Bt lý thuyết xác suất chương 1(full)

Bài 1.1
Gọi A = “ Xuất hiện mặt sấp”
P(A) =
Bài 1.2
Không gian mẫu: |Ω|=6*6=36
a) Gọi A = “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”={(1,5);(2,4);(3,3);(4,2);(5,1)}
P(A)=
b)
Gọi B = “ Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc đỏ lớn hơn con xúc xắc xanh”

c)
Gọi C = “Tích số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc là 1 số lẻ” = {(1,1);(1,3);(1,5);(3,5);
(3,3);(3,1);(5,3);(5,1);(5,5)}
P ( C ) = 9/36
Bài 1.3
Không gian mẫu: Ω = 3! = 6
a,Xác suất để cả 3 người đều bị trả sai mũ là:
P(A) =
b, Xác suất để chỉ có một người được trả đúng mũ là:
P(B)
c, Xác suất để chỉ có hai người được trả đúng mũ là:
P(C)
d, Xác suất để cả ba người được trả đúng mũ là:
P(D) =

Bài 1.4.


a.Gọi A là biến cố“Biết ít nhất một kĩ năng”
A=++ =
b.Gọi B là biến cố“Chỉ biết một kĩ năng”

B=
c.Gọi C là biến cố“chỉ biết 2 kĩ năng”
C= =0.5
d.Gọi D là biến cố“Chỉ biết tiếng Anh”
D= =0.2
Bài 1.5:
a) Gọi A = “Cả ba chi tiết lấy ra đều đạt chuẩn”
P(A) = =
b) Gọi B = “Chỉ có hai chi tiết lấy ra đạt chuẩn”
P(B) = =

Bài 1.6.
Không gian mẫu Ω = (C110)5
a. Gọi A = “ Người đó mua được vé có 5 chữ số khác nhau”.
C110 x C19 x C18 x C17 x C16 = 30240
Vậy P(A) = 0.3024
b. Gọi B = “ Người đó mua được vé có 5 chữ số đều là lẻ”.
(C15)5= 3125
Vậy P(B) = 0.03125

Bài 1.7
Gọi là không gian mẫu của bài toán trên. Số cách chọn ngẫu nhiên cùng một lúc lấy ra 2 quả
cầu trong chiếc hộp có n quả cầu là
n(Ω) = =
Gọi A là biến cố lấy được 1 quả cầu có số thứ tự nhỏ hơn k và quả còn lại có số thứ tự nhỏ hơn
k. Khi đó công việc A xem như chia làm 2 bước:


•
•

Bước 1: Chọn 1 quả cầu có số thứ tự nhỏ hơn k. Số cách chọn là .
Bước 2: Chọn 1 quả cầu có số thứ tự lớn hơn k. Số cách chọn là .

Suy ra số cách chọn 1 quả cầu có số thứ tự nhỏ hơn k và quả còn lại có số thứ tự nhỏ hơn k là
n(A) = . = k(n - k).
Khi đó xác suất của biến cố A là
P(A) = =
Bài 1.8
Không gian mẫu: |Ω|=3653
a) Gọi A = “3 người được chọn có ngày sinh khác nhau”
P(A)= =
b) Gọi B = “ 3 người được chọn có ngày sinh giống nhau”
P(B)= =
Bài 1.9
Vì ba tháng cuối năm có 31 + 30 + 31 = 92 ngày , ta gọi thứ tự ngày 1,…. Ngày 92
Không gian mẫu là
Gọi A là biến cố không có ngày nào xảy ra quá một vụ tai nạn lao động
Vậy có nghĩa là sẽ có 6 ngày mà mỗi ngày có 1 vụ tai nạn, số kết quả thuận lợi của A là 92A6
P(A)

Bài 1.10.
a.Gọi A là biến cố“Chị A đánh vỡ 3 chén và chị B đánh vỡ 1 chén”
P(A)=(4C3)/34=
b.Gọi B là biến cố“Một trong 3 người đánh vỡ 3 chén”
P(B)= =
c.Gọi C là biến cố“Một trong 3 người đánh vỡ cả 4 chén”
P(C)= =
Bài 1.11:

a) Gọi A = “Chỉ có một người bắn trúng”
P(A) = 0,8.0,1 + 0,2.0,9 = 0,26
b) Gọi B = “Có người bắn trúng mục tiêu”
= “Không ai bắn trúng mục tiêu”
P(B) = 1- P() = 1 – 0,2.0,1 = 0,98
c) Gọi C = “Không ai bắn trúng mục tiêu”
 C=
P(C) = 0,2.0,1 = 0,02

Bài 1.12.
a. Không gian mẫu Ω = C110 x C110
Gọi A = “ Lấy được 2 phế phẩm trong trường hợp lấy hoàn lại”
C1 2 x C 1 2 = 4
Vậy P(A) = 0.04
b. Không gian mẫu Ω = C110 x C19
Gọi B = “ Lấy được 2 phế phẩm trong trường hợp lấy hoàn lại”
C1 2 x 1 = 2
Vậy P(B) = 0.0222

Bài 1.13
Gọi A, B, C, D lần lượt là các biến cố lần thứ 1, 2, 3, 4 người thủ kho mở được kho
, , lần lượt là các lần không mở được khóa.
Xác suất người thủ kho không mở được cửa lần thứ 1 là P() =
Xác suất người thủ kho không mở được cửa lần thứ 2 là P() =
Xác suất người thủ kho không mở được cửa lần thứ 3 là P() =
Xác suát người thủ kho mở được cửa lần thứ 4 là P(D) =
Vậy xác suất để người thủ kho mở được kho ở lần thứ 4 là P = ... =
Bài 1.14
a) A = “ có 2 sinh viên làm được bài”

P(A) = ABC(bù) +AB(bù)C+A(bù)BC=0.452
b) B = “Sinh viên A không làm được bài nếu có 2 sinh viên làm được bài”
P(B)=== = 21/113


Bài 1.15
Không gian mẫu :
Gọi A là biến cố sao cho mỗi phần chia đều có một hộp kém chất lượng.
Chia mỗi phần đều có một hộp kém chất lượng thì có 3! Cách chia
Còn lại, đem 2 hộp vào phần 1, đem 2 hộp tiếp vào phần 2, còn lại vào phần 2 thì có 6C2*4C2*1
cách sắp xếp.
 N(A) =3!* 6C2*4C2*1=540
Vậy P(A)=

Bài 1.16.
ῼ=15C2×13C2=8190
Gọi A là biến cố“Khách hàng thứ 2 mua có một sản phẩm loại II”
TH1: Khách hàng thứ nhất mua 2 sản phẩm loại I
A1=10C2×8C1×5C1=1800
TH2: Khách hàng thứ nhất mua một sản phẩm loại I và một sản phẩm loại II
A2=10C1×5C1×9C1×4C1=1800
TH3: Khách hàng thứ nhất mua 2 sản phẩm loại II
A3=5C2×10C1×3C1=300
Vậy P(A)= = =
Bài 1.17:
a) Gọi A = “Bi lấy ra lần hai là bi đỏ”
TH1 : Gọi A1 = “Lần đầu lấy bi đỏ, lần sau lấy bi đỏ”
P(A1) = . = 0,06
TH2 : Gọi A2 = “Lần đầu lấy bi xanh, lần sau lấy bi đỏ”
P(A2) = . = 0,28

 P(A) = P(A1) + P(A2) = 0,06 + 0,28 = 0,34
b) Gọi B = “Hai bi lấy ra cùng màu”


TH1 : Gọi B1 = “Cả hai lần đều lấy bi xanh”
P(B1) = . = 0,42
TH2 : Gọi A2 = “Cả hai lần đều lấy bi đỏ”
P(B2) = . = 0,06
 P(B1/B) = = = =

Bài 18.
Với i ∈ {1, 2, 3}, đặt Ai : "người thứ i rút được lá thăm có đánh dấu", ta có:
P(A1) =
P (A2) = x + x 1 =
P (A3) =
Vậy cách làm trên là công bằng cho cả 3 người mua hang
Bài 1.19
Số trường hợp xảy ra khi lấy ngẫu nhiên mỗi lô hàng 1 sản phẩm:
n(Ω) = . = 10000
a. Một chính phẩm
Gọi , là biến cố lấy được chính phẩm của lô thứ nhất, lô thứ hai.
Gọi A là biến cố lấy được một chính phẩm
Ta có:
n(A) = . + . = 85.28 + 15.72 = 3460
Vậy xác suất lấy được 1 chính phẩm là
P(A) = = = 0,346
b. Ít nhất 1 chính phẩm
Gọi B là biến cố lấy được ít nhất một chính phẩm
Ta có:
n(B) = . + . + . = 85.28 + 15.72 + 85.72 = 9580

Vậy xác suất lấy ít nhất 1 chính phẩm là


P(B) = = = 0,958

Bài 1.20
Không gian mẫu: |Ω|= 62 =36
Giả sử tung 2 con xúc xắc k lần thì ít nhất có 1 lần xuất hiện 2 mặt lục
A biến cố “Ít nhất 1 lần xuất hiện 2 mặt lục”
A(bù) là biến cố “ Không xuất hiện 2 mặt lục lần nào”
P(A(bù))=()k
Mà P(A)+P(A(bù))=1
 P(A) = 1 – P(A(bù)) = 1-()k
Mặt khác: P(A)>0.5
 1-()k >0.5 k > log0.5(35/36) k>24.6
Vậy phải gieo ít nhất 25 lần.
Bài 1.21
Gọi A là biến cố lấy ra 3 sản phẩm trong 100 sản phẩm cả 3 sản phẩm đều là phế phẩm
TH1: Mua có hoàn lại
 Độc lập:
P(A) = 1 TH2: Mua không hoàn lại
 Không độc lập
P(A) = 1 -

Bài 1.22.
Xác suất để ngừng bắn lần thứ tư là:
P=(1-0.4)3×0.4=0.0864


1.25

a. Theo yêu cầu bài toán thì việc lấy bi lần 1 và 2 không lấy được bi đỏ, lần 3 lấy được bi đỏ
Vậy xác suất lấy được bi đỏ ở lần 3 là
= .. = 0,175
Bài 1.23:
a) Gọi A = “Hai lần đầu lấy chính phẩm, lần ba lấy phế phẩm”
P(A) = 0,95.0,95.0,05 = 0,045125
b) Gọi n là số sản phẩm lấy ra.
N = “Chọn được ít nhất một phế phẩm”


= “Không chọn được phế phẩm nào”

P(N) 0,9  P( 1 – 0,9 = 0,1
Mà P( = 0,1
 n
 n 45
Vậy phải chọn tối thiểu là 45 sản phẩm.

Bài 24.
a. Trong 3 sản phẩm kiểm tra có 2 phế phẩm:
P3(2) = C23 x (0.05)2 x 0.95 = 0.007125
b. Trong 3 sản phẩm kiểm tra có ít nhất 1 phế phẩm:
1 – C33 x (0.95)3 = 0.142625

Bài 1.26
Việc trả lời mỗi câu hỏi của thí sinh đó là 1 phép thử độc lập nên ta có 10 phép thử độc lập,
mỗi phép thử có 5 cách trả lời nên xác suất trả lời chính xác cho mỗi phép thử là 0.2
Theo công thức Bernoulli ta có:

P8 (10) =C810 *0.28 *0.82 =0.0000078
Vậy xác suất thí sinh đó đỗ là 0.0000078
Bài 1.27
Gọi A là sự kiện quả cầu lấy ra sau cùng là quả cầu màu vàng
P(A) =
Vậy P(A) =

Bài 1.28.
Xác suất cần tìm là:
P= =
Bài 1.29:
Theo bài: Tỉ lệ sản phẩm tốt trên tổng số sản phẩm bốc ra là:
Mà phép thử trong bài là bốc ngẫu nhiên 3 sản phẩm, hoàn toàn không có sự cố ý => tỉ
lệ sản phẩm tốt trên toàn bộ sản phẩm cũng là
 Khả năng còn lại 2 sản phẩm tốt trong hộp là nhiều nhất.

Bài 1.30.
a. TH: Lấy được phế phẩm từ loại 1
Xác suất lấy được từ loại 1:
Xác suất lấy được phế phẩm loại 1: 23/210 =
TH: Lấy được phế phẩm từ loại 2
Xác suất lấy được từ loại 2:
Xác suất lấy được phế phẩm loại 2: 24/212 =
 Xác suất lấy được phế phẩm: x + x =
 Xác suất lấy được chính phẩm: P(A) = 1 - =
b. Tương tự câu a:
A2 = “ Chọn được chính phẩm loại 2” : 1 - x
 Xác suất : P(A2/A) =

Bài 1.31
Theo yêu cầu đề bài thì trở thành chọn từ hộp 3 bi trong đó có 2 bi xanh và 1 bi trắng
= = 0,125
Xác suất 2 bi còn lại đều là bi xanh là
P=. =
Bài 1.33
Gọi Ai “ Chọn nơi bán hang I “ / i={1;2;3}
B là sự kiện chỉ có 2 ngày bán được hàng
a,P(B) =1/3*5C2* + ) = 0.2864
b, P(A1|B) = =

Bài 1.34.
Gọi A là biến cố“Hộp sản phẩm lấy ra có phế phẩm”
Gọi Hi là biến cố“Hộp sản phẩm lấy ra của dây chuyền i”
Vì năng suất của dây chuyền một gấp đôi dây chuyền hai nên ta có:
P(H1)=; P(H2)=
P(A)=P(H1)×P(A1|H1)+P(H2)×P(A2|H2)=×4%+×3%=
Bài 1.35:
a) Gọi A = “Xạ thủ được chọn bắn trúng đích”
P(A) = . 0,9 + . 0,8 =
b) Gọi B = “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng đích”
P(B) = . 0,9.0,9 + .0,8.0,8 + .0,8.0,9 =

Bài 1.36.
a. Ai = “ Bắn trúng phát thứ i
Bi = “ Bắn trúng i phát
P(B1) = 0.4 x 0.5 x 0.3 x 0.2 + 0.6 x 0.5 x 0.3 x 0.2 + 0.6 x 0.5 x 0.7 x 0.2 = 0.072
Tương tự:

P(B2) = 0.246 ; P(B3) = 0.14
 P(B) = P(B1) + P(B2) + P(B3) = 0.458

Bài 1.38
Gọi Ai là biến cố “Bộ phận bị hỏng thứ i”
B là biến cố “ Hỏng 2 trong 3 bộ phận”
P( B) =0.2*0.4*0.7+0.2*0.3*0.6+0.8*0.4*0.3=0.188
Xác suất để bộ phận 1 trong 2 hỏng là:
P( A1 A2) = =0.298
Bài 1.39
Gọi Ai (i=1,2,3) là các biến cố địa điểm thứ i được chọn.
Bước 2: là câu cá tại địa điểm đã chọn. B = {Câu được 1 con cá trong 3 lần thả câu ở địa điểm
được chọn}.

Như vậy: P(B/A1) =3C1*
(câu 3 lần ở địa điểm thứ nhất, 1 lần được, 2 lần không thì đây là mô hình của công thức
Bernulli),
P(B/A2) = 3C1*
P(B/A3) = 3C1*
Từ đó ta có: P(B) = 0,191
Sau đó, áp dụng công thức Bayes ta tính được P(A1/B)= =0.5026
chính là xác suất để cá câu được ở chỗ thứ nhất

Bài 1.40.
ῼ=40C10
a.Gọi A là biến cố“Chọn được 3 SV nữ”
A=22C3×18C7
Vậy P(A)= 0.06

b.Gọi B là biến cố“Chọn được ít nhất 1 SV nữ”
Biến cố đối của B“Không có SV nữ nào”
B(đối)=18C10
P(B)= 0.99
c.Gọi C là biến cố“Chọn không quá một SV nữ”
P(C)= + 3
Bài 1.41:
a) Gọi A = “Hai trong ba bi lấy ra là bi đỏ”
TH1 : Gọi A1 = “Mỗi lô lấy được một bi đỏ”.
P(A1) = . =
TH2 : Gọi A2 = “Cả hai bi đỏ đều được lấy từ lô hai”.
P(A2) = . =
Vậy P(A) = P(A1) + P(A2) =
b) Gọi B = “Lấy được ít nhất một bi xanh”
= “Không lấy được bi xanh nào”
P(B) = 1 - P() = 1 - . =

Bài 1.42.
Không gian mẫu Ω = C214 x C210 = 4095
a. Lấy được 3 sản phẩm tốt:
C210 x 8 x 2 + C28 x 4 x 10 = 1840
Vậy P = 0.449
b. Lấy được 1 phế phẩm và toàn sản phẩm tốt:
C210 x 8 x 2 + C28 x 4 x 10 + C210 x C28 = 3100
Vậy lấy được ít nhất 2 phế phẩm :
1 - = 0.243

Bài 1.43
Gọi A là biến cố “chỉ có người thứ nhất bắn trúng”
n(A) = 0,5.0,2 = 0,1

Vì chỉ có người thứ nhất bắn trúng nên sẽ không xảy ra trường hợp ra trường hợp cả hai người
bắn trật và cả hai người bắn trúng
Xác suất chỉ có người thứ nhất bắn trúng là
P(A) = = 0,2
Bài 1.44
Không gian mẫu : |Ω|=C210 *C28 =1260
a) Gọi A là biến cố “ Người thứ 2 lấy được 1 bi trắng”
P(A)==5/9
b) Gọi B là biến cố “ Người thứ 2 lấy được 1 bi trắng và người thứ nhất cũng lấy được 1 bi
trắng”
P( B)==20/63

Bài 1.45
Gọi A,B,C là sự kiện mua được nón từ nguồn A, B, C
H là sự kiện nón đã được kiểm định
P(H) = P(A)*P(H|A) + P(B)*P(H|B) + P(C)*P(H|C) =0.2*0.9+0.45*0.6+0.35*0.7 = 0.695
H’

“Nón chưa qua kiểm định”

P(H’) = 1 – 0.695 =0.305
P(A|H’) =
P(B|H’) =
P(C|H’) = 0.34
Vậy khả năng nón chưa qua kiểm định xuất hiện ở nguồn B là nhiều nhất

Bài 1.46.
a.ῼ=×8C3++×10C3=132

Gọi A là biến cố“Lấy được 2 sản phẩm tốt”
A==67
Vậy P(A)= =


b.Gọi B là biến cố“2 sản phẩm tốt lấy ra là của hộp thứ hai”
B=×3C1×9C2=36
Vậy P(B)= =
c.Gọi C là biến cố“Phế phẩm lấy được là của hộp thứ ba”
C= ×3C1×7C2=21
Vậy P(C)= =
Bài 1.47:
a) Gọi A = “Công nhân được chọn là thợ giỏi”
P(A) = .0,22 + . 0,2 + .0,25 + .0,3 = 0,2344
b) Gọi Bi = “Thợ giỏi được chọn thuộc nhóm thứ i”
P(B1|A) = = 30,03%
P(B2|A) = = 23,89%
P(B3|A) = = 25,60%
P(B4|A) = = 20,48%
Vậy khả năng công nhân đó thuộc nhóm thứ nhất là nhiều nhất.

Bài 1.48.
a. Xác suất bạch cầu trong máu tăng:
P = 0.35 x 0.42 x 0.28 x 0.36 + 0.12 x 0.1 + 0.25 x 0.6 =0.4098
b. Xác suất bạch cầu trong máu không tăng:
P = 1 – 0.4098 = 0.5902
Xác suất người này bị bệnh sốt rét:
P = = 0.3

Bài 1.49

a. 7 sản phẩm tốt
Vậy xác suất lấy được 7 sản phẩm tốt P(A) là
P(A) = ..

≈

0,3355

b. Ít nhất 1 sản phẩm tốt
Ta có xác suất không có sản phẩm tốt P() là


P() = = 2,56.
Vậy xác suất ít nhất 1 sản phẩm tốt là
P(B) = 1 – P() = 0,99999744
c. Từ 4 đến 6 sản phẩm tốt
Ta có xác suất từ 4 đến 6 sản phẩm tốt P(C) là
P(C) = .. + .. + ..

≈

0,4863

d. Ít nhất có 2 sản phẩm tốt
Xác suất có sản phẩm tốt là
= .. = 8,192.
Ta có xác suất có ít nhất 2 sản phẩm tốt P(D) là
P(D) = 1 – P() - = 0,99991552
Bài 1.50
Tỷ lệ người bị bệnh là: 0.1+0.2-0.8=0.22=22%

Theo công thức Bernoulli:
Gọi A là biến cố “có không quá 1 người trong số họ bị bệnh”
P(A)=C13*0.223*0.782=0.019

Bài 1.52.
a.Gọi A là biến cố“Sản phẩm là phế phẩm”
P(A)=P(0)+P(1)+P(2)
Xác suất lấy được không quá 2 phế phẩm là:
k×0.75 ̂ k-1=0.756
b.Gọi n là số sản phẩm tối thiểu cần lấy ra
Gọi Y là biến cố“Sản phẩm tiêu chuẩn trong n sản phẩm”
Theo đề ta có P(Y) hay biến cố đối của Y
Gọi B là biến cố “Sản phẩm đạt tiêu chuẩn”


Ta có 0.25n
Vậy cần lấy tối thiểu 3 sản phẩm.
Bài 1.53:

a)
Gọi A = “Người được chọn không bị bệnh nào”
= “Người được chọn có bị bệnh”
P(A) = 1 - P() = 1 – (0,28 + 0,1 + 0,17) = 0,45
b) Gọi B = “Trong 7 người được chọn có ít nhất hai người bị bệnh”
= “Trong 7 người được chọn có 0 hoặc 1 người bị bệnh”
P(B) = 1 - P() = 1 - - .. = 0,879
c) Gọi C = “Có ít nhất 1 người bị bệnh trong số n người được chọn”
= “Trong n người được chọn không có ai bị bệnh”
P(C) 0,96  P( 1 – 0,96 = 0,04
Mà P( = 0,04

 n
 n 4,03
Vậy phải chọn tối thiểu là 5 người.


Bài 1.54.
a. Xác suất sinh viên này học khoa B:
P = = 0.25
b. Xác suất được chọn từ 2 đén 4 sinh viên giỏi:
P8(2 -4, giỏi) =k8 x (0.22)k x (0.78)8-k = 0.538
c. Xác suất chọn được từ 25 đến 40 sv giỏi:
P8(25 -40, giỏi) =k160 x (0.22)k x (0.78)160-k = 0.826.

Bài 1.55
a. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô 2 sản phẩm nên để lấy được 3 sản phẩm tốt thì có 2 trường hợp:
Trường hợp 1: 2 sản phẩm lấy được từ lô 1 là tốt và ở lô 2 lấy được 1 sản phẩm tốt và 1 sản
phẩm không tốt.
Trường hợp 2: ở lô 1 lấy được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm không tốt và 2 sản phẩm lấy
được từ lô 2 là tốt.
Vì các biến cố lấy sản phẩm trong lô thứ nhất và lô thứ 2 là các biến cố độc lập nên xác xuất
lấy được 3 sản phẩm tốt là
P=.=
b. Chỉ lấy được 2 sản phẩm tốt mà đó là sản phẩm của lô thứ 2 nên lô thứ 1 lấy được 2 sản
phẩm không tốt. Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ lô thứ 2 là:
Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt:
= =
2 sản phẩm tốt từ lô hai:
= =
Vậy xác suất:
P= =