Bài Tập và Đáp Án HÀM PHỨC

Bài tập Hàm biến phức

Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán

Bài tập chương I
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau
a) ( 3 − 5i ) ( 4 + i )
3−i
4 − 5i
1− i
e)
1+ i

b) ( 2 + 3i ) ( 3 + 7i )
d) ( 2 + 7i )

c)

(

f) 1 − i 3

Bài 2. Tìm các căn số phức sau
a) 6 1
c) 4 −1
e) 5 − 8i

3

)

6

b) i
d) 1 − i
f) 3 −2 + 2i

Bài 3. Tìm môđun và argument của các số phức sau
1+ i
3 +i

a) 1 + i

b)

c) −3 + i 3

d) ( 1 − i ) 1 + i 3

(

e) 3 + i 3

)

(

2

1+ i 3 )
f) (

)

3

−1 − i

Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho
a) ( 1 + 2i ) x + ( 3 − 5i ) y = 1 − 3i
c) ( 2 − 3i ) x + ( 1 + 3i ) y = 4 + 5i

b) ( 3 − i ) x + ( 1 − 2i ) y = 1 + 4i

d) ( 2 + 3i ) x + ( 3i − 1) y = 7 + 4i

Bài 5. Chuyển sang dạng lượng giác rồi tính các số phức sau

(

a) 1 + i 3
c) ( 1 + i )

)

7

b) 4 1 − i 3

(

)

2010

d) ( 1 − i )

2009

Bài 6. Chứng minh rằng
8n
a) ( 1 + i ) = 16n

b) ( 1 + i )

4n

Bài 7. Giải các phương trình sau
a) x 4 + 6x 3 + 9x 2 + 100 = 0
c) z 2 + z + 1 = 0
e) z 4 − 3i.z 2 + 4 = 0

b) x 4 + 2x 2 − 24x + 72 = 0
d) z 2 + 2i.z − 5 = 0
2
f) z − ( 1 + i ) z + 6 + 3i = 0

2009

3 +i

= ( −1) 4n

Bài 8. Cho số phức a = cosϕ+isinϕ . Tính số phức z =

n

1− a
1+ a

4
3
2
Bài 9. Cho đa thức f (t) = t − 4 ( 1 + i ) t + 12it − 8i ( 1 + i ) t − 5

1

GV Phạm Trí Nguyễn


Bài tập Hàm biến phức
a) Tính f (1) và f (i)
b) Giải phương trình f (t) = 0

Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán

(

)

Bài 10. Cho phương trình a n x + a n −1x + ... + a1x + a 0 = 0 , với a k ∈ R k = 1, n . Biết

α là một nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng α cũng là nghiệm của
phương trình. Từ đó suy ra mọi phương trình bậc lẻ hệ số thực đều có ít nhất một
nghiệm thực.
n −1

n

1
z

4k
Bài 11. Chứng minh rằng nếu z + = 2sin α thì z +

1
z

Bài 12. Chứng minh rằng nếu z + = 2sin α thì z n +
Bài 13. Tìm các số phức z sao cho z 7 và

1
= 2cos4kα, k ∈ N .
z 4k

1
= 2cosnα .
zn

1
là hai số phức liên hợp của nhau.
z2

Bài 14. Giải phương trình: z 2 − (1 + i ) z + 6 + 3i = 0
Bài 15. a) Giải phương trình: x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0
b) Gọi các nghiệm của phương trình trên là ε 1 , ε 2 ,..., ε 6 . Hãy tính tổng:
S = 1 + ε 15 + ... + ε 65

(ĐS: 0)

thoả mãn: ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 0 . Hãy tìm

Bài 16. Cho số phức z = x +iy
max(argz) và min(argz) ?

Bài 17. Tìm điều kiện cần và đủ để 3 số phức z1 , z 2 , z 3 thẳng hàng.
Bài 18. Xác định biên của các miền sau
a) D = { z : Re z > 0, 0 < Im z < 1}
b) D = { z : z − 1 > 1}

c) D = { z : z − 1 > 0}



1
n




d) D = z : z ≠ 0, z ≠ , n ∈ N  .
Bài 19. Xác định biên của các miền sau

a) Im z > Re z
b) Im z > z
c) z.z > Re z .
Bài 20. Tìm phần thực và phần ảo của các hàm số sau
a) f (z) = iz + 2z 2
b) f (z) = 2i − z + iz 2
c) f (z) =

z+i
i−z

d) f (z) =

2

z2 + z +1
iz + z

GV Phạm Trí Nguyễn


Bài tập Hàm biến phức

Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán

Bài 21. Tìm f (z) biết phần thực và phần ảo của nó là
a) u ( x; y ) = x + y ; v ( x; y ) = x − y
2
2
b) u ( x; y ) = x − y − 2y − 1 ; v ( x; y ) = 2xy + 2x

c) u ( x; y ) =

1
1
; v ( x; y ) =
x
y

Bài 22. Tìm ảnh của họ đường cong sau đây qua hàm số w = f(z) =

1
z

a) Họ đường tròn x 2 + y 2 = ax
b) Họ đường tròn x 2 + y 2 = by
c) Chùm đường thẳng song song y = x + b
d) Chùm đường thẳng đi qua điểm z = z 0
1
Bài 23. Cho hàm số w = f(z) = . Hãy tìm
z
a) Ảnh của đường thẳng x = c
b) Ảnh của đường tròn z − 1 = 1
c) Tạo ảnh của đường thẳng u = c
Bài 24. Cho biết 2 đỉnh liên tiếp z1 , z 2 của đa giác đều n cạnh. Tìm đỉnh z 3 kề với
đỉnh z 2 ?
Bài 25. Chứng minh rằng với mọi z1 , z 2 ta luôn có bất đẳng thức:
z1 − z 2 ≤ z1 − z 2
Bài 26. Giải phương trình z 4 (1 − i 3 ) 506 = ( 3 + i )1329
Bài 27. Xác định biên của các miền sau

a) Im z > Re z
b) Im z > z
c) z.z > Re z .
Bài 28. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = (−1 − i ) 20 (− 3 + i )15
Bài 29. Giải phương trình: z 2 − (1 + i 3 ) z − 1 + i 3 = 0
Bài 30. a) Giải phương trình x 2 + x 3 + 1 = 0
(1)
b) Gọi các nghiệm của phương trình (1) là α và α . Cho đa thức:
P( x) = x 4 + ( 3 − 2) x 3 + 2(1 − 3 ) x 2 + ( 3 − 2) x + 1.
Hãy tính P(α ) ? từ đó tìm các nghiệm còn lại của phương trình P( x) = 0 .
Bài 31. CMR nếu z1 + z 2 + z 3 = 0 và z1 = z 2 = z 3 = 1 , thì 3 điểm z1 , z 2 , z 3 lập
thành một tam giác đều nội tiếp hình tròn đơn vị.
3

GV Phạm Trí Nguyễn


Bài tập Hàm biến phức

Trường Đại học Điện Lực – Bộ môn Toán

1
. Hãy tìm ảnh của đường tròn z = R ?
z
Bài 33. Dựa vào công thức Moavơrơ, hãy biểu diễn tan 5 x theo tan x .
Bài 32. Cho hàm số w = z +

Bài 34. Cho phương trình f ( x) = 4 x 4 − 24 x 3 + 57 x 2 + 18 x − 45 = 0
a) Tính f (3 + i 6 )
b) Giải phương trình f ( x) = 0

Bài 35. Tìm số phức z thoả mãn: z 4 = z + z
Bài 36. Tìm ảnh của miền { 0 < x < 1} qua hàm số w =

z −1
z

Bài 37. Giải phương trình ( z + i ) 4 − ( z − i ) 4 = 0

1

Bài 38. Cho a là số thực dương và tập M =  z ∈ C : z + = a  . Tìm giá trị nhỏ
z


nhất và giá trị lớn nhất của z khi z ∈ M .
z + iz
. Tìm phần thực, phần ảo của f(z). Chứng tỏ
1+ i
rằng ảnh của một đường tròn qua hàm f là một đoạn thẳng?
Bài 39. Cho hàm số f ( z ) =

Bài 40. Tìm tất cả các số phức z sao cho: 4 z 2 + 8 | z | 2 = 8 .
1
là số thực?
z
Bài 42. Cho z1 = 1 + i, z 2 = −1 − i . Tìm z 3 sao cho tam giác z1 z 2 z 3 đều?
Bài 41. Tìm số phức z ≠ 0 sao cho z +

z =1


Bài 43. Tìm z sao cho  z z
 z + z =1


4

GV Phạm Trí Nguyễn