Chuyên đề thể tích khối chóp trần đình cư

MỤC LỤC
CHUYÊN ĐỀ . THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ............................................

2

DẠNG 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY .......

2

DẠNG 2. KHỐI CHÓP CÓ HÌNH CHIẾU CỦA ĐỈNH LÊN MẶT PHẲNG ĐÁY

17

DẠNG 3. KHỐI CHÓP CÓ MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁ ....

31

DẠNG 4. KHỐI CHÓP ĐỀU ...............................................................

42

DẠNG 5. TỈ LỆ THỂ TÍCH ..................................................................

50

1


CHUYÊN ĐỀ 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1

3

Công thức chung: V  Bh
Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao
DẠNG 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC ĐÁY
Một số chú ý khi giải toán


Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là
đường cao.



Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là
giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy.

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 300. Tính theo a thể tích
khối chóp S.ABC .
A. V 

a 3 13
2

B. V 

a3
12

C. V 

3a 3 13
2

D. V 

5a 3 13
2

Phân tích: Bài toán yêu cầu tính thể tích của khối chóp khi có đáy là tam giác đều ABC
cạnh a, hiển nhiên từ đây ta có thể suy ra được ngay diện tích của ABC . Ta cần tìm thêm
chiều cao SA thông qua việc xác đinh góc giữa  SB,  ABC   . Góc giữa đường thẳng SB và
mặt phẳng (ABC) là SBA  30 .
Hướng dẫn giải
S ABC 

S

a 3
a2 3
; SA  tan SBA. AB 
4
3

1
a3
.
VS.ABC  S ABC .SA 
3
12

Vậy chọn đáp án A.

C

A
a

300

B

Chú ý: Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Bước 1: Tìm giao điểm O của a với

a



A

Bước 2: Chọn A  a và dựng
AH     , với H     .

 

Khi đó: AOH  a, 

O

H


Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA bằng a. Mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
góc ABC bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

2


A.

a3 3
6

B.

a3 3
3

C.

a3

D.

3

2a 3
3

Phân tích: Đề bài yêu cầu tính thể tích khối chóp khi đã cho chiều cao có độ dài là a. Ta chỉ
cần tìm diện tích đáy, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 600 nên ABC là tam
giác đều (tam giác cân có 1 góc bằng 600 ). Từ đây ta suy ra được diện tích của hình thoi
ABCD.
Hướng dẫn giải
Tam

giác

S ABC  a 2

ABC

đều cạnh

a

nên

S

3
4

 Diện tích đáy: SABCD  2.SABC  a 2

3
2
A

1
3
a3 3
Thể tích khối chóp V  .a 2
.a 
3
2
6

D

600

B

C

a

Vậy chọn đáp án A.

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với AC 

a 2
. Cạnh bên SA
2

vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SB hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc 600.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.

a3 3
24

B.

3a 3 3
24

C.

a3 3
8

D.

Phân tích: Đề bài cho đáy là hình vuông biết đường chéo AC 
được cạnh hình vuông là

3a 3 3
8

a 2
, ta suy ra được ngay
2

a
, từ đây tính được diện tích hình vuông ABCD. Ta thấy AB là
2

hình chiếu của SB lên mặt phẳng  ABCD  nên  SB,  ABCD    SBA  600 ; SA   ABCD 
SA là chiều cao của khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn giải
Ta tính được

S

a
a 3
a2
AB  ; SA 
; S ABCD 
2
2
4
1
a3 3
(đvtt)
VS.ABCD  .SA.SABCD 
3
24

A

Vậy chọn đáp án A.

60

0

D
a 2
2

B

C

Câu 4. Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, OC = a 3 , (a > 0) và
đường cao OA  a 3 . Tính thể tích khối tứ diện theo a.
A. V 

a3
3

B. V 

a3
2

C. V 

a3
6

D. V 

a3
12

3


Phân tích: Đề bài đã cho đường cao OA  a 3 , đáy OBC là tam giác vuông tại O có độ dài
hai cạnh của góc vuông từ đây ta suy ra trực tiếp diện tích đáy OBC .
Hướng dẫn giải
1
2

1
2

Ta có: SOBC  OB.OC  a(a 3) 

a2 3
2

1 a2 3
a3
.
)(a 3) 
3 2
2

1
3

Thế tích khối tứ diện V  SOBC .OA  (
Vậy chọn đáp án B.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC  600 cạnh SA vuông
góc với đáy và SC tạo với đáy một góc 600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
A. V 

a3
2

B. V 

a3
3

C. V 

2a 3
3

D. V 

a3
9

Phân tích: Đề bài cho đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC  600 nên ABC đều cạnh a, từ
đây suy ra được diện tích của hình thoi. Để tính chiều cao SA ta phải xác định được góc
tạo bởi  SC,  ABCD    SCA  60 0
Hướng dẫn giải
SABCD  2S ABC 

a2 3

2

S

Ta có ABC đều nên AC  a.
SA  AC.tan60  a 3.

1
3

Suy ra: VS.ABCD  SA.SABCD 

a3
.
2

A
600
600

B

Vậy chọn đáp án A.

D

a

a

C

Lời bình: Việc nhận định được tam giác ABC đều cạnh a từ đó giúp ta tính nhanh
1
2

đượcdiện tích hình thoi . Nếu dùng công thức tính diện tích hình thoi SABCD  AC.BD {

1
}
2

sẽ lâu hơn và buộc ta phải tính thêm BD  AB2  AD2  2AB.AD.cos120  BD  a 3
1
2

Suy ra SABCD  AC.BD 

a2 3
2

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a 3 , BAD  1200 và
cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABCD.
A. V 

a3 3
4

B. V 

3.a 3 3
4

C. V 

3.a 3
4

D. V 

3.a 3 3
5

Phân tích: Do dáy ABCD là hình thoi có BAD  1200 nên các tam giác ABC, ADC đều cạnh
a 3 , từ đây ta suy ra được diện tích của hình thoi ABCD.

Để tính được chiều cao của SA ta phải tính thông qua góc tạo bởi (SBC) và đáy. Gọi H là
trung điểm của BC, ta có: AH  BC, SA  BC  BC  SH
4


Do đó:

 SBC ;  ABCD   AH;SH  SHA  600
Hướng dẫn giải

Tam giác SAH vuông tại A:
SA  AH.tan 600 

S

3a
2

Ta có:
S ABCD  2S ABC

a 3 
2

2

3

4



3a 2 3
.
2

Suy

A
H

ra:

1
3a 3 3
.
VS.ABCD  SA.S ABCD 
3
4

B
600

1200

D

a 3

C

Vậy

chọn đáp án B.
Lưu ý: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng


Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)



Tìm trong (P) đường thẳng a  (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng
b  (d)



Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b

Bài toán về góc sẽ được đề cập sâu hơn trong chủ đề 8.
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  2a, BAC  600 .
Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA  a 3 . Tính theo a thể tích khối
chóp S.ABC .
A. V  a 3

B. V  3a 3

C. V  2a 3

D. V  4a 3

Phân tích: Đề bài đã cho độ dài chiều cao SA  a 3 , nên ta chỉ cần tìm diện tích đáy nữa là
xong. Mặt khác, đáy ABC là tam giác vuông tại B và đã cho AB  2a , ta tìm thêm AC
thông qua AB và BAC  600 .
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC có:

S

BC  AB.tan 600  2a 3
1
 S ABC  AB.AC  2a 2 3
2

a 3

1
 VSABC  S ABC .SA  2a 3
3

A

C

600
2a

Chọn đáp án C

B

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có góc BAC  300 , SA  a ,
SCA  450 và SA vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là V. Tỉ số

A.

3
13

B.

3
14

C.

3
24

D.

V
a3

là

3
34

5


Phân tích: Đề bài đã cho độ dài chiều cao SA  a , ta chỉ cần tìm thêm diện tích đáy là ABC
1
2

là tam giác vuông tại B { SABC  AB.AC }.
SCA  450  AC  SA.tanSCA  a ; AB  AC.cosBAC  a.cos300 

3a
2

Hướng dẫn giải
Ta có:

S

1
AB.ACsin BAC
2
1 a. 3.a 1 a 2 3
 .
. 
2
2
2
8

S ABC 

45

Vậy

A

1
1 a2 3
a3 3
VS.ABC  .SABC .SA 
.a 
3
3 8
24



V
a

3



C

30

B

3
. Vậy chọn đáp án C
24

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  2a,AD  a . Hai mặt
phẳng  SAB  và  SAD  c ng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SBD 
bằng 450. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số
A. 0,25

B. 0,5

V
a3

gần nhất giá trị nào dưới đây:

C. 0,75

D. 1,5

Phân tích: Yêu cầu bài toán thật ra chỉ cần tìm thể tích khối chóp S.ABCD là xong. Đề bài
đã cho đáy là hình chữ nhật với kích thích các cạnh thì hiển nhiên tính dễ dàng SABCD .
Mặt khác:

 SAB   ABCD

và  SAD   ABCD  ,

 SAB   SAD  SA  SA   ABCD

SA chính là đường cao. Để tìm SA ta phải thông qua

hay

 SAB ,  SBD.

Ta có: AD  AB,AD  SA  AD   SAB  AD  SB .
Kẻ AH  SB  SB   AHD  SB  HD .

AH  SB,HD  SB
  SAB  ,  SBD   AHD  450
SAB

SBD


SB







Ta có: 





Hướng dẫn giải

6


Ta có: SABCD  AB.AD  2a 2

S

AHD vuông cân tại A
 AH  AD  a .
H

Xét tam giác SAB vuông tại S có:
1

AH

2



 SA 

1
SA

2

1



AB2
AB.AH

D

A

2a.a



AB2  AH2

4a 2  a 2

1
3

1
3

Vậy VS.ABCD  .SABCD .SA  .2a 2.



2a 3
3

C

B

V 4 3
2a 3 4a 3 3
 3
 0,77

9
3
9
a

Vậy chọn đáp án C.

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB = a, AC = 2a,
BAC  1200 . Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

A. V 

a 3 21
14

B. V 

a 3 21
13

C. V 

2a 3 21
13

D. V 

3.a 3 21
14

Phân tích: Đề bài cho đáy là tam giác ABC có độ dài hai cạnh và góc xen giữa  ta sẽ tính
được diện tích đáy. Để tính chiều cao SA ta chỉ cần xác định góc giữa

 SBC ,  ABC

và

tính SA thông qua yếu tố này.
Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Khi đó SF  BC , suy ra:

 SBC ,  ABC  SFA  600
Hướng dẫn giải

Ta có:

S

1
a2 3
S ABC  .AB.AC.sin BAC 
2
2
a 21
3a 7
BC=a 7 , AF 
, SA 
7
7

1
1 a 2 3 3a 7
VSABC  .S ABC .SA  .
.
3
3 2
7

3
a 21

14

A
a

2a

C

1200

F
B

Vậy chọn đáp án A.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SB  a 3 . Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD .
A.

a3 2
2

B.

a3 2
4

C.

a3 2
5

D.

a3 2
3

Phân tích: Đề bài cho đáy là hình vuông cạnh a  diện tích đáy ABCD.
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông SAB để tìm SA.
Hướng dẫn giải
7


Ta có:

S

SABCD  a 2

SA  SB2  AB2  3a 2  a 2  a 2

a 3

3

1
a . 2

V  SABCD .SA 
3
3
Chọn đáp án D.

A

D

a
B

C

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 3a, AD = 4a,
SA  (ABCD) , SC tạo với đáy góc 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A. V  20a 3

B. V  20a3 2

C. V  30a 3

D. V  22a 3

Phân tích: Đề bài cho đáy là hình chữ nhật với kích thước các cạnh  SABCD . Để tính chiều
cao SA, ta cần xác định đúng góc tạo bởi SC với đáy và tính thông qua yếu tố này là được.





Do SA  (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC lên đáy  SC,  ABCD   SCA  450 .
Hướng dẫn giải
Ta có

S

SABCD  3a.4a  12a 2

SA  AC.tan 450  5a
1
VS.ABCD  SA.SABCD  20a 3
3

A

4a
45

3a

Vậy chọn đáp án A.
B

D

0

C

Câu 13. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng

 ABC 

và

AB  3a, BC  4a, AC  5a,AD  6a. Thể tích khối tứ diện ABCD là:

A. 6a 3

B. 12a 3

C. 18a 3

D. 36a 3

Phân tích:
Nhận thấy Tam giác ABC có: AB2  BC2   3a    4a   25a 2  AC2  ABC vuông tại B
2

2

 SABC . Chiều cao đề bà đã cho AD  6a. Áp dung công thức thể tích khối chóp ta được

đáp án bài toán.
Hướng dẫn giải
Ta có: AD  6a.
1
1
SABC  AB.BC  3a.4a  6a 2

2
2
1
1
VABCD  SABC AD  .6a 2 .6a  12a 3
3
3

Vậy chọn đáp án B.

D

6a

3a

A
5a

B
4a

C

8


Câu 14. Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , hai mặt phẳng  SAB 
và  SBC  vuông góc với nhau, SB  a 3 , BSC  45o , ASB  30o . Thể tích tứ diện SABC là V.
Tỉ số

A.

a3
là:
V

8
3

B.

8 3
3

C.

Phân tích: Ta có: SA   ABC   SAB   ABC 

2 3
3

D.

4
3


 SBC    SAB  ,  ABC    SAB 
 BC   SAB 


SBC

ABC

BC






 ABC, SBC là các tam giác vuông tại B. Từ đây để tính diện tích tam giác ABCD ta chỉ

cần tính AB, BC thông qua SB  a 3 , BSC  45o , ASB  30o .
Hướng dẫn giải
SA  SB.cos ASB 

3a
2

AB  SB.sin ASB 

a 3
,
2

S

450
300

BC  SB.tan BSC  a 3

a 3

1
1 a 3
3a 2
 SABC  AB.BC  .
.a 3 
2
2 2
4

Vậy

C

A

1
1 3a 2 3a 3a 3
VS.ABC  .S ABC .SA  .
. 
3
3 4 2
8
3
a
8



V 3

B

Vậy chọn đáp án A.
Tổng quát: Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , hai mặt phẳng

 SAB và  SBC  vuông góc với nhau,
VS.ABC 

BSC   , ASB   . Thể tích tứ diện SABC là:

SB3 .sin 2.tan .
12

Thật vậy

9


Xét SAB vuông tại A có : AB  SB.sin  ,

S

SA  SB.cos 

β

Xét SBC vuông tại B có :

α

BC  SB.tan 
1
1
 SABC  AB.BC  .SB2 .sin .tan 
2
2

Vậy
VS.ABC

C

A

1
 .S ABC .SA
3

1 1
 . .SB2 .sin .tan .SB.cos 
3 2
SB3 .sin 2.tan 

12

B

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh bên SD
vuông góc với đáy, cho AB  AD  a , CD  3a,SA  a 3 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A.

2a 3
3

4a 3
3

B.

a3 2
3

C.

D.

2a 3 2
3

Phân tích: Đề bài cho đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D  AD  a là chiều cao của
hình thang, có thêm hai đáy là AB  a và CD  3a  SABCD . Để tìm chiều cao SD của hình
chóp ta áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông SAD .
Hướng dẫn giải
Ta có:
S ABCD 

S

 AB  CD .AD  a  3a  .a  2a2
2

2

a 3

SD  SA  AD  3a  a  a 2
2

2

2

2

3a

D

Vậy

C

a

1
1

2a 3 2
VS.ABCD  .SABCD .SD  .2a 2 .a 2 
3
3
3

A

a

B

Vậy Chọn đáp án D
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng  SAB 
và  SAD  c ng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  bằng 300.
Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số
A.

3
3

B.

3V
a3

3

là:
C.

3
2

D.

3
6

Phân tích: Để bài đa cho đáy là hình vuông cạnh a  SABCD .
 SAB    ABCD 


Ta có:  SAD    ABCD   SA   ABCD 


 SAB    SAD   SA

10


Để tìm chiều cao SA ta cần xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  và
tính thông qua yếu tố này. Dễ dàng xác định được:   SBC  ,  ABCD    SBA  30 0 .
Hướng dẫn giải
Ta có:

S

SA  AB.tan SBA 

a 3
3

1
1
a 3 a3 3
VS.ABCD  .S ABCD .SA  .a 2 .

3
3
3
9
3V
3
 3 
3
a

A
30

D

0

B

Vậy chọn đáp án A.

C

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  a, BC  3a . Hai mặt
phẳng  SAB  và  SAD  c ng vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Thể
tích khối chóp S.ABCD là:
B. 2a 3

A. a 3

C.

D. 2 3a 3

3a 3

Phân tích: Đề bài đã cho đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  a, BC  3a . Từ đây ta suy ra
được SABCD . Mặt khác:
 SAB    ABCD 

 SA   ABCD 
 SAD    ABCD 

 SAB    SAD   SA

Để tìm chiều cao SA ta cần xác định đúng góc giữa hai mặt phẳng SC và  ABCD  và tính
thông qua yếu tố này. Dễ dàng xác định được:  SC,  ABCD    SCA  60 0 .
Hướng dẫn giải
Ta có: SABCD  AB.BC  a2 3

S

Xét tam giác SAC vuông tại S có:
SA  AC.tan600  2a. 3

Vậy
VS.ABCD

A

1
1
 .S ABCD .SA  a 2 3.2 3a  2a 3
3
3

D

a
60
B

a 3

0

C

Vậy chọn đáp án B.
Câu 18. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B , AB  a, ACB  600 , cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 . Thể tích khối

chóp S.ABC là:
A.

a3 3
6

B.

a3 3
18

C.

a3 3
9

D.

a3 3
12

11


Phân tích: Đề bài cho đáy là tam giác ABC vuông tại B , có AB  a , ACB  600  BC . Từ đó





suy ra được S ABC . Để tìm chiều cao SA ta cần xác định chính xác góc SB,  ABC  và tính
SA thông qua yếu tố này.
Ta có AB là hình chiếu vuông góc của SB trên  ABC 

 





 SB,  ABC   SB,AB  SBA  45o

Hướng dẫn giải
BC  AB.cot ACB  a.cot 600 
 SABC 

S

a 3
3

1
1 a 3 a2 3
BA.BC  a.

2
2
3
6

SAB vuông tại A nên

SA  AB.tanSBA  AB.tan 45o  a

Vậy VS.ABC

A

1
1 a2 . 3
a3 3
 SABC .SA 
.a 
3
3 6
18

C

600
450

a

Chọn đáp án B

B

Câu 19. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với mặt phẳng

 ABC  , góc giữa BD và mặt phẳng  DAC là 300. Thể tích khối tứ diện

ABCD là V. Tỉ số

a3 6
là:
V

A. 1

B. 3

C. 4

D. 12

Phân tích: Đề bài cho đáy ABC là tam giác đều cạnh a  S ABC 

a2 3
4

Gọi M là trung điểm AC. Ta có : BM  AC,BM  DA  BM  DAC 





 BD,  DAC   BDM  300 . Để tìm chiều cao AD ta cần tìm DM bằng cách áp dụng định

lý pitago trong tam giác vuông DAM

Hướng dẫn giải
S ABC 

a2 3
4

D

Xét BMD vuông tại M có :
DM  BM.cot 300 

a 3
3a
. 3
2
2

300

Xét DAM vuông tại A có :
9a 2 a 2
DA  DM  AM 

a 2
4
4
2

2

2

Vậy
VABCD

1
1 a2 3
a3 6
 .S ABC .DA  .
. 2a 
3
3 4
12

M
A

C

a
B

12




a3 6
 12 . Chọn đáp án D
V

Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC  a 2 ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên  SBC  tạo với mặt đáy một góc bằng
450 . Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A.

a3 2
12

B.

a3 2
24

C.

a3 2
36

D.

a3 2
48

Phân tích: Đề bài cho đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, có cạnh huyền BC  a 2
 AB  AC  a . Để tìm chiều cao SA ta cần xác định đúng

SBC , ABC và tính SA thông

qua yếu tố này.

Ta có SA   ABC   SA  BC và BC  AM nên BC   SAM   BC  AM
AM  BC ( vì  ABC cân tại A)





  SBC  ,  ABC   (SM,AM)  SMA  45o

Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm BC
 AM 

S

1
a 2
BC 
2
2

1
1
a2
 SABC  AM.BC  BC2 
2
4
2

Ta có SAM vuông tại A

C

A

 SA  AM.tan SMA  AM 

450

a 2
2

M
a 2

1 a2 a 2 a3 2
.

3 2 2
12

1
3

B

Vậy VS.ABC  .SABC .SA  .
Chọn đáp án C

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB  900 , BSC  1200 , ASC  900 . Thể

tích khối chóp S.ABC là:
A.

a3
2

B.

a3
6

C.

a3 3
4

D.

a3 3
12

Phân tích: Mấu chốt bài toán này là xác định được chiều cao SA.
Ta có SA  AB,SA  AC  SA   SBC  . Đáy là tam giác ABC cho độ dài hai cạnh và góc xen
giữa nên suy ra được diện tích đáy.
Hướng dẫn giải

13


Ta có:

A

SA  a
1
1
3 a2 3
SSBC  SB.SB.sin1200  a 2 .

2
2
2
4

a

1
 VS.ABC  VA.SBC  S SBC .SA
3
2
3
1 a 3
a 3
.
 .
.a 
3 4
12

S

a

C

1200
a
B

Vậy chọn đáp án D
Câu 22. Cho hình chóp SABC có tam giác SBC đều cạnh a , CA  a . Hai mặt  ABC và

 ASC
A.

cùng vuông góc với (SBC). Thể tích hình chóp là

a3 3
12

B.

a3 3
2

C.

a3 3
4

D.

a3
12

Phân tích: Đề bài cho đáy là tam giác SBC đều cạnh a  SSBC .
Mặt khác:
 (ABC)  (SBC)

(ASC)  (SBC)  AC  (SBC) . Suy ra AC là chiều cao của hình chóp
(ABC)  (ASC)


Hướng dẫn giải
Ta có:
CA  a ; SSBC 

A

a2 3
4
a

Do đó
1
1 a2 3
a3 3
V  SSBC .AC 
a
3

3 4
12

Vậy chọn đáp án A.

B

C

a
S

Câu 23. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o. Thể tích hình chóp là
A.

a3
24

B.

a3 6
24

C.

a3 6
12

D.

a3
12

Phân tích: Ta có: SA  (ABC)  AB là hình chiếu của SB trên (ABC).
Vậy góc SB,  ABC   SAB  60o . ABC vuông cân nên BA = BC =

a
;
2

Hướng dẫn giải

14


Ta có:
S ABC 

S

1
a2
BA.BC 
2
4

SA  AB.tan 60o 

a 6

.
2

1
3

Vậy V  SABC .SA 

a

1 a2 a 6 a3 6
.

3 4 2
24

a

C

A
600

Vậy chọn đáp án B

B

Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với
đáy ABC và  SBC  hợp với  ABC  một góc 60o. Thể tích hình chóp là
A.

a3
8

B.

a3 3
4

C.

a3 3
8

D.

3a 3 3
8

Phân tích: Gọi M là trung điểm của BC, vì tam giác ABC đều nên AM  BC  SA  BC.
Mặt khác:  SBC  ;  ABC   SMA  60o . Từ đay ta suy ra được chiều cao SA.
Hướng dẫn giải
Ta có

S

SA  AM tan 60o 
S ABC 

3a

2

a2 3
4

a

Vậy

1

V = VS.ABC  SABC .SA 
3

a3
8

3

C

A

.

600

M

a

Vậy chọn đáp án C.

B

Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc
đáy ABCD và mặt bên  SCD  hợp với đáy một góc 60o. Thể tích hình chóp S.ABCD là
A.

a3
8

B.

a3
3

C.

3a 3 3
8

D.

a3 3
3

Phân tích: Ta có SA  (ABC) và CD  AD  CD  SD (1)
Vậy góc  SCD ,  ABCD   SDA  60o. Từ đây ta suy ra được chiều cao SA.
Hướng dẫn giải

15


Ta có

S

SAD vuông nên
SA  AD.tan60o  a 3
1
3

1
3

Vậy V  SABCD .SA  a 2a 3 

a3 3
3

A

600

a

Vậy chọn đáp án D.
B

D

C

16


DẠNG 2. KHỐI CHÓP CÓ HÌNH CHIẾU CỦA ĐỈNH LÊN MẶT PHẲNG ĐÁY
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC  a 3 , H là
trung điểm của cạnh AB. Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) c ng vuông góc với mặt
đáy, đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp a.
A. V 

a 3 13
2

B. V 

a 3 13
3

C. V 

3a 3 13
2

D. V 

5a 3 13
2

Phân tích:
Theo đề ta có
(SHC)  (ABCD)

 SH  (ABCD)  SH là chiều cao của hình chóp
(SHD)  (ABCD)
(SHC)  (SHD)  SH


Ta có HD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

 





 SD,ABCD  SD,HD  SDH  600 . Từ đây ta sẽ tính được độ dài chiều cao SH.

Hướng dẫn giải
Ta có:

S

SH  HD.tan 600 

a 39
2

1
 Vậy VS.ABCD  S ABCD .SH
3

1
a 39 a3 13
1
 AB.AD.SH  a.a 3.

3
3
2
2

A

600

D

a

H
B

C

a 3

Vậy chọn đáp án A.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của đoạn AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng
(ABC) bằng 600 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC .
B. V  a 3 3

A. V  a 3

D. V  3.a 3 3

C. V  2a 3
Hướng dẫn giải

Ta có:  SC,  ABC    SCH  600
SH  CHtan 600 

S ABC

 2a 


VS.ABC

2

4

3

S

2a 3
. 3  3a
2

 a2 3 .

1
1
 SH.S ABC  .3a.a 2 3  a 3 3
3
3

Vậy chọn đáp án B.

600

2a

A

C

H
B

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng 450, đáy ABC là tam giác
vuông tại A có AB  2a , góc ABC  600 và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
17

A. V 

2.a 3 39
3

B. V 

a 3 39
3

C. V 

2.a 3 37
3

D. V 

4.a 3 39
3

Phân tích: Để bài cho đáy ABC là tam giác vuông tại A có AB  2a , góc ABC  600 . Ta suy ra
được AC thông qua hai yếu tố này  SABC .





Mặt khác: SC,  ABC   SCH  450  SHC vuông cân tại H.

Hướng dẫn giải
Tam giác ABC vuông tại A:

S

AC  2a 3
1
S ABC  AB.AC  2a 2 3
2

Tam giác AHC vuông tại H : HC  a 13 .
Ta có: SH  HC  a 13
VS.ABC 

2a

3

39

3

450

A
2a

60

H

C

0

B

. Vậy chọn đáp án A.

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB = 2a, AC = 4a. Hình
chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn AC. Góc giữa
cạnh bên SA và mp(ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. V  3a 3

B. V  a 3

D. V  3a 3 5

C. V  4a 3

Phân tích: Đề bài cho đáy đáy ABC là tam giác vuông tại B và cho thêm AB  2a,AC  4a ,
1
2

từ đây suy ra được BC và SABC  AB.BC .
Ta có: SH  (ABC)  góc giữa SA và (ABC) là SAH  600 . Ta tính chiều cao SH thông qua
AH (H là trung điểm của AC nên AH 

AC
) và SAH  600 .

2

Hướng dẫn giải
Ta có :

S

BC  AC2  AB2  2a 3
1
 SABC  AB.AC  2a 2 3
2

Mặt khác : SH  AH.tan600  2a 3
Vậy VSABC

600

1
 .SH.S ABC  4a 3
3

2a

B

A
H

Chọn đáp án C.

4a

C

Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a . Trên
a
2

cạnh AB lấy điểm M sao cho AM  , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) và SH  a . Tính thể tích khối chóp S. HCD
A. V 

4a 3
5

B. V 

a3
15

C. V 

4a 3
15

D. V 

2a 3
15

18


Phân tích: Mấu chốt bài toán này là phải nhìn ra được DHC  90 0 .
Hai tam giác vuông AMD và DAC có

AM
AD



AD
DC

1



2

nên đồng dạng.

Suy ra ADH  DCH , mà ADH  HDC  900  DHC  900 .
1
2

Do đó: SHCD  DH.HC . Đề bài đã cho chiều cao SH  a , như vậy chỉ cần tính được SHCD 
kết quả bài toán.
Hướng dẫn giải
 ADC vuông tại D:

S

AC2  AD2  DC2  AC  a 5

Áp dụng hệ thức lượng trong
ADC : DH.AC  DA.DC

Suy ra: DH 

DC.DA 2a

AC
5

A
a

HC  DC  DH 
2

D

4a

B

H

 DHC vuông tại H:

2

M

2a

C

5
1
2

Do đó diện tích  HCD: SHCD  DH.HC 

4a2
5

1
3

Thể tích khối chóp S.HCD: VS.HCD  SH.SHCD 

4a3
.
15

Vậy chọn đáp án C.
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B, AB  a 3 , ACB  600 , hình
chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung
điểm AC biết SE  a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. V 

a 3 . 78
18

B. V 

5a 3 . 78
18

C. V 

a 3 . 77
18

D. V 

7a 3 . 78
18

Phân tích: Đề bài cho đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a 3 , ACB  600 . Ta sẽ tính
1
2

được BC thông qua hai yếu tố này. Từ đó suy ra SABC  AB.BC . Gọi G là trọng tâm tam
giác ABC.
Theo giả thiết có SG   ABC  . Để tính SG ta áp dụng định lý pitago SGE (vuông tại G).
Hướng dẫn giải

19

Xét tam giác ABC vuông tại B
Có AC 
BC 

AB
sin ACB

AB

S

 2a ,
a 3

a,

tan BCA
AC
BE
a
GE 
 2 
3
3
3

E
A

G

a 3

1
2

Ta có SABC  AB.BC 

a

2

C

600

3

N
B

2

Xét tam giác SGE vuông tại G có SG  SE2  GE2  3a 2 

a 2 a 26

9
3

1 a 26 a 2 3 a 3 78
.

3 3
2
18

1
3

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là VS.ABC  SG.SABC  .
Chọn đáp án A.

Câu 7. Cho ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, gọi M là trung điểm AB. Qua M kẻ đường
5
. Gọi thể tích khối chóp
3

thẳng vuông góc  ABCD  và trên đó lấy điểm S sao cho SM 
S.ADCM, khối chóp S.BCM lần lượt là x, y. Giá trị xy là:
A.

1
321

B.

3
132

C.

5
432

D.

7
412

Phân tích: Hình chóp S.ADCM có đáy ADCM là hình thang vuông tại A và D có hai đáy
1
2

là AM  , DC  1 và độ dài đường cao AD  1 . Từ đó ta dễ dàng tính được SADCM . Hình
chóp S.BCM có đáy BCM là tam giác vuông tại B  S BCM . Hai hình chóp S.ADCM và
S.BCM đều có cùng chiều cao SM 

5
.
3

Hướng dẫn giải
Ta có: S ADCM 

 AM  CD .AD  3
2

S

4

1
1 5 3
5
 VS.ADCM  .SM.S ADCM  .
. 
3
3 3 4 12
5
Suy ra: x 
12

Mặt khác: S BCM

1
1 5 1
5
 VS.BCM  .SM.S BCM  .
. 
3
3 3 4 36

Suy ra: y 

A

BM.BC 1



2
4

D

M
1
B

C

5
5 5
5
. Vậy xy 
.

36
12 36 432

Vậy chọn đáp án C
20


Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a 3 , BAC  300 ,
hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là
trung điểm AC, góc giữa SE và mặt phẳng đáy là 300 . Thể tích khối chóp S.ABC là:
A.

a3
6

B.

a3
18

a3
9

C.

D.

a3
12

Phân tích: Đề bài cho đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  a 3 , ACB  600 , từ hai yếu tố
này ta suy ra được BC. Do đó ta tìm được S ABC .
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC  SG   ABC  , và SE,  ABC    SEG  300 . Áp dụng tỉ số
lượng giác trong tam giác vuông SGE ta tìm được chiều cao SG.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC vuông tại B có
AB

AC 

S

 2a ,

sin ACB
 BC  AC 2  AB2  a ,
 SABC 

1
2

AB.BC 

E

a2 3

A

2

BE
3



a
3

300

C

G

a 3

Do ABC vuông tại B nên:
AC
BE 
a
2
 GE 

300

B

a

 SG  GE. tan SEG 

3

tan 30 0 

2

3a
9

3

1
1 a 3 a 3 a
.

Vậy VS. ABC  SG.SABC  .
.
3
3 9
2
18
Vậy chọn đáp án B.
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số

a3
bằng :
V
A. 4 3

C.

B. 4 2

3

D.

2

Phân tích: Cái khó của bài này là xác định đúng được đường cao của hình chóp S.ABCD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD.
Kẻ SH  MN . Ta có: CD  MN,CD  SN  CD   SMN 
 CD  SH mà SH  MN  SH   ABCD

Để tính được chiều cao SH ta phải nhận định được tam giác SMN vuông tại S. Thật vậy:
Ta có SAB là tam giác đều  SM 

a 3
2

SCD là tam giác vuông cân tại S  SN 

CD a

2
2

21


2

 a 3   a 2
Tam giác SMN có: SM  SN  
 a 2  MN2
 
 2   2 



2

2

 Tam giác SMN vuông tại S. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SMN ta tìm

được SH.
Hướng dẫn giải
Ta có:

S

SABCD  a 2 .

a 3 a
.
SM.SN
a 3
SH 
 22 2
MN
4
a
A

Do vậy
1
VS.ABCD  .S ABCD .SH
3
1

a 3 a3 3
 .a 2 .

3
4
12

Suy ra:

M

D

N

H

a

B

C

a3
 4 2 . Vậy chọn đáp án B.
V

Câu 10. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC  600 , hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt
phẳng  SAC  hợp với mặt phẳng  ABCD  góc 450 . Thể tích khối chóp S. ABCD bằng V.

Giá trị

6V
a3

là:

3
2

A.

B.

1
6

C.

1
2

D.

2
2

Phân tích: Ta thấy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC  600 nên tam giác ABC đều, từ đó
 SABCD  2.SABC .
Gọi O  AC  BD . Ta có AC  BD,AC  SG  AC   SBD   AC  SO . Mặt khác OB  AC





  SAC  ,  ABCD  SOB  450 . Ta tính độ dài đường cao thông qua OG và SOB .

Hướng dẫn giải

22


Ta có : SABCD  2.SABC 

a2 3
2

S

Xét tam giác SOG vuông tại G:
SG  OG.tan SOB  OG.tan 450


1
a 3
BO 
3
6

A

a

Vậy
2

D

600

450
G

3

1
1 a 3 a 3 a
VS.ABCD  SG.SABCD  .
.

3
3 6
2
12

O

B

C

Vậy chọn đáp án C.
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 2a, AD = a. Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm H của AB. Cạnh SC tạo với đáy một
góc bằng 300. Thể tích khối chóp S.ABCD là V thì tỉ số

V
a3

gần giá trị nào nhất trong các giá

trị sau:
A. 0,5

B. 1

C. 1,5

D. 2

Phân tích: Ta có: HC là hình chiếu vuông góc của SC lên  ABCD 





 SC,  ABCD   SCH  300

Xét tam giác BHC vuông tại B có: HC  BH2  BC2  a 2 .
Thông qua SCH  300 và HC ta tính được độ dài đường cao SH.

Hướng dẫn giải
Ta có SABCD  AD.AD  2a2

S

Xét tam giác SHC vuông tại H có :
SH  HC.tan SCH  HC.tan 300 

a 6
2

Vậy
1
1
a 6
VSABCD  S ABCD .SH  .2a 2 .
3
3
2
3
a 6

 0,82a 3
3

A

D

H

B

2a

300
a

C

Vậy chọn đáp án B.
Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB  a; AD  a 3.
Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của OA. Biết góc giữa
SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Thể tích khối chóp S.ABCD là
3
2

A. V  a 3

3
5

B. V  a 3

1
2

C. V  a 3

3
2

D. V  a 3 3

Hướng dẫn giải

23


Ta có: (SC,(ABCD))  (SC,AC)  SCA
Tính được AC  2a; SH 

S

3 3a
2

1
3
SABCD  3a 2 ; VS.ABCD  SH.VABCD  a 3 .
3
2

A

Chọn đáp án A.

a

B

a 3

H

600

O
D

C

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HD = 2HA. Biết góc giữa
SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 300. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD là
A. V 

a 3 30
27

B. V 

a 3 30
7

a
3

Phân tích: Ta có AH  , DH 

C. V 

a3 3
27

D. V 

5a 3 30
27

2a
, do SH  (ABCD)  SH là chiều cao của khối chóp
3

S.ABCD và góc giữa SB với mặt phẳng (ABCD) là góc SBH  300 . Áp dụng hệ thức lượng
trong tam giác SHB để tìm độ dài đường cao SH.
Hướng dẫn giải
Ta có: SABCD  a 2

S

SH  HB.tan 300  AB2  AH2 .tan 300
 a2 

a 2 1 a 30
.

9 3
9

Khi đó VS.ABCD

SH 

A

1
 .SH.S ABCD ,với
3

300

H
D

a 30
.
9

B

O
a

C

1 a 30 2 a 3 30
.
.a 
3 9
27

Suy ra: VS.ABCD  .
Chọn đáp án A.

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I,AB= 2a 3 , BC = 2a.Chân
đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy tr ng với trung điểm DI. Cạnh bên SB tạo với đáy
góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
A. V  12a 3

B. V  11a 3

C. V  10a 3

D. V  9a 3

Hướng dẫn giải

24