Đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
——————————–

NGUYỄN VĂN LUẬT

ĐÁNH GIÁ CẬN TRÊN, DƯỚI VÀ XẤP XỈ
TÍNH HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU
NHIỀU THÀNH PHẦN VÀ ĐA TINH THỂ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

Hà Nội - 2017


VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
...............***...............

NGUYỄN VĂN LUẬT

ĐÁNH GIÁ CẬN TRÊN, DƯỚI VÀ XẤP XỈ
TÍNH HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU
NHIỀU THÀNH PHẦN VÀ ĐA TINH THỂ
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 62 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1.PGS.TSKH PHẠM ĐỨC CHÍNH

2.TS NGUYỄN TRUNG KIÊN

Hà Nội - 2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi, mọi số liệu và kết
quả trong luận án là trung thực và cũng chưa có tác giả khác công bố ở bất cứ công
trình nghiên cứu nào từ trước tới nay.
Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình này.
Nghiên cứu sinh

NGUYỄN VĂN LUẬT


ii

LỜI CÁM ƠN

Tôi xin chân thành gửi lời cám ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Phạm Đức Chính và
TS. Nguyễn Trung Kiên những người luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và động
viên tôi thực hiện các nghiên cứu khoa học giúp cho tôi hoàn thành luận án này.
Tôi cũng xin gửi lời ơn đến các Thầy, Cô đã giảng dạy tôi trong khuôn khổ
chương trình đào tạo Tiến sỹ, nhóm Seminar khoa học tại Viện Cơ học, các đồng
nghiệp, Khoa đào tạo sau đại học-Viện Cơ học đã luôn giúp đỡ tạo mọi điều kiện
cho tôi hoàn thành luận án.
Các nghiên cứu trong luận án cũng được hỗ trợ bởi Quỹ phát triển Khoa học và
Công nghệ quốc gia (NAFOSTED).
Cuối cùng xin gửi lời cám ơn đến ĐH Công nghiệp Hà Nội, Khoa Cơ khí và

gia đình đã động viên, ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực
hiện luận án này.


Mục lục

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CÁM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

Những kí hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xi

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1.

TỔNG QUAN

5

1.1. MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. LỊCH SỬ TIẾP CẬN ĐỒNG NHẤT HÓA VÀ QUÁ TRÌNH ĐÁNH
GIÁ HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Chương 2.

ĐÁNH GIÁ BIẾN PHÂN CẬN TRÊN, DƯỚI HỆ SỐ DẪN

CỦA VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN TRONG
KHÔNG GIAN d CHIỀU

20

2.1. Đánh giá trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2. Đánh giá dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3. Áp dụng tính toán hệ số dẫn (HSD) vĩ mô cho một số mô hình vật
liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.1. mô hình quả cầu lồng nhau

. . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3.2. Mô hình vật liệu đối xứng ba pha . . . . . . . . . . . . .

34

2.3.3. Mô hình vật liệu tổ hợp hai pha dạng nền, cốt liệu tròn . .

36

2.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Chương 3.

MÔ PHỎNG SỐ FFT VÀ SO SÁNH VỚI CÁC ĐÁNH GIÁ

CHO MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LIỆU

47

3.1. Phương pháp biến đổi Fourier nhanh (FFT) . . . . . . . . . . . .

47

3.2. Áp dụng phương pháp số FFT cho một số mô hình vật liệu . . . .

51


iv

3.2.1. Mô hình vật liệu hai pha đẳng hướng ngang . . . . . . . .

51

3.2.2. Mô hình vật liệu hai pha gồm các quả cầu sắp xếp tuần hoàn 53
3.2.3. So sánh FFT giữa các mô hình vật liệu ba pha có cấu trúc
tuần hoàn trong không gian hai chiều . . . . . . . . . . .

55

3.2.4. So sánh giữa các mô hình vật liệu ba pha có cấu trúc tuần
hoàn trong không gian ba chiều . . . . . . . . . . . . . .

60

3.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Chương 4.

ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ DẪN CHO VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ

HỖN ĐỘN TRONG KHÔNG GIAN d CHIỀU

64

4.1. Đánh giá trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

4.2. Đánh giá dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.3. Áp dụng đánh giá một số trường hợp cụ thể . . . . . . . . . . . .

75

4.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

KẾT LUẬN CHUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Các công trình đã công bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

Tài liệu tham khảo

88


Danh sách hình vẽ

1.1

Vật liệu composite nền nhôm (Al), cốt là những quả cầu gốm (Ceramic) rỗng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

10

Mô hình quả cầu lồng nhau (a) Quả cầu lồng nhau 2 pha, (b)
Quả cầu lồng nhau 3 pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Vật liệu composite dạng cốt sợi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

Vật liệu tổ hợp ngẫu nhiên hoàn toàn 1,2,3 pha . . . . . . . . . .

11

1.5

Vật liệu đa tinh thể hỗn độn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6

Mô hình thí nghiệm (a) Thiết bị đo hệ số dẫn nhiệt H-940, (b)
Các mẫu thử vật liệu tổng hợp bakelite–graphite . . . . . . . . . .

1.7

17

Kết quả so sánh thực nghiệm và lý thuyết của vật liệu tổ hợp bake. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.1

mô hình quả cầu lồng nhau 2 pha . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2

Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 2 pha: pha cốt liệu C1 =

lite–graphite

2, pha nền C2 = 20, trong không gian 2 chiều . . . . . . . . . . .
2.3

31

Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 2 pha: pha cốt liệu C1 =
2, pha nền C2 = 20, trong không gian 3 chiều . . . . . . . . . . .

31

2.4

mô hình quả cầu lồng nhau 3 pha . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5

Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 3 pha: 2 pha cốt liệu
C1 = 1, C2 = 5, pha nền C3 = 20, trong không gian 2 chiều . . .

2.6

33

Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 3 pha: 2 pha cốt liệu
C1 = 20, C2 = 5, pha nền C3 = 1, trong không gian 3 chiều . . .

33

2.7

Vật liệu tổ hợp đẳng hướng đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.8

Đánh giá HSD vĩ mô vật liệu dối xứng 3 pha C1 = 20, C2 =
5, C3 = 1, trong không gian 2 chiều . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9

35

Đánh giá HSD vĩ mô vật liệu dối xứng 3 pha C1 = 1, C2 =
5, C3 = 20 trong không gian 3 chiều . . . . . . . . . . . . . . . .

35


vi

2.10 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha: pha nền C1 = 1, cốt
liệu C2 = 10 trong không gian 2 chiều. (a) Cấu trúc của vật liệu
có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng hình vuông. (b) Đồ thị kết quả
đánh giá cận trên, dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.11 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha: pha nền C1 = 1, cốt
liệu C2 = 10 trong không gian 2 chiều. (a) Cấu trúc của vật liệu
có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng hình lục giác. (b) Đồ thị kết quả
đánh giá cận trên, dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.12 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha: pha nền C1 = 1, cốt
liệu C2 = 10 trong không gian 2 chiều. (a) Cấu trúc của vật liệu
có cốt liệu hình tròn cùng kích cỡ sắp xếp ngẫu nhiên không chồng
lấn. (b) Đồ thị kết quả đánh giá cận trên, dưới . . . . . . . . . . .

39

2.13 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha: pha nền C1 = 1, cốt
liệu C2 = 10 trong không gian 2 chiều. (a) Cấu trúc của vật liệu
có cốt liệu hình tròn cùng kích cỡ sắp xếp ngẫu nhiên chồng lấn.
(b) Đồ thị kết quả đánh giá cận trên, dưới . . . . . . . . . . . . .

39

2.14 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha C1 = 1, C2 = 10 trong

không gian 2 chiều. (a) Cấu trúc của vật liệu 2 pha, các quả cầu
pha phân bố hỗn độn dạng đối xứng. (b) Đồ thị kết quả đánh giá
cận trên, dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.15 Vật liệu có cấu trúc lập phương trong không gian 3 chiều. (a) lập
phương đơn giản (simple cubic). (b) lập phương tâm khối (bodycentered cubic). (c) lập phương tâm mặt (face-centered cubic) . .

41

2.16 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều
có cấu trúc lập phương đơn giản với pha nền C1 = 10, pha cốt
liệu C2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.17 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều
có cấu trúc lập phương tâm khối với pha nền C1 = 10, pha cốt
liệu C2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.18 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều
có cấu trúc lập phương tâm mặt với pha nền C1 = 10, pha cốt liệu
C2 = 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

vii

2.19 Mô hình quả cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên trong không
gian 3 chiều. (a) Quả cầu không chồng lấn ngẫu nhiên. (b) Quả
cầu chồng lấn ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.20 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3
chiều có cấu trúc quả cầu ngẫu nhiên không chồng lấn với pha
nền C1 = 5, pha cốt liệu C2 = 15

. . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.21 Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều
có cấu trúc quả cầu ngẫu nhiên chồng lấn với pha nền C1 = 5,
pha cốt liệu C2 = 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

. . . . . . . . .

48

3.1

Mô hình vật liệu tuần hoàn và phần tử đặc trưng

3.2

Mô hình vật liệu hai pha đẳng hướng ngang đối với hệ số dẫn. (a)
Cốt liệu tròn sắp xếp dạng hình vuông, (b) Cốt liệu tròn sắp xếp
dạng hình lục giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

Kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu hai pha có cốt liệu sắp
xếp dạng hình vuông trong không gian 2 chiều , CM = 1, CI = 10

3.4

53
53

Kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu hai pha có cốt liệu sắp
xếp dạng hình lục giác trong không gian 2 chiều, CM = 1, CI =
10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5

54

Mô hình vật liệu tuần hoàn trong không gian 3 chiều. (a) Cấu
trúc của vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng lập phương
đơn giản. (b)Kết quả số FFT với CM = 1, CI = 10 . . . . . . . .

3.6

55

Mô hình vật liệu tuần hoàn trong không gian 3 chiều. (a) Cấu
trúc của vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng lập phương
tâm khối. (b)Kết quả số FFT với CM = 1, CI = 10 . . . . . . . .

3.7

55

Mô hình vật liệu tuần hoàn trong không gian 3 chiều. (a) Cấu
trúc của vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng lập phương
tâm mặt. (b)Kết quả số FFT với CM = 1, CI = 10

. . . . . . . .

56

3.8

Mô hình có cấu trúc hình vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.9

Mô hình có cấu trúc hình lục giác . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.10 mô hình dạng ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.11 So sánh kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô giữa các mô hình cho trường
hợp CM = 1, CI2 = 20, CI1 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59


viii

3.12 So sánh kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô giữa các mô hình cho trường
hợp CM = 5, CI2 = 1, CI1 = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.13 So sánh kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô giữa các mô hình cho trường
hợp CM = 20, CI2 = 1, CI1 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.14 Mô hình vật liệu dạng quả cầu lồng nhau sắp xếp tuần hoàn. (a)
Lập phương đơn giản. (b) Lập phương tâm khối. (c) Lập phương
tâm mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.15 So sánh kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô giữa các mô hình cho trường
hợp CM = 1, CI2 = 5, CI1 = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.16 So sánh kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô giữa các mô hình cho trường
hợp CM = 20, CI2 = 5, CI1 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1

Đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đa tinh thể hỗn độn trong
không gian 2 chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

62

77

Đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đa tinh thể hỗn độn trong
không gian 3 chiều, với C3 =2; 3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7;
7.5; 8 và các hệ số cố định C1 = 5, C2 = 10 . . . . . . . . . . . .

4.3

78

Đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đa tinh thể hỗn độn trong
không gian 3 chiều, với C3 =2; 3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7;
7.5; 8 và các hệ số cố định C1 = 2, C2 = 15 . . . . . . . . . . . .

80


Danh sách bảng

Bảng 2.1 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu với các cấu trúc: Square,
Hexagonal, non-overlapping, overlapping (Torquato,2002-[73]).
Bảng 2.2 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu với các cấu trúc: simple cubic,
body-centered cubic, face-centered cubic (Torquato,2002-[73]).
Bảng 2.3 Thông tin hình học bậc ba ζ2 cho vật liệu dạng với các cấu trúc: random
non-overlapping, random overlapping (Torquato,2002-[73])
U
L
Bảng 4.1 Biên Hashin-Shtrikman (CHS
, CSH
) và biên đánh giá mới (C U , C L ) với

C2 = 1; 1.5; 2; 2.5; 3; 3.5; 4; 4.5; 5 , C1 = 1 và emax
, emin
tương ứng khi C U e , C Le
1
1
đạt tới giá trị Max và Min.
U
L
Bảng 4.2 Biên Hashin-Shtrikman (CHS
, CSH
) và biên đánh giá mới (C U , C L ) với

C3 = 2; 3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7; 7.5; 8 , C1 = 5, C2 = 10 và emax

, emin
1
1
tương ứng khi C U e , C Le đạt tới giá trị Max và Min.
U
L
Bảng 4.3 Biên Hashin-Shtrikman (CHS
, CSH
) và biên đánh giá mới (C U , C L ) với

C3 = 3 ; 3.5; 4; 4.5; 5; 5.5; 6; 6.5; 7; 7.5; 8 , C1 = 2, C2 = 15 và emax
, emin
tương
1
1
ứng khi C U e , C Le đạt tới giá trị Max và Min.
Bảng 4.4 Hệ số điện môi của một số loại đa tinh thể trong đó so sánh biên Hill
U
L
U
L
(CH
, CH
), Hashin-Shtrikman (CHS
, CSH
) và biên đánh giá mới (C U , C L ) trong

không gian 2 chiều.
Bảng 4.5 Hệ số dẫn nhiệt (đơn vị 10−1 W cm−1 K −1 ) của một số loại đa tinh thể
L

U
L
U
, CH
), Hashin-Shtrikman (CHS
, CSH
) và biên đánh
trong đó so sánh biên Hill (CH

giá mới (C U , C L ) trong không gian 2 chiều.
Bảng 4.6 Hệ số dẫn điện (đơn vị M Sm−1 ) của một số loại đa tinh thể trong đó
so sánh biên Hill (cUH , cLH ), Hashin-Shtrikman (cUHS , cLSH ) và biên đánh giá mới
(cU , cL ) trong không gian 2 chiều.
Bảng 4.7 Hệ số điện môi của một số loại đa tinh thể trong đó so sánh biên Hill


x
U
L
U
L
(CH
, CH
), Hashin-Shtrikman (CHS
, CSH
) và biên đánh giá mới (C U , C L ) trong

không gian 3 chiều.
Bảng 4.8 Hệ số dẫn nhiệt (đơn vị 10−1 W cm−1 K −1 ) của một số loại đa tinh thể
U

L
U
L
trong đó so sánh biên Hill (CH
, CH
), Hashin-Shtrikman (CHS
, CSH
) và biên đánh

giá mới (C U , C L ) trong không gian 3 chiều.
Bảng 4.9 Hệ số dẫn điện (đơn vị M Sm−1 ) của một số loại đa tinh thể trong đó
so sánh biên Hill (cUH , cLH ), Hashin-Shtrikman (cUHS , cLSH ) và biên đánh giá mới
(cU , cL ) trong không gian 3 chiều.


Ký hiệu và chữ viết tắt thường sử dụng

Aβγ
α

thông tin hình học bậc ba của vật liệu

Cef f

hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu

d

số chiều không gian

δij

toán tử Kronecker

∇

toán tử Gradient

∆

toán tử Laplace ( ∆ = ∇ · ∇)

E

vectơ gradient của hàm liên tục

Γ(r)

hàm Green

Iα

hàm chỉ số hình học pha α

ϕα

hàm thế điều hòa

.

trung bình thể tích trên miền V

J

trường dòng (nhiệt, điện...)

vα

tỉ lệ thể tích pha α

CV

Trung bình cộng số học Voigt (CV =

vα Cα )
α

CR

Trung bình cộng điều hòa Reuss (CR = (
α

C

U

Cận trên của hệ số dẫn vĩ mô

CL

Cận dưới của hệ số dẫn vĩ mô

HSD

hệ số dẫn

FFT

phương pháp biến đổi Fourier nhanh

New bound

đường đánh giá mới của luận án

HS

Hashin-Shtrikman

inf

cận dưới

RVE

phần tử đặc trưng

vα −1
Cα ) )

1

MỞ ĐẦU
Cơ sở khoa học và ý nghĩa của luận án
Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (vật liệu Composite) và vật liệu đa tinh thể
hỗn độn là những vật liệu được sử dụng chủ yếu trong các lĩnh vực khoa học, kỹ
thuật và đời sống hiện nay. Vì vậy việc nghiên cứu các tính chất của các loại vật
liệu này là rất cần thiết và có tính thời sự cho việc ứng dụng thực tế. Khác với vật
liệu thuần nhất vật liệu tổ hợp có cấu trúc vi mô khác nhau giữa các thành phần
trong đó và sự tương tác giữa chúng là rất phức tạp. Vật liệu tổ hợp về mặt vi mô
có cấu tạo các thành phần khác nhau nhưng về mặt vĩ mô là đồng nhất. Do có
nhiều thành phần cấu thành với đặc trưng riêng biệt cho nên tính chất vĩ mô (tính
chất hiệu quả) của vật liệu cũng sẽ thay đổi so với các tính chất thành phần trong
nó. Tính chất vĩ mô phụ thuộc vào tính chất của từng thành phần cấu thành và cấu
trúc hình học vi mô của vật liệu nên việc xác định tính chất vĩ mô là rất phức tạp
và là hướng nghiên cứu cơ bản hiện nay của khoa học vật liệu.
Hướng nghiên cứu trong luận án tập trung vào việc tìm các tính chất dẫn vĩ mô
(dẫn nhiệt, điện, thấm từ, tán xạ....) của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể
hỗn độn. Các tính chất dẫn này có vai trò đặc biệt quan trọng trong việc chế tạo
vật liệu và ứng dụng các vật liệu tổ hợp trong kỹ thuật. Ví dụ như các loại vật liệu
nền polyme cốt sợi được sử dụng rất nhiều trong các lĩnh vực hàng không, công
nghiệp ô tô, hàng hải, vi điện tử, bảng mạch điện tử, dân dụng... khi gia cố các loại
cốt sợi khác nhau như sợi thủy tinh, cacbon, kim loại... dẫn đến các tính chất cơ-lý
như tính dẫn điện, dẫn nhiệt, độ từ thẩm, tán xạ... khác nhau. Để ứng dụng được
trong thực tế thì cần xác định được các tính chất dẫn này. Trong kỹ thuật hiện nay
thường sử dụng các đánh giá của Wiener, Voigt, Reuss và Hill là lấy trung bình
cộng số học và trung bình cộng điều hòa làm giá trị hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ
hợp. Tuy nhiên khi các hệ số dẫn thành phần khác nhau nhiều thì các đánh giá này
cho kết quả xấp xỉ không chính xác. Luận án đã xây dựng được các đánh giá trên,
dưới của hệ số dẫn vĩ mô tốt hơn các đánh giá trước đây cho phép tìm ra được các

hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp chính xác hơn. Các kết quả đó cũng giúp cho
việc thiết kế các loại vật liệu tổ hợp mới theo các tính chất dẫn phù hợp với yêu
cầu thực tế đặt ra.


2

Mục tiêu của luận án
Xây dựng các đánh giá trên, dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp nhiều
thành phần và đa tinh thể hỗn độn.
Áp dụng kết quả đánh giá mới cho một số mô hình vật liệu cụ thể. Sử dụng
công cụ số dựa trên phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) như một cách tính chính
xác thay cho thực nghiệm để so sánh với đánh giá mới tìm được cho một số mô
hình vật liệu có cấu trúc tuần hoàn.

Đối tượng của luận án
Các hệ số dẫn vĩ mô (hệ số dẫn hiệu quả) như hệ số dẫn nhiệt, điện, tán xạ, từ
thẩm, điện môi, thấm nước... của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần và đa tinh
thể hỗn độn.

Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp số.
• Phương pháp giải tích (phương pháp theo đường hướng biến phân) dựa trên
nguyên lý biến phân (nguyên lý năng lượng cực tiểu) và nguyên lý biến phân
đối ngẫu (nguyên lý năng lượng bù cực tiểu). Từ đó xây dựng các biên trên,
biên dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu.
• Phương pháp số sử dụng phương pháp biến đổi Fourier nhanh để đưa ra thuật
toán lặp và sử dụng chương trình Matlab để tính cho một số mô hình vật liệu
có cấu trúc tuần hoàn trong khuôn khổ của phương pháp FFT. Kết quả FFT
được coi như một cách tính chính xác để so sánh với kết quả đánh giá theo

đường hướng biến phân.

Những đóng góp của luận án
• Xây dựng được đánh giá mới bao gồm cận trên và cận dưới hệ số dẫn vĩ mô
của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể hỗn độn
• Áp dụng các đánh giá mới cho một số mô hình vật liệu nhiều thành phần đã
biết thông tin bậc ba về hình học pha. Kết quả áp dụng cho thấy đánh giá mới
tốt hơn (gần hơn với kết quả chính xác) so với các đánh giá đã công bố trước


3

đó. Với vật liệu đa tinh thể hỗn độn áp dụng tính toán cho một số loại đa tinh
thể có trong tự nhiên cũng cho kết quả tốt hơn các đánh giá trước đó của Hill
và Hashin-Shtrikman (HS).
• Sử dụng phương pháp FFT để tính cho một số mô hình vật liệu có cấu trúc
tuần hoàn nhằm mục đích so sánh với đánh giá mới tìm được. Bên cạnh đó
cũng bước đầu xây dựng được thuật toán và chương trình số như một hướng
đi trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí bao gồm: quốc
tế (01 bài SCI), tạp chí quốc gia (02 bài trên Vietnam Journal of Mechanics) và
tuyển tập các báo cáo hội nghị trong nước (03 báo cáo hội nghị).

Cấu trúc của luận án
Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chung và bốn chương, cụ
thể:
Chương 1: Tổng quan
Trình bày về lịch sử quá trình đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu trong đó
đưa ra các kết quả nổi bật đã được công bố trước đây. Các phương pháp được sử
dụng trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu, từ đó đưa ra phương pháp tiếp cận của

luận án thông qua các nguyên lý năng lượng và phương pháp số FFT để so sánh.
Chương 2: Đánh giá biến phân cận trên, dưới hệ số dẫn của vật liệu đẳng
hướng nhiều thành phần trong không gian d chiều
Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu,
trong đó đưa ra các trường khả dĩ mở rộng hơn của trường phân cực HashinShtrikman. Đi sâu vào trình bày chi tiết để xây dựng được đánh giá trên, dưới cho
hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần. Sử dụng kết quả đánh
giá mới áp dụng cho một số mô hình vật liệu đã biết thông tin bậc ba hình học pha
và có so sánh với các đánh giá trước đây.
Chương 3: mô phỏng số FFT và so sánh với các đánh giá cho một số mô
hình vật liệu
Xây dựng thuật toán số FFT để tính toán hệ số dẫn vĩ mô cho một số mô hình
vật liệu tổ hợp trong giới hạn của phương pháp là vật liệu có cấu trúc tuần hoàn


4

nhằm so sánh với kết quả đánh giá ở chương 2.
Chương 4: Đánh giá hệ số dẫn cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn trong không
gian d chiều
Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu để
xây dựng đánh giá trên, dưới cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn. Trong đó đưa ra các
trường khả dĩ có chứa thông tin hình học pha của vật liệu, tổng quát hơn trường
khả dĩ của Hashin-Shtrikman và Pham D.C. Áp dụng vào cho một số loại đa tinh
thể có trong tự nhiên cho thấy kết quả đánh giá mới tốt hơn các đánh giá đã công
bố trước đó.
Kết luận chung
Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án và các hướng nghiên cứu
cứu tiếp theo.

5

Chương 1
TỔNG QUAN
1.1.

MỞ ĐẦU

Xác định tính chất vĩ mô (tính chất hiệu quả) của vật liệu hay đồng nhất hóa
vật liệu là một hướng nghiên cứu thuộc lĩnh vực khoa học vật liệu đã được nghiên
cứu từ khá sớm (cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20) và cho đến nay đã đạt được những
thành tựu thông qua những kết quả đạt được đóng góp cho sự phát triển của các
ngành khoa học kỹ thuật. Các loại vật liệu tổ hợp, vật liệu thông minh được áp
dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật cho thấy tầm quan trọng của ngành
khoa học này. Đồng nhất hóa vật liệu là quá trình xây dựng, tính toán để tìm các
tính chất vĩ mô của các vật liệu không đồng nhất. Các tính chất vĩ mô của vật liệu
tổ hợp (hệ số dẫn nhiệt, điện, thấm từ, đàn hồi... ) phụ thuộc vào nhiều yếu tố phức
tạp như các tính chất tương ứng của các vật liệu thành phần, cấu trúc hình học, tỷ
lệ thể tích các thành phần, liên kết biên tiếp xúc giữa các thành phần.
Tính chất cơ-lý của vật liệu có nhiều vấn đề cần nghiên cứu nhưng trong luận
án này tác giả đề cập đến một phần trong các tính chất đó là các hệ số dẫn vĩ mô
của vật liệu bao gồm nhiều dạng:
Hệ số dẫn nhiệt C là tenxơ bậc hai đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật
liệu, nói chung là khác nhau cho các hướng khác nhau đối với vật liệu dị hướng,
được biểu diễn thông qua phương trình truyền nhiệt Fourier
J(x) = −C(x) · E(x)

(1.1)

trong đó E = ∇T (x) là vectơ gradient nhiệt, T (x) là trường nhiệt độ, dòng nhiệt

J thỏa mãn phương trình cân bằng nhiệt:
∇·J=0

(1.2)

Điều kiện biên có thể là cho trước trường nhiệt độ T (x) = T 0 (x), hoặc dòng nhiệt
J(x).n(x) = q 0 (x) trên toàn phần hoặc một phần biên vật thể, n(x) là pháp tuyến
ngoài trên biên, T 0 (x) và q 0 (x) là các giá trị cho trước. Trong trường hợp vật liệu
đẳng hướng ta có C = CI, trong đó I là tenxơ bậc hai đơn vị và C là giá trị vô


6

hướng thể hiện hệ số dẫn đẳng hướng. Từ các phương trình (1.1) và (1.2) ta nhận
được phương trình Laplace :
∆T = 0.

(1.3)

Trong luận án này các mặt tiếp xúc giữa các thành phần được giả thiết là lý tưởng
nghĩa là các hàm số T (x) và J(x) · n(x) là liên tục qua mặt tiếp xúc, n(x) là pháp
tuyến tại mặt tiếp xúc.
Hệ số tán xạ β đặc trưng cho khả năng lan truyền của dòng vật chất (đổi hướng
lan truyền của dòng vật chất khi đi qua một đơn vị độ dày), có thể được xác định
thông qua định luật lan truyền Fick:
J = −β · ∇φ

(1.4)

trong đó J là dòng lan truyền thỏa mãn phương trình cân bằng (1.2), φ là mật độ

vật chất
Hệ số dẫn điện c thỏa mãn định luật Ohm
J(x) = −c(x)E(x) = −c(x) · ∇φ(x)

(1.5)

trong đó J là trường dòng điện thỏa mãn phương trình cân bằng (1.2), φ là trường
điện thế.
Hệ số thấm nước k được xác định thông qua định luật Darcy
k
q(x) = − · ∇P (x)
η

(1.6)

trong đó P là áp lực nước, η là hệ số nhớt của nước, q là trường dòng (tỉ lệ với tốc
độ thấm v và độ rỗng của môi trường vật chất ρ , q = ρv) thỏa mãn phương trình
cân bằng ∇ · q = 0
Hệ số điện môi (thấm điện)

đặc trưng cho tính chất điện của môi trường

điện môi được xác định qua phương trình:
D(x) = · E(x)

(1.7)

trong đó D là vectơ cảm ứng điện thỏa mãn phương trình cân bằng ∇ · D = 0, E
là cường độ điện trường.
Hệ số thấm từ (độ từ thẩm) µ là đại lượng đặc trưng cho tính thấm từ của từ

trường vào vật liệu, nói lên khả năng phản ứng của vật liệu dưới tác dụng của từ
trường ngoài. Thỏa mãn phương trình:
B(x) = µH(x)

(1.8)


7

trong đó B là cảm ứng từ thỏa mãn phương trình cân bằng ∇ · B = 0, H là cường
độ từ trường.
Tất cả các tính dẫn trên đều có cấu trúc toán học chung, đều dẫn tới thỏa mãn
phương trình Laplace và các kết quả đều có thể sử dụng chung với các chỉnh lý
tương ứng cho từng trường hợp cụ thể. Từ đây về sau để cho đồng nhất chúng ta
sẽ sử dụng ngôn ngữ của bài toán dẫn nhiệt. Các tính chất dẫn đó cũng có vai
trò quan trọng trong các bài toán cơ-nhiệt, cơ-điện, điện-áp,... khi có sự tham gia
tương tác của nhiều trường khác nhau.
Để đánh giá hệ số dẫn hiệu quả vĩ mô của vật liệu tổ hợp không đồng nhất chỉ
cần đánh giá trên phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element) của
vật liệu đó, phần tử đặc trưng phải đủ lớn so với các cấu trúc vi mô để đại diện cho
các tính chất của vật liệu thành phần và đồng thời phải đủ nhỏ so với kích thước
của vật thể để việc xác định các tính chất vĩ mô có ý nghĩa. Phần tử đặc trưng V
được cấu thành bởi n thành phần chiếm các không gian Vα ⊂ V và có các hệ số
dẫn (nhiệt, điện, điện môi, thấm từ...) Cα , α = 1, . . . , n. Phần tử đặc trưng V (thể
tích V được coi là bằng 1) được gắn với hệ tọa độ Đề các {x1 , x2 , x3 }. khi các
thành phần cấu thành phân bố hỗn độn hay đều theo mọi hướng trong không gian
ta có thể coi vật liệu là đẳng hướng vĩ mô, các kích thước vi mô là đủ lớn so với
kích thước phân tử để có thể được coi là môi trường liên tục.
Có nhiều phương pháp được sử dụng để xác định tính chất vĩ mô của vật liệu
như phương pháp theo đường hướng giải phương trình: giải trực tiếp các phương

trình cơ học môi trường liên tục; các phương pháp số (FEM,FFT...). Trong luận
án này tác giả đề cập đến phương pháp năng lượng hay phương pháp theo đường
hướng biến phân, đó là xác định hệ số dẫn hiệu quả thông qua việc tìm cực trị của
các phiếm hàm năng lượng trên V. Đặc điểm của bài toán tính chất vĩ mô là các
thông tin hình học pha của vật liệu rất hạn chế nên trong phần lớn các trường hợp
khó xác định chính xác một tính chất nào đó của vật liệu tổ hợp mà chỉ có thể tìm
được đánh giá cận trên và dưới đối với tính chất đó. Như vậy phương pháp theo
đường hướng biến phân xây dựng các đánh giá có ưu thế rõ ràng so với đường
hướng giải phương trình mà đòi hỏi cho trước hình học pha của vật liệu. Cách thức
chính để tìm các đánh giá là đi từ nguyên lý năng lượng cực tiểu. Nguyên lý năng
lượng cực tiểu để tìm đánh giá trên cho vật liệu đẳng hướng vĩ mô n pha
C ef f E0 · E0 = inf

E · C · Edx

E =E0
V

(1.9)


8

và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (nguyên lý biến phân đối ngẫu) để tìm đánh
giá dưới
−1

J · C−1 · Jdx

(C ef f ) J0 · J0 = inf

J

=J0

(1.10)

V

trong đó E trong (1.9) là vectơ gradient của một hàm liên tục (nhiệt, điện, điện
môi, thấm từ...) trên V, E0 là vectơ hằng, • là trung bình trên V, • =

1
V

•dx.
V

Trường dòng J trong (1.10) thỏa mãn điều kiện cân bằng:
∇·J=0
Mặt khác hệ số dẫn hiệu quả vĩ mô C ef f cũng có thể được xác định trực tiếp từ
phương trình :
J = C ef f E

(1.11)

nếu lời giải cho các trường J và E trên V với các điều kiện biên đồng nhất được
xác định.
Hệ số dẫn C(x) liên kết trường gradient E và trường dòng J
J(x) = C(x)E(x)
C(x) = Cα

khi

x ∈ Vα ,

α = 1, . . . , n

(1.12)
(1.13)

Điểm nổi bật của phương pháp theo đường hướng biến phân là trường khả dĩ
lựa chọn (E, J) chỉ cần thỏa mãn một số phương trình cơ học nhất định nào đó,
nếu như phiếm hàm (1.9) hoặc (1.10) đạt cực trị thì sẽ thỏa mãn hoàn toàn các
phương trình cơ học còn lại. Với mỗi cách chọn trường khả dĩ đều cho được kết
quả đánh giá tương ứng, vì vậy bằng cách xây dựng khéo léo các trường khả dĩ với
đầy đủ tới mức có thể các thông tin về cấu trúc hình học của vật liệu ta sẽ cho ra
đánh giá tốt nhất gần với các giá trị thực. Ngoài ra phương pháp còn cho phép tìm
kiếm các cấu trúc hình học tối ưu cho được tính chất hiệu quả đạt tới giá trị lớn
nhất (nhỏ nhất).
Với những cách tiếp cận như trên, các nhà nghiên cứu đã xây dựng những trường
phái riêng cho vấn đề đồng nhất hóa vật liệu và sau đây trong luận án nêu lên những
nét lịch sử và kết quả nổi bật của các tác giả đi trước trong việc tìm ra các đánh
giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liêu.


9

1.2.

LỊCH SỬ TIẾP CẬN ĐỒNG NHẤT HÓA VÀ QUÁ TRÌNH

ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU

Những kết quả nghiên cứu đầu tiên được công bố ở cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ
20 về tính chất các môi trường liên tục của vật liệu nhiều thành phần. Tiếp đến là
các mô hình vật liệu tổ hợp được nghiên cứu dưới nhiều dạng cấu trúc khác nhau.
Một loại vật liệu phi đối xứng dạng nền-cốt liệu được nghiên cứu từ năm
1892 bởi Maxwell [35], rồi sau đó đến Bruggeman (1935-[3]), Landau (1960[34]), Hashin-Shtrikman (1962-[23]), Beran (1971-[4]), Christensen (1979-[13]),
Pham(1997-[50]))... Bắt đầu từ vật liệu chứa tỉ lệ nhỏ các hạt cốt liệu lý tưởng hình
cầu và ellipsoids phân bố cách xa nhau trong pha nền liên tục. Pha nền liên tục có
ảnh hưởng lớn hơn đến các tính chất vĩ mô so với các pha khác từ các hạt cốt liệu
phân bố rời rạc trong pha nền, ở đây không có một biểu diễn toán học chung cho
mọi loại vật liệu dạng nền-cốt liệu (hình 1.1). Mô hình đơn giản nhất cho vật liệu
dạng nền-cốt liệu hai pha là mô hình quả cầu lồng nhau (hình 1.2 a): Mô hình quả
cầu đồng tâm với lõi là pha cốt liệu vỏ thuộc pha nền với cùng tỷ lệ thể tích cho
trước và toàn bộ không gian vật liệu được lấp kín một cách hỗn độn bởi các quả
cầu lồng nhau như vậy-đồng dạng nhưng có kích thước khác nhau tới vô cùng bé.
Trong một số các trường hợp pha cốt liệu được bọc bởi một lớp tiếp xúc trước khi
phân bố trong một pha nền liên tục, vật liệu như vậy có thể xấp xỉ theo mô hình
quả cầu lồng nhau ba pha (hình 1.2 b). Trong thực tế cũng thường gặp các loại vật
liệu tổ hợp dạng nền được gia cố cốt hạt hoặc cốt sợi (fiber-reinforced composites)
để làm tăng hoặc giảm tính chất nào đó của pha nền. Ví dụ như vật liệu nền nhôm
khi đưa thêm vào các quả cầu gốm rỗng ở hình 1.1 có thể làm giảm khối lương,
tăng độ bền, giảm tính dẫn nhiệt, dẫn điện...Các vật liệu cốt sợi khi cần xác định
hệ số dẫn vĩ mô theo phương ngang thì mặt cắt ngang có thể được lý tưởng hóa
bằng một trong các mô hình cốt liệu tròn sắp xếp dạng hình vuông, lục giác hoặc
ngẫu nhiên (hình 1.3) [72].


10

Hình 1.1: Vật liệu composite nền nhôm (Al), cốt là những quả cầu gốm (Ceramic) rỗng

(a)

(b)

Hình 1.2: Mô hình quả cầu lồng nhau (a) Quả cầu lồng nhau 2 pha, (b) Quả cầu lồng nhau 3 pha

Hình 1.3: Vật liệu composite dạng cốt sợi

Miller (1969-[39]) đã xem xét một lớp đặc biệt các vật liệu tổ hợp đẳng hướnggọi là vật liệu có cấu trúc đối xứng (symmetric cell material) với các ràng buộc bổ


11

sung lên hình học pha của vật liệu: các pha có cấu trúc hình học vi mô như nhau
mặc dù tỉ lệ thể tích khác nhau (hình 1.4). Có thể gọi vật liệu này là loại liệu tổ
hợp ngẫu nhiên hoàn toàn Pham D.C (1994-[48],1996-[49]) là sự kết hợp của các
vật liệu thành phần phân bố ngẫu nhiên (hỗn độn) trong không gian với hình học
pha tựa như nhau (loại vật liệu này còn được gọi là vật liệu đối xứng theo Miller
[39] hay vật liệu có thể đổi chỗ cho nhau Bruno [6]).

Hình 1.4: Vật liệu tổ hợp ngẫu nhiên hoàn toàn 1,2,3 pha

Một lớp vật liệu phức tạp hơn đó là vật liệu đa tinh thể với các thành phần vật
liệu là các đơn tinh thể dị hướng cũng đã được đề cập đến trong nhiều nghiên
cứu Hill (1952-[27]), Landolt (1982-[32]), Schulgasser (1983-[71]), Avellaneda
(1988-[1]), Bruno (1991-[6]), Helsing (1994-[29])... Xét ở mức độ kích thước tinh
thể phần lớn các vật liệu có trong thực tế là các đa tinh thể được cấu tạo bởi các
đơn tinh thể dị hướng (hình 1.5). Do các đơn tinh thể phân bố hỗn độn ngẫu nhiên

theo mọi hướng nên đa tinh thể có thể có được tính chất đẳng hướng vĩ mô. Các
đơn tinh thể thường có kích thước mỗi chiều tới hàng chục, trăm ngàn nguyên tử
hoặc hơn nên có thể cũng được xem là môi trường liên tục với các tính chất dị
hướng trong nghiên cứu tính chất hiệu quả của đa tinh thể. Tính chất của đa tinh
thể phụ thuộc vào tính chất của các đơn tinh thể cơ sở và hình học vi mô, do hình
học vi mô ngẫu nhiên nên không thể có được tính chất xác định của đa tinh thể mà
chỉ có thể có được đánh giá trong một giới hạn nhất định.
Vào năm 1892, Maxwell [35] và Rayleigh [67] đã tìm ra được lời giải tiệm cận
cho hệ số dẫn của hỗn hợp dạng nền cốt liệu với pha nền là chủ đạo (vM
tỷ lệ nhỏ các hạt cốt liệu cầu (vI

1) và

1) sắp xếp theo trật tự lập phương tuần hoàn.

2CM + CI + 2vI (CI − CM )
(vI
1)
(1.14)
2CM + CI − vI (CI − CM )
Wiener (1912-[77]), Voigt (1928- [75]), Reuss (1929-[68]) đã đưa ra các công
C ef f = CM ·


12

Hình 1.5: Vật liệu đa tinh thể hỗn độn

thức trung bình cộng số học (Voigt) và trung bình công điều hòa (Reuss) để tính
xấp xỉ các tính chất vĩ mô của các loại vật liệu tổ hợp n thành phần và đa tinh thể

hỗn độn với hình học pha và tỷ lệ thể tích bất kỳ ở các pha. Đối với hệ số dẫn của
vật liệu đẳng hướng (tổng theo α chạy từ 1 tới n):
C ef f

vα C α = C V

(1.15)

α

hoặc:
C ef f
α

vα
Cα

−1

= CR

(1.16)

Cho vật liệu đa tinh thể ta có các trung bình tương ứng Hill (1952-[27])
Cef f = C = CV I hoặc Cef f = C−1

−1

= CR I

(1.17)

trong đó Cef f = C ef f I, I là ma trận đơn vị.
CV =

1
d

d

Ci ,
i=1

CR =

1
d

−1

d

Ci−1
i=1

với d là số chiều của không gian, Ci (i = 1, 2, ..., d) là các hệ số dẫn chính của đơn
tinh thể cơ sở.
Các biểu thức trung bình cộng số học (1.15) và trung bình cộng điều hòa (1.16)
có các giá trị khác nhau, các kết quả này chỉ gần nhau khi tính chất của các thành
phần gần nhau. Với cách xây dựng đánh giá theo đường lối biến phân có thể chỉ ra

rằng (1.15) và (1.16) chính là các đánh giá trên và đánh giá dưới đối với tính chất