Ánh xạ đa trị và tính liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Ngô Thị Thanh Vân

ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Ngô Thị Thanh Vân

ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. Hoàng Ngọc Tuấn

Hà Nội – Năm 2016

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của bản báo cáo thực tập chuyên
ngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hoàng Ngọc Tuấn đã
tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em
tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện đề tài thực tập này.
Hà Nội, ngày 18 tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Ngô Thị Thanh Vân

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cảm
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm
ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Hà Nội, ngày 18 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Ngô Thị Thah Vân

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

1

1.1

1.2

Giới hạn của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Định lý tính Compac . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Định lý tính đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.4

Bao lồi của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Phép tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1

Ảnh trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.2

Nghịch ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2 Ánh xạ đa trị và tính liên tục

22

2.1

Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2

Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.2

Tính liên tục tổng quát . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.3

Ví dụ: Ánh xạ đa trị tham số hóa . . . . . . . . .

36

Tiêu chuẩn nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45

ii


Lời mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài
toán có nguồn gốc thực tiễn. Cùng với thời gian và sự tiến bộ của loài
người, toán học ngày càng phát triển trong đó Giải tích đa trị là một
hướng nghiên cứu tương đối mới trong Toán học.
Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi
phân, phương trình đạo hàm riêng, bất phương trình biến phân, phương
trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu,
khoa học quản lý và toán kinh tế. Vai trò của giải tích đa trị trong toán
học và các ứng dụng toán học đã được công nhận rộng rãi.
Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về giải tích đa trị và bước đầu làm
quen với công tác nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài khóa luận tốt
nghiệp: "Ánh xạ đa trị và tính liên tục"

2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về
giải tích đa trị đặc biệt là ánh xạ đa trị và tính liên tục của ánh xạ đa
trị.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu ánh xạ đa trị, tính liên tục của ánh xạ đa trị và tiêu chuẩn
nửa liên tục dưới.

4. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.

5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận
bao gồm 2 chương:
• Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị" trình bày các kiến thức cần thiết
để sử dụng trong chương 2.
• Chương 2: "Ánh xạ đa trị và tính liên tục".

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Giới hạn của tập hợp

1.1.1

Định nghĩa

Cho X là một không gian metric với khoảng cách d. Khi K là một tập
hợp con của X, ta kí hiệu
dK (x) := d(x, K) := inf d (x, y)
y∈K

là khoảng cách từ x tới K, trong đó ta đặt d(x, ∅) := +∞. Hình cầu của
bán kính r > 0 quanh K trong X được kí hiệu
BX (K, r) := {x ∈ X | d(x, K) ≤ r}.

Khi không có sự nhầm lẫn, ta đặt
B(K, r) := BX (K, r).
với X là một không gian Banach mà hình cầu đơn vị của nó được kí
hiệu là B (hoặc là BX nếu không gian phải được đề cập đến), ta thấy
BX (K, r) = K + rBX .
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

Hình cầu B(K, r) là lân cận của K. Khi K là compac, mỗi lân cận của
K chứa một hình cầu bao quanh K như vậy.
Định nghĩa 1.1. Cho (Kn )n∈N là một dãy của các tập hợp con của một
không gian metric X. Ta nói rằng tập con
Lim supn→∞ Kn := {x ∈ X | lim inf d(x, Kn ) = 0}
n→∞

là giới hạn trên của dãy (Kn ) và tập hợp con
Liminf n→∞ Kn := {x ∈ X | limn→∞ d(x, Kn ) = 0}
là giới hạn dưới của nó. Một tập hợp con K được gọi là giới hạn hoặc là
giới hạn tập của dãy Kn nếu
K = Liminf n→∞ Kn = Limsupn→∞ Kn =: Limn→∞ Kn .
Giới hạn trên và giới hạn dưới là hiển nhiên đóng. Chúng ta cũng
thấy ngay rằng
Liminf n→∞ Kn ⊂ Limsupn→∞ Kn
và các giới hạn trên và các giới hạn dưới của các tập con Kn và các bao
đóng của chúng Kn là trùng nhau, vì d(x, Kn ) = d(x, Kn ).
Bất kì dãy giảm của các tập hợp con Kn đều có giới hạn, là giao của

các bao đóng của chúng:
nếu Kn ⊂ Km khi n ≥ m, thì Limn→∞ Kn =

Kn .
n≥0

Một giới hạn trên có thể là rỗng (không dãy con nào của các phần tử
xn ∈ Kn có một điểm tụ).
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

Đối với những dãy có một phần tử {xn }, giới hạn tập, khi nó tồn tại,
hoặc là rỗng (dãy các phần tử Xn không hội tụ), hoặc là chỉ bao gồm
một phần tử tạo bởi giới hạn của dãy.
Dễ kiểm tra rằng:
Mệnh đề 1.1. Nếu (Kn )n∈N là một dãy của các tập hợp con của một
không gian metric, thì Liminf n→∞ Kn là tập hợp của các giới hạn của
các dãy xn ∈ Kn và Limsupn→∞ Kn là tập hợp các điểm tụ của các dãy
xn ∈ Kn , tức là, các giới hạn của các dãy con xn ∈ Kn . Giới hạn trên
cũng bằng tập con của các điểm tụ của dãy "xấp xỉ" thỏa mãn:
∀ ε > 0, ∃ N (ε) sao cho ∀ n > N (ε), xn ∈ B(Kn , ε).
Chú ý − Thay thế các hình cầu của một không gian metric bởi các
lân cận và các dãy của một không gian metric bởi các dãy suy rộng, ta
có thể mở rộng các khái niệm của các giới hạn trên và các giới hạn dưới
thành các dãy suy rộng của các tập hợp con của một không gian topo
X.

Ta nhớ lại rằng một tập hợp M với một tiền thứ tự

cho trước là

có hướng nếu mỗi tập hợp con hữu hạn có một cận trên. Một dãy suy
rộng là một ánh xạ
µ ∈ M → xµ ∈ X.
Phần tử x ∈ X là giới hạn của (xµ )µ∈M nếu, với mỗi lân cận V của x,
tồn tại µ0 ∈ M sao cho xµ thuộc V với mọi µ

µ0 . Phần tử x được

gọi là điểm tụ của dãy suy rộng nếu, với mỗi lân cận V của x và mỗi
µ ∈ M, tồn tại ν

µ sao cho xν ∈ V.
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

Ta nhớ lại rằng ánh xạ đơn trị f từ không gian topo X đến không
gian topo Y khác là liên tục ở x nếu nó ánh xạ bất kỳ dãy suy rộng
hội tụ tới x thành một dãy suy rộng hội tụ tới f (x) và một tập hợp con
K ⊂ X là compac nếu và chỉ nếu mỗi dãy suy rộng của các phần tử của
K có một điểm tụ. Khác biệt chủ yếu với các dãy của một không gian
metric là dãy suy rộng hội tụ không nhất thiết bị chặn. (Ta cũng có thế
thay thế dãy suy rộng bằng "lọc.")

Giới hạn trên của dãy suy rộng của các tập hợp con Kµ trong đó µ
thay đổi trong tập hợp con có hướng M là tập hợp các điểm tụ của dãy
các suy rộng xµ của các phần tử của Kµ và giới hạn dưới là tập hợp của
các giới hạn của các dãy suy rộng như vậy.
Chúng ta có thể cần sự mở rộng ở trên khi làm việc với topo yếu của
một không gian Banach X và đối ngẫu của nó kí hiệu là X . Ta nói rằng
ánh xạ song tuyến tính ·, ·
(p, x) ∈ X × X → p, x := p(x)
là cặp đối ngẫu.
Ta nhớ lại rằng topo yếu σ(X, X ) của X được định nghĩa bởi các
nửa chuẩn
pM (x) := sup | q, x |
q∈M

khi M := {q1 , ..., ql } thay đổi trên các tập con hữu hạn của X . Topo
yếu σ(X , X) của đối ngẫu X được định nghĩa bởi các nửa chuẩn
pN (q) := sup | q, y |
y∈N

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

khi đó N := {x1 , ..., xn } biến thiên trên các tập con hữu hạn của X.
Nói cách khác, dãy suy rộng của các phần tử xµ ∈ X hội tụ yếu tới
x ∈ X nếu và chỉ nếu bất kì q ∈ X , q, xµ hội tụ tới q, x và một dãy
pµ ∈ X hội tụ yếu tới p nếu và chỉ nếu cho bất kì y ∈ X, pµ , y hội tụ

tới p, y .
Ta thấy X vẫn là đối ngẫu của X với topo yếu, X là đối ngẫu của
X với topo yếu , và các tập hợp con bị chặn của đối ngẫu X là compac
tương đối yếu.
Tuy nhiên, nói chung X là một không gian con đóng của song đối
ngẫu X

của X, mà nó là đối ngẫu của không gian Banach X , được

cho với chuẩn
p

:= sup | p, x |.
x ≤1

Không gian X được gọi là phản xạ nếu X = X . Trong trường hợp
này, nó có đủ cả các tính chất của không gian Banach và liên hợp của
không gian Banach, bao gồm tính compac yếu của hình cầu đơn vị.
Ta có thể, sử dụng một sự kiện rằng các tập con compac yếu của đối
ngẫu X của không gian Banach tách được là khả metric (đối với topo
yếu ) để tránh việc sử dụng các dãy suy rộng.
Thay vào đó, để đơn giản, ta sẽ sử dụng khái niệm của giới hạn trên
yếu theo dãy.
Định nghĩa 1.2. Xét một dãy các tập hợp con Kn của đối ngẫu của
một không gian Banach. Ta nói rằng tập con
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

σ − Limsupn→∞ Kn
của các giới hạn yếu của các dãy con của các phần tử xn ∈ Kn là giới
hạn trên yếu theo dãy của các tập hợp con Kn .
Bằng cách này, ta có thể biểu diễn các giới hạn trên và dưới trong các
không gian metric hoặc của dãy (đếm được).
Ta cũng đưa ra công thức tương đương của các giới hạn trên và các
giới hạn dưới mà được suy ra từ mệnh đề 1.1:
Limsupn→∞ Kn =

Kn =

B (Kn , ε)
ε>0 N >0 n≥N

N >0 n≥N

và
Liminf n→∞ Kn =

B (Kn , ε)
ε>0 N >0 n≥N

và chọn ra tính chất của các giới hạn trên như sau:
Định lý 1.1. Cho K là một tâp con của không gian metric X thỏa mãn
các tính chất sau:
với một lân cận bất kì U của K, ∃ N sao cho ∀ n ≥ N , Kn ⊂ U.
Thế thì Limsupn→∞ Kn ⊂ K.
Ngược lại, nếu X là compac, thì giới hạn trên Limsupn→∞ Kn có tính

chất trên (và như vậy, là tập hợp con đóng nhỏ nhất thỏa mãn nó.)
Chứng minh − Khẳng định đầu tiên là hiển nhiên. Cái thứ hai là
hệ quả của kết quả tổng quát hơn sau:

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

Mệnh đề 1.2. Xét các dãy của các tập hợp con Ln và Mn của một không
gian metric và giả sử rằng có một tập hợp con compac M thỏa mãn tính
chất sau:
với lân cận bất kì W của M, ∃ N sao cho ∀ n ≥ N, Mn ⊂ W.
Khi đó, với bất kì lân cận U của M ∩ (Limsupn→∞ Ln ), tồn tại một số
nguyên N sao cho Ln ∩ Mn ⊂ U với mọi n ≥ N .
Chứng minh − Nếu lân cận U chứa M , kết quả suy ra từ giả thiết
trên M . Nếu không, bằng cách lấy lân cận mở U, tập hợp con K := M \U
không rỗng, không có điểm chung với Limsupn→∞ Ln và là compac bởi
giả thiết.
Cho y thuộc K. Vì y không thuộc tập Limsupn→∞ Ln , tồn tại εy > 0
và Ny sao cho, với mọi n ≥ Ny , y không thuộc vào B(Ln , εy ). Vì tập con
K là compac nên nó có thể được phủ bởi p hình cầu B(yi , εyi ). Điều này
dẫn tới với mọi n > No := maxi=1,...,p Nyi và
p

V :=

B(yi , εyi )

i=1

giao Ln ∩ V là rỗng.
Mặt khác, vì W := U ∩ V là một lân cận của M , ta suy ra từ giả thiết
rằng tồn tại N1 sao cho
∀ n ≥ N1 , M n ⊂ U ∪ V .
Do đó Ln ∩ Mn ⊂ U với mọi n ≥ max(N0 , N1 ).
Chú ý − Nếu M không là compac, nhưng đóng, kết luận của mệnh
đề vẫn còn đúng cho bất kì lân cận U của M ∩ (Limsupn→∞ Ln ) mà phần
bù của nó trong M là compac.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

Bổ đề 1.1. Xét dãy các tập hợp con Ln ⊂ Z của một không gian metric
Z của một dãy của các tập hợp con Mn ⊂ Y của một không gian metric
compac Y. Cho ϕ : Z × Y → R hàm nửa liên tục trên. Ta kí hiệu M là
giới hạn trên của Mn và L là giới hạn dưới của Ln . Khi đó,
limsupn→∞

sup inf ϕ(z, y)

y∈M z∈Ln

≤ sup inf ϕ(z, y).
y∈M z∈L

Chứng minh − Cho y thuộc vào M . Vì ϕ là nửa liên tục trên, ta
biết rằng bất kì ε > 0 và bất kì z ∈ L , tồn tại lân cận N (z) của z và
N (y) của y sao cho
∀ z ∈ N (z), ∀ y ∈ N (y), ϕ(z , y ) ≤ ϕ(z, y) + ε/2.
Đặc biệt, lấy zy ∈ L sao cho
ϕ(zy , y) ≤ inf ϕ(z, y) + ε/2
z∈Lb

và xấp xỉ zy bởi các phần tử zyn ∈ Ln , ta suy ra có phần tử Ny > 0 thỏa
mãn
∀ n ≥ Ny , ∀ y ∈ N (y), ϕ(zyn , y ) ≤ ϕ(zy , y) + ε/2
và như vậy, với bất kì y ∈ M ,
∀ n ≥ Ny , ∀ y ∈ N (y),

inf ϕ(z, y ) ≤ inf ϕ(z, y) + ε.

z∈Ln

z∈Lb

Mặt khác, tập compac M có thể được phủ bởi n lân cận N (yi ) sao cho,
bởi Định lí 1.1, tồn tại số nguyên N0 sao cho
∀ n ≥ N0 , M n ⊂

N (yi ).
i=1,...,n

8

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

Đặt N := maxi=0,...,n Nyi . Khi đó, với mọi n ≥ N và y ∈ Mn , y thuộc vào
N (yi ) nào đó, sao cho,
inf ϕ(z, y) ≤ inf ϕ(z, yi ) + ε ≤ sup inf ϕ(z, y) + ε.

z∈Ln

b
y∈M z∈L

z∈Lb

Do đó ta có chứng minh rằng với bất kì ε > 0, ∃ N > 0 sao cho
∀ n ≥ N,

1.1.2

sup inf ϕ(z, y) ≤ sup inf ϕ(z, y) + ε.

y∈Mn z∈Ln

b
y∈M z∈L

Định lý tính Compac

Định lý 1.2. (Zarankiewicz) Mỗi dãy của các tập hợp con Kn của

một không gian metric tách được X chứa một dãy con có giới hạn (có
thể rỗng) .
Chứng minh − Vì X là tách được, tồn tại một họ đếm được của
các tập con mở Um thỏa mãn tính chất sau:
∀ tập con mở U, ∀ x ∈ U, ∃ Um sao cho x ∈ Um ⊂ U.
Ta xét một dãy của các tập hợp con (Kn ). Ta sẽ xây dựng một dãy
(m)

các dãy con Kn

bằng phương pháp quy nạp.
n>0
(0)

Cho m = 0, ta đặt Kn := Kn . Giả sử rằng m − 1 dãy con đầu tiên
(p)

Kn

, 0 ≤ p ≤ m − 1 đã được xây dựng.
n>0

Xét tập con đóng thứ m là Um . Thế thì hoặc mọi dãy con nj ,
(m−1)

Um ∩ Limsupj→∞ Knj
(m)

trong trường hợp đó ta đặt Kj
sao cho

9

(m−1)

:= Kj

= ∅
, hoặc có một dãy con nj


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân
(m−1)

Um ∩ Limsupj→∞ Kj
(m)

trong trường hợp đó ta đặt Kj
(m)

Các dãy Kn

(m−1)

:= Knj

=∅

.

đã được xây dựng, ta rút ra dãy con đường chéo
n>0

(n)

Dn := Kn . Ta khẳng định nó có một giới hạn tập.
Nếu không, sẽ tồn tại
x0 ∈ Limsupn−→∞ Dn và x0 ∈
/ Liminfn−→∞ Dn .
Điều kiện thứ hai có nghĩa là tồn tại một lân cận mở U của x0 và một
dãy con Dnj sao cho U ∩ Dnj = ∅ với bất kì j. Ta hãy cố định tập con
mở Um sao cho x0 ∈ Um ⊂ U. Như vậy ta suy ra rằng
Um ∩ Limsupj→∞ Dnj = ∅.
(n )

(m−1)

Vì với nj ≥ m, Dnj := Knj j = Kpj
(m−1)

dãy con của dãy Kn

với pj nào đó, ta thấy Dnj là một

, giới hạn trên của nó là không có điểm
n>0

chung với Um .

(m)

Bởi việc xây dựng của Kn

, ta suy ra rằng
n>0

(m)

Kj

(m−1)

= Kp j

và do đó,
(m)

Um ∩ Limsupj→∞ Kj
(n)

(m−1)

= Um ∩ Limsupj→∞ Kpj

(m)

= ∅.

Vì Dn := Kn = Kpn với pn nào đó, ta suy ra rằng dãy (Dn )n≥m là một

(m)

dãy con của dãy Kj

. Do đó
j>0
(m)

x0 ∈ Limsupn→∞ Dn ⊂ Limsupj→∞ Kj

mà mâu thuẫn với sự kiện rằng x thuộc vào Um .
10

⊂ X \ Um


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.3

Ngô Thị Thanh Vân

Định lý tính đối ngẫu

Cho các hình nón lồi đóng Kn , các giới hạn trên và các giới hạn dưới có
thể được thay đổi bởi tính đối ngẫu.
Ta giới thiệu các nón cực (âm) của các tập con K ⊂ X và L ⊂ X
được định nghĩa
K − := {p ∈ X | ∀ x ∈ K, p, x ≤ 0}
và

L− := {x ∈ X | ∀ p ∈ L, p, x ≤ 0}.
Cho σ − Limsupn−→∞ Kn− biểu thị giới hạn trên yếu theo dãy của các
nón cực Kn− .
Định lý 1.3. Cho (Kn )n∈N là một dãy của các hình nón lồi đóng của
không gian Banach X. Khi đó
Liminf n→∞ Kn = (σ − Limsupn→∞ Kn− )− .
Chứng minh − Bao hàm
Liminf n→∞ Kn ⊂ (σ − Limsupn→∞ Kn− )−
là hiển nhiên: Nếu x ∈ Liminf n−→∞ Kn là giới hạn của một dãy của các
phần tử xn ∈ Kn và
p ∈ σ − Limsupn−→∞ Kn−

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

là giới hạn yếu của dãy con pn ∈ Kn−, , bất đẳng thức pn , xn ≤ 0 dẫn
đến p, x ≤ 0.
Ngược lại, giả sử như
x ∈ (σ − Limsupn→∞ Kn− )−
nào đó không thuộc tập giới hạn dưới Liminfn→∞ Kn . Khi đó, tồn tại
ε > 0 và một dãy con (kí hiệu lại là (Kn )n∈N ) sao cho
∀ n ≥ 0, (x + εB) ∩ Kn = ∅.
Định lý Tách bao hàm sự tồn tại của chuẩn của các phần tử pn ∈ X
bằng với một sao cho
σKn (pn ) ≤ pn , x − ε

pn = pn , x − ε .

Các tập con Kn là các hình nón, ta suy ra rằng pn ∈ Kn− và σKn (pn ) = 0.
Khi đó dãy con (kí hiệu lại là) pn hội tụ yếu tới p nào đó, do đó thuộc
σ − Limsupn→∞ Kn− , sao cho p, x ≤ 0. Bất đẳng thức
0 ≤ pn, , xn, − ε
hàm ý rằng ε ≤ 0, là mâu thuẫn.
1.1.4

Bao lồi của giới hạn

Vì hàm khoảng cách với tập hợp con của không gian định chuẩn là lồi
nếu và chỉ nếu tập hợp con này là lồi, ta suy ra rằng giới hạn trên của
dãy của các tập hợp con lồi là đóng và lồi.
Đặc tính của bao lồi đóng là rất cần thiết đối với giới hạn trên. Ta kí
hiệu co(K) bao lồi của K và co(K) bao lồi đóng của nó.
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

Bổ đề 1.2. Xét một dãy của các tập hợp con Kn chứa trong tập hợp con
bị chặn của một không gian vectơ hữu hạn chiều X. Khi đó
co(Limsupn−→∞ Kn ) =

co
N >0

Kn .
n≥N

Chứng minh − Bao lồi đóng của giới hạn trên là hiển nhiên chứa
trong tập con lồi đóng
co

A :=

Kn .
n≥N

N >0

Hai tập này là trùng nhau khi chiều của X là hữu hạn và các tập hợp
con Kn được chứa trong một tập hợp bị chặn.
Vì phần tử x của A là giới hạn của dãy con của tổ hợp lồi υN của
các phần tử của

n≥N

Kn và vì chiều của X là một số nguyên p, Định

lý của Carathéodory’s cho phép ta viết rằng
p

aN
j xNj

υN :=

j=0

ở đây
p

Nj ≥ N, aN
j ≥ 0,

aN
j = 1
j=0

và xNj thuộc vào KNj . Vectơ aN của p + 1 thành phần aN
j chứa một dãy
con (kí hiệu lại bởi) aN mà hội tụ tới một số không âm của p + 1 các
thành phần aj sao cho

p
j=0 aj

= 1.

Các tập hợp con Kn chứa trong tập hợp con compac, ta có thể rút
ra các dãy con tương ứng (kí hiệu lại bởi) xNj hội tụ tới các phần tử xj ,
mà thuộc tập giới hạn trên của các tập hợp con Kn . Do đó x bằng với
tổ hợp lồi

p
j=0 aj xj ,

và bổ đề được chứng minh.
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Ngô Thị Thanh Vân

Phép tính giới hạn

Ta bắt đầu bằng cách chỉ ra tính chất hiển nhiên sau:
Mệnh đề 1.3. Cho Kn , Ln , Kni (i = 1, ..., p) là các dãy của các tập hợp
con của một không gian metric. Khi đó
i) Limsupn→∞ (Kn ∩ Ln ) ⊂ Limsupn→∞ Kn ∩ Limsupn→∞ Ln ;
ii) Liminfn→∞ (Kn ∩ Ln ) ⊂ Liminfn→∞ Kn ∩ Liminfn→∞ Ln ;
iii) Limsupn→∞ (Kn ∪ Ln ) = Limsupn→∞ Kn ∪ Limsupn→∞ Ln ;
iv) Liminfn→∞ (Kn ∪ Ln ) ⊃ Liminfn→∞ Kn ∪ Liminfn→∞ Ln ;
v) Limsupn→∞

p
i
i=1 Kn

⊂

p
i
i=1 Limsupn→∞ Kn ;

vi) Liminfn→∞

p
i
i=1 Kn

=

p
i
i=1 Liminfn→∞ Kn .

Mệnh đề sau chỉ ra mối liên hệ giữa ảnh trực tiếp và nghịch ảnh của
các giới hạn trên và dưới của dãy của các tập hợp con với các giới hạn
trên và dưới của ảnh trực tiếp và nghịch ảnh của chúng.
Mệnh đề 1.4. Cho Kn là các dãy của tập hợp con của không gian
metric X, Mn là một dãy của các tập hợp con của không gian metric Y
và f : X → Y là ánh xạ liên tục. Do đó
i) f (Limsupn→∞ Kn ) ⊂ Limsupn→∞ f (Kn );
ii) f (Liminfn→∞ Kn ) ⊂ Liminfn→∞ f (Kn );
iii) Limsupn→∞ f −1 (Mn ) ⊂ f −1 (Limsupn→∞ Mn );
iv) Liminfn→∞ f −1 (Mn ) ⊂ f −1 (Liminfn→∞ Mn ).
Các câu hỏi phát sinh của việc cung cấp kết quả ngược lại dưới các
giả thiết phù hợp.
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.1

Ngô Thị Thanh Vân

Ảnh trực tiếp

Ta bắt đầu với ảnh trực tiếp của các giới hạn trên. Ta dễ dàng thu được
đẳng thức khi f là chính thường. Ta nhớ lại rằng ánh xạ đơn trị liên tục
từ không gian metric X tới không gian metric Y là chính thường nếu và
chỉ nếu trong những khẳng định sau tương đương
Nếu f (xn ) hội tụ trong Y , thì xn có một điểm tụ
hoặc
i) các ánh xạ f từ các tập con đóng tới các tập hợp con đóng;
ii) ∀ compac M ⊂ Y, f −1 (M ) là compac.
vẫn đúng.
Mệnh đề 1.5. Ta thừa nhận các giả thiết của Mệnh đề 1.4. Ta giả sử
rằng f là chính thường, khi đó
f (Limsupn→∞ Kn ) = Limsupn→∞ f (Kn ).
Hơn nữa, nếu f là toàn ánh, ta thu được
f −1 (Limsupn→∞ Mn ) = Limsupn→∞ f −1 (Mn ).
Chứng minh là một hệ quả đơn giản của các định nghĩa.
Trong trường hợp của các toán tử tuyến tính liên tục, ta thu được
một đặc trưng cụ thể hơn bằng cách sử dụng tập cực.
K o := {p ∈ X | ∀ x ∈ K, p, x ≤ 1}
của tập hợp con K của X.
Khi X và Y là không gian Banach và f là một toán tử tuyến tính
liên tục A ∈ L(X, Y ), ta thu được kết quả sau:
15

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

Định lý 1.4. Cho X và Y là các không gian Banach, (Kn )n∈N là một
dãy của các tâp hợp con của X và A ∈ L(X, Y ) là một toán tử tuyến
tính liên tục thoả mãn

Kn0 .

0 ∈ Int Im(A ) +

(1.1)

N >0 n>N

¯ Nếu X là không gian hữu hạn chiều, thì
Limsupn→∞ A(Kn ) = A(Limsupn→∞ Kn ).
¯ Nếu X là phản xạ, thì
σ − Limsupn→∞ A(Kn ) = A(σ − Limsupn→∞ Kn ).
Chứng minh − Nhận thấy khẳng định đầu tiên được suy ra từ khẳng
định thứ hai và Mệnh đề 1.4 i). Do đó ta chỉ phải chứng minh khẳng
định thứ hai.
Ta xét một dãy xn ∈ Kn sao cho một dãy con của các phần tử A(xn )
hội tụ yếu tới y nào đó trong Y . Ta sẽ kiểm tra (xn )n∈N có điểm tụ yếu,
bằng cách chỉ ra rằng nó là bị chặn yếu, và như vậy, là compac tương
đối yếu. Giả thiết (1.1) nghĩa là tập hợp
Kn0

Im(A ) +

N >0 n>N

chứa một hình cầu tâm O bán kính γ > 0. Do đó với bất kì p ∈ X ,
p

≤ γ có thể viết,
Kn0 .

p := A q + r, trong đó q ∈ Y , r ∈
N >0 n>N

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ngô Thị Thanh Vân

Do đó, tồn tại N > 0 sao cho r ∈

n>N

Kn0 và do đó,

supn>N p, xn = supn>N ( q, Axn + r, xn )
≤ supn>N
≤ supn>N

q
q

Axn
Axn

+ supx∈Kn r, x
+1 ≤ +∞.

vì dãy hội tụ yếu Axn là bị chặn.
Khi đó xn chứa trong tập hợp con bị chặn, là compac tương đối yếu.
Do đó nó có một điểm tụ x mà thuộc vào σ − Limsupn→∞ Kn . Vì A là
liên tục từ X tới Y , khi chúng được trang bị với các topo yếu của chúng,
Ax là một điểm tụ yếu của dãy của các phần tử Axn , mà hội tụ yếu tới
y = Ax. Khi đó
σ − Limsupn→∞ A(Kn ) ⊂ A(σ − Limsupn→∞ Kn ).
Bao hàm thức ngược lại là hiển nhiên.
1.2.2

Nghịch ảnh

Mệnh đề 1.6. Xét hai không gian Banach X và Y , một toán tử tuyến
tính liên tục A ⊂ L(X, Y ) và một dãy của các tập hợp con lồi Mn ⊂ Y .
Ta giả sử rằng
∃ γ > 0, c > 0 sao cho γB ⊂ cA(BX ) − Mn
với mọi n đủ lớn. Khi đó

 Liminfn→∞ A−1 (Mn ) = A−1 (Liminfn→∞ Mn )
 Limsup
−1
−1
n→∞ A (Mn ) = A (Limsupn→∞ Mn ).

17