Phép biến đổi các dãy số nguyên và ứng dụng (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN THỊ THU THỦY

PHÉP BIẾN ĐỔI CÁC DÃY SỐ NGUYÊN
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN THỊ THU THỦY

PHÉP BIẾN ĐỔI CÁC DÃY SỐ NGUYÊN
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI

Thái Nguyên - 2015


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Mở đầu

2

1

Số Catalan và nhóm Riordan

3

1.1

Số Catalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Nhóm Riordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2
2

Phép biến đổi dãy số nguyên, liên phân số

8

2.1

(nk ) rn−k ak . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

n−k
k

rn−2k ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

n+k
2k

ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

(n2k ) ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

n−k
2k

ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

n+k
3k

ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.7

Liên phân số hai chiều và tam giác số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.8

Phép biến đổi bn =

rn−2k an−2k . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.9

Phép dựng hình Deleham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

n

Phép biến đổi nhị thức bn =
k=0
n
2

2.2

Phép biến đổi bn =
k=0
n

2.3

Phép biến đổi bn =
k=0
n

2.4

Phép biến đổi bn =
k=0
n

2.5

Phép biến đổi bn =
k=0
n

2.6

Phép biến đổi bn =
k=0
n
2

n−k
k
k=0

Kết luận và Đề nghị

42

Tài liệu tham khảo

43

1

Lời cảm ơn
Trước hết, tôi muốn gửi những lời biết ơn sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học
của mình, GS.TSKH. Hà Huy Khoái, người đã hết lòng giúp đỡ, động viên và chỉ bảo
tôi trong quá trình học tập và luận văn này.
Tôi muốn gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên vì
luôn tạo điều kiện thuận lợi dành cho tôi trong suốt thời gian học tập tại Trường.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu Trường Trung học phổ thông Hồng
Bàng (Thành phố Hải Phòng) đã luôn tạo điều kiện tốt để tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng tôi xin gửi những tình cảm đặc biệt nhất đến đại gia đình tôi, những
người luôn động viên và chia sẻ những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn.


2

Mở đầu
Nhiều dãy cổ điển có hàm sinh được biểu diễn thành liên phân số. Nhiều dãy quan
trọng khác nảy sinh từ việc áp dụng các phép biến đổi vào những dãy như thế có biểu
diễn liên phân số đã biết. Do đó nếu ta có thể biểu diễn kết quả của phép biến đổi ở
dạng liên phân số, ta có thể suy ra biểu diễn liên phân số của dãy mới.
Tất cả các phép biến đổi mà tôi quan tâm đến là phép biến đổi sẽ được miêu tả
bằng mảng Riordan (thông thường), hay mảng Riordan mở rộng.
Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận, luận văn chia thành hai chương như sau:
• Chương 1. Số Catalan và nhóm Riordan.
• Chương 2. Phép biến đổi dãy số nguyên, phân số liên tục và phương trình Pell
suy rộng.

Thái Nguyên, ngày 26 tháng 03 năm 2015
Trần Thị Thu Thủy
Học viên Cao học Toán Lớp B, khóa 06/2013-06/2015
Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Email:


3

Chương 1

Số Catalan và nhóm Riordan
Các dãy số được nhắc đến trong luận văn này thường được ký hiệu là Annnnnn.
Đó là số thứ tự của dãy trong Online Encyclopedia of Integer Sequences [4].

1.1
1.1.1

Số Catalan
Định nghĩa hàm sinh

Định nghĩa 1.1. Cho dãy số a0 , a1 , . . . , an , . . .
Chuỗi hình thức
A(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn + . . .
gọi là hàm sinh của dãy (an ). Ta gọi đó là chuỗi hình thức vì ta không xét đến tính hội
tụ hay tính giá trị của chuỗi mà ta chỉ xem đó như là một cách viết thuận tiện.
Định nghĩa 1.2. Số Catalan là số được xác định một cách truy hồi như sau:
c0 = 1, cn = c0 cn−1 + c1 cn−2 + . . . + cn−1 c0 ,

với n = 1, 2, 3, ...

Số Catalan có nhiều định nghĩa tổ hợp khác nhau, chẳng hạn số Catalan là số các
cách nối 2n điểm trên đường tròn bằng n dây cung không cắt nhau, là số cây nhị phân
có gốc gồm n + 1 lá, là số đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên từ điểm (0, 0) đến
điểm (n, n) không vượt qua đường thẳng y = x...
Ví dụ 1.1 (Số Catalan). Số Catalan có số hạng tổng quát
 
1 2n
cn =
n+1 n


4
có hàm sinh
C(x) =

1−

√

1 − 4x
.
2x

Thật vậy, ta có c0 = c1 = 1. Xét dãy C(x) là hàm sinh của dãy (cn ). Khi đó
C(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + . . . + cn xn + . . .
Ta có
C(x)C(x) = c20 + (c1 c0 + c0 c1 )x + . . .
+(cn c0 + cn−1 c1 + . . . + c0 cn )xn + . . .

= c1 + c2 x + c3 x2 + . . . + cn xn + . . .
Suy ra
x2 C 2 (x) = x(c1 + c2 x + c3 x2 + . . . + cn xn + . . .)
= x(C(x) − c0 )
= xC(x) − x.
Điều này tương đương với
[xC(x)]2 − xC(x) + x = 0.
Giải phương trình này đối với xC(x) ta được
√
1 ± 1 − 4x
xC(x) =
.
2
Ta có
√
1
1 − 4x = (1 − 4x) 2
4
1 42 x2
1 · 3 · 5 · · · (2n − 3) 4n n
= 1− x− 2
− ... −
x − ...
2
2 2!
2n
n!
√
Suy ra hệ số của xk trong khai triển thành chuỗi lũy thừa của 1 − 4x bằng
−

1 · 3 · 5 · · · (2k − 3) · 2k
< 0,
k!


5
suy ra xC(x) không thể bằng
1+

√

1 − 4x
2

vì các hệ số của xk trong xC(x) là các số nguyên dương. Do đó
√
1 − 1 − 4x
xC(x) =
.
2
Vậy
cn

2n · 1 · 3 · · · (2n − 1)
=
(n + 1)!
n
2 · 1 · 2 · 3 · 4 · · · (2n − 1) · 2n
=

(n + 1)!2 · 4 · 6 · · · 2n
n
2 (2n)!
1
=
Cn .
=
n
(n + 1)!n!2
n + 1 2n

Khi đó, ta có thể được biểu diễn thành
1

C(x) =

,

x

1−

x
1 − ···

1−
hay bằng
1

C(x) =

.

x2

1−x−
1 − 2x −

x2
1 − 2x −

x2
1 − ···

Ta sẽ ký hiệu C(x) là hàm sinh của số Catalan và ký hiệu cn là số Catalan thứ n
trong toàn bộ luận văn.
 
2n
1
Tương tự, hàm sinh của hệ số nhị thức trung tâm   là √
, có thể được
1 − 4x
n
biểu diễn thành
1
1
√
=
2x
1 − 4x

1−
x
1−
x
1−
1 − ···


6
hoặc thành
√

1
=
1 − 4x

1

.

2x2

1 − 2x −

x2

1 − 2x −

x2
1 − ···

Cho P là một phát biểu, ta viết [P] = 1 nếu P đúng, và [P] = 0 nếu P sai.
1 − 2x −

Chú ý rằng nếu ta có dãy a0 , a1 , a2 , . . . thì dãy thoáng của dãy này được định nghĩa là
a0 , 0, a1 , 0, a2 , 0, a3 , 0, . . .
với các số 0 xen kẽ. Nếu (an ) có hàm sinh g(x), thì dãy thoáng có hàm sinh g(x2 ).

1.2

Nhóm Riordan

Nhóm Riordan là một tập vô hạn các ma trận tam giác dưới có các phần tử là
số nguyên, trong đó mỗi ma trận được định nghĩa bằng một cặp hàm sinh g(x) =
1 + g1 x + g2 x2 + . . . và f (x) = f1 x + f2 x2 + . . . với f1 = 0. Ma trận liên kết là ma
trận có cột thứ j được sinh bởi g(x)f (x)j (cột đầu tiên được đánh chỉ số bằng 0). Do
vậy phần tử thứ i của cột thứ j là
Ti,j = [x]j g(x)f (x)j
trong đó toán tử [xn ] cho ra hệ số của xn trong chuỗi lũy thừa được áp dụng vào. Ma
trận tương ứng với bộ g, f được ký hiệu bằng (g, f ) hoặc R(g, f ). Luật nhóm được
cho bởi
(g, f ) ∗ (h, l) = (g(h ◦ f ), l ◦ f ).
Phần tử đơn vị của luật này là I = (1, x) và nghịch đảo của (g, f ) là (g, f )−1 =
(1/(g ◦ f ), f ) với f là nghịch đảo hợp thành của f.
n

Mảng Riordan có dạng (g(x), x), với g(x) =

ak xk là hàm sinh của dãy an ,
k=0

được gọi là dãy mảng của dãy an . Số hạng tổng quát của nó là
Tn,k = [xn ]g(x)xk = [xn−k ]g(x) = an−k .


7
Các mảng có dạng như trên tạo thành một nhóm con của nhóm Riordan, được gọi là
nhóm Appell.
Nếu M là ma trận (g, f ), và a = (a0 , a1 , . . .)T là một dãy số nguyên có hàm sinh
thông thường A(x), thì dãy M a có hàm sinh thông thường g(x)A(f (x)). Điều này
suy ra từ nếu M = (Tn,k )n,k≥0 ta có
∞

n

[xn ]g(x)f (x)k ak

Tn,k ak =
k=0

k=0
∞
n

f (x)k ak

= [x ]g(x)
k=0

= [xn ]g(x)A(f (x)).
Do đó ma trận (vô hạn) (g, f ) có thể được coi là tác động trên vành số nguyên ZN với

phép nhân, trong đó một dãy được xem như một vecto cột (vô hạn). Chúng ta có thể
mở rộng tác động trên vành chuỗi lũy thừa Z[[x]] bằng
(g, f ) : A(x) −→ (g, f ) · A(x) = g(x)A(f (x)).
1
x
Ví dụ 1.2. Ma trận nhị thức B là số hạng 1−x
, 1−x
của nhóm Riordan. Nó có số
 
n
1
x
hạng tổng quát  . Tổng quát hơn, Br là số hạng 1−rx
, 1−rx
của nhóm Riordan
k
 
n
với số hạng tổng quát   rn−k . Có thể chứng minh được rằng nghịch đảo B−r của
k
r
B là
x
1
,
1 + rx 1 + rx

Nếu f1 = 0 ta gọi ma trận là mảng Riordan “mở rộng”. Ma trận như vậy không
khả nghịch.

8

Chương 2

Phép biến đổi dãy số nguyên, liên phân số
n

2.1

Phép biến đổi nhị thức bn =

(nk) r n−k ak
k=0

Một phép biển đổi dãy số nguyên phổ biến là phép biến đổi nhị thức, biến dãy với
số hạng tổng quát an thành dãy có số hạng tổng quát bn định nghĩa bởi
 
n
n
  ak .
bn =
k
k=0
Tổng quát hơn, với r ∈ Z, ta có thể định nghĩa “phép biến đổi nhị thức thử r” của an
là dãy có số hạng tổng quát
 
n
bn =
rn−k   ak .

k
k=0
n

Từ lý thuyết của mảng Riordan suy ra phép biến đổi này có thể được biểu diễn bởi ma
trận
1
x
,
.
1 − rx 1 − rx
Ta nhắc lại nếu g(x) là hàm sinh của dãy an , thì hàm sinh của dãy bn là
x
1
x
1
,
· g(x) =
.
1 − rx 1 − rx
1 − rx 1 − rx


9
Áp dụng điều này vào biểu diễn liên phân số bên trên, ta thu được biểu diễn hàm sinh
của phép biến đổi nhị thức thứ r của số Catalan như sau. Đầu tiên
1
x
1
,

· C(x) =
1 − rx 1 − rx
1 − rx

1
1−
1−

x
1−rx
x
1−rx
x
1−rx

1−

1 − ···

1

=

x

1 − rx −
1−

1−
=

x
1−rx
x
1−rx

1 − ···
1
x

1 − rx −

x

1−

x

1 − rx −

x

1−

1 − rx −

x
1 − ···

tiếp theo,

x
1
1
,
· C(x) =
1 − rx 1 − rx
1 − rx

1
1−

x
1−rx

x2
(1−rx)2

−

x2
(1−rx)2

x
−
1 − 2 1−rx

x
1 − 2 1−rx
−

x2
(1−rx)2

1 − ···

1

=

x2
1−rx

1 − rx − x −

x2
(1−rx)2

x
1 − 2 1−rx
−

x
1 − 2 1−rx
−

x2
(1−rx)2

1 − ···

1

=

x2

1 − rx − x −
1 − rx − 2x −

Tổng quát hoá ví dụ này, ta thu được hai mệnh đề sau.

x2
x2
1 − rx − 2x −
1 − ···


10
Mệnh đề 2.1. Giả sử an là dãy có hàm sinh g(x) biểu diễn dưới dạng
g(x) =

1
.
α1 x
1−
α2 x
1−
1 − ···

Khi đó phép biến đổi nhị thức thứ r của an có hàm sinh biểu diễn dưới dạng

1
α1 x
α2 x

1 − rx −
1−
1 − rx −

1−

α3 x
α4 x
1 − rx −

α5 x
1 − ···

Mệnh đề 2.2. Giả sử an là dãy có hàm sinh g(x) biểu diễn dưới dạng
1

g(x) =

.

β1 x2

1 − α1 x −

1 − α2 x −

β2 x2
1 − ···

Khi đó phép biến đổi nhị thức thứ r của an có hàm sinh biểu diễn dưới dạng
1

.

β1 x2

1 − rx − α1 x −

β2 x2

1 − rx − α2 x −

1 − rx − α3 x −

β3 x2
1 − rx − · · ·

Ta chú ý biểu diễn cuối cùng có thể được viết lại thành
1

.

β1 x2

1 − (α1 + r)x −
1 − (α2 + r)x −

β2 x2
1 − (α3 + r)x −

β3 x2
1 − rx − · · ·

Do đó dạng của liên phân số trong trường hợp này không thay đổi: chỉ hệ số của x
trong mỗi trường hợp tăng thêm (hay giảm đi). Có thể chứng minh thông qua kỹ thuật
nghịch đảo chuỗi rằng:

1
x
1
x
,
·
,
2
2
1 − αx − βx 1 − αx − βx
1 − rx 1 − rx


11
=

1
x
,

.
2
1 − (α + r)x − βx 1 − (α + r)x − βx2

 
2n
Ví dụ 2.1. Hệ số tam thức trung tâm. Hệ số nhị thức trung tâm   có hàm sinh
n
biểu diễn dưới dạng
1
.
2x
1−
x
1−
x
1−
1 − ···
Do
 đó
hệ số tam thức trung tâm, là nghịch đảo phép biến đổi nhị thức (đầu tiên) của
2n
  có hàm sinh biểu diễn dưới dạng
n
1

.

2x

1+x−

x

1−

x

1+x−

x

1−

x

1−

1+x−

x
1 − ···

Ví dụ 2.2. Số Motzkin. Số Motzkin Mn được đưa ra bởi biến đổi nhị thức của dãy số
Catalan thoáng 1, 0, 1, 0, 2, 0, 5, . . . , có hàm sinh C(x2 ). Vì
C(x2 ) =

1
x2
1−

x2
1−
1 − ···

nên số Motzkin có hàm sinh biểu diễn dưới dạng
1

M (x) =

.

x2

1−x−
1−x−

x2
1−x−

x2
1 − ···

Ví dụ 2.3. Hệ số tam thức trung tâm. Hệ số tam thức trung tâm cũng có thể được
biểu diễn bằng phép biến đổi nhị thức của hệ số nhị thức trung tâm thoáng. Cách biểu


12
diễn này có hàm sinh là
√

1
=
1 − 4x2

1
2x2
1−
x2
1−
x2
1−
1 − ···

và do đó hệ số tam thức nhị phân trung tâm có hàm sinh là
1

.

2x2

1−x−
1−x−

x2
x2
1−x−
1 − ···

n
2

2.2

Phép biến đổi bn =

n−k
k

r n−2k ak

k=0

Ma trận có số hạng tổng quát
n
2

k≤



n−k
 rn−2k

k

có thể được biểu diễn bằng ma trận Riordan mở rộng
1
x2
,
.

1 − rx 1 − rx
Điều này suy ra từ số hạng tổng quát của
1
x2
,
1 − rx 1 − rx
có dạng
1
[x ]
1 − rx
n

x2k
(1 − rx)k

= [xn−2k ](1 − rx)−k−1


∞
−k − 1

 (−1)j rj xj
= [xn−2k ]
j
j=0


13



n+k

 rj xj
= [xn−2k ]
j
j=0


n−k
 rn−2k .
= [n − 2k ≥ 0] 
n − 2k
∞

Do đó ta có
Mệnh đề 2.3. Cho an là dãy số có hàm sinh biểu diễn dưới dạng
g(x) =

1
.
α1 x
1−
α2 x
1−
1 − ···

Khi đó dãy bn với số hạng tổng quát
n
2

bn =



n−k


k=0

k


 rn−2k ak

có hàm sinh là
1

.

α1 x2
α2 x2

1 − rx −
1−

1 − rx −

α3 x2
α4 x2
1−

1 − ···

Chứng minh. Hàm sinh của dãy chuyển đổi có dạng
1
x2
1
,
· g(x) =
1 − rx 1 − rx
1−x

1
2

1−

=
1 − rx −

=

x
α1 1−rx
2

x
α2 1−rx
1−
1 − ···
1

α1 x2
2

x
α2 1−rx
1−
1 − ···
1

α1 x2
α2 x2

1 − rx −
1−
1 − rx −

α3 x2
α4 x2
1−
1 − rx − · · ·


14

Ví dụ 2.4. Số đường Motzkin có độ dài n không có bước mức ở mức lẻ. Dãy có số
hạng tổng quát


n−k
 ck


an =
k
k=0
n
2

có hàm sinh là
1
1−x−
1−

.

x2
x2
x2
1−x−
x2
1−
1 − ···

Mệnh đề 2.4. Cho an là dãy có hàm sinh g(x) được biểu diễn dưới dạng
1

g(x) =

.

β1 x2

1 − α1 x −

1 − α2 x −

β2 x2
1 − ···

Khi đó hàm sinh của dãy
n
2

bn =




k=0

n−k
k


 rn−2k ak

có biểu diễn là
1

.

β1 x4

1 − rx − α1 x2 −

1 − rx − α2 x2 −

β2 x4
1 − ···

Chứng minh. Ta có
1
x2
1
,
· g(x) =
1 − rx 1 − rx
1−x

1
4

x
β1 (1−rx)
2

x2

1 − α1 1−rx −

4

x2

1 − α2 1−rx −

x
β2 (1−rx)
2

1 − ···

1

=

4

1 − rx − α1 x2 −

x
β1 1−rx
4

x2

1 − α2 1−rx −

x
β2 (1−rx)
2

1 − ···


15
1

=

.

β1 x4

1 − rx − α1 x2 −

1 − rx − α2 x2 −

β2 x4
1 − ···

Ví dụ 2.5. Số cây được sắp thứ tự có n cạnh và không có nhánh có độ dài 1. Số
này là A026418, bắt đầu bằng 1, 0, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 22, . . . Dãy bắt đầu bằng 1, 1, 2,
3, 6, . . . có số hạng tổng quát


n−k

 rn−2k Mk
k
k=0

n
2

và do dó có hàm sinh là
1

.

x4

1 − x − x2 −

1 − x − x2 −

x4
1 − ···

n

2.3

Phép biến đổi bn =

n+k
2k

ak

k=0

Phép biến đổi mà ánh xạ dãy có số hạng tổng quát an thành dãy có số hạng tổng
quát


n+k

 ak
bn =
2k
k=0
n

có thể được biểu diễn bằng ma trận Riordan
1
x
,
.
1 − x (1 − x)2
Do đó ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.5. Cho an là một dãy số với hàm sinh g(x) được biểu diễn dưới dạng
g(x) =

1
.
α1 x
1−
α2 x
1−
1 − ···

16
Khi đó dãy số với số hạng tổng quát bn , cho dưới dạng


n
n+k

 ak
bn =
2k
k=0
có biểu diễn của hàm sinh là
1
x
,
· g(x) =
1 − x (1 − x)2
1−x−

1

.

α1 x
1−x−

α2 x
1 − x − ···

Chứng minh. Ta có
1
x
1
,
·
g(x)
=
1 − x (1 − x)2
1−x

1
x
α1 (1−x)
2
1−
x
α2 (1−x)2
1−
1 − ···
1
=
x
α1 1−x
1−x−
x
α2 (1−x)
2
1−
1 − ···

1
.
α1 x
1−x−
α2 x
1−x−
1 − x − ···

Ví dụ 2.6. Số Schr¨oder lớn. Số Schr¨oder lớn Sn A006318 được định nghĩa bằng


n
n+k

 ck .
Sn =
2k
k=0
Do đó chúng có hàm sinh biểu diễn bằng
1

g(x) =

.

x

1−x−

x

1−x−
1−x−

x
1 − x − ···

Ví dụ 2.7. Số Delannoy trung tâm. Số Delannoy trung tâm dn A001850 được định
nghĩa bằng

 
n+k
2k

 .
dn =
2k
k
k=0
n


17
Do đó chúng có biểu diễn của hàm sinh là
1

.

2x

1−x−

x

1−x−
1−x−

x
1 − x − ···

Tổng quát hơn, ta có thể khảo sát tác động của mảng Riordan
x
1
,
1 − rx (1 − rx)2
với r ∈ Z. Ta thu được
Mệnh đề 2.6. Cho an là dãy số có hàm sinh g(x) được biểu diễn dưới dạng
g(x) =

1
.
α1 x
1−
α2 x
1−
1 − ···

Khi đó dãy số bn với hàm sinh được cho bởi
1
x

g
1 − rx (1 − rx)2
là khai triển của
1

.

α1 x

1 − rx −

α2 x

1 − rx −
1 − rx −

α3 x
1 − rx − · · ·

Trong trường hợp này,


n+k

 rn−k ak
bn =
2k
k=0
n

là số hạng tổng quát của dãy biến đổi.
Ví dụ 2.8. Trường hợp r = −1. Trường hợp này tương đương với mảng Riordan
1
x
,
.
1 − rx (1 − rx)2
Cụ thể bây giờ ta có


n+k

 (−1)n−k ck = 0n = δ0n ,
2k
k=0
n


18
trong đó 0n là dãy số 1, 0, 0, 0, . . . vói hàm sinh bằng 1. Do đó ta thu được phần tử
đơn vị
1

1=

(2.1)

.

x

1+x−

x

1+x−
1+x−

x
1 + x − ···

Tương tự phần tử đơn vị của


 
n+k
2k

 (−1)n−k   = 1
2k
k
k=0
n

suy ra
1
=
1−x

1

1+x−

(2.2)

.

2x
x

1+x−

x
1 + x − ···

1+x−

Mệnh đề 2.7. Cho an là dãy số có hàm sinh g(x) được biểu diễn dưới dạng
1

g(x) =

.

β1 x2

1 − α1 x −

1 − α2 x −

β2 x2

1 − ···

Khi đó hàm sinh của dãy số


n+k

 (r)n−k ak ,
bn =
2k
k=0
n

thu được bằng cách áp dụng phép biến đổi biểu diễn bằng
1
x
,
1 − rx (1 − rx)2
vào an có hàm sinh là
1 − rx
(1 −

rx)2

− α1 x −

β1 x2
(1 − rx)2 − α2 x −

β2 x2

(1 − rx)2 − · · ·

.


19
Chứng minh. Kết quả thu được từ biểu diễn
1 − rx
(1 − rx)2

1

.

2

x
β1 (1−rx)
4

x
1 − α1 (1−rx)
2 −

2

x
β2 (1−rx)
4

x
1 − α2 (1−rx)
2 −

1 − ···

Ví dụ 2.9. Số Schr¨oder lớn. Vì số Schr¨oder lớn được cho bởi


n
n+k

 ck
Sn =
2k
k=0
ta thu được hàm sinh có biểu diễn sau
1−x

S(x) =

x2

2

(1 − x) − x −

x2

2

(1 − x) − 2x −
2

(1 − x) − 2x −

x2
1 − ···

hay
1−x

S(x) =

.

x2

1 − 3x + x2 −

x2

1 − 4x + x2 −
1 − 4x +

x2

x2
−
1 − ···

Chú ý ví dụ bên trên chứng tỏ rằng tổng riêng của số Schr¨oder lớn, mà có hàm
sinh cho bởi

1
1−x S(x),

1
S(x) =
1−x

có thể thu được từ biểu diễn của
1

.

x2

2

(1 − x) − x −

(2.3)

x2

2

(1 − x) − 2x −
2

(1 − x) − 2x −

x2
1 − ···

Điều này có thể đưa vào ngữ cảnh tổng quát hơn từ quan sát rằng số hạng tổng quát
của ma trận
1
x
,
2
(1 − rx) (1 − rx)2


20
được cho bởi




n+k+1
n−k


 rn−k



n+k+1

 rn−k .
=
2k + 1

Do đó ta có mệnh đề
Mệnh đề 2.8. Cho an là dãy số có hàm sinh g(x) được biểu diễn dưới dạng
1

g(x) =
1 − α1 x −

.

β1 x2
β2 x2
1 − α2 x −
1 − ···

Khi đó hàm sinh của dãy số
n

bn =



n+k+1


k=0

n−k


 rn−k ak ,

thu được từ việc áp dụng phép biến đổi
1
x
,
2
(1 − rx) (1 − rx)2
vào an có hàm sinh là
1

.

β1 x2

(1 − rx)2 − α1 x −

β2 x2
(1 − rx)2 − · · ·

(1 − rx)2 − α2 x −

Cụ thể, hàm sinh của tổng riêng của số Schr¨oder lớn, số có số hạng tổng quát


n
n+k+1


 ck ,
2k + 1
k=0
có thể được biểu diễn như trong phương trình (2.3). Dãy số này là A086616.
Theo cách tương tự, ta có kết quả.
Mệnh đề 2.9. Cho an là dãy số có hàm sinh g(x) biểu diễn dưới dạng
1

g(x) =
1 − α1 x −

β1 x2
1 − α2 x −

β2 x2
1 − ···

.


21
Khi đó hàm sinh của dãy


n+k+1

 rn−k−1 ak+1 ,
bn = 0n +
2k + 1

k=0
n−1

thu được bằng cách áp dụng phép biến đổi
x
(1 − rx)2

1,
vào an có hàm sinh là

(1 − rx)2
(1 −

rx)2

.

β1 x2

− α1 x −
(1 −

rx)2

β2 x2
− α2 x −
(1 − rx)2 − · · ·

Ví dụ 2.10. Đường hoàng gia trong một mạng A006319. Đây là dãy số 1, 1, 4, 16,
68, 304, 1412, cũng chính là số đỉnh mức 1 trong tất cả đường đi Schr¨oder có nửa độ

dài n, (n ≥ 1). Nó có số hạng tổng quát là


n−1
n+k+1
 Ck+1 ,

0n + +
2k + 1
k=0
và hàm sinh
(1 − x)2

.

x2

2

(1 − x) − x −

x2

2

(1 − x) − 2x −
2

(1 − x) − 2x −

x2
(1 − x)2 − 2x − · · ·

Tương tự ta chú rằng dãy số có hàm sinh là
(1 − x)2
x2

2

(1 − x) − x −

x2

2

(1 − x) − x −
2

(1 − x) − x −

x2
(1 − x)2 − x − · · ·

là phép biến đổi số Motzkin Mn với số hạng tổng quát


n−1
n+k+1

 Mk+1 .

0n +
2k
+
1
k=0


22
Cuối cùng, dãy số với hàm sinh
(1 − x)2
x2

2

(1 − x) − 2x −

x2

2

(1 − x) − 2x −

x2
(1 − x) − 2x −
(1 − x)2 − 2x − · · ·
2

là phép biển của số Catalan xê dịch cn+1 với số hạng tổng quát



n−1
n+k+1
 ck+2 .

0n +
2k + 1
k=0
n

2.4

Phép biến đổi bn =

(n2k ) ak

k=0
 
n
Ma trận với số hạng tổng quát   là mảng Riordan mở rộng
2k

1
x2
,
.
1 − x (1 − x)2
Mệnh đề 2.10. Cho an là dãy số có hàm sinh biểu diễn dưới dạng
g(x) =

1

.
α1 x
1−
α2 x
1−
1 − ···

Khi đó dãy với số hạng tổng quát
n
2

bn =





n
  ak
2k
k=0

có hàm sinh biểu diễn dưới dạng
1
α1 x2
1−x−
α2 x2
1−x−
1 − x − ···

.