Phương pháp tọa độ trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (19.7 MB, 151 trang )
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A - LÝ THUYẾT
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một
điểm gốc O. Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz . Hệ ba trục như vậy
gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
2 2 2
Chú ý:
i j k 1 và i. j i.k k . j 0 .
2. Tọa độ của vectơ
a) Định nghĩa: u x; y; z u xi y j zk
b) Tính chất: Cho a (a1 ; a2 ; a3 ), b (b1 ; b2 ; b3 ), k
a b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 )
ka (ka1 ; ka2 ; ka3 )
a1 b1
a b a2 b2
a b
3 3
0 (0;0; 0), i (1; 0; 0), j (0;1; 0), k (0; 0;1)
a cùng phương b (b 0)
a kb (k )
a1 kb1
a a
a
a2 kb2
1 2 3 , (b1 , b2 , b3 0)
b1 b2 b3
a kb
3
3
a.b a1.b1 a2 .b2 a3 .b3
a b a1b1 a2b2 a3b3 0
a 2 a12 a22 a32
a a12 a22 a22
a.b
a1b1 a2b2 a3b3
cos(a , b )
(với a , b 0 )
a .b
a12 a22 a32 . b12 b22 b32
3. Tọa độ của điểm
a) Định nghĩa: M ( x; y; z ) OM x.i y. j z.k
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý: M Oxy z 0; M Oyz x 0; M Oxz y 0
M Ox y z 0; M Oy x z 0; M Oz x y 0 .
b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; z A ), B ( xB ; yB ; z B )
AB ( xB x A ; y B y A ; z B z A )
AB ( xB xA ) 2 ( yB y A ) 2 ( z B z A )2
x x y yB z A z B
Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M A B ; A
;
2
2
2
x x x y yB yC z A z B zC
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC : G A B C ; A
;
3
3
3
Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
x x x xD y A yB yC y D z A z B zC zC
G A B C
;
;
4
4
4
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
1|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
4. Tích có hướng của hai vectơ
Oxyz cho hai vectơ a (a1 ; a2 ; a3 ) , b (b1 ; b2 ; b3 ) . Tích có hướng
a, b , được xác định bởi
a a3 a3 a1 a1 a2
a , b 2
;
;
a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1
b2 b3 b3 b1 b1 b2
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
[a, b] a; [a, b] b
a, b b, a
i , j k ; j , k i ; k , i j
[a, b] a . b .sin a , b (Chương trình nâng cao)
a, b cùng phương [a, b] 0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
a) Định nghĩa: Trong không gian
của hai vectơ a và b, kí hiệu là
c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng [a, b].c 0
Diện tích hình bình hành ABCD :
S ABCD AB, AD
1
Diện tích tam giác ABC :
S ABC AB , AC
2
Thể tích khối hộp ABCDAB C D : VABCD. A ' B ' C ' D ' [ AB, AD ]. AA
Thể tích tứ diện ABCD :
VABCD
1
[ AB , AC ]. AD
6
Chú ý:
- Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
- Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh
các vectơ cùng phương.
a b a.b 0
a vaø
b
cuø
n
g
phöông
a
,b 0
a, b , c ñoàng phaúng a , b .c 0
5. Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn
Plus, Vinacal 570 Es Plus )
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A x A ; y A ; z A , B xB ; yB ; z B , C xC ; yC ; zC , D xD ; yD ; z D
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
C q53q54= (tính AB, AC )
C q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=
1
(tính VABCD [ AB , AC ]. AD
6
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
2|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.
Câu 2.
Gọi là góc giữa hai vectơ
a.b
A. .
B.
a.b
a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos bằng
a.b
a.b
a b
C. .
D. .
.
a.b
a.b
a.b
Gọi là góc giữa hai vectơ a 1; 2;0 và b 2;0; 1 , khi đó cos bằng
A. 0.
B.
2
.
5
C.
2
.
5
2
D. .
5
Câu 3.
Cho vectơ a 1;3; 4 , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
A. b 2; 6; 8 .
B. b 2; 6;8 .
C. b 2;6;8 .
Câu 4.
Tích vô hướng của hai vectơ a 2; 2;5 , b 0;1; 2 trong không gian bằng
A. 10.
Câu 5.
Câu 7.
D. 14.
8.
C. 10.
D. 12.
Trong không gian Oxyz , gọi i, j, k là các vectơ đơn vị, khi đó với M x; y; z thì OM bằng
A. xi y j zk .
B. xi y j zk .
C. x j yi zk .
D. xi y j zk .
Tích có hướng của hai vectơ a (a1 ; a2 ; a3 ) , b (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu a , b , được
6.
B.
xác định bằng tọa độ
A. a2 b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 .
B.
a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 .
D.
C.
Câu 8.
C. 12.
Trong không gian cho hai điểm A 1; 2;3 , B 0;1;1 , độ dài đoạn AB bằng
A.
Câu 6.
B. 13.
D. b 2; 6; 8 .
a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 .
a2b2 a3b3 ; a3b3 a1b1 ; a1b1 a2b2 .
Cho các vectơ u u1; u2 ; u3 và v v1; v2 ; v3 , u.v 0 khi và chỉ khi
A. u1v1 u2 v2 u3v3 1 . B. u1 v1 u2 v2 u3 v3 0 .
Câu 9.
C. u1v1 u2 v2 u3v3 0 .
Cho vectơ a 1; 1;2 , độ dài vectơ a là
A.
6.
B. 2.
D. u1v2 u2 v3 u3v1 1 .
C. 6 .
D. 4.
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa
độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M a; 0; 0 , a 0 . B. M 0; b;0 , b 0 . C. M 0;0; c , c 0 . D. M a;1;1 , a 0 .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng Oxy sao cho M không trùng với
gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c 0 )
A.
0; b; a .
B.
a; b; 0 .
C.
0; 0; c .
D.
a;1;1
Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a 0;3; 4 và b 2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
A.
0;3; 4 .
B.
4; 0;3 .
C.
2; 0;1 .
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
D.
8;0; 6 .
3|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó u , v bằng
A. u . v .sin u, v .
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u, v .
D. u.v.sin u, v .
Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a 1; 1;2 , b 3;0; 1 , c 2;5;1 , vectơ
m a b c có tọa độ là
A. 6; 0; 6 .
B. 6;6; 0 .
C. 6; 6; 0 .
D. 0; 6; 6 .
Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0; 3 , B 2; 4; 1 , C 2; 2; 0 . Độ dài các cạnh
AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là
A.
21, 13, 37 .
B.
11, 14, 37 .
21, 14, 37 .
C.
D.
21, 13, 35 .
Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;0; 3 , B 2; 4; 1 , C 2; 2; 0 . Tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC là
5 2 4
A. ; ; .
3 3 3
5 2 4
B. ; ; .
3 3 3
C.
5
D. ;1; 2 .
2
5; 2; 4 .
Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A 1;2;0 , B 1;1;3 , C 0; 2;5 . Để 4 điểm A, B, C , D
đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
A. D 2;5; 0 .
B. D 1; 2;3 .
C. D 1; 1;6 .
D. D 0;0; 2 .
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a (1; 2; 3), b (2; 0;1), c ( 1; 0;1) . Tìm tọa độ của
vectơ n a b 2c 3i
A. n 6;2;6 .
B. n 6;2; 6 .
C. n 0;2;6 .
D. n 6;2;6 .
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B(2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC
2
1
A. G ;1;3 .
B. G 2;3;9 .
C. G 6; 0; 24 .
D. G 2; ;3 .
3
3
Câu 20. Cho 3 điểm M 2;0;0 , N 0; 3;0 , P 0;0;4 . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của
điểm Q là
A. Q 2; 3; 4
B. Q 2;3; 4
C. Q 3; 4; 2
D. Q 2; 3; 4
Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M 1;1;1 , N 2;3; 4 , P 7; 7;5 . Để tứ giác MNPQ
là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q 6;5; 2 .
B. Q 6;5; 2 .
C. Q 6; 5; 2 .
D. Q 6; 5; 2 .
Câu 22. Cho 3 điểm A 1;2;0 , B 1;0; 1 , C 0; 1;2 . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
C. tam giác vuông đỉnh A .
B. tam giác cân đỉnh A .
D. tam giác đều.
Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A 1; 2;2 , B 0;1;3 , C 3;4;0 . Để tứ giác
ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D 4;5; 1 .
B. D 4;5; 1 .
C. D 4; 5; 1 .
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
D. D 4; 5;1 .
4|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a 2; b 4 . Khi đó a b bằng
8 3 20.
A.
B. 2 7.
C. 2 5.
D. 2 .
Câu 25. Cho điểm M 1; 2; 3 , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy bằng
B. 3 .
A. 2.
C. 1.
D. 3.
Câu 26. Cho điểm M 2;5;0 , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm
A. M 2;5;0 .
B. M 0; 5;0 .
C. M 0;5;0 .
D. M 2;0;0 .
Câu 27. Cho điểm M 1; 2; 3 , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng Oxy là điểm
A. M 1;2;0 .
B. M 1;0; 3 .
C. M 0; 2; 3 .
D. M 1;2;3 .
Câu 28. Cho điểm M 2;5;1 , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
29 .
A.
5.
B.
C. 2.
26 .
D.
Câu 29. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳngthứcđúng
A. IA IB IC.
B. IA IB CI 0. C. IA BI IC 0. D. IA IB IC 0.
Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a 1;1; 0 ; b 1;1; 0 ; c 1;1;1 . Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào sai:
A. b c.
B. a 2.
C. c 3.
D. a b.
Câu 31. Cho điểm M 3;2; 1 , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng Oxy là điểm
A. M 3; 2;1 .
B. M 3; 2; 1 .
C. M 3; 2;1 .
D. M 3;2;0 .
Câu 32. Cho điểm M 3;2; 1 , điểm M a; b; c đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a b c bằng
A. 6.
B. 4.
C. 0.
D. 2.
Câu 33. Cho u 1;1;1 và v 0;1; m . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo bằng 450 thì m bằng
A. 3 .
B. 2 3 .
C. 1 3 .
3.
D.
Câu 34. Cho A 1; 2;0 , B 3;3;2 , C 1; 2;2 , D 3;3;1 . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.
Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD
cho bởi công thức nào sau đây:
AB, AC . AD
1 AB, AC . AD
1
A. h
B. h
.
.
3
3 AB. AC
AB.AC
AB, AC . AD
AB, AC . AD
C. h
.
D. h
.
AB. AC
AB. AC
Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A 1; 2;0 , B 3;3;2 , C 1; 2;2 , D 3;3;1 . Độ
dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ABC là
A.
9
7 2
.
B.
9
.
7
C.
9
.
2
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
D.
9
.
14
5|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B(2;1;3), C (3; 2; 4), D (6;9; 5) . Tìm
tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
18
14
A. G 9; ; 30 .
B. G 8;12; 4 .
C. G 3;3; .
D. G 2;3;1 .
4
4
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(2; 1; 2) . Điểm M trên trục Ox và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
1 1 3
A. M ; ; .
2 2 2
1
B. M ; 0; 0 .
2
3
C. M ; 0; 0 .
2
1 3
D. M 0; ; .
2 2
Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B(3; 1;2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
A. M 0; 0; 4 .
B. M 0; 0; 4 .
3
C. M 0; 0; .
2
3 1 3
D. M ; ; .
2 2 2
là
Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2;3), B(0;3;1), C (4;2;2) . Cosin của góc BAC
9
9
.
D.
.
2 35
35
Câu 41. Tọa độ của vecto n vuông góc với hai vecto a (2; 1; 2), b (3; 2;1) là
A. n 3;4;1 .
B. n 3; 4; 1 .
C. n 3;4; 1 .
D. n 3; 4; 1 .
A.
9
.
2 35
B.
9
.
35
C.
2
Câu 42. Cho a 2; b 5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
, u k a b; v a 2b. Để u vuông
3
góc với v thì k bằng
6
45
6
45
A. .
B.
.
C.
.
D. .
45
6
45
6
Câu 43. Cho u 2; 1;1 , v m;3; 1 , w 1; 2;1 . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
3
8
8
B. .
C. .
D. .
8
3
3
Câu 44. Cho hai vectơ a 1;log 3 5; m , b 3;log 5 3;4 . Với giá trị nào của m thì a b
A.
3
.
8
A. m 1; m 1 .
B. m 1 .
C. m 1 .
D. m 2; m 2 .
Câu 45. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B (3;7;4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y để ba điểm
A, B, C thẳng hàng là
A. x 5; y 11 .
B. x 5; y 11 .
C. x 11; y 5 .
D. x 11; y 5 .
Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Câu 47. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có
diện tích bằng
A.
6.
B.
6
.
3
C.
6
.
2
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
D.
1
.
2
6|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 48. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là 1;1;1 , 2;3; 4 , 7; 7;5 . Diện tích của hình bình
hành đó bằng
83
A. 2 83 .
B. 83 .
C. 83 .
D.
.
2
Câu 49. Cho 3 vecto a 1;2;1 ; b 1;1; 2 và c x;3x; x 2 . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng phẳng
A. 2.
B. 1.
C. 2.
D. 1.
Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a 3; 2;4 , b 5;1;6 , c 3; 0; 2 . Tìm vectơ x
sao cho vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c
A. 1; 0; 0 .
B.
0; 0;1 .
C.
0;1; 0 .
D.
0; 0;0 .
Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B(1; 2; 3) , C (7; 4; 2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng
thức CE 2 EB thì tọa độ điểm E là
8
1
8 8
8 8
A. 3; ; .
B. 3; ; .
C. 3;3; .
D. 1; 2; .
3
3
3 3
3 3
Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1) , B(2; 1;3) , C (2;3;3) .
Điể m M a; b; c là đı̉nh thứ tư củ a hı̀nh bı̀nh hà nh ABCM , khi đó P a 2 b 2 c 2 có giá trị bằng
A. 43. .
B. 44. .
C. 42. .
D. 45.
Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 1) , B(2; 1;3) , C (2;3;3) . Tìm
tọa độ điể m D là chân đườ ng phân giá c trong gó cA củ a tam giá c ABC
A. D (0;1;3) .
B. D (0;3;1) .
C. D (0; 3;1) .
D. D (0;3; 1) .
Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A( 1;3;5) , B( 4;3;2) , C(0; 2;1) . Tìm tọa
độ điể m I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
8 5 8
5 8 8
5 8 8
8 8 5
A. I ; ; .
B. I ; ; .
C. I ; ; .
D. I ; ; .
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a 1;1;0 , b 1;1;0 , c 1;1;1 . Cho hình hộp
OABC.O AB C thỏa mãn điều kiện OA a , OB b , OC ' c . Thể tích của hình hộp nói trên bằng:
1
2
A.
B. 4
C.
D. 2
3
3
Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz
cho tọa độ 4 điểm
A 2; 1;1 , B 1;0;0 ,
C 3;1;0 , D 0;2;1 . Cho các mệnh đề sau:
(1) Độ dài AB 2 .
(2) Tam giác BCD vuông tại B .
(3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. (2).
B. (3).
C. (1); (3).
D. (2), (1)
Câu 57. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a 1,1, 0 ; b (1,1, 0); c 1,1,1 . Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào đúng:
6
A. cos b, c
.
B. a b c 0.
3
C. a, b, c đồng phẳng. D. a.b 1.
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
7|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diêṇ ABCD , biết A(1;0;1) , B(1;1; 2) ,
C (1;1;0) , D (2; 1; 2) . Đô ̣ dà i đườ ng cao AH củ a tứ diê ̣n ABCD bằng:
A.
2
.
13
B.
1
.
13
C.
13
.
2
D.
3 13
.
13
Câu 59. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
1
1
A. SI SA SB SC .
B. SI SA SB SC .
2
3
C. SI SA SB SC.
D. SI SA SB SC 0.
Câu 60. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D(2;1; 1) . Thể
tích của tứ diện ABCD bằng
3
1
A.
.
B. 3 .
C. 1 .
D.
.
2
2
600 , CSA
900 . Gọi G là trọng
Câu 61. Cho hình chóp S . ABC có SA SB a, SC 3a,
ASB CSB
tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5
a 7
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3
Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A 2;5;1 , B 2; 6; 2 , C 1; 2; 1 và điểm
M m; m; m , để MB 2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 4.
Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A 2;5;1 , B 2; 6; 2 , C 1; 2; 1 và điểm
M m; m; m , để MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Câu 64. Cho hình chóp S . ABCD biết A 2; 2; 6 , B 3;1;8 , C 1; 0; 7 , D 1; 2;3 . Gọi H là trung
điểm của CD, SH ABCD . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng
27
(đvtt) thì có hai
2
điểm S1 , S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2
A. I 0; 1; 3 .
B. I 1; 0;3
C. I 0;1;3 .
D. I 1; 0; 3 .
Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; 1;7), B(4;5; 2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng
(Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
1
1
2
A.
.
B. 2 .
C. .
D.
.
2
3
3
Câu 66. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; 1), B(3;0;1), C(2; 1;3) và D thuộc
trục Oy . Biết VABCD 5 và có hai điểm D1 0; y1 ; 0 , D2 0; y2 ; 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi đó y1 y2 bằng
A. 0.
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 67. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1; 2;4), B(3;0; 2), C(1;3;7) . Gọi D là chân
đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .
A.
207
.
3
B.
203
3
C.
201
.
3
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
D.
205
.
3
8|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giá c ABC , biế t A(1;1;1) , B(5;1; 2) , C (7;9;1) .
Tı́nh đô ̣ dà i phân giá c trong AD củ a gó cA
A.
2 74
.
3
B.
3 74
.
2
C. 2 74.
D. 3 74.
Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2;4; 1) , B(1; 4; 1) , C (2; 4;3) D (2; 2; 1) .
Biết M x; y; z , để MA2 MB 2 MC 2 MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x y z bằng
A. 7.
B. 8.
C. 9.
D. 6.
Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B(1; 2;0) , C (1;1; 2) . H là
trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
A.
870
.
12
B.
870
.
14
C.
870
.
16
D.
870
.
15
Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt phẳng
(Oxy ) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác ABC .
Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
3 177 17 177
3 177
A. B
;
; 0 , C 0; 0;
.
4
2
4
3 177 17 177
3 177
B. B
;
; 0 , C 0; 0;
.
4
2
4
3 177 17 177
3 177
C. B
;
; 0 , C 0; 0;
.
4
2
4
3 177 17 177
3 177
D. B
;
; 0 , C 0; 0;
.
4
2
4
Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B(3;0;8) , D (5; 4;0) . Biế t
đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có to ̣a đô ̣ là nhữ ng số nguyên, khi đó CA CB bằng:
A. 5 10.
B. 6 10.
C. 10 6.
D. 10 5.
Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giá c ABC , biết A(5;3; 1) , B(2;3; 4) ,
C (3;1; 2) . Bá n kı́nh đườ ng trò n nô ̣i tiế p tam giá c ABC bằng:
Câu 74.
A. 9 2 6.
B. 9 3 6.
C. 9 3 6.
D. 9 2 6.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M 3; 0; 0 , N m, n, 0 , P 0;0; p . Biết
600 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức A m 2n 2 p 2 bằng
MN 13, MON
A. 29.
C. 28.
B. 27.
D. 30.
Câu 75. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B(1; 2;0) , C (1;1; 2) . Gọi
I a; b; c là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính P 15a 30b 75c .
A. 48.
C. 52.
B. 50.
D. 46.
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
9|THBTN
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
C - ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN
1
A
2
B
3
A
4
C
5
A
6
D
7
A
8
C
9
A
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
A A B C A B D A A D A B B A B
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.
Chọn A.
Câu 2.
Chọn B.
Câu 3.
Chọn A.
Câu 4.
Chọn C.
Câu 5.
Chọn A.
Câu 6.
Chọn D.
Câu 7.
Chọn A.
Câu 8.
Chọn C.
Câu 9.
Chọn A.
Câu 10. Chọn A.
Câu 11. Chọn B.
Câu 12. Chọn D.
Câu 13. Chọn A.
Câu 14. Chọn C.
Câu 15. Chọn C.
Câu 16. Chọn A.
Câu 17. Chọn A.
Cách 1:Tính AB, AC . AD 0
Cách 2: Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm được.
Câu 18. Chọn D.
Câu 19. Chọn A.
Câu 20. Chọn B.
x2
Gọi Q ( x; y; z ) , MNPQ là hình bình hành thì MN QP y 3
z 4 0
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
10 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 21. Chọn B.
Điểm Q x; y; z
MN 1;2;3 , QP 7 x;7 y;5 z
Vì MNPQ là hình bình hành nên MN QP Q 6;5; 2
Câu 22. Chọn A.
AB (0; 2; 1); AC ( 1; 3; 2) . Ta thấy AB. AC 0 ABC không vuông.
AB AC ABC không cân.
Câu 23. Chọn A.
Điểm D x; y; z
AB 1; 1;1 , DC 3 x;4 y; z
Vì ABCD là hình bình hành nên AB DC D 4;5; 1
Câu 24. Chọn B.
2 2 2
Ta có a b a b 2 a b .cos a, b 4 16 8 28 a b 2 7.
Câu 25. Chọn D.
Với M a; b; c d M , Oxy c
Câu 26. Chọn C.
Với M a; b; c hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy là M 1 0; b; 0
Câu 27. Chọn A.
Với M a; b; c hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng Oxy là M 1 a; b; 0
Câu 28. Chọn D.
Với M a; b; c d M , Ox b 2 c 2
Câu 29. Chọn D.
Câu 30. Chọn A.
Vı̀ b.c 2 0.
Câu 31. Chọn C.
Với M a; b; c điểm đối xứng của M qua mặt phẳng Oxy là M a; b; c
Câu 32. Chọn C.
Với M a; b; c điểm đối xứng của M qua trục Oy là M a; b; c
M 3; 2;1 a b c 0.
Câu 33. Chọn B.
cos
1.0 1.1 1.m
3. m 2 1
m 1
1
2 m 1 3 m2 1
2
2
2
3 m 1 2 m 1
m 2 3
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
11 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 34. Chọn C.
Tính AB 2;5; 2 , AC 2; 4; 2 , AD 2;5;1
1
V AB , AC .AD 3
6
Sử dụng Casio
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
C1a6qc(abs) q53q54q57q55= (tính V )
Câu 35. Chọn D.
Vı̀ VABCD
1 1
1
h. AB. AC
3 2
6
AB, AC . AD
AB, AC . AD nên h
.
AB. AC
Câu 36. Chọn A.
Tính AB 2;5; 2 , AC 2;4;2 , AD 2;5;1
1
V AB , AC .AD 3
6
1
1
V B.h , với B S ABC AB, AC 7 2 , h d D, ABC
3
2
h
3V
3.3
9
B 7 2 7 2
Câu 37. Chọn D.
Câu 38. Chọn C.
M Ox M a; 0;0
2
2
M cách đều hai điểm A, B nên MA2 MB 2 1 a 22 12 2 a 22 12
2a 3 a
3
2
Câu 39. Chọn A.
Câu 40. Chọn A.
Câu 41. Chọn B.
Câu 42. Chọn D.
u.v ka b
a 2b 4k 50 2k 1 a b cos 23 6k 45
Câu 43. Chọn D.
Ta có: u , v 2; m 2; m 6 , u, v .w 3m 8
8
u , v, w đồng phẳng u , v .w 0 m
3
Câu 44. Chọn C.
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
12 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 45. Chọn A.
AB 1; 2;1 , AC x 2; y 5;3
x2 y5 3
A, B, C thẳng hàng AB, AC cùng phương
x 5; y 11
1
2
1
Câu 46. Chọn A.
BA 1;0; 1 , CA 1; 1; 1 , CB 2; 1;0
BA.CA 0 tam giác vuông tại A , AB AC .
Câu 47. Chọn C.
1
6
AB 1;0;1 , AC 1;1;1 . S ABC AB. AC
2
2
Câu 48. Chọn A.
Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là A, B, C
AB 1; 2;3 , AC 6;6;4 . S hbh AB, AC
Câu 49. Chọn A.
a, b, c đồng phẳng thì
10
2
2
142 6 2 83
a, b .c 0 x 2.
Câu 50. Chọn D.
Dễ thấ y chı̉ có x (0; 0; 0) thỏ a mã n x.a x.b x.c 0.
Câu 51. Chọn A.
x 3
8
E ( x; y; z ) , từ CE 2 EB y .
3
8
z 3
Câu 52. Chọn b.
M ( x; y; z) , ABCM là hı̀nh bı̀nh hà nh thı̀
x 1 2 2
AM BC y 2 3 1 M (3;6; 1) P 44. .
z 1 3 3
Câu 53. Chọn A.
Ta có AB 26, AC 26 tam giá c ABC cân ở A nên D là trung điể m BC D (0;1;3).
Câu 54. Chọn c.
Ta có: AB BC CA 3 2 ABC đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC là
5 8 8
trọng tâm của nó. Kết luận: I ; ; .
3 3 3
Câu 55. Chọn d.
OA a , A(1;1;0), OB b B (1;1;0),OC ' c C '(1;1;1)
AB OC C (2;0;0) CC ' ( 1;1;1) OO ' VOABC .O ' A ' B ' C '
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
OA, OB OO '
13 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 56. Chọn A.
Câu 57. Chọn A.
b.c
cos(b, c)
b.c
Câu 58. Chọn B.
AB, AC . AD
1
Sử du ̣ng công thứ c h
.
13
AB.AC
Câu 59. Chọn B.
SI SA AI
SI SB BI 3SI SA SB SB AI BI CI
SI SC CI
1
Vì I là trọng tâm tam giác ABC AI BI CI 0 SI SA SB SC .
3
Câu 60. Chọn D.
Thể tích tứ diện: VABCD
1
AB, AC . AD
6
Câu 61. Chọn A.
Áp dụng công thức tổng quát: Cho hình chóp S . ABC có SA a, SB b, SC c và có
, CSA
. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó
ASB , BSC
1 2
a b 2 c 2 2ab cos 2ac cos 2bc
3
Chứng minh:
1
Ta có: SG SA SB SC
3
2 2 2 2
SA SB SC SA SB SC 2SA.SB 2SA.SC 2 SB.SC
SG
Khi đó SG
1 2
a b 2 c 2 2ab cos 2ac cos 2bc
3
Áp dụng công thức trên ta tính được SG
a 15
3
Câu 62. Chọn A.
AC 1; 3; 2 , MB 2 m; 6 m;2 m
2
2
MB 2 AC m2 m 2 m 6 3m 2 12m 36 3 m 2 24
Để MB 2 AC nhỏ nhất thì m 2
Câu 63. Chọn B.
MA 2 m;5 m;1 m , MB 2 m; 6 m; 2 m , MC 1 m;2 m; 1 m
2
MA2 MB 2 MC 2 3m 2 24m 20 28 3 m 4 28
Để MA2 MB 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m 4
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
14 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 64. Chọn C.
1
3 3
Ta có AB 1; 1; 2 , AC 1; 2;1 S ABC AB, AC
2
2
DC 2; 2; 4 , AB 1; 1;2 DC 2. AB ABCD là hình thang và
9 3
1
. Vì VS . ABCD SH .S ABCD SH 3 3
2
3
Lại có H là trung điểm của CD H 0;1;5
Gọi S a; b; c SH a;1 b;5 c SH k AB, AC k 3;3;3 3k ;3k ;3k
S ABCD 3S ABC
Suy ra 3 3 9k 2 9k 2 9k 2 k 1
+) Với k 1 SH 3;3;3 S 3; 2;2
+) Với k 1 SH 3; 3; 3 S 3;4;8
Suy ra I 0;1;3
Câu 65. Chọn A.
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M M (0; y; z )
MA (2; 1 y; 7 z ), MB (4;5 y; 2 z )
2 k .4
1
Từ MA k MB ta có hệ 1 y k 5 y k
2
7 z k 2 z
Câu 66. Chọn B.
D Oy D(0; y;0)
Ta có: AB 1; 1;2 , AD 2; y 1;1 , AC 0; 2; 4
AB. AC 0; 4; 2 AB. AC . AD 4 y 2
1
VABCD 5 4 y 2 5 y 7; y 8 D1 0; 7; 0 , D2 0;8;0 y1 y2 1
6
Câu 67. Chọn D.
Gọi D x; y; z .
DB AB 2 14
2
DC AC
14
5
3 x 2 1 x
x 3
Vì D nằm giữa B, C (phân giác trong) nên DB 2 DC y 2 3 y y 2
z 4
2 z 2 7 z
205
5
Suy ra D ; 2; 4 OD
3
3
Câu 68. Chọn A.
D ( x; y; z ) là chân đườ ng phân giá c trong gó cA củ a tam giá c ABC .
Ta có
DB AB 1
17 11
2 74
DC 2 DB D( ; ; 1) AD
.
DC AC 2
3 3
3
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
15 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 69. Chọn A.
7 14
Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G ; ;0 .
3 3
Ta có: MA2 MB 2 MC 2 MD 2 4MG 2 GA2 GB 2 GC 2 GD 2
7 14
GA2 GB 2 GC 2 GD 2 . Dấu bằng xảy ra khi M G ; ;0 x y z 7 .
3 3
Câu 70. Chọn D.
H ( x; y; z ) là trực tâm của ABC BH AC , CH AB, H ( ABC )
BH . AC 0
2
29
1
870
2 29 1
CH . AB 0
x ; y ; z H ; ; OH
.
15
15
3
15
15
3
15
AB, AC . AH 0
Câu 71. Chọn A.
Giả sử B( x; y;0) (Oxy ), C (0;0; z ) Oz .
AH BC
AH .BC 0
H là trực tâm của tam giác ABC CH AB
CH . AB 0
AB
,
AC
,
AH
ñoà
n
g
phaú
n
g
AB, AH . AC 0
x z 0
3 177
17 177
3 177
2x y 7 0
x
;y
;z
4
2
4
3x 3 y yz z 0
3 177 17 177
3 177
B
;
; 0 , C 0; 0;
.
4
2
4
Câu 72. Chọn B.
Ta có trung điểm BD là I (1; 2; 4) , BD 12 và điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy ) nên A(a; b;0) .
AB 2 AD 2
2
2
2
2
2
(a 3) b 8 (a 5) (b 4)
2
ABCD là hình vuông
1
(a 1) 2 (b 2) 2 42 36
2
AI BD
2
17
a
b
4
2
a
a 1
5
hoặc
2
2
b 2
(a 1) (6 2a ) 20
b 14
5
17 14
; 0 (loa ̣i).
A(1; 2; 0) hoặc A ;
5 5
Với A(1; 2;0) C (3; 6;8) .
Câu 73. Chọn B.
Ta có AC 2 BC 2 9 9 AB 2
tam giá c ABC vuông ta ̣i C .
1
CA.CB
S ABC
3.3 2
2
Suy ra: r
93 6
1
p
3
2
3
3
AB BC CA
2
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
16 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 74. Chọn A.
OM 3;0;0 , ON m; n;0 OM .ON 3m
OM .ON
1
m
1
0
OM .ON OM . ON cos 60
OM . ON 2
m2 n2 2
MN
m 3
2
n 2 13 suy ra m 2; n 2 3
1
OM , ON .OP 6 3 p V 6 3 p 3 p 3
6
Vậy A 2 2.12 3 29.
Câu 75. Chọn B.
I ( x; y; z ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giá c ABC AI BI CI , I ( ABC )
AI 2 BI 2
14
61
1
14 61 1
x ; y ; z I ; ; P 50.
CI 2 BI 2
15
30
3
15 30 3
AB
,
AC
AI
0
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
17 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
I R
A
Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả
những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi
là mặt cầu tâm I, bán kính R.
B
Kí hiệu: S I ; R S I ; R M | IM R
2. Các dạng phương trình mặt cầu
Dạng 2 : Phương trình tổng quát
Dạng 1 : Phương trình chính tắc
Mặt cầu (S) có tâm I a; b; c , bán kính R 0 .
2
2
S : x a y b z c
2
(S ) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0
(2)
Điều kiện để phương trình (2) là phương trình
R2
mặt cầu:
a 2 b2 c 2 d 0
(S) có tâm I a; b; c .
(S) có bán kính: R a 2 b 2 c 2 d .
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S I ; R và mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P d IH là
khoảng cách từ I đến mặt phẳng P . Khi đó :
+ Nếu d R : Mặt cầu và mặt + Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc
+ Nếu d R : Mặt phẳng P
phẳng không có điểm chung.
mặt cầu. Lúc đó: P là mặt phẳng
cắt mặt cầu theo thiết diện là
tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp
đường tròn có tâm I' và bán
điểm.
kính r R 2 IH 2
M1
R
I
I
R
M2
P
H
P
H
I
d
R
r
I'
α
Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó
được gọi là đường tròn lớn.
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
18 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
4. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S I ; R và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của I lên . Khi đó :
+ IH R : không cắt mặt + IH R : tiếp xúc với mặt cầu. + IH R : cắt mặt cầu tại
cầu.
là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp hai điểm phân biệt.
điểm.
H
H
I
R
Δ
R
R
I
H
I
B
A
* Lưu ý: Trong trường hợp cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:
+ Xác định: d I ; IH .
+ Lúc đó:
AB
R IH AH IH
2
2
2
2
2
ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng ( ) .
S :
:
x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0
Ax By Cz D 0
I
* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).
+ Tâm I ' d .
R
Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp ( )
2
+ Bán kính R ' R 2 II ' R 2 d I ;
2
I'
R'
5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R.
+ Đường thẳng là tiếp tuyến của (S)
d I ; R.
+ Mặt phẳng là tiếp diện của (S) d I ; R.
* Lưu ý: Tìm tiếp điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 .
IM 0 ad
IM 0 d
Sử dụng tính chất :
IM 0
IM 0 // n
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
19 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
B - KỸ NĂNG CƠ BẢN
Dạng 1:
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Phương pháp:
* Thuật toán 1: Bước 1: Xác định tâm I a; b; c .
Bước 2: Xác định bán kính R của (S).
Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I a; b; c và bán kính R .
(S ) :
2
2
x a y b z c
2
R2
* Thuật toán 2: Gọi phương trình ( S ) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0
Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a, b, c, d . ( a 2 b 2 c 2 d 0 )
Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:
a) S có tâm I 2; 2; 3 và bán kính R 3 .
b) S có tâm I 1; 2; 0 và (S) qua P 2; 2;1 .
c) S có đường kính AB với A 1;3;1 , B 2; 0;1 .
Bài giải:
2
2
2
a) Mặt cầu tâm I 2; 2; 3 và bán kính R 3 , có phương trình: (S): x 2 y 2 z 3 9
b) Ta có: IP 1; 4;1 IP 3 2 .
2
2
Mặt cầu tâm I 1; 2; 0 và bán kính R IP 3 2 , có phương trình (S): x 1 y 2 z 2 18
c) Ta có: AB 3; 3;0 AB 3 2 .
1 3
Gọi I là trung điểm AB I ; ;1 .
2 2
AB 3 2
1 3
Mặt cầu tâm I ; ;1 và bán kính R
, có phương trình:
2
2
2 2
2
2
1
3
9
2
(S): x y z 1 .
2
2
2
Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:
a) (S) qua A 3;1; 0 , B 5;5;0 và tâm I thuộc trục Ox .
b) (S) có tâm O và tiếp xúc mặt phẳng : 16 x 15 y 12 z 75 0 .
c) (S) có tâm I 1; 2; 0 và có một tiếp tuyến là đường thẳng :
x 1 y 1 z
.
1
1
3
Bài giải:
a) Gọi I a; 0; 0 Ox . Ta có : IA 3 a;1;0 , IB 5 a;5;0 .
Do (S) đi qua A, B IA IB
3 a
2
1
5 a
2
25 4a 40 a 10
I 10; 0;0 và IA 5 2 .
2
Mặt cầu tâm I 10; 0;0 và bán kính R 5 2 , có phương trình (S) : x 10 y 2 z 2 50
b) Do (S) tiếp xúc với d O, R R
75
3.
25
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
20 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Mặt cầu tâm O 0; 0;0 và bán kính R 3 , có phương trình (S) : x 2 y 2 z 2 9
c) Chọn A 1;1;0 IA 0; 1;0 .
Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u 1;1; 3 . Ta có: IA, u 3; 0; 1 .
IA, u
10
Do (S) tiếp xúc với d I , R R
.
u
11
10
10
2
2
, có phương trình (S) : x 1 y 2 z 2
.
11
121
Bài tập 3 : Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
a) (S) qua bốn điểm A 1; 2; 4 , B 1; 3;1 , C 2; 2;3 , D 1; 0; 4 .
Mặt cầu tâm I 1; 2; 0 và bán kính R
b) (S) qua A 0;8; 0 , B 4; 6; 2 , C 0;12; 4 và có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz).
Bài giải:
a) Cách 1: Gọi I x; y; z là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
IA2 IB 2
IA IB
y z 1 x 2
2
2
Theo giả thiết: IA IC IA IC x 7 z 2 y 1 .
IA ID
2
y 4z 1
z 0
2
IA ID
2
2
Do đó: I 2;1; 0 và R IA 26 . Vậy (S) : x 2 y 1 z 2 26 .
Cách 2: Gọi phương trình mặt cầu (S) : x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 , a 2 b 2 c 2 d 0 .
Do A 1; 2; 4 S 2a 4b 8c d 21 (1)
Tương tự: B 1; 3;1 S 2a 6b 2c d 11
(2)
C 2; 2;3 S 4a 4b 6c d 17 (3)
D 1; 0; 4 S 2a 8c d 17
(4)
Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có a, b, c, d , suy ra phương trình mặt cầu (S) :
2
x 2 y 1
2
z 2 26 .
b) Do tâm I của mặt cầu nằm trên mặt phẳng (Oyz) I 0; b; c .
IA2 IB 2
b 7
Ta có: IA IB IC 2
.
2
c 5
IA IC
2
2
Vậy I 0; 7;5 và R 26 . Vậy (S): x 2 y 7 z 5 26.
x t
Bài tập 4: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng : y 1 và (S) tiếp xúc với hai
z t
mặt phẳng : x 2 y 2 z 3 0 và : x 2 y 2 z 7 0 .
Bài giải:
Gọi I t ; 1; t là tâm mặt cầu (S) cần tìm.
Theo giả thiết: d I , d I ,
1 t
3
5t
3
1 t 5 t
t 3.
1 t t 5
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
21 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
Suy ra: I 3; 1; 3 và R d I ,
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
2
4
2
2
2
. Vậy (S) : x 3 y 1 z 3 .
3
9
Bài tập 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua 2 điểm A 2; 6; 0 , B 4; 0;8 và có tâm thuộc d:
x 1 y z 5
.
1
2
1
Bài giải:
x 1 t
Ta có d : y 2t
. Gọi I 1 t ; 2t ; 5 t d là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
z 5 t
Ta có: IA 1 t;6 2t ;5 t , IB 3 t ; 2t ;13 t .
Theo giả thiết, do (S) đi qua A, B AI BI
2
2
1 t 6 2t 5 t
2
3 t
2
4t 2 13 t
62 32t 178 20t 12t 116 t
2
29
3
32 58 44
I ; ; và R IA 2 233 . Vậy (S):
3
3
3
2
2
2
32
58
44
x y z 932 .
3
3
3
Bài tập 6: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I 2;3; 1 và cắt đường thẳng :
x 1 y 1 z
tại
1
4
1
hai điểm A, B với AB 16 .
Bài giải:
Chọn M 1;1;0 IM 3; 2;1 . Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là u 1; 4;1 .
IM , u
Ta có: IM , u 2; 4;14 d I ,
2 3.
u
2
AB 2
Gọi R là bán kính mặt cầu (S). Theo giả thiết : R d I ,
2 19.
4
2
2
2
Vậy (S): x 2 y 3 z 1 76 .
Bài tập 7: Cho hai mặt phẳng
P : 5 x 4 y z 6 0, Q :
2 x y z 7 0 và đường thẳng
x 1 y z 1
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của (P) và sao cho (Q) cắt (S)
7
3
2
theo một hình tròn có diện tích là 20 .
:
Bài giải:
(1)
x 1 7t
y 3t
(2)
(3)
z 1 2t
5 x 4 y z 6 0 (4)
Thay (1), (2), (3) vào (4) ta có: 5 1 7t 4 3t 1 2t 6 0 t 0 I 1; 0;1 .
x 1 7t
Ta có : y 3t
. Tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
z 1 2t
Ta có : d I , Q
5 6
.
3
Gọi r là bán kính đường tròn giao tuyến của (S) và mặt phẳng (Q). Ta có: 20 r 2 r 2 5.
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
22 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
R là bán kính mặt cầu (S) cần tìm.
2
Theo giả thiết: R d I , Q r 2
330
110
2
2
. Vậy (S) : x 1 y 2 z 1
.
3
3
x t
Bài tập 8: Cho mặt phẳng ( P) : 2 x y 2 z 2 0 và đường thẳng d : y 2t 1 .
z t 2
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và I cách (P) một khoảng bằng 2 và (S) cắt (P) theo giao
tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
Bài giải:
Gọi I t ; 2t 1; t 2 d : là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).
2
Theo giả thiết : R d I ; P r 2 4 9 13 .
1
t 6
2t 2t 1 2t 4 2
Mặt khác: d I ; P 2
2 6t 5 6
4 1 4
t 11
6
2
2
2
1
2 13
1
1 2 13
* Với t : Tâm I1 ; ; , suy ra S1 : x y z 13 .
6
6
3
6
6 3 6
2
* Với t
2
2
11
2
1
11
11 2 1
: Tâm I 2 ; ; , suy ra S 2 : x y z 13 .
6
6
3
6
6 3 6
x 1 y 1 z 1
. Viết phương trình mặt cầu (S) tâm
2
1
2
I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho IAB vuông tại I.
Bài giải:
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u 2;1; 2 và P 1; 1;1 d .
u , IP
20
Ta có: IP 0; 1; 2 u , IP 0; 4; 2 . Suy ra: d I ; d
.
u
3
Bài tập 9: Cho điểm I 1; 0;3 và đường thẳng d :
Gọi R là bán kính của (S). Theo giả thiết, IAB vuông tại I
1
1
1
2
40
2 2 2 R 2 IH 2d I , d
2
IH
IA IB
R
3
40
2
2
Vậy (S) : x 1 y 2 z 3
.
9
Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x 2 y 2 z 2 4 x 4 y 4 z 0 và điểm A 4; 4;0 . Viết
phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
Bài giải :
(S) có tâm I 2; 2; 2 , bán kính R 2 3 . Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S).
Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp R /
2
Khoảng cách : d I ; P R 2 R /
OA 4 2
.
3
3
2
.
3
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
23 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng : ax by cz 0 a 2 b 2 c 2 0 *
Do (P) đi qua A, suy ra: 4a 4b 0 b a .
2a b c
2c
2c
2
Lúc đó: d I ; P
2
2
2
2
2
2
2
3
a b c
2a c
2a c
c a
. Theo (*), suy ra P : x y z 0 hoặc x y z 0.
2a 2 c 2 3c 2
c 1
Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian.
Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C).
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P).
Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P).
Bước 3: Gọi r là bán kính của (C):
r R 2 d I ; P
2
Bài tập 11: Chứng minh rằng: Mặt cầu ( S ) : x 2 y 2 z 2 2 x 3 0 cắt mặt phẳng (P): x 2 0 theo
giao tuyến là một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).
Bài giải :
* Mặt cầu (S) có tâm I 1; 0; 0 và bán kính R 2 .
Ta có : d I , P 1 2 R mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. (đ.p.C. m)
* Đường thẳng d qua I 1; 0; 0 và vuông góc với (P) nên nhận nP 1;0;0 làm 1 vectơ chỉ phương,
x 1 t
có phương trình d : y 0 .
z 0
x 1 t
x 2
y 0
/
+ Tọa độ tâm I đường tròn là nghiệm của hệ :
y 0 I / 2; 0; 0 .
z
0
z 0
x 2 0
2
+ Ta có: d I , P 1 . Gọi r là bán kính của (C), ta có : r R 2 d I , P 3.
Dạng 2 :
SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC
Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:
+ Đường thẳng là tiếp tuyến của (S) d I ; R.
+ Mặt phẳng ( ) là tiếp diện của (S) d I ; R.
* Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.
x y 1 z 2
Bài tập 1: Cho đường thẳng :
và và mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2 x 4 z 1 0 . Số
2
1
1
điểm chung của và S là :
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Bài giải:
Đường thẳng đi qua M 0;1; 2 và có một vectơ chỉ phương là u 2;1; 1
Mặt cầu S có tâm I 1; 0; 2 và bán kính R 2.
u, MI
498
Ta có MI 1; 1; 4 và u , MI 5; 7; 3 d I ,
6
u
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
24 | T H B T N
Mã số tài liệu: BTN-CD8
CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Vì d I , R nên không cắt mặt cầu S .
Lựa chọn đáp án A.
Bài tập 2: Cho điểm I 1; 2;3 . Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
2
2
2
B. x 1 y 2 z 3 10.
2
2
2
D. x 1 y 2 z 3 9.
A. x 1 y 2 z 3 10.
C. x 1 y 2 z 3 10.
2
2
2
2
2
2
Bài giải:
Gọi M là hình chiếu của I 1; 2;3 lên Oy, ta có : M 0; 2;0 .
IM 1;0; 3 R d I , Oy IM 10 là bán kính mặt cầu cần tìm.
2
2
2
Phương trình mặt cầu là : x 1 y 2 z 3 10.
Lựa chọn đáp án B.
Bài tập 3: Cho điểm I 1; 2;3 và đường thẳng d có phương trình
cầu tâm I, tiếp xúc với d là:
2
2
2
A. x 1 y 2 z 3 50.
2
2
x 1 y 2 z 3
. Phương trình mặt
2
1
1
2
2
2
2
2
2
B. x 1 y 2 z 3 5 2.
2
C. x 1 y 2 z 3 5 2.
D. x 1 y 2 z 3 50.
Bài giải:
u , AM
Đường thẳng d đi qua I 1; 2; 3 và có VTCP u 2;1; 1 d A, d
5 2
u
2
2
2
Phương trình mặt cầu là : x 1 y 2 z 3 50.
Lựa chọn đáp án D.
Bài tập 4: Mặt cầu S tâm I 2; 3; 1 cắt đường thẳng d :
x 11 y z 25
tại 2 điểm A, B sao cho
2
1
2
AB 16 có phương trình là:
2
2
2
B. x 2 y 3 z 1 289.
2
2
2
D. x 2 y 3 z 1 280.
A. x 2 y 3 z 1 17.
C. x 2 y 3 z 1 289.
2
2
2
2
2
2
Bài giải:
Đường thẳng đi qua M 11; 0; 25 và có vectơ chỉ phương
u 2;1; 2 .
Gọi H là hình chiếu của I trên d . Ta có:
2
u, MI
AB
2
IH d I , AB
15 R IH
17 .
u
2
I
R
B
A
d
H
2
2
2
Vậy S : x 2 y 3 z 1 289.
Lựa chọn đáp án C.
x5 y7 z
Bài tập 5: Cho đường thẳng d :
và điểm I (4;1;6) . Đường thẳng d cắt mặt cầu S có
2
2
1
tâm I, tại hai điểm A, B sao cho AB 6 . Phương trình của mặt cầu S là:
2
2
2
B. x 4 y 1 z 6 18.
2
2
2
D. x 4 y 1 z 6 16.
A. x 4 y 1 z 6 18.
C. x 4 y 1 z 6 9.
2
2
2
2
2
2
Bài giải :
Đường thẳng d đi qua M (5;7;0) và có vectơ chỉ phương
Chuyên đề 8 – Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz
Cần file Word vui lòng liên hệ:
25 | T H B T N
Mã số tàiI liệu: BTN-CD8
