB A ' B ' , BC B ' C ' , ... nªn AA ' BB ' CC ' = ...


Suy ra phÐp tÞnh tiÕn theo vect¬ v = AA ' biÕn tø diƯn ABCD thành tứ diện
A'B'C'D'.
Nếu k 1 thi fhai đờng thẳng AA' và BB' cắt nhau tại điểm O nào đó. Khi đó, rõ
rằng phép vị tự V tâm O tØ sè k biÕn tø diƯn ABCD thµnh tø diƯn A'B'C'D'.
Bài tập 9:
a. Giả sử khối lập phơng có cạnh bằng a, suy ra các đờng chéo của các mặt có độ dài
bằng a 2 .

11


Khi đó, tâm các mặt của một khối lập phơng tạo thành một khối đa diện có độ dài các
cạnh b»ng nhau vµ b»ng a 2 . VËy, nã lµ các đỉnh của một khối 8 mặt đều.
2
b. Dựa vào h×nh vÏ trong vÝ dơ 1, ta cã nhËn xÐt:
 Tâm của bốn tam giác SAB, SBC, SCD, SDA là hình vuông.

Tâm của bốn tam giác S1AB, S1BC, S1CD, S1DA là hình vuông.
Tâm của bốn tam giác ABS, ASD, ADS1, AS1B là hình vuông.
Vậy, tâm các mặt của một khối 8 mặt đều cho trớc là các đỉnh cđa mét khèi lËp ph¬ng.

12