bai3cacppxsthuonggap 130303223102 phpapp02

Bài 3
Các phân phối xác suất thường gặp


Phân phối nhị thức


Phép thử Bernoulli
Xét một thí nghiệm chỉ có 2 khả năng xảy ra:
“thành công” hoặc “thất bại”.
Thành công với xác suất p.
Thất bại với xác suất 1-p.
Thí nghiệm như vậy gọi là phép thử Bernoulli,
ký hiệu B(1,p).


Phân phối nhị thức


Phép thử Bernoulli – ví dụ.
Tung đồng xu: hình / số.
Mua vé số: trúng / không trúng.
Trả lời ngẫu nhiên 1 câu trắc nghiệm: đúng / sai.
Kiểm tra ngẫu nhiên hàng hóa: tốt / xấu.


Phân phối nhị thức


Phân phối nhị thức
Thực hiện phép thử Bernoulli B(1,p) n lần độc

lập.
Đặt
X = “Số lần thành công trong n lần thí nghiệm”
X = 0, 1, 2, …, n.
X có phân phối nhị thức với tham số p.
Ký hiệu: X ~ B(n,p).


Phân phối nhị thức


Công thức
Xét X ~ B(n,p)

P ( X = k ) = C p (1 − p )
k
n

k = 0,1, …, n

k

n−k


Phân phối nhị thức


Ví dụ
Cho X ~ B(5,0.1)

Tính P(X=1)
P(X = 1) = Cnk P k (1 − P)n − k
5!
=
(0.1)1 (1 − 0.1)5−1
1!(5 − 1)!
= (5)(0.1)(0.9)4
= .32805


Phân phối nhị thức
Hình dạng của phân phối nhị thức sẽ phụ
thuộc vào p và n.
P(x) n = 5 P = 0.1
Mean
.6




n = 5 và P = 0.1

.4
.2
0

x
0



n = 5 và P = 0.5

.6
.4
.2
0

P(x)

1

2

3

4

5

n = 5 P = 0.5
x

0

1

2

3

4

5


Phân phối nhị thức
Nếu X ~ B(n,p):
1) Trung bình

µ = EX = np

2) Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn

σ = npq
2

σ = npq
- n: số lần thực hiện thí nghiệm
- p: xác suất thành công ở 1 lần thí nghiệm
- q = 1- p.


Phân phối nhị thức
Ví dụ

μ = nP = (5)(0.1) = 0.5
Mean
σ = nP(1- P) = (5)(0.1)(1− 0.1)
= 0.6708

μ = nP = (5)(0.5) = 2.5
σ = nP(1- P) = (5)(0.5)(1− 0.5)
= 1.118

.6
.4
.2
0

P(x)

x
0

.6
.4
.2
0

n = 5 P = 0.1

P(x)

1

2

3

4

5

n = 5 P = 0.5
x

0

1

2

3

4

5


Phân phối Poisson
Số các biến cố xảy ra trong một khoảng
thời gian cho trước.
 Số các biến cố trung bình trên một đơn
vị là λ.
 Ví dụ
Số người xếp hàng tính tiền ở siêu thị,
số cuộc điện thoại đến bưu điện trong 1
ngày, số máy tính hư trong 1 ngày ở 1
khu vực, …




Phân phối Poisson


Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 0, 1, 2,
… gọi là có phân phối Poisson với tham
số λ nếu
−λ

e λ
P( X = k ) =
k!
k = 0, 1, 2, …

k


Phân phối Poisson


Trung bình

μ = E(X) = λ


Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn

σ = E[( X − µ ) ] = λ

2

2

σ= λ
Với λ = số biến cố xảy ra trung bình trên 1 đơn vị


Phân phối Poisson


Ví dụ
Trong một nhà máy dệt, biết số ống sợi
bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson
với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1
giờ có
a. Đúng 3 ống sợi bị đứt.
b. Có nhiều hơn 1 ống sợi bị đứt.


Bảng tra phân phối Poisson
λ
X

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

0
1
2
3
4
5
6
7

0.9048
0.0905
0.0045
0.0002
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000

0.8187
0.1637
0.0164
0.0011
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000

0.7408
0.2222
0.0333
0.0033
0.0003
0.0000
0.0000
0.0000

0.6703
0.2681
0.0536
0.0072
0.0007
0.0001
0.0000
0.0000

0.6065
0.3033
0.0758

0.0126
0.0016
0.0002
0.0000
0.0000

0.5488
0.3293
0.0988
0.0198
0.0030
0.0004
0.0000
0.0000

0.4966
0.3476
0.1217
0.0284
0.0050
0.0007
0.0001
0.0000

0.4493
0.3595
0.1438
0.0383
0.0077
0.0012

0.0002
0.0000

0.4066
0.3659
0.1647
0.0494
0.0111
0.0020
0.0003
0.0000

Ví dụ: Tìm P(X = 2) nếu λ = .50

e − λ λ k e−0.50 (0.50)2
P ( X = 2) =
=
= .0758
k!
2!


Phân phối xác suất Poisson
λ = .50
X

λ=
0.50

0

1
2
3
4
5
6
7

0.6065
0.3033
0.0758
0.0126
0.0016
0.0002
0.0000
0.0000

P(X = 2) = .0758


Phân phối Poisson


Hình dạng của phân phối Poisson phụ
thuộc vào tham số λ :
λ =0.50

λ =3.00

Định lý Poisson


Cho X ~ B(n,p)

lim C p q

n →∞
p→0
np →λ



k
n

k

n−k

k −λ

λ e
=
k!

Dùng phân phối Poisson để xấp xỉ phân
phối nhị thức khi n >> p.

Mô hình Poisson
Mô hình Poisson :
+ Xét n phép thử Bernoulli.
+ Trong đó xác suất thành công là p.
+ Các phép thử độc lập với nhau.
(Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết
quả của các phép thử kia)
+ X – số lần xuất hiện thành công trong n phép
thử.
+ Trong đó n lớn ( n ≥ 100) và p nhỏ (p ≤ 0,01
và np ≤ 20).
Khi đó X ~ P(λ).


Mô hình Poisson


Ví dụ
Trong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ
em ở một khu vực. Biết xác suất 1 trẻ bị
phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001.
Tính xác suất trong 2000 trẻ có không
quá 1 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.


Phân phối đều



Tất cả các khả năng có thể xảy ra của biến ngẫu

nhiên có phân phối đều có xác suất bằng nhau.
X có phân phối đều trong khoảng [a,b], ký hiệu X ~
U([a,b]).
f(x)

xmin

xmax x

Tổng diện tích miền
giới hạn bởi phân phối
đều là 1.0


Phân phối đều


Hàm mật độ xác suất của phân phối đều trong đoạn
[a,b]

f(x) =

1
b−a
0

neáu a ≤ x ≤ b
nôi khaùc

với

f(x) = giá trị hàm mật độ tại điểm x
a = giá trị nhỏ nhất của x
b = giá trị lớn nhất của x


Phân phối đều


Kỳ vọng

a+b
µ = EX =
2


Phương sai
(b-a)
σ = VarX =
12
2

2


Phân phối đều
Ví dụ: Phân phối đều trên khoảng 2 ≤ x ≤ 6
1
f(x) = 6 - 2 = .25 for 2 ≤ x ≤ 6
a+b 2+6
EX =

=
=4
2
2

f(x)
.25

( b − a)
VarX =
2

6

x

12

2

( 6 − 2)
=
12

2

=

16
= 1.333

12


Phân phối mũ


Biến ngẫu nhiên T (t>0) gọi là có phân phối mũ nếu có hàm mật
độ xác suất

f(t) = λ e− λ t vôùi t > 0
Với






λ số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị thời gian.
t số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp.
e = 2.71828

Ký hiệu: T ~ exp(t), T là khoảng thời gian giữa 2 lần xảy ra các
biến cố.


Phân phối mũ


Hàm phân phối xác suất

F(t) = 1 − e


−λt

vôùi t>0

Kỳ vọng và phương sai

1
ET =
λ

1
VarT = 2
λ