Nhóm biến đổi và định lý burnside (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN THỊ THƯƠNG

NHÓM BIẾN ĐỔI VÀ ĐỊNH LÝ BURNSIDE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRẦN THỊ THƯƠNG

NHÓM BIẾN ĐỔI VÀ ĐỊNH LÝ BURNSIDE

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. ĐÀM VĂN NHỈ

Thái Nguyên - 2015

i

Mục lục

Lời nói đầu

1

1

Lý thuyết nhóm

4

1.1

Quan hệ tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Khái niệm nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Định lý Lagrange và các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3

Các định lý đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Tác động nhóm lên một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.1

Tác động nhóm lên một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.2

Một vài ví dụ về tác động nhóm . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4

Nhóm giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5

Nhóm các phép thế-Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.6

Biểu diễn nhóm hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.6.1

Một vài khái niệm trong Đại số tuyến tính . . . . . . . . . .

22

1.6.2

Phép biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.6.3

Đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.3

2

Định lý Burnside

31

2.1

Bổ đề Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2

Định lý Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.1

Một vài kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.2

Định lý Burnside về nhóm giải được . . . . . . . . . . . . .

35


ii
2.3

Vận dụng trong Toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.1

Bài toán tô màu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3.2

Giải bằng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.3

Một vài bài toán chưa có lời giải . . . . . . . . . . . . . . .

44

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46


1

Lời nói đầu
Trong lý thuyết số, người ta quan tâm đến sự biểu diễn mỗi số ra thành tích các
số nguyên tố. Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, người ta quan tâm đến chuỗi hợp thành
gồm các nhóm con của nó. Mỗi nhóm hữu hạn G có một chuỗi hợp thành dạng
{e} = G0

G1

G2

···

Gk−1

Gk = G

trong đó mỗi nhóm thương Gi+1 /Gi là nhóm đơn với i = 0, 1, . . . , k − 1 và Định
lý Jordan-H¨older kết luận rằng, hai chuỗi hợp thành là tương đương. Vấn đề đặt ra:
Phân loại tất cả các nhóm đơn hữu hạn và xác định tất cả các cách xây dựng các nhóm
khác nhóm đơn. Vấn đề này dẫn đến những nghiên cứu nhóm đơn hữu hạn vào cuối
thế kỷ 19. Tiếp theo các công trình của nhà toán học người Đức Otto H¨older và nhà
toán học người Mỹ Frank Nelson Cole, nhà toán học người Anh Willian Burnside đã
tìm ra tất cả các nhóm đơn hữu hạn cấp nhỏ hơn hoặc bằng 1092 vào năm 1895. Đặc
biệt, ông đã chứng minh được rằng, nhóm với cấp là tích của hai hoặc ba số nguyên
tố là giải được. Định lý Burnside có vai trò quan trọng trong Lý thuyết nhóm qua việc
phân lớp các nhóm đơn hữu hạn. Nhiều nhà toán học rất quan tâm đến kết quả này.
Việc phân lớp được hoàn thành vào năm 1980. Đi liền với Định lý Burnside là phỏng
đoán về nhóm đơn hữu hạn không abel với cấp là một số chẵn. Hơn 50 năm sau, vào
năm 1963 phỏng đoán này đã được chứng minh bởi hai nhà toán học Mỹ Walter Feit
và John Griggs Thompson. Định lý Burnside rất quan trọng trong Lý thuyết nhóm.
Việc tìm hiểu và chứng minh lại Định lý này là có ý nghĩa đối với những ai quan tâm
đến Lý thuyết nhóm.
Vấn đề tiếp theo luận văn quan tâm là bài toán tô màu xuất hiện trong các kì thi
đại học, học sinh giỏi cấp quốc gia hay quốc tế. Nhiều bài toán tổ hợp liên quan tới


2
các đối tượng khác nhau, chẳng hạn: dùng hai màu để tô ba đỉnh của tam giác ABC.
Do A, B, C phân biệt nên việc xác định số cách tô màu là dễ dàng. Nếu ta coi ba
đỉnh của tam giác là ba điểm trắng như nhau thì việc tính số cách tô màu là không
dễ dàng. Với bài toán liên quan đến quan hệ tương đương, việc giải quyết cho tất cả
các phần tử thuộc lớp thông qua một phần tử đại diện. Chính vì vậy luận văn đặt vấn
đề vận dụng Toán cao cấp vào nghiên cứu một số bài toán tổ hợp. Đề tài trong luận
văn cũng quan tâm đến việc chứng minh Bổ đề Burnside để từ đó xác định lời giải

cho bài toán tô màu.
Đề tài của luận văn quan tâm là nghiên cứu Bổ đề Burnside, Định lý Burnside
trong Lý thuyết nhóm và vận dụng các kết quả đạt được vào Toán sơ cấp qua bài toán
tô màu và phương trình giải được bằng căn thức.
Luận văn này trình bày lại một số kết quả về lý thuyết nhóm, Bổ đề Burnside và
Định lý Burnside chủ yếu theo tài liệu [1] ,[2] và [5]. Luận văn được chia ra làm hai
chương. Chương 1 gồm sáu mục. Mục 1.1 trình bày về quan hệ tương đương. Trong
Mục 1.2 tập trung nhắc lại khái niệm nhóm, nhóm con chuẩn tắc. Trong mục này
chúng tôi đã chứng minh Định lý Lagrange về mối quan hệ giữa cấp của nhóm và
cấp của nhóm con, Định lý 1.3 và Hệ quả 1.2, Hệ quả 1.3. Mục 1.3 được dành để
viết về khái niệm tác động nhóm lên một tập. Mục 1.4 đã chứng minh hai kết quả về
nhóm giải được, Định lý 1.11 và Định lý 1.12. Mục 1.5 trình bày về nhóm các phép
thế, nhóm đối xứng. Cuối cùng là Mục 1.6, tập trung trình bày về biểu diễn nhóm
hữu hạn. Chương 2 gồm ba mục. Mục 2.1 tập trung chứng minh Bổ đề Burnside.
Mục 2.2 chứng minh lại Định lý Burnside qua việc vận dụng hai bổ đề. Mục 2.3
trình bày một vài ví dụ về việc vận dụng Bổ đề Burnside vào bài toán tô màu và vận
dụng Định lý Burnside vào phương trình giải được qua căn thức. Luận văn đã chỉ ra
những đa thức bậc

4 giải được bằng căn.

Trong thời gian sưu tầm tài liệu, làm đề cương và viết luận văn, tôi đã nhận được
sự góp ý và chỉ dẫn tận tình của người hướng dẫn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân
thành tới thầy của mình, PGS.TS. Đàm Văn Nhỉ. Nhân đây, tôi cũng xin chân thành
cảm ơn Khoa Toán - Tin, Khoa Sau đại học Trường Đại học Khoa học - Đại học


3
Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập của tôi. Tôi cũng
xin được cảm ơn sự nhiệt tình giảng dạy của các giảng viên trong suốt thời gian tôi

học tập. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Hải An - Hải Phòng đã luôn
tạo điều kiện tốt cho tôi công tác và học tập, để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập
của mình. Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình, vì
những động viên khích lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015
Trần Thị Thương
Học viên Cao học Toán lớp B, khóa 06/2013-06/2015
Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Email:


4

Chương 1

Lý thuyết nhóm
1.1

Quan hệ tương đương

Giả thiết tập X = ∅. Tích DesCarte X × X được định nghĩa như sau:
X × X = {(x, y)|x, y ∈ X}.
Định nghĩa 1.1. Tập con S của X × X được gọi là một quan hệ hai ngôi trong X.
Nếu (x, y) ∈ S thì ta nói x có quan hệ S với y và viết xSy.
Định nghĩa 1.2. Giả thiết X = ∅ và S = ∅ là một quan hệ hai ngôi trong X. Quan
hệ S được gọi là một quan hệ tương đương trong X nếu nó thỏa mãn ba điều kiện
sau đây:
(1) (Phản xạ) Với mọi x ∈ X có xSx.

(2) (Đối xứng) Với mọi x, y ∈ X, nếu có xSy thì cũng có ySx.
(3) (Bắc cầu) Với mọi x, y, z ∈ X, nếu có xSy, ySz thì có xSz.
Khi S là một quan hệ tương đương trong X thì ta thường ký hiệu ∼ thay cho S. Đặt
C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} và gọi nó là một lớp tương đương với x làm đại diện. Dễ
dàng chỉ ra các tính chất sau:
Mệnh đề 1.1. Giả sử ∼ là quan hệ tương đương trong X. Khi đó
(1) Với mọi x ∈ X có x ∈ C(x).


5
(2) Với mọi y, z ∈ C(x) có y ∼ z và y ∼ x, z ∼ x.
(3) Với mọi x, y ∈ X, có hoặc C(x) ∩ C(y) = ∅ hoặc C(x) = C(y).
(4) Tập thương X/ ∼ là tập các lớp tương đương không giao nhau.
Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng không tồn tại ánh xạ f : Z → {1, 2, 3} thỏa mãn
f (x) = f (y) với mọi x, y ∈ Z sao cho |x − y| ∈ {2, 3, 5}.
Bài giải. Không hạn chế có thể giả thiết f (0) = 1 và f (5) = 2. Vì 5 − 2 = 3 và
2 − 0 = 2 nên f (2) = 3. Vì 7 − 2 = 5 và 7 − 5 = 2 nên f (7) = f (2), f (7) = f (5).
Vậy f (7) = 1. Vì 3 − 0 = 3 và 5 − 3 = 2 nên f (3) = 3, f (3) = f (2). Tóm lại, ánh
xạ f : Z → {1, 2, 3} thỏa mãn
f (0) = 1, f (2) = 3, f (3) = 3, f (5) = 2, f (7) = 1.
Với mọi n ∈ Z có n + 1 − n = 1 ∈
/ {2, 3, 5} nên f (n + 1) = f (n). Vì hàm hằng
f không thỏa mãn f (7) = 1 = 2 = f (5) nên không thể có ánh xạ f thỏa mãn đầu
bài.
Ví dụ 1.2. Với bất kỳ số tự nhiên n tập nghiệm nguyên của hai phương trình x2 +y 2 =
n và x2 + y 2 = 2n có cùng lực lượng.
Bài giải. Xây dựng một song ánh từ tập nghiệm này sang tập nghiệm kia qua (x, y) →
x+y x−y
(x + y, x − y) và ngược lại (x, y) → (
,

).
2
2

1.2
1.2.1

Khái niệm nhóm
Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương

Trước tiên, ta nhắc lại một số khái niệm và ký hiệu về nhóm.
Định nghĩa 1.3. Tập G = ∅ với phép toán G × G → G, (x, y) → x.y được gọi là
một nhóm nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau:
(1) (x.y).z = x.(y.z) với mọi x, y, z ∈ G.


6
(2) Có phần tử e ∈ G, được gọi là đơn vị, thỏa mãn e.x = x.e = x với mọi x ∈ G
(3) Với mỗi x ∈ G có phần tử x ∈ G để x.x = x .x = e.
Do tính duy nhất của x cho mỗi x nên x được ký hiệu qua x−1 và được gọi là phần
tử nghịch đảo của x. Nhóm G được gọi là một nhóm giao hoán hay nhóm abel nếu
x.y = y.x với mọi x, y ∈ G. Để đơn giản, nhiều khi thay cho tích x.y ta viết đơn giản
xy và đôi khi để biết phép toán hai ngôi trong nhóm G ta cũng thường viết (G, .).
Định nghĩa 1.4. Cho hai nhóm (G, .) và (G , ◦). Ánh xạ φ : G → G được gọi là
một đồng cấu nếu φ(xy) = φ(x) ◦ φ(y) thỏa mãn cho mọi x, y ∈ G. Đồng cấu φ
được gọi là một đẳng cấu nếu nó là một song ánh.
Định nghĩa 1.5. Cho nhóm G. Lực lượng của G, ký hiệu |G|, được gọi là cấp của
G. Nếu |G| < ∞ thì G được gọi là nhóm hữu hạn. Nhóm cấp ps , ở đó p là số nguyên
tố và s ∈ N∗ được gọi là một p-nhóm. Giả thiết nhóm G có cấp ps m, trong đó p là số
nguyên tố và p |m. Nhóm con cấp ps của nhóm G được gọi là p-nhóm con Sylow.

Định nghĩa 1.6. Tập con H khác rỗng của nhóm G thỏa mãn x.y ∈ H và x−1 ∈ H,
khi x, y ∈ H, được gọi là một nhóm con của G. Nhóm con A của nhóm G được gọi
là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu xax−1 ∈ A với mọi a ∈ A, x ∈ G.
Giả thiết A là một nhóm con của nhóm G. Ta ký hiệu hai tập sau:
xA = {xa|a ∈ A}, Ax = {ax|x ∈ A}.
Tập xA được gọi là lớp ghép trái của A trong X; Tập Ax được gọi là lớp ghép phải
của A trong G. Ký hiệu tập thương của G trên A qua
G/A = {xA|x ∈ G}.
Tiếp tục, định nghĩa quan hệ ∼ trong nhóm G như sau: Với x, y ∈ G, quan hệ x ∼ y
nếu x−1 y ∈ A.
Bổ đề 1.1. Quan hệ ∼ trong G là một quan hệ tương đương.


7
Chứng minh. Vì e ∈ A nên x−1 x = e ∈ G. Vậy x ∼ x với mọi x ∈ G. Giả sử
x, y ∈ G thỏa mãn x ∼ y. Khi đó x−1 y ∈ A. Vì A cũng chính là một nhóm nên
y −1 x = x−1 y

−1

∈ A. Do vậy y ∼ x. Cuối cùng, giả sử x, y, z ∈ G thỏa mãn

x ∼ y và y ∼ z. Khi đó x−1 y, y −1 z ∈ A và ta có x−1 z = x−1 y.y −1 z ∈ A. Từ đây
suy ra x ∼ z. Tóm lại, quan hệ ∼ trong G là một quan hệ tương đương.
Hệ quả 1.1. Với x, y ∈ G, xA = yA khi và chỉ khi x−1 y ∈ A.
Chứng minh. Kết quả được suy ra từ Bổ đề 1.1.
Bổ đề 1.2. Với quan hệ tương đương ∼ trong G, mỗi lớp C(x) = xA với x ∈ G.
Chứng minh. Thật vậy, vì ∼ là một quan hệ tương dương theo Bổ đề 1.1 nên ta có
các lớp C(x). Lấy y ∈ C(x). Khi đó x ∼ y và ta có x−1 y ∈ A. Vậy, tồn tại a ∈ A
để x−1 y = a. Từ đây suy ra y = xa ∈ xA. Do y được lấy tùy ý nên C(x) ⊂ xA.

Lấy y ∈ xA. Khi đó có a ∈ A để y = xa. Vậy x−1 y = a ∈ A hay y ∼ x và suy ra
y ∈ C(x). Do y được lấy tùy ý nên C(x) ⊃ xA. Tóm lại C(x) = xA.
Định lí 1.1. Nhóm con A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G khi và chỉ khi xA = Ax
với mọi x ∈ G.
Chứng minh. Giả thiết A là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Lấy y = xa ∈
xA. Vì A là một nhóm con chuẩn tắc nên xax−1 ∈ A. Vậy có b ∈ A để xax−1 = b
và suy ra y = xa = bx ∈ Ax. Do y được láy tùy ý từ xA nên xA ⊂ Ax. Tương tự
có xA ⊃ Ax. Tóm lại, xA = Ax với mọi x ∈ G.
Ngược lại, Giả thiết xA = Ax với mọi x ∈ G. Với x ∈ G, a ∈ A có xa ∈ xA = Ax
và như vậy, tồn tại b ∈ A để xa = bx hay xax−1 = b ∈ A. Điều này chỉ ra A là
nhóm con chuẩn tắc của nhóm G.
Định lí 1.2. Với nhóm con chuẩn tắc A của nhóm G, ánh xạ G/A × G/A →
G/A, (xA, yA) → xyA là một phép toán hai ngôi và tập thương G/A = {xA|x ∈
G} cùng phép toán hai ngôi trên lập thành một nhóm. Nhóm này được gọi là nhóm
thương của G trên A.


8
Chứng minh. Kết quả có được từ Bổ đề 1.2 và Định lý 1.1.
Có nhiều nhóm con quan trọng được sinh ra bởi một tập con của G. Giả sử A là một
tập con khác rỗng của nhóm G. Chuẩn tắc hóa của A trong G là một nhóm con của
G được định nghĩa bằng
NG (A) = {x ∈ G|xax−1 ∈ A, ∀ a ∈ A}.
Tâm hóa của A trong G là một nhóm con của G được định nghĩa bằng
CG (A) = {x ∈ G|xa = ax, ∀ a ∈ A}.
Tâm của G là một nhóm con của G được định nghĩa bằng
Z(G) = {x ∈ G|xa = ax, ∀ a ∈ G}.
Chú ý rằng, Z(G) = CG (G) và Z(G) là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G.
Cấp của phân tử x ∈ G là số tự nhiên dương nhỏ nhất r để xr = e. Nếu ta ký hiệu
nhóm cyclic do x sinh ra qua < x > thì ta có ngay < x >= {e, x, . . . , xr−1 } và

r = | < x > |. Chú ý, cấp của e bằng 1.

1.2.2

Định lý Lagrange và các hệ quả

Trong phần này chúng ta chứng minh một vài kết quả quan trọng về lý thuyết
nhóm.
Giả sử A là một nhóm con của nhóm hữu hạn G. Chỉ số của A trong G, ký hiệu qua
|G : A| hoặc ind(A), được định nghĩa bằng |G/A|.
Định lí 1.3. [Lagrange] Với nhóm con A của nhóm hữu hạn G ta luôn có |G| =
|A||G : A|.
Chứng minh. Giả thiết G là nhóm hữu hạn cấp n = |G| và A là nhóm con của G với
m = |A| và k = |G : A|. Với mỗi x ∈ G ta định nghĩa ánh xạ fx : A → xA, a → xa.
Hiển nhiên, ánh xạ fx là một toàn ánh. Từ xa = xb suy ra a = b. Vậy fx còn là một
đơn ánh. Do vậy, fx là một song ánh và suy ra m = |A| = |xA|. Vì các xA = C(x)


9
là tách biệt theo Mệnh đề 1.1 nên G được phân ra thành k lớp phân biệt và mỗi lớp
đều chứa đúng m phần tử. Do vậy |G| = mk = |A||G : A|.
Hệ quả 1.2. Cấp của mỗi phần tử thuộc nhóm hữu hạn G là một ước số của n = |G|.
Chứng minh. Xét nhóm con A sinh ra bởi phần tử a. Cấp của a bằng |A|. Vì |A| là
một ước của |G| theo Định lý 1.3 nên cấp của phàn tử A thuộc nhóm hữu hạn G là
một ước số của n = |G|.
Hệ quả 1.3. [Cauchy] Với nhóm abel hữu hạn G và số nguyên tố p chia hết cấp
n = |G| luôn có phần tử của G cấp p.
Chứng minh. Quy nạp theo cấp n của nhóm G. Lấy phần tử x ∈ G, x = e. Nếu
n = p thì G là nhóm cyclic cấp p với phần tử sinh là x theo Định lý 1.3. Vậy x có
cấp p. Bây giờ giả thiết n > p và tất cả các nhóm con của G đều có cấp nhỏ hơn n

và xét những nhóm con với cấp chia hết cho p. Ta chỉ ra những nhóm con như vậy sẽ
có phần tử cấp p.
Trước tiên, xét trường hợp cấp m của phần tử x chia hết cho p. Khi đó m = | < x >
| = kp. Vậy e = xm = (xk )p . Từ đây suy ra | < xk > | = p và xk có cấp p.
Tiếp theo, xét trường hợp cấp m của phần tử x không chia hết cho p. Đặt A =< x >
và thấy ngay |A| > 1. Vì G là nhóm abel nên A là nhóm con chuẩn tắc của G. Theo
Định lý 1.3, ta có |G/A| < |G|. Hơn nữa, ta còn có |G/A| chia hết cho p. Vì G/A
là một nhóm abel, theo Định lý 1.2, với cấp r, r < |G|. Theo giả thiết quy nạp, G/A
chứa phần tử cấp p, chẳng hạn yA. Do vậy y p ∈ A. Vì y ∈
/ A nên < y p >=< y > .
Theo Định lý 1.2, cấp | < y p > | chia hết cấp | < y > |. Từ đây suy ra cấp |y| chia
hết cho p. Trở lại trường hợp trên, ta có phần tử của G với cấp p theo giả thiết quy
nạp.
Ví dụ 1.3. Xét 
tập tất cả các song ánh
 f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}. Biểu diễn mỗi
1
2
3
 hay đơn giản (f (1)f (2)f (3)). Dễ dàng chỉ
song ánh f qua 
f (1) f (2) f (3)
ra rằng tất cả có 6 song ánh và chúng lập thành một nhóm không giao hoán cấp


10

6 = 2.3. Phần tử đơn vị e = 



1 2 3
3 2 1

 
, 

1 2 3
2 1 3

1 2 3
1 2 3





 . Các phần tử cấp 2 là 





 ; Các phần tử cấp 3 là 

1 2 3
2 3 1





 và 

1 2 3
1 3 2
1 2 3
3 1 2


,

.

k2π
+
Ví dụ 1.4. Xét tập tất cả các căn bậc 10 của đơn vị G = {zk |zk = cos
10
k2π
i sin
, k = 1, 2, . . . , 10}. Với phép nhân các số phức, G là một nhóm giao hoán
10
cấp 10 = 2.5. Phần tử đơn vị e = z10 = cos 2π + i sin 2π = 1. Một phần tử cấp 2
k2π
k2π
+ i sin
với
là z5 = cos π + i sin π = −1. Các phần tử cấp 5 là zk = cos
10
10

k2π
k2π
k = 2, 4, 6, 8. Các phần tử cấp 10 là zk = cos
+ i sin
với k = 1, 3, 7, 9.
10
10

1.2.3

Các định lý đồng cấu nhóm

Cho hai nhóm G và G . Giả sử f : G → G là một đồng cấu. Ký hiệu
Ker(f ) = {g ∈ G|f (g) = e2 } = f −1 (e2 )
Im(f ) = {f (g)|g ∈ G}.
Bổ đề 1.3. Cho f : G → G là một đồng cấu nhóm. Giả sử A là một nhóm con của
nhóm G và B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G . Khi đó
(1) f (A) là một nhóm con của nhóm G .
(2) f −1 (B) là một nhóm con chuẩn tắc của G.
Chứng minh. (1) Giả sử a, b ∈ f (A). Khi đó có x, y ∈ A để a = f (x), b = f (y).
Từ đó ab−1 = f (x)f (y −1 ) = f (xy −1 ) ∈ f (A) vì xy −1 ∈ A. Bởi vậy, ảnh f (A) của
nhóm con A là một nhóm con của G .
(2) Trước tiên ta chỉ ra f −1 (B) là một nhóm con của nhóm G. Giả sử x, y ∈ f −1 (B).
Khi đó a = f (x), b = f (y) thuộc B. Từ đó f (xy −1 ) = f (x)f (y)−1 = ab−1 ∈ B.
Điều này kéo theo xy −1 ∈ f −1 (B). Do đó f −1 (B) là một nhóm con của nhóm
G. Tiếp theo, ta chỉ ra f −1 (B) là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Với mọi


11
x ∈ f −1 (B) và mọi g ∈ G ta có f (x) ∈ B và do tính chuẩn tắc của B ta có

f (g −1 xg) = f (g)−1 f (x)f (g) ∈ B.
Điều này kéo theo g −1 xg ∈ f −1 (B). Vậy, f −1 (B) là một nhóm con chuẩn tắc của
G.
Hệ quả 1.4. Cho f : G → G là một đồng cấu nhóm. Khi đó
(1) Im(f ) là một nhóm con của nhóm G .
(2) Ker(f ) là một nhóm con chuẩn tắc của G.
Định lí 1.4. Cho f : G → G là một đồng cấu nhóm. Khi đó
G/ Ker(f ) ∼
= Im(f ).
Chứng minh. Theo Hệ quả 1.4, K = Ker(f ) là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm
G và Im(f ) là nhóm con của nhóm G . Khi đó ta có nhóm thương G/K và định
nghĩa ψ : G/K → Im(f ), gK → f (g). Giả sử gK, hK ∈ G/K và gK = hK. Khi
đó h−1 g ∈ K và ta có f (h−1 g) = e1 . Vậy f (g) = f (h) và suy ra ψ(gK) = ψ(hK).
Do đó ψ là một ánh xạ. Giả sử gK, hK ∈ G/K. Ta có ngay
ψ(gK.hK) = ψ(ghK) = f (gh) = f (g)f (h) = ψ(gK)ψ(hK).
Như vậy, ψ là một đồng cấu nhóm.
Ta thấy, khi ψ(gK) = ψ(hK) thì f (g) = f (h) và suy ra h−1 g ∈ K. Đều này suy ra
gK = hK và kéo theo ψ là một đơn cấu. Hiển nhiên ψ là một toàn cấu. Tóm lại ψ là
một đẳng cấu và ta có G/K ∼
= Im(f ).
Định lí 1.5. Giả sử A và B là hai nhóm con của nhóm G và A là nhóm con của
nhóm con NG (B). Khi đó AB ⊂ G, B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm AB và
A ∩ B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm A. Hơn nữa, chúng ta còn có
AB/B ∼
= A/(A ∩ B).


12
Chứng minh. Giả thiết A và B là hai nhóm con của nhóm G và A là nhóm con
của nhóm con NG (B). Lấy a ∈ A và b ∈ B. Vì A là nhóm con của NG (B) nên

aba−1 ∈ B và kéo theo ab = (aba−1 )a ∈ BA. Do vậy AB ⊂ BA. Tương tự
ba = a(a−1 ba) ∈ AB. Vì vậy BA ⊂ AB và kéo theo AB = BA.
Lấy x, y ∈ AB, trong đó x = a1 b1 , y = a2 b2 với a1 , a2 ∈ A và b1 , b2 ∈ B. Khi đó
−1
xy −1 = a1 b1 b2−1 a2−1 . Vì AB = BA nên (b1 b−1
2 )a2 = a3 b3 với a3 ∈ A, b3 ∈ B. Do

vậy xy −1 = a1 a3 b3 ∈ AB. Theo tiêu chuẩn nhóm con của G ta có AB là một nhóm
con của nhóm G. Hệ quả 1.4, K = Ker(f ) là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G
và Im(f ) là nhóm con của nhóm G . Do A và B đều là nhóm con của nhóm NG (B)
nên dễ dàng suy ra AB là nhóm con của NG (B). Như vậy B là nhóm con chuẩn tắc
của nhóm AB.
Xét ánh xạ φ : A → AB/B, a → aB. Dễ dàng kiểm tra φ là một dồng cấu nhóm.
Hơn nữa, ta thấy ngay φ là một toàn cấu. Ta thấy ngay Ker(φ) = {a ∈ A|aB =
B} = A ∩ B. Theo Định lý 1.4 ta có A ∩ B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm con A
và AB/B ∼
= A/(A ∩ B).
Định lí 1.6. Giả sử A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và B là nhóm
con của nhóm con A. Khi đó A/B là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G/B và
(G/B)/(A/B) ∼
= G/A.
Chứng minh. Giả thiết A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và B là nhóm
con của nhóm con A. Lấy aB ∈ A/B và gB ∈ G/B. Khi đó gB.aB.(gB)−1 =
gag −1 B ∈ A/B do A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G.
Xét ánh xạ ψ : G/B → G/A, gB → gA. Giả sử g1 B, g2 B ∈ G/B sao cho g1 B =
g2 B. Khi đó g2−1 g1 ∈ B. Vì B ⊂ A nên g2−1 g1 ∈ A. Do vậy g1 A = g2 A kéo theo
ψ được xác định hoàn toàn. Dễ dàng kiểm tra ψ là một toàn cấu nhóm. Hơn nữa, ta
thấy ngay Ker(ψ) = {gB ∈ G/B|gA = A} = {gB ∈ G/B|g ∈ A} = A/B. Theo
Định lý 1.4 ta có (G/B)/(A/B) ∼
= G/A.

Định lí 1.7. Giả sử N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi đó có một song ánh
giữa tập ác nhóm con A của nhóm G chứa nhóm con N và tập các nhóm con A/N


13
của nhóm G/N. Hơn nữa, với tất cả các nhóm con A và B của nhóm G chứa nhóm
con N ta còn có
(1) A ⊂ B khi và chỉ khi A/N ⊂ B/N.
(2) Nếu A ⊂ B thì |B : A| = |B/N : A/N |.
(3) < A, B >=< A/N, B/N > .
(4) (A ∩ B)/N = (A/N ) ∩ (B/N ).
(5) A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G khi và chỉ khi A/N là nhóm con chuẩn
tắc của nhóm G/N.
Chứng minh. Giả thiết A là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Xét ánh xạ φ : G →
G/N, g → gN. Hiển nhiên, φ là một đồng cấu nhóm. Giả sử A/N là nhóm con của
nhóm G/N. Nếu ta lấy a ∈ A thì φ(a) = aN ∈ A/N và kéo theo A ⊆ φ−1 (A/N ).
Tương tự, nếu lấy g ∈ φ−1 (A/N ) thì φ(g) ∈ A/N và có a ∈ A. Do vậy A =
φ−1 (A/N ). Lấy g, h ∈ φ−1 (A/N ). Khi đó
φ(gh−1 ) = φ(g)[φ(h)]−1 ∈ A/N
và vì φ(g), φ(h) ∈ A/N nên gh−1 ∈ φ−1 (A/N ). Do vậy, theo tiêu chuẩn nhóm con
có A là nhóm con của G. Ngược lại, ỉa sử A là một nhóm con của G chứa N. Với
gN, hN ∈ φ(A) ta có
gN.(hN )−1 = gN.h−1 N = gh−1 N ∈ φ(A)
vì gh−1 ∈ A. Hơn nữa, ta cũng dễ dàng có φ(A) = A/N. Theo tiêu chuẩn nhóm con
có A/N là nhóm con của G/N. Từ đó ta nhận được một song ánh giữa tập các nhóm
con A của G chứa N và tập các nhóm con A/N của G/N. Các kết quả còn lại được
chứng minh dễ dàng.


14

1.3

Tác động nhóm lên một tập

1.3.1

Tác động nhóm lên một tập

Định nghĩa 1.7. Cho nhóm G và tập T. Một tác động nhóm của G lên T là một ánh
xạ G × T → X, (x, t) → x.t thỏa mãn điều kiện:
(1) y.(x.t)=(yx).t với mọi x, y ∈ G, t ∈ T.
(2) e.t = t với mọi t ∈ T.
Với tác động nhóm của G lên T ta cũng gọi ngắn gọn T là G-tập. Chú ý rằng, một
G-tập không nhất thiết phải là một nhóm. Xét quan hệ ∼ trong T. Với hai phần tử
t, t ∈ T, ta định nghĩa t ∼ t nếu có x ∈ G để t = x.t. Kết quả sau đây sẽ chỉ ra ∼
là một quan hệ tương đương trong T.
Bổ đề 1.4. Quan hệ ∼ trong T là một quan hệ tương đương.
Chứng minh. Vì e ∈ G và e.t = t với mọi t ∈ T nên t ∼ t với mọi t ∈ T.
Giả sử t, t ∈ T và t ∼ t . Khi đó tồn tại ∈ G để t = x.t. Vì x−1 ∈ G nên
x−1 .t = x−1 .(x.t) = (x−1 x).t = e.t = t. Do vậy, ta nhận được t = x−1 .t hay
t ∼ t. Cuối cùng, giả sử t, t , t” ∈ T thỏa mãn t ∼ t và t” ∼ t . Khi đó có x, y ∈ G
để t = x.t, t” = y.t . Biến đổi t” = y.t = y.(x.t) = (yx).t và ta có t” = (yx).t. Từ
đây suy ra t” ∼ t. Tóm lại, quan hệ ∼ trong T là một quan hệ tương đương.
Với quan hệ tương đương ∼ trong tập T, ta ký hiệu một quỹ đạo của G chứa t ∈ T
là lớp tương đương trong T :
O(t) = {x.t|x ∈ G}.
Ổn định hóa Gt của t ∈ T và Cố định hóa Fix(x) của x ∈ G là các tập
Gt = {x ∈ G|x.t = t}, Fix(x) = {t ∈ T |x.t = t}.
Tiếp theo, ta định nghĩa tác động nhóm của G lên chính nó bởi các liên hợp. Với

x, y ∈ G định nghĩa G tác động nhóm lên chính nó qua
x.y = xyx−1 .


15
Dễ dang kiểm tra, tác động này thỏa mãn các điều kiện ở trên của tác động nhóm.
Hơn nữa, các Orbit của G với tác động nhóm vừa nêu ra được gọi là các lớp liên hợp
của G. Ta cũng dễ dàng thấy Gt là một nhóm con của nhóm G.
Định lí 1.8. [The Class Equation] Cho nhóm hữu hạn G. Giả sử x1 , x2 , . . . , xr là
những phần tử đại diện của các lớp liên hợp phân biệt tương ứng của G thỏa mãn
tất cả đều không nằm trong Z(G). Khi đó ta có đồng nhất thức
r

|G| = |Z(G)| +

|G : CG (xi )|.
i=1

Chứng minh. Giả thiết G là một nhóm hữu hạn. Theo định nghĩa, nếu z ∈ Z(G) thì
xzx−1 = z với mọi x ∈ G. Do vậy, tập {z} là một lớp liên hợp của G với đúng một
phần tử. Do G là một nhóm hữu hạn nên tâm Z(G) của G là một nhóm con hữu hạn,
chẳng hạn Z(G) = {e, z1 , . . . , zk }. Ký hiệu H1 , H2 , . . . , Hr là r lớp liên hợp phân
biệt với phần tử đại diện x1 , x2 , . . . , xn , tương ứng, của nhóm G không chứa trong
Z(G). Vì quan hệ liên hợp là tác động nhóm của G lên chính nó và nó cảm sinh một
quan hệ tương đương trong G, nên các lớp lên hợp phân hoạch G. Vì vậy, chúng ta
có công thức
|G| =

|Hj |.

|Hj | = |Z(G)| +

1+
i=1

r

r

k

j=1

j=1

Định nghĩa tương ứng φj : Hj → G/CG (xj ), yxj y −1 → yCG (xj ), với mỗi j, 1
j

r. Chú ý rằng, với y, z ∈ G thỏa mãn yxj y −1 = zxj z −1 ta có (z −1 y)xj (z −1 y)−1 =

xj và suy ra z −1 y ∈ CG (xj ). Do vậy, yCG (xj ) = zCG (xj ) và ánh xạ φj đã được
định nghĩa. Mặt khác, nếu yxj y −1 = zxj z −1 ∈ Hj thì z −1 yxj = xj z −1 y và như vậy
z −1 y ∈
/ CG (xj ). Ta có yCG (xj ) = zCG (xj ) theo Hệ quả 1.1. Điều này chỉ ra φj là
một đơn ánh. Ta cũng dẽ dàng thấy φj còn là một toàn ánh. Từ các kết quả đã chứng
minh ta nhận được |Hj | = |G/CG (xj )| = |G : CG (xj )|. Tóm lại, ta nhận được đồng
nhất thức |G| = |Z(G)| +

r

|G : CG (xi )|.
i=1

Hệ quả 1.5. [Sylow’s Theorem] Cho nhóm G với cấp bằng ps m, trong đó s ∈ N∗
và số nguyên tố p |m. Khi đó G có một p-nhóm con Sylow.


16
Chứng minh. Quy nạp theo cấp |G|. Nếu |G| = 1 thì két luận là hiển nhiên. Giả sử
kết luận đúng cho tất các các nhóm với cấp nhỏ hơn |G|.
Xét trường hợp p||Z(G)|. Do Z(G) là một nhóm abel nên nhóm Z(G) có một nhóm
con xiclic N cấpp theo Hệ quả 1.3, Định lý Cauchy. Vậy, theo Định lý Lagrange
|G/N | = ps−1 m. Theo giả thiết quy nạp, nhóm G/N có p-nhóm con Sylow P cấp
ps−1 . Từ đây suy ra sự tồn tại của nhóm con P

G chứa N để P = P/N. Như vậy,

theo Định lý Lagrange P | = ps và P là p-nhóm con Sylow của G.
Xét trường hợp p ||Z(G)|. Theo phương trình lớp, Định lý 1.8, có
r

|G : CG (xi )|,

|G| = |Z(G)| +
i=1

trong đó x1 , . . . , xr là những đại diện các lớp liên hợp khác nhau, không chứa trong
Z(G), của G. Từ công thức này suy ra sự tồn tại của chỉ số i để p ||G : CG (xi )| và
suy ra |CG (xi )| = ps kvới k ∈ N và p |k. Hơn nữa, ta còn có xi ∈
/ Z(G) và suy ra

CG (xi ) = G. Do vậy CG (xi )| < |G|. Theo giả thiết quy nạp,CG (xi ) có p-nhóm con
Sylow P cấp ps . Nhóm con P là p-nhóm con Sylow của nhóm G.
Hệ quả 1.6. Cho số nguyên tố p và số nguyên dương s. Nếu nhóm G có cấp ps thì
Z(G) = {e}.
Chứng minh. Giả sử G là một nhóm hữu hạn cấp ps . Gọi H1 , . . . , Hr là r lớp liên
hợp phân biệt với phần tử đại diện x1 , x2 , . . . , xr , tương ứng, của nhóm G không
chứa trong Z(G). Theo Định lý 1.8, ta có |G| = |Z(G)| +

r

|G : CG (xi )|. Vì

i=1

xj ∈
/ Z(G) nên CG (xj ) = G với mỗi j = 1, 2, . . . , r. Vậy |G : CG (xj )| = 1. Theo
Định lý 1.3, Định lý Lagrange, p phải chia hết |G : CG (xj )| với mỗi j = 1, 2, . . . , r.
Vì p chia hết |G| và p chia hết
tỏ Z(G) = {e}.

1.3.2

r

|G : CG (xi )| nên p chia hết Z(G). Điều này chứng

i=1

Một vài ví dụ về tác động nhóm

Ví dụ 1.5. Ký hiệu D3 = {ρ0 , ρ1 , ρ2 , µ1 , µ2 , µ3 } là nhóm hữu hạn sinh ra bởi ba phép
k2π
quay góc
, k = 0, 1, 2, quanh tâm và ba phép đối xứng qua đường cao của một
3


17
tam giác đều. Mô tả tác động của nhóm D3 lên tập T gồm 3 đỉnh, 3 cạnh, 3 đường
cao, ba trung điểm ba cạnh và tâm O.
Bài giải. Ký hiệu đỉnh tam giác là ba số 1, 2, 3. Ký hiệu ba cạnh là s1 , s2 , s3 ; ba

đường cao h1 , h2 , h3 và trung điểm ba cạnh là P1 , P2 , P3 . Tập T = {1, 2, 3, s1 , s2 , s3 , h1 , h2 , h3 , O
Ta có bảng dưới đây mô tả tất cả các tác động của D3 lên tập T :
D3 /T 1 2 3 s1 s2 s3 h1 h2 h3 P1 P2 P3 O
ρ0

1 2 3 s1 s2 s3 h1 h2 h3 P1 P2 P3 O

ρ1

2 3 1 s2 s3 s1 h2 h3 h1 P2 P3 P1 O

ρ2

3 1 2 s3 s1 s2 h3 h1 h2 P3 P1 P2 O

µ1

1 3 2 s1 s3 s2 h1 h3 h2 P1 P3 P2 O

µ2

3 2 1 s3 s2 s1 h3 h2 h1 P3 P2 P1 O

µ3

2 1 3 s2 s1 s3 h2 h1 h3 P2 P1 P3 O.

Ví dụ 1.6. Ký hiệu D4 = {ρ0 , ρ1 , ρ2 , ρ3 , µ1 , µ2 , δ1 , δ2 } là nhóm hữu hạn sinh ra bởi
kπ
, k = 0, 1, 2, 3, quanh tâm và hai phép đối xứng qua hai đường
bốn phép quay góc
2
chéo và hai phép đối xứng qua trục đi qua trung điểm hai cạnh đối của một hình
vuông. Mô tả tác động của nhóm D4 lên tập T gồm 4 đỉnh, 4 cạnh, 2 đường chéo,
hai trục qua trung điểm cặp cạnh đối, bốn trung điểm bốn cạnh và tâm O.
Bài giải. Ký hiệu đỉnh hình vuông là bốn số 1, 2, 3, 4. Ký hiệu bốn cạnh là s1 , s2 , s3 , s4 ;
hai đường chéo d1 , d2 ; hai đtrục qua trung điểm từng cặp cạnh đối là m1 , m2 và trung

điểm bốn cạnh là P1 , P2 , P3 , P4 . Tập T = {1, 2, 3, 4, s1 , s2 , s3 , s4 , m1 , m2 , d1 , d2 , O, P1 , P2 , P3 , P
Ta có bảng dưới đây mô tả tất cả các tác động của D4 lên tập T :


18

1 2 3 4 s1 s2 s3 s4 m1 m2 d1 d2 P1 P2 P3 P4 O
ρ0 1 2 3 4 s1 s2 s3 s4 m1 m2 d1 d2 P1 P2 P3 P4 O
ρ1 2 3 4 1 s2 s3 s4 s1 m2 m1 d2 d1 P2 P3 P4 P1 O
ρ2 3 4 1 2 s3 s4 s1 s2 m1 m2 d1 d2 P3 P4 P1 P2 O

ρ3 4 1 2 3 s4 s1 s2 s3 m2 m1 d2 d1 P4 P1 P2 P3 O
µ1 2 1 4 3 s3 s1 s4 s2 m1 m2 d2 d1 P1 P4 P3 P2 O
µ2 4 3 2 1 s3 s2 s1 s4 m1 m2 d2 d1 P3 P2 P1 P4 O
δ1 3 2 1 4 s2 s1 s4 s3 m2 m1 d1 d2 P2 P1 P4 P3 O
δ2 1 4 3 2 s4 s3 s2 s1 m2 m1 d1 d2 P4 P3 P2 P1 O.
Như vậy, ta đã mô tả xong tác động của nhóm D4 lên tập T.
Hệ quả 1.7. Cho T là một G-tập và t1 , t2 ∈ T ; x, y ∈ G. Khi đó
(1) Nếu x.t1 = x.t2 thì t1 = t2 .
(2) Có thể xảy ra x = y, nhưng x.t1 = y.t1 .
Chứng minh. (1) Giả sử x.t1 = x.t2 . Vì G là một nhóm và x ∈ G nên x−1 ∈ G.
Từ x.t1 = x.t2 suy ra x−1 .(x.t1 ) = x−1 .(x.t2 ) hay (x−1 x).t1 = (x−1 x).t2 . Điều này
chứng tỏ e.t1 = e.t2 hay t1 = t2 .
(2) Xem Ví dụ 1.5. Ta có ρ1 = µ1 , nhưng ρ1 .1 = 2 = µ1 .1.
Bổ đề 1.5. Giả sử tập T = ∅. Tập tất cả các song ánh từ T lên T với phép toán hợp
thành các ánh xạ lập thành một nhóm, ký hiệu ST .
Chứng minh. Ta biết rằng, ánh xạ hợp thành của hai song ánh, hoặc ánh xạ ngược
của một song ánh từ T lên T luôn là một song ánh. Do vậy, tập tất cả các song ánh
từ T lên T với phép toán hợp thành các ánh xạ lập thành nhóm ST .
Định lí 1.9. Giả sử tập T = ∅ và G là một nhóm. T là một G-tập khi và chỉ khi tồn
tại một dồng cấu φ : G → ST .


19
Chứng minh. Ta đã biết rằng, ST là một nhóm theo Bổ đề 1.5. Giả thiết G là nhóm
tác động lên tập T. Khi đó tồn tại ánh xạ
f : G × T → T, (x, t) → x.t.
Cố định x ∈ G, ta định nghĩa hàm fx : T → T, t → f (x, t) = x.t với mọi t ∈ T. Ta
sẽ chỉ ra fx là một song ánh.
Ta chứng minh: fx là một toàn ánh. Thật vậy, vì G là một nhóm và x ∈ G nên x−1 ∈
G. Với t ∈ T ta đặt t = x−1 .t . Khi đó fx (t) = x.t = x.(x−1 .t ) = (xx−1 ).t = t .

Điều này chứng tỏ fx là một toàn ánh.
Ta chứng minh: fx là một đơn ánh. Thật vậy, giả sử t1 , t2 ∈ T thỏa mãn fx (t1 ) =
fx (t2 ). Khi đó x.t1 = f (x, t1 ) = f (x, t2 ) = x.t2 . Vì T là một G-tập nên t1 = t2 theo
Hệ quả 1.7(1). Do vậy fx là một đơn ánh. Tóm lại fx là một song ánh và nó thuộc
ST với mọi x ∈ G.
Tiếp theo, ta định nghĩa quy tắc φ : G → ST , x → fx . Hiển nhiên, nếu x = y và
x, y ∈ G thì x.t = y.t với mọi t ∈ T. Do vậy φ(x) = fx = fy = φ(y). Từ đây suy ra
φ là một ánh xạ. Với x, y ∈ G, ta có φ(xy) = fxy . Vì fxy (t) = (xy).t = x.(y.t) =
fx (fy (t)) với mọi t ∈ T nên fxy = fx (fy ) = fx ◦ fy . Như vậy Φ(xy) = φ(x) ◦ φ(y)
và suy ra φ là một đồng cấu nhóm G → ST .
Ngược lại, giả thiết có đồng cấu φ : G → ST . Khi đó, với x ∈ G có φ(x) ∈ ST
hay fx := φ(x) là một song ánh từ tập T lên tập T. Vì φ là một đồng cấu nên
φ(xy) = φ(x) ◦ φ(y) hay fxy = fx ◦ fy với mọi x, y ∈ G. Bây giờ ta định nghĩa hàm
f : G × T → T, (x, t) → fx (t) với mọi x ∈ G và mọi t ∈ T. Với x ∈ G, t ∈ T,
định nghĩa x.t = fx (t). Vậy, hàm f : G × T → T, (x, t) → x.t với mọi x ∈ G và
mọi t ∈ T. Ta sẽ chỉ ra, f xác định một tác động nhóm của G lên T. Thật vậy, với
x, y ∈ G, t ∈ T, có (xy).t = fxy (t) = fx (fy (t)) = x.(y.t) và e.t = fe (t) = t. Tóm
lại, f là một tác đọng nhóm của G lên T.
Qua Định lý 1.9 ta thấy rằng, nếu T là một G-tập thì mỗi phần tử x ∈ G tác động
như một song ánh trên T hay như một phép hoán vị của tập T. Do vậy, có một hàm


20
φ : G → ST , x → φ(x) = fx là một phép hoán vị thuộc tập ST . Vận dụng các kết
quả đã đạt được, chúng ta trình bày lại chứng minh Định lý Cayley.
Định lí 1.10. [Cayley] Mỗi nhóm G đẳng cấu với một nhóm con của nhóm SG . Đặc
biệt, nếu |G| = n thì G đẳng cấu với một nhóm con của nhóm Sn .
Chứng minh. Giả sử hàm f : G × G → G xác định bởi f (x, y) = xy cho mọi
x, y ∈ G. Vì (xy)z = x(yz) và ex = x với mọi x, y, z ∈ G nên nhóm G tác động
lên chính nó. Theo Định lý 1.9, có đồng cấu φ : G → SG , x → φ(x) = fx . Ta định

nghĩa hàm fx qua fx (t) = xt khi x, t ∈ G và x cố định. Đặt
H = φ(G) = {φ(x)|x ∈ G} ⊂ SG .
Ta sẽ chỉ ra H là một nhóm con của nhóm SG . Nếu a, b ∈ H thì có x, y ∈ G để
a = φ(x), bφ(y). Khi đó ab = φ(x) ◦ φ(y) = φ(xy) bởi vì φ là một đồng cấu
nhóm. Vậy ab ∈ H. Điều này chứng tỏ tập H đóng kín đối với phép nhân. Lại có
a ∈ H, a = φ(x) với x ∈ G. Do G là một nhóm nên x−1 ∈ G và a−1 = φ(x−1 ) ∈ H.
Điều này chứng tỏ tập H đóng kín đối với phép lấy nghịch đảo. Tóm lại H là một
nhóm con của SG .
Tiếp theo, ta chỉ ra rằng, ánh xạ φ : G → H là một song ánh. Do bởi H = φ(G) nên
φ là một toàn ánh. Giả sử x, y ∈ G thỏa mãn φ(x) = φ(y). Khi đó fx = fy . Từ đây
suy ra fx (t) = fy (t) với mọi t ∈ G hay xt = yt. Theo luật giản ước trong nhóm G
ta nhận được x = y. Vậy φ là đơn ánh. Tóm lại, φ là một song ánh. Do φ vừa là đồng
cấu và vừa là song ánh nên φ là một đẳng cấu. Như vậy G đẳng cấu với một nhóm
con của nhóm SG .
Nếu |G| = n thì SG

Sn và như vậy G đẳng cấu với một nhóm con của nhóm

Sn .

1.4

Nhóm giải được

Định lý Burnside phát biểu rằng, nếu một nhóm có cấp dạng pr q s , trong đó p, q
là hai số nguyên tố khác nhau, là nhóm giải được. Do vậy, trong mục này chúng tôi


21
muốn trình bày lại một vài kết quả. Trước tiên ta định nghĩa thế nào là một nhóm

giải được?
Định nghĩa 1.8. Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nó có một xích các nhóm
con {e} ⊂ G0

Gk = G thỏa mãn nhóm thương Gi+1 /Gi là nhóm

···

G1

abel với i = 0, . . . , k − 1.
Định lí 1.11. Giả sử nhóm G có nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N. Nếu N
và G/N là những nhóm giải được thì G cũng là một nhóm giải được.
Chứng minh. Giả sử nhóm G có nhóm con chuẩn tắc N sao cho N và G/N giải
được. Khi đó có xích các nhóm con tương ứng
{e} ⊂ N0

N1

···

Nh = N

{e} ⊂ G0

G1

···

Gm = G/N

thỏa mãn các nhóm thương Nj+1 /NJ và Gi+1 /Gi đều là nhóm abel với j = 0, . . . , h−
1 và i = 0, . . . , m − 1. Theo Định lý 1.7, với mỗi Gi đều có Gi ⊂ G để N
và Gi = Gi /N. Hơn nữa, ta còn có Gi

Gi+1 khi và chỉ Gi

Gi

Gi+1 với i =

0, . . . , m − 1. Theo Định lý 1.6, ta có
Gi+1 /Gi = (Gi+1 /N )/(Gi /N ) ∼
= Gi+1 /Gi .
Từ đây ta nhận được xích các nhóm con
{e} ⊂ N0

N1

···

Nh = N = G0

G1

···

Gm = G

thỏa mãn mỗi nhóm thương đều là nhóm abel. Do vậy, nhóm G là giải được.

Định lí 1.12. Tất cả các p-nhóm đều là những nhóm giải được.
Chứng minh. Giả sử P là p-nhóm với |P | = pn . Ta chứng minh định lý bằng phương
pháp quy nạp theo n. Với n = 1, ta có |P | = p. Vậy P là nhóm xiclic và suy ra P là
abel. Nhóm P giải được. Giả sử nhóm P giải được khi n

k − 1. Theo Hệ quả 1.6

có Z(P ) = {e}. Vậy, |P/Z(P )| = pm với m < k. Theo giả thiết quy nạp P/Z(P )
là giải được. Vì Z(P ) là abel nên Z(P ) giải được. Theo Định lý 1.11, nhóm P giải
được. Như vậy, mọi p-nhóm là giải được.