Phương trình hàm Cauchy cộng tính và tính ổn định

Header Page 1 of 161.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THANH THẢO

PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY
CỘNG TÍNH VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: PGS. TSKH Trần Quốc Chiến
Phản biện 2: GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng
8 năm 2016

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

Footer Page 2 of 161.


1

Header Page 3 of 161.
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết về phương trình hàm là một lĩnh vực được ra đời và
phát triển mạnh mẽ trong lịch sử của ngành Giải tích Toán học.
Trong đó, phương trình hàm Cauchy là một trong những dạng
phương trình hàm cơ bản, đóng vai trò nòng cốt về phương pháp luận
cũng như phương pháp giải cho hầu hết các dạng toán liên quan.
A.M. Legendre được xem như là người đầu tiên đưa ra lời giải của
phương trình hàm Cauchy, đồng thời cũng là người khởi nguồn cho
việc nghiên cứu về lớp hàm cộng tính. Có thể thấy tính chất của hàm
cộng tính có mối liên hệ chặt chẽ đến cách xác định lời giải của
phương trình hàm Cauchy cộng tính. Vì vậy việc nghiên cứu các tính
chất của hàm cộng tính có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết của
phương trình hàm Cauchy nói riêng và phương trình hàm nói chung.
Bên cạnh một số cách tiếp cận phương trình hàm như: nghiên
cứu định tính (xác định một số đặc trưng của hàm số) hoặc nghiên
cứu định lượng (ước lượng số nghiệm, xác định các dạng nghiệm cụ
thể), nghiên cứu nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, xác định
nghiệm liên tục hay gián đoạn... thì tính ổn định nghiệm của phương

trình hàm cũng là một trong số những hướng nghiên cứu chính khi
tiếp cận phương trình hàm.
Chính vì tất cả các lí do nêu trên, tôi chọn đề tài: “Phương trình
hàm Cauchy cộng tính và tính ổn định” để nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
– Nghiên cứu các tính chất của hàm cộng tính và mối liên hệ giữa
hàm cộng tính với phương trình hàm Cauchy cộng tính.

Footer Page 3 of 161.


2

Header Page 4 of 161.
– Nghiên cứu tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng
tính.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm Cauchy cộng tính.
3.2. Phạm vi nghiên cứu: Tính chất của hàm cộng tính và tính ổn
định của phương trình hàm Cauchy cộng tính.
4. Phương pháp nghiên cứu
– Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, các bài
báo khoa học và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của
luận văn) để thu thập thông tin nhằm phục vụ cho việc phân tích, làm
rõ các vấn đề có trong đề tài.
– Nghiên cứu các tài liệu thu thập được, tổng hợp và hệ thống lại,
đồng thời trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của Thầy hướng dẫn,
của chuyên gia và của các đồng nghiệp.
5. Nội dung
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo thì

nội dung luận văn gồm hai chương
Chương 1. Phương trình hàm Cauchy cộng tính
Chương 2. Tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính.

Footer Page 4 of 161.


3

Header Page 5 of 161.
CHƯƠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH
1.1. GIỚI THIỆU
Sự nghiên cứu về hàm cộng tính bắt nguồn từ A.M. Legendre –
người đầu tiên tìm cách xác định lời giải của phương trình hàm
Cauchy
f ( x + y )= f ( x) + f ( y )

với mọi x, y ∈ . Đến năm 1821, A.L. Cauchy bắt đầu đề xuất những
nghiên cứu có tính hệ thống về phương trình hàm Cauchy cộng tính
trong sách Cours d’Analyse của mình. Hàm cộng tính chính là
nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính nêu trên. Vì vậy
trong chương này, chúng ta sẽ tập trung nghiên cứu về hàm cộng
tính.
Đầu tiên ta định nghĩa như thế nào là một phương trình hàm. Sau
đó xem xét phương trình hàm Cauchy cộng tính và chỉ ra rằng những
hàm cộng tính liên tục hoặc khả tích địa phương là tuyến tính. Hơn
nữa, chúng ta nghiên cứu dáng điệu của các hàm cộng tính phi tuyến
không liên tục, từ đó chỉ ra rằng chúng biểu hiện một dáng điệu rất
lạ: đồ thị của chúng trù mật trong mặt phẳng. Tiếp theo, chúng ta đề

cập một cách ngắn gọn về cơ sở Hamel và ứng dụng của nó trong
việc xây dựng lớp hàm cộng tính không liên tục. Chúng ta cũng sẽ
xem xét dưới những tiêu chuẩn khác để nghiệm của phương trình
hàm Cauchy cộng tính là tuyến tính. Bên cạnh đó, chương này cũng
sẽ đề cập đến một số hàm cộng tính phức tạp khác. Kết thúc chương
là tập hợp các nhận xét, nơi chúng ta nêu ra một số vấn đề mở rộng
và phát triển liên quan tới phương trình hàm Cauchy cộng tính.
1.2. PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Footer Page 5 of 161.


4

Header Page 6 of 161.
Phương trình hàm là những phương trình mà yếu tố chưa biết
chính là các hàm. Giải một phương trình hàm nghĩa là tìm tất cả các
hàm thỏa mãn phương trình hàm đã cho. Và để thu được một lời giải
hoàn chỉnh, các hàm phải được hạn chế trong một điều kiện tự nhiên
đặc biệt (chẳng hạn như giải tích, bị chặn, liên tục, lồi, khả vi, đo
được hay đơn điệu).
1.3. NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG
TÍNH
Trong phần này, chúng ta giới thiệu về phương trình hàm Cauchy
cộng tính và xác định nghiệm chính quy của nó.
Định nghĩa 1.1. Một hàm f :  →  được gọi là một hàm cộng
tính nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính
f ( x + y )= f ( x) + f ( y )

(1.1)

với mọi x, y ∈  .
Định nghĩa 1.2. Một hàm f :  →  được gọi là một hàm tuyến
tính khi và chỉ khi nó có dạng
f ( x) = cx

( ∀x ∈  )

với c là một hằng số tùy ý.
Đồ thị của một hàm tuyến tính f ( x) = cx là một đường thẳng
(không thẳng đứng) đi qua gốc tọa độ và do đó được gọi là tuyến
tính. Dễ thấy rằng, các hàm tuyến tính đều thỏa mãn phương trình
hàm Cauchy. Vậy câu hỏi nảy sinh ở đây là, ngoài hàm tuyến tính ra
thì còn có hàm nào khác cũng thỏa mãn phương trình hàm Cauchy
nữa hay không?
Chúng ta bắt đầu với việc chứng minh rằng, chỉ những nghiệm
hàm liên tục của phương trình hàm Cauchy mới là hàm tuyến tính.
Kết quả này đã được Cauchy khẳng định vào năm 1821.

Footer Page 6 of 161.


5

Header Page 7 of 161.
Định lý 1.1. Cho f :  →  là một hàm liên tục thỏa mãn
phương trình hàm Cauchy cộng tính (1.1). Khi đó f tuyến tính; vì
vậy, f ( x) = cx với c là một hằng số tùy ý.
Lưu ý rằng trong Định lý 1.1, chúng ta sử dụng tính liên tục của
hàm f để kết luận f khả tích. Tính khả tích của hàm f làm cho

nghiệm hàm của phương trình hàm Cauchy cộng tính trở nên tuyến
tính. Vì vậy, mọi hàm cộng tính khả tích đều tuyến tính.
Định nghĩa 1.3. Một hàm f :  →  được gọi là khả tích địa
phương khi và chỉ khi nó khả tích trên mọi khoảng hữu hạn.
Có thể kết luận rằng mọi nghiệm khả tích địa phương của
phương trình hàm Cauchy cộng tính đều tuyến tính thông qua một
chứng minh đã biết của Shapiro (1973).
Mặc dù chứng minh của Định lý 1.1 là khá ngắn gọn và chỉ vận
dụng các tính toán thông thường, tuy nhiên nó chưa làm sáng tỏ vấn
đề liên quan giữa tính cộng tính và tính tuyến tính. Bây giờ chúng ta
sẽ đưa ra một chứng minh khác để có thể hiểu rõ hơn về dáng điệu
của nghiệm phương trình hàm Cauchy cộng tính. Trước tiên, ta bắt
đầu với định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.4. Một hàm f :  →  được gọi là thuần nhất hữu
tỷ khi và chỉ khi
f (rx) = rf ( x)

(1.5)

với mọi x ∈  và với mọi số hữu tỷ r .
Định lý sau đây sẽ chỉ ra bất kỳ nghiệm nào của phương trình
hàm Cauchy cộng tính cũng thuần nhất hữu tỷ.
Định lý 1.2. Cho f :  →  là một nghiệm của phương trình
hàm Cauchy cộng tính (1.1). Khi đó f là một hàm thuần nhất hữu
tỷ. Hơn nữa, f tuyến tính trên tập hợp số hữu tỷ  .

Footer Page 7 of 161.


6

Header Page 8 of 161.
Định lý 1.3. Cho f là một nghiệm của phương trình hàm
Cauchy cộng tính (1.1). Nếu f liên tục tại một điểm thì nó liên tục
tại mọi điểm.
Định lý 1.4. Cho f là một nghiệm của phương trình hàm
Cauchy cộng tính (1.1). Nếu f liên tục tại một điểm thì f tuyến
tính; vì vậy, f ( x) = cx với mọi x ∈  .
1.4. NGHIỆM KHÔNG LIÊN TỤC CỦA PHƯƠNG TRÌNH
CAUCHY CỘNG TÍNH
Trong phần trước, chúng ta đã chỉ ra rằng một nghiệm liên tục
của phương trình Cauchy cộng tính thì tuyến tính. Hay nói cách khác,
hàm cộng tính liên tục thì tuyến tính. Thậm chí, khi chúng ta nới lỏng
điều kiện liên tục thành liên tục tại một điểm, thì hàm cộng tính vẫn
tuyến tính. Trong nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộng tính không liên
tục là một vấn đề bỏ ngỏ. Các nhà toán học không thể chứng minh
được mọi hàm cộng tính là liên tục, cũng không thể chỉ ra một ví dụ
về hàm cộng tính không liên tục. Mãi đến năm 1905, một nhà toán
học người Đức là G. Hamel đã thành công trong việc minh chứng sự
tồn tại của hàm cộng tính không liên tục.
Bây giờ chúng ta tìm hiểu về nghiệm phi tuyến của phương trình
Cauchy cộng tính. Đầu tiên, chúng ta chứng tỏ rằng nghiệm phi tuyến
của phương trình Cauchy cộng tính biểu thị một dáng điệu rất kì lạ.
Định nghĩa 1.5. Đồ thị của một hàm f :  →  là tập hợp
=
G

,y
{( x, y ) | x ∈ =

f ( x)}.

Định lý 1.5. Đồ thị của mọi nghiệm hàm phi tuyến f :  → 
của phương trình Cauchy cộng tính trù mật khắp nơi trong mặt
phẳng  2 .

Footer Page 8 of 161.


7

Header Page 9 of 161.
Vậy đồ thị của một hàm cộng tính liên tục là một đường thẳng đi
qua gốc tọa độ. Trong khi đó, đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến
trù mật trong mặt phẳng  2 .
Tiếp theo, ta giới thiệu khái niệm của cơ sở Hamel để xây dựng
một hàm cộng tính gián đoạn.
Xét tập hợp

{

}

S =∈
s |s =
u + v 2 + w 3, u , v, w ∈ 

với mỗi phần tử của tập hợp là một tổ hợp tuyến tính hữu tỷ của
1, 2, 3 . Hơn nữa, tổ hợp hữu tỷ này là duy nhất. Vì vậy, giả sử

một phần tử s ∈ S có hai tổ hợp tuyến tính hữu tỷ khác nhau, ví dụ
như
s=
u + v 2 + w 3 =+
u ' v ' 2 + w ' 3,

u u=
', v v ' và w = w ' . Để chứng minh điều này chúng ta lưu ý
thì=

rằng giả thuyết này dẫn tới
(u − u ') + (v − v ') 2 + ( w − w ') 3 =
0.

Đặt a= (u − u '), b= (v − v ') và =
c ( w − w ') , ta thấy rằng biểu thức
trên được thu gọn thành
a+b 2 +c 3 =
0.

Tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng a= 0= b= c . Thật vậy, biểu thức trên
cho ta
b 2 +c 3 =
− a,

bình phương hai vế, ta được
2bc 6 =a 2 − 2b 2 − 3c 2 .

Điều này kéo theo b hoặc c phải bằng không. Thật vậy, vì nếu b và
c đồng thời khác không, chúng ta có thể chia hai vế cho 2bc và thu

được

Footer Page 9 of 161.


8

Header Page 10 of 161.
6=

a 2 − 2b 2 − 3c 2
2bc

Điều này mâu thuẫn với

6 là một số vô tỷ. Nếu b = 0 , thì
a
a+c 3 =
0 ; suy ra c = 0 (vì 3 = − là một số hữu tỷ trái với thực
c
tế rằng 3 là một số vô tỷ). Tương tự, nếu c = 0 , ta có được b = 0 .
Vì vậy cả b và c đều bằng không. Điều này ngay lập tức dẫn đến
a=0.

Nếu chúng ta đặt

{

}

B = 1, 2, 3 ,

thì mỗi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính hữu tỷ duy nhất của
các phần tử thuộc tập hợp B . Khi đó, tập hợp B được gọi là một cơ
sở Hamel của tập hợp S . Về mặt hình thức thì một cơ sở Hamel
được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.6. Cho S là một tập các số thực và B là một tập
hợp con của S . Khi đó B được gọi là một cơ sở Hamel của S nếu
mọi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính hữu tỷ (hữu hạn) duy
nhất của B .
Nếu tập hợp S là tập hợp số thực  , sử dụng tiên đề chọn có thể
chỉ ra rằng tồn tại một cơ sở Hamel của tập hợp  . Chứng minh của
điều này nằm ngoài phạm vi của tài liệu.
Có thể nhận xét rằng, tồn tại một mối liên kết khăng khít giữa các
hàm cộng tính và cơ sở Hamel. Để mô tả một hàm cộng tính, ta chỉ
cần cho các giá trị trên một cơ sở Hamel, và các giá trị này có thể
phân bố tùy ý. Đây chính là nội dung của hai định lý tiếp theo.
Định lý 1.6. Cho B là một cơ sở Hamel của  . Nếu hai hàm
cộng tính có cùng giá trị tại mỗi phần tử của B , thì chúng bằng
nhau.

Footer Page 10 of 161.


9

Header Page 11 of 161.
Định lý 1.7. Giả sử B là một cơ sở Hamel của  . Cho
g : B →  là một hàm tùy ý xác định trên B . Khi đó tồn tại một hàm

cộng tính f :  →  sao cho f (b) = g (b) với mọi b ∈ B .
Với sự xuất hiện của cơ sở Hamel, tiếp theo chúng ta có thể xây
dựng một hàm cộng tính phi tuyến như sau. Giả sử B là một cơ sở
Hamel của tập số thực  . Cho b ∈ B là một phần tử tùy ý của tập
hợp B . Ta định nghĩa hàm
0 khi x  B \ b
g  x   
1 khi x  b
Theo Định lý 1.7, tồn tại một hàm cộng tính f :  →  sao cho
f ( x) = g ( x) với mọi x ∈ B . Lưu ý rằng, hàm f có thể không tuyến

tính đối với x ∈ B và x ≠ b , vì ta có
f ( x) f (b)
≠
.
x
b
Vì vậy f là một hàm cộng tính phi tuyến.
Nhận xét 1.1. Không có ví dụ cụ thể nào về một cơ sở Hamel của
 , chúng ta chỉ biết được nó tồn tại mà thôi. Đồ thị của một hàm

cộng tính gián đoạn trên tập  không dễ dàng để vẽ hay biểu diễn vì

tập { f ( x) | x ∈ } là trù mật trong  .

1.5. CÁC TIÊU CHUẨN KHÁC CỦA SỰ TUYẾN TÍNH
Đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến f là trù mật trong mặt
phẳng. Vì vậy, mọi hình tròn luôn chứa một điểm

( x, y )

sao cho

y = f ( x) . Chúng ta cũng thấy rằng một hàm cộng tính f là hàm

tuyến tính khi bắt buộc f phải liên tục. Người ta có thể làm suy
giảm điều kiện liên tục này thành liên tục tại một điểm mà f vẫn
tuyến tính. Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra một số điều kiện tựa
chính quy làm cho một hàm cộng tính trở nên tuyến tính.

Footer Page 11 of 161.


10

Header Page 12 of 161.
Định lý 1.8. Nếu một hàm cộng tính thực bị chặn một phía hoặc
đơn điệu thì tuyến tính.
Nhận xét 1.2. Lưu ý rằng vì f bị chặn trên  và f tuyến tính
nên f ( x) = 0 với mọi x ∈  . Thật vậy, giả sử x0 là một số sao cho
f ( x0 ) ≠ 0 . Bằng phương pháp quy nạp chúng ta chứng minh được

f ( nx0 ) = nf ( x0 ) với mọi n ∈  . Ta có thể làm cho nf ( x0 ) lớn tùy

ý khi ta tăng n . Điều này mâu thuẫn với tính bị chặn của f ( x ) . Vì

vậy f ( x ) = 0 với mọi x ∈  .

Trong định lý tiếp theo chúng ta không chỉ giả sử rằng f bị chặn

trên  , hơn thế ta giả sử f bị chặn trên một khoảng đóng [ a, b ] với
a, b ∈ .

Định lý 1.9. Nếu f là một hàm thực cộng tính bị chặn trên đoạn

[ a, b] , khi đó f tuyến tính; vì vậy, tồn tại một hằng số
f ( x ) = cx với mọi x ∈  .

c sao cho

Định nghĩa 1.7. Một hàm f được gọi là nhân tính nếu và chỉ

nếu f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) với mọi x và y .

Định lý 1.10. Nếu hàm cộng tính f cũng là hàm nhân tính, khi
đó f tuyến tính.
Nhận xét 1.3. Từ những gì chúng ta đã nghiên cứu, có thể thấy
rằng các nghiệm liên tục, đơn điệu hoặc đo được f :  →  của
phương trình hàm Cauchy cộng tính luôn có dạng f ( x ) = cx , với c

là một hằng số thực tùy ý. Vì vậy chúng giải tích. Chúng ta cũng
đồng thời biết được phương trình hàm Cauchy cộng tính có nghiệm
không chính quy. Điều này tùy thuộc vào thực tế là nghiệm tổng quát
của phương trình hàm Cauchy cộng tính có thể được quy ước một
cách tùy ý trên một cơ sở Hamel cố định và có thể mở rộng ra trên
 theo một cách duy nhất. Vì vậy, tồn tại các khả năng sau đây:

Footer Page 12 of 161.

11

Header Page 13 of 161.
Nghiệm của phương trình hàm Cauchy cộng tính là chính quy (trong
trường hợp này là giải tích) hoặc không chính quy (trong trường hợp
này là không có tính liên tục, không đơn điệu trên bất kì khoảng
riêng nào và cũng không đo được). Một khả năng tương tự có thể
được phát biểu cho nhiều phương trình hàm. Tiêu biểu là người ta có
thể giả sử các tính chất chính quy yếu của một hàm chưa biết (chẳng
hạn như tính đo được, tính chất Baire, tính đơn điệu, tính liên tục)
và sử dụng phương trình hàm và để dẫn tới các tính chất chính quy
bậc cao hơn. Kết quả của quá trình này được gọi là lý thuyết chính
quy đối với phương trình hàm và Jarai (2005) đã đưa ra một bài báo
cáo tuyệt vời về kết quả này.
1.6. HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG  2
Định lý 1.11. Nếu f :  2 →  là hàm cộng tính trên mặt phẳng
 2 thì luôn tồn tại các hàm cộng tính A1 , A2 :  →  sao cho
f ( x=
A1 ( x1 ) + A2 ( x2 ) , ∀x1 , x2 ∈ .
1 , x2 )

Định lý 1.12. Nếu f :  2 →  là hàm cộng tính liên tục trên mặt
phẳng  2 thì tồn tại các hằng số c1 , c2 sao cho
f ( x1 , x=
c1 x1 + c2 x2 , ∀x1 , x2 ∈ .
2)

Kết quả này có thể được làm mạnh hơn bằng việc làm yếu giả
thiết về tính liên tục của hàm f :  2 →  . Điều này thể hiện qua bổ

đề sau đây.
Bổ đề 1.1. Nếu một hàm cộng tính f :  2 →  là liên tục theo
từng biến thì nó liên tục tại điểm.
Theo kết quả này, có thể thay tính tuyến tính của các hàm cộng
tính giá trị thực trên mặt phẳng bằng giả thiết tính liên tục theo từng
biến. Ngoài ra có thể mở rộng Định lý đối với các hàm cộng tính trên
n .

Footer Page 13 of 161.


12

Header Page 14 of 161.
Định lý 1.13. Nếu f :  n →  là một hàm cộng tính liên tục trên
 n , thì tồn tại các hằng số c1 , c2 ,..., cn sao cho
f ( x1 , x2 ,..., xn )= c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn , ∀x1 , x2 ,..., xn ∈  .

1.7. HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC
Trong phần này, chúng ta sẽ nêu ra một số kết quả liên quan đến
hàm cộng tính nhận giá trị phức trên mặt phẳng phức.
Định nghĩa 1.8. Hệ thống số phức  là một tập hợp các cặp số

thực có thứ tự ( x, y ) với phép cộng và phép nhân được định nghĩa
bởi

( x, y ) + ( u, v ) =( x + u, y + v )
( x, y )( u, v ) =( xu − yv, xv + yu )
với mọi x, y, u , v ∈  .
Như vậy một số thực có thể được viết thành x hoặc ( x,0 ) . Cho

i biểu thị số thuần ảo ( 0,1) , chúng ta có thể viết lại biểu thức
, y ) ( x,0 ) + ( 0,1)( y,0 )
( x=

thành

( x, y )=

x + iy.

Nếu ta biểu thị vế trái của phép biểu diễn trên bởi z , ta có
z= x + iy . Số thực x được gọi là phần thực của z và được kí hiệu

bởi Re z . Tương tự, số thực y được gọi là phần ảo của z và được kí
hiệu bởi Im z . Nếu z là một số phức có dạng x + iy , khi đó số phức
x − iy được gọi là liên hợp của z và được kí hiệu bởi z .

Một hàm tùy ý f :  →  có thể được viết thành
f=
( z ) f1 ( z ) + if 2 ( z ) ,

(1.9)

với f1 :  →  và f 2 :  →  được cho bởi
f1 ( z ) = Re f ( z ) và f 2 ( z ) = Im f ( z ) .

Nếu f là hàm cộng tính, kết hợp (1.9) và (1.10) ta có

Footer Page 14 of 161.

(1.10)


13

Header Page 15 of 161.
f1 ( z1 + z=
Re f ( z1 + z2 )
2)

= Re  f ( z1 ) + f ( z2 ) 
=
Re f ( z1 ) + Re f ( z2 ) =
f1 ( z1 ) + f1 ( z2 ) ,
f 2 ( z1 + z=
Im f ( z1 + z2 )
2)

= Im  f ( z1 ) + f ( z2 ) 
=
f 2 ( z1 ) + f 2 ( z2 ) .
Im f ( z1 ) + Im f ( z2 ) =

Định lý 1.14. Nếu f :  →  là hàm cộng tính, khi đó tồn tại
hàm cộng tính f kj :  →  ( k , j = 1, 2 ) sao cho
f ( z ) = f11 ( Re z ) + f12 ( Im z ) + if 21 ( Re z ) + if 22 ( Im z ) .

Định lý tiếp theo liên quan đến dạng của hàm cộng tính liên tục
giá trị phức trên mặt phẳng phức.

Định lý 1.15. Giả sử f :  →  là một hàm cộng tính liên tục,
khi đó tồn tại các hằng số phức c1 và c2 sao cho
f ( z=
) c1 z + c2 z,

(1.11)

trong đó z biểu thị cho số phức liên hợp của z .
Lưu ý rằng, không giống với các hàm cộng tính liên tục nhận giá
trị thực trên tập số thực, những hàm cộng tính liên tục nhận giá trị
phức trên mặt phẳng phức không tuyến tính. Tính chất tuyến tính có
thể được khôi phục nếu có một giả thiết điều kiện chính quy mạnh
hơn chẳng hạn như tính giải tích hoặc khả vi thay cho tính liên tục.
Định nghĩa 1.9. Một hàm f :  →  được gọi là giải tích khi và
chỉ khi f khả vi trên  .
Định lý 1.16. Nếu f :  →  là một hàm cộng tính giải tích, khi
đó tồn tại một hằng số phức c sao cho
f ( z ) = cz

vì vậy, f tuyến tính.

Footer Page 15 of 161.


14

Header Page 16 of 161.
CHƯƠNG 2
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY
CỘNG TÍNH

2.1. GIỚI THIỆU
Một công thức hoặc phương trình đã biết có thể được áp dụng để
làm mô hình cho một tiến trình vật lý nếu một sự thay đổi nhỏ trong
công thức hoặc phương trình chỉ gây nên một sự thay đổi nhỏ trong
kết quả tương ứng. Khi điều này xảy ra, chúng ta nói công thức hay
phương trình đó ổn định. Ứng dụng điều này trong Toán học, một
phương trình hàm như phương trình hàm Cauchy cộng tính
f ( x + y) − f ( x) − f ( y) =
0 có thể không đúng với mọi x, y ∈ 

nhưng có thể xấp xỉ đúng, nghĩa là
f ( x + y) − f ( x) − f ( y) ≈ 0

với mọi x, y ∈  . Điều này có thể được phát biểu như sau
f ( x + y) − f ( x) − f ( y) ≤ ε

(2.1)

với ε là một số dương nhỏ tùy ý và với mọi x, y ∈  . Chúng ta sẽ
chỉ ra rằng khi có một sự thay đổi nhỏ trong một phương trình cụ thể
như phương trình hàm Cauchy cộng tính thì chỉ có một tác động nhỏ
đến nghiệm của nó. Đây chính là bản chất của lý thuyết ổn định.
Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra kết quả của Hyers cùng
với định lý của Th.M. Rassias – định lý tổng quát hóa kết quả của
Hyers. Chúng ta cũng đồng thời chỉ ra một số sự tổng quát hóa liên
quan đến tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng tính.
2.2. DÃY CAUCHY VÀ CẤP SỐ NHÂN
Định nghĩa 2.1. Một dãy { xn } các số thực được gọi là một dãy
Cauchy nếu với mọi ε > 0 , tồn tại một số tự nhiên N sao cho với
mọi số tự nhiên n, m ≥ N , số hạng xn và xm thỏa mãn

Footer Page 16 of 161.


15

Header Page 17 of 161.
xn − xm < ε .

Định lý 2.1. Một dãy các số thực hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy
Cauchy.
Ví dụ 2.1. Các dãy sau đây là dãy Cauchy:
∞

 n + 1
(a) 
 ,
 n n=1
∞

1
 1 1
(b) 1 + + + ... +  .
n ! n=1
 2! 3!

Ví dụ 2.2. Các dãy sau đây không phải là dãy Cauchy:
(a)

{( −1) }

n

∞
n =1

,
∞

n

( −1)  .
(b) n +

n 

n =1

Bây giờ ta nhắc lại cách tính tổng của một cấp số nhân.
Định lý 2.2. Cho r ∈ [ 0,1) , khi đó
S n =1 + r + r 2 + ... + r n−1 =

1− rn
1− r

và
S =1 + r + r 2 + ... + r n + ... =

Hơn thế nữa

n −1

1
.
1− r

∞

Sn = ∑ r k < ∑ r k = S .

2.3. ĐỊNH LÝ HYERS

=
k 0=
k 0

Năm 1942, Hyers thu được kết quả quan trọng đầu tiên về lý
thuyết ổn định bắt nguồn từ bài toán của Ulam. Chúng ta sẽ nêu ra
kết quả gốc của Hyers trong định lý dưới đây.

Footer Page 17 of 161.


16

Header Page 18 of 161.
Định lý 2.3. Nếu f :  →  là một hàm thực thỏa mãn
f ( x + y ) − f ( x ) − f ( y ) ≤ δ , ∀x, y ∈ 

với δ là một số dương nào đó, khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng
tính A :  →  sao cho

f ( x) − A( x) ≤ δ

với mọi x ∈  .
Để chứng minh định lý này, chúng ta cần chứng tỏ rằng
(i)

(ii)

( ) 

 f 2n x

2n

x∈ ;

∞

 là một dãy Cauchy với mỗi giá trị cố định
n=1

Nếu
A ( x ) = lim

( ),

f 2n x

2n
thì A là một hàm cộng tính trên  ;

n→∞

(iii)

Hơn nữa, A thỏa mãn

f ( x) − A( x) ≤ δ

với mọi x ∈  ;
(iv)

A là duy nhất.

Nhận xét 2.1. Nói chung, chứng minh của Định lý 2.3 vẫn đúng
với các hàm f : E1 → E2 với E1 và E2 là các không gian Banach.
Kết quả tiên phong của D.H. Hyers có thể được mô tả theo cách
dưới đây: phương trình hàm Cauchy f ( x + y =
) f ( x ) + f ( y ) ổn
định với bất kì cặp không gian Banach nào. Hàm
( x, y )  f ( x + y ) − f ( x ) − f ( y ) được gọi là sai phân Cauchy của
hàm f . Hàm với một sai phân Cauchy bị chặn được gọi là gần cộng

Footer Page 18 of 161.


17

Header Page 19 of 161.
tính (xấp xỉ cộng tính) (hay 𝜖 – cộng tính nếu sai phân Cauchy bị
 f 2n x 

chặn bởi hằng số 𝜖). Dãy 
 được gọi là dãy Hyers-Ulam.
n
 2


( )

Nhận xét 2.2.

2.4. TỔNG QUÁT HÓA CỦA ĐỊNH LÝ HYERS
Có thể chứng minh một kết quả ổn định tương tự như Định lý
Hyers (Định lý 2.3) đối với hàm không có sai phân Cauchy bị chặn.
Aoki (1950) lần đầu tiên chứng minh một kết quả như vậy đối với
hàm cộng tính. Sau đó Rassias (1978) cũng chứng minh một kết quả
tương tự cho ánh xạ tuyến tính trên không gian Banach. Trong định
lý dưới đây, chúng ta đưa ra kết quả của Rassias có thể khái quát hóa
nhiều hoạt động trong lý thuyết về tính ổn định của phương trình
hàm.
Định lý 2.4. Nếu f :  →  là một hàm thực thỏa mãn

(

f ( x + y) − f ( x) − f ( y) ≤ δ x + y
p

p

)

với số δ > 0 nào đó, p ∈ [ 0,1) và với mọi x, y ∈  , thì tồn tại duy
nhất một hàm cộng tính A :  →  sao cho
2δ
p
f ( x) − A( x) ≤
x
2 − 2p
với mọi x ∈  .
Nhận xét 2.3. Nếu p = 0 thì Định lí 2.4 trở thành Định lí 2.3.
Nhận xét 2.4. Định lí 2.4 đúng với mọi p ∈  \ {1} .
Nếu p < 1 , ta có A ( x ) = lim
n→∞

( ).

f 2n x
2n

 x
Nếu p > 1 , ta có A ( x ) = lim 2n f  n
n→∞
2

Footer Page 19 of 161.


.


18

Header Page 20 of 161.
Gajda (1991) đưa ra một ví dụ để chứng tỏ rằng Định lí 2.4
không đúng với p = 1 . Ông đã thành công trong việc xây dựng một ví
dụ về một hàm liên tục bị chặn g :  →  thỏa mãn
g ( x + y) − g ( x) − g ( y) ≤ x + y

với mọi x, y ∈  , với
lim
x →0

g ( x)
= ∞.
x

Hàm g tiến rất gần về 0.
Cụ thể, Gajda (1991) đã xây dựng hàm g như sau. Với một số
cố định θ > 0 , cho g :  →  được định nghĩa bởi
∞

( )

g ( x ) = ∑ 2 − n φ 2 n x , x ∈ ,
n =0

với hàm φ :  →  được cho bởi
1
nếu 1 ≤ x < ∞
⎧ 𝜃

⎪6
1
𝜙(x) =
𝜃x
nếu − 1 < x < 1
⎨6
⎪ 1
⎩− 6 𝜃 nếu − ∞ < x ≤ −1

(2.22)

Cách xây dựng của hàm g cho ta thấy Định lí 2.4 không còn đúng
khi p = 1.
Cụ thể, điều này được chứng minh thông qua Định lý sau đây.
Định lí 2.5. Hàm g được định nghĩa ở trên thỏa mãn
g ( x + y) − g ( x) − g ( y) ≤ θ ( x + y )

(2.23)

với mọi x, y ∈  . Nhưng không tồn tại hằng số δ ∈ [ 0, ∞ ) và hàm
cộng tính A :  →  thỏa mãn
g ( x) − A( x) < δ x

Footer Page 20 of 161.

(2.24)


19

Header Page 21 of 161.
với mọi x ∈ .
Định lý 2.6. Tồn tại một hàm liên tục f :  →  thỏa mãn
f ( x + y) − f ( x) − f ( y) ≤ x + y

với bất kì x, y ∈  , và với
lim
x →∞

(2.25)

f ( x)
= ∞.
x

Nhận xét 2.5. Bất kì kết quả nào tương tự với Định lí 2.4 cũng
được biết đến như là tính ổn định Hyers-Ulam-Rassias của phương
trình hàm tương ứng.
Tính ổn định của phương trình hàm cộng tính sẽ được làm rõ hơn
trong các bài toán dưới đây.
Bài toán 2.1. Tính ổn định của phương trình hàm Jensen
Giả sử hàm f thỏa mãn
 x + y  f ( x) + f ( y)
≤ε
f
−
2
 2 

(2.30)

với ε là số dương tùy ý cho trước và với mọi x, y ∈  . Khi đó tồn
tại duy nhất một hàm cộng tính A :  →  sao cho
f ( x ) − A ( x ) − f ( 0 ) ≤ 4ε , ∀x ∈  .

Lời giải.
Cho y = 0 trong (2.30) ta được
 x  f ( x ) + f (0)
f  −
≤ε
2
2

Tiếp tục thay x bởi x + y vào (2.31), ta được
 x + y  f ( x + y ) + f ( 0)
f
≤ ε , ∀x, y ∈ 
−
2
 2 

Ta có

Footer Page 21 of 161.

(2.31)


20

Header Page 22 of 161.
f ( x ) + f ( y ) f ( x + y ) + f (0)
f ( x) + f ( y)
 x+ y
−
≤
−f

2
2
2
 2 
 x + y  f ( x + y ) + f (0)
+ f
−
2
 2 
≤ 2ε .

Suy ra f ( x ) + f ( y ) − f ( x + y ) − f ( 0 ) ≤ 4ε
hay
f ( y ) − f ( x + y ) + f ( x ) − f ( 0 ) ≤ 4ε .

(2.32)

Đặt g=
( x ) f ( x ) − f ( 0 ) , thay vào (2.32) ta được
g ( x + y ) − g ( x ) − g ( y ) ≤ 4ε .

Theo tính ổn định của hàm cộng tính, tồn tại duy nhất một hàm cộng

tính A :  →  sao cho
g ( x ) − A ( x ) ≤ 4ε .

Suy ra
f ( x ) − f ( 0 ) − A ( x ) ≤ 4ε

hay
f ( x ) − A ( x ) − f ( 0 ) ≤ 4ε .

Vì vậy, phương trình hàm Jensen có tính ổn định.
Bài toán 2.2. Tìm cặp hàm f , g :  →  thỏa mãn phương trình
f ( x + y )= g ( x ) + g ( y ) , ∀x, y ∈ 

(2.33)

Bài toán 2.3. Giả sử f , g :  →  là các hàm thỏa mãn
f ( x + y) − g ( x) − g ( y) ≤ ε

(2.35)

với ε là một số dương tùy ý cho trước và với mọi x, y ∈  . Khi đó
tồn tại duy nhất một hàm cộng tính A :  →  sao cho
f ( x ) − A ( x ) − f ( 0 ) ≤ 4ε

và g ( x ) − A ( x ) − g ( 0 ) ≤ 2ε

Footer Page 22 of 161.


21

Header Page 23 of 161.
với mọi x, y ∈  .
2.5. MỘT SỐ VẤN ĐỀ MỞ RỘNG
Vào năm 1941, Hyers đã phát biểu lý thuyết về tính ổn định của
phương trình hàm trên không gian Banach. Đây chính là nội dung
của định lý tiếp theo.
Định lý 2.7. Cho E1 , E2 là hai không gian Banach và hàm
f : E1 → E2 thỏa mãn

f ( x + y) − f ( x) − f ( y) ≤ δ

(2.42)

với δ > 0 nào đó và với mọi x, y ∈ E1 . Khi đó giới hạn

( )

A ( x ) = lim 2− n f 2n x
n→∞

(2.43)

tồn tại với mỗi x ∈ E1 và A : E1 → E2 là hàm cộng tính duy nhất thỏa
mãn
f ( x) − A( x) ≤ δ

(2.44)

với mọi x ∈ E1 . Hơn nữa, nếu f ( tx ) liên tục tại t với mỗi giá trị cố

định x ∈ E1 , khi đó A tuyến tính.
Để chứng minh kết quả này, Hyers xây dựng ánh xạ cộng tính A
từ hàm đã cho f . Phương pháp của ông ấy được gọi là phương pháp
trực tiếp và được sử dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu tính ổn định
của nhiều phương trình hàm. Ngay sau khi Hyers nêu ra một khẳng
định trả lời cho câu hỏi của Ulam, một số lượng lớn các bài báo lần
lượt được đưa ra bàn về câu hỏi của Ulam và định lý của Hyers.
Không có lí do gì để sai phân Cauchy f ( x + y ) − f ( x ) − f ( y ) bị
chặn như trong phát biểu của Định lý 2.7. Và dựa vào quan điểm này,
Th. M. Rassias đã cố gắng làm yếu điều kiện của sai phân Cauchy và
chứng minh thành công. Kết quả này được biết đến như là tính ổn
định Hyers-Ulam-Rassias đối với phương trình hàm Cauchy cộng
tính.

Footer Page 23 of 161.


22

Header Page 24 of 161.
Định lí 2.8. Cho X , Y là hai không gian Banach, nếu hàm
f : X → Y thỏa mãn bất đẳng thức

(

)

f ( x + y) − f ( x) − f ( y) ≤ θ x + y
(2.46)
với θ ≥ 0 nào đó, p ∈ [0;1) và với mọi x, y ∈ X , khi đó tồn tại duy

nhất một hàm cộng tính A : X → Y sao cho
2θ
p
f ( x) − A( x) ≤
x
(2.47)
2 − 2p
p

p

với mọi x ∈ X . Hơn nữa, nếu f ( tx ) liên tục tại t với mỗi giá trị cố
định x ∈ X , khi đó A tuyến tính.
Một mở rộng khác của Định lí 2.3 và 2.4 có thể được đề xướng
bởi việc xem xét bất đẳng thức dưới đây
f ( x + y ) − f ( x ) − f ( y ) ≤ φ ( x, y )

với φ : X 2 →  + , với X là một không gian Banach.
Vào năm 1951, D.G. Bourgin đã lần đầu tiên xem xét bất đẳng
thức này và phát biểu mà không chứng minh, rằng: Nếu φ phụ thuộc
vào x và y ; là hàm đơn điệu, không tăng, và đối xứng đối với x
và y , hơn thế nữa chuỗi
k

1 ∞ 1
∑   φ 2 k x, 2 k y
2 k =0  2 

(

)

hội tụ với mỗi x ∈  , khi đó
f ( x ) − A( x ) ≤ ψ ( x ).

với
k

1 ∞ 1
ψ ( x ) = ∑   φ 2 k x, 2 k x .
2 k =0  2 
Định lí 2.9. Cho G và E lần lượt là một nhóm abel và một
không gian Banach riêng biệt với nhau, và ϕ : G × G → [ 0, ∞ ) là một
hàm thỏa mãn

Footer Page 24 of 161.

(

)


23

Header Page 25 of 161.
∞

∑2

=

Φ ( x, y )

k =0

− ( k +1)

ϕ ( 2 k x, 2 k y ) < ∞

(2.51)

với mọi x, y ∈ G . Nếu một hàm f : G → E thỏa mãn bất đẳng thức
f ( x + y ) − f ( x ) − f ( y ) ≤ ϕ ( x, y )

(2.52)

với mọi x, y ∈ G . Khi đó tồn tại duy nhất một hàm cộng tính
A : G → E sao cho

f ( x ) − A ( x ) ≤ Φ ( x, x )

(2.53)

với mọi x ∈ G . Hơn nữa, nếu f ( tx ) liên tục tại t với mỗi x ∈ G cố
định, khi đó A tuyến tính.

Footer Page 25 of 161.