hàm chọn của một số lớp ánh xạ đa trị và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Đức Dũng

HÀM CHỌN CỦA MỘT SỐ
LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Đức Dũng

HÀM CHỌN CỦA MỘT SỐ
LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Người hướng dẫn: Nguyễn Bích Huy

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chương 1. HÀM CHỌN LIÊN TỤC ....................................................................... 3
1.1 Tính liên tục của các ánh xạ đa trị ............................................................. 3

1.1.1 Tính nửa liên tục và liên tục của các ánh xạ đa trị .............................. 3
1.1.2 Các ví dụ ........................................................................................... 10
1.2 Hàm chọn liên tục .................................................................................... 16
1.2.1 Sự tồn tại của hàm chọn liên tục ....................................................... 16
1.2.2 Các ví dụ ........................................................................................... 18
1.3 Hàm chọn xấp xỉ ...................................................................................... 21
1.3.1 Khái niệm hàm chọn xấp xỉ .............................................................. 21
1.3.2 Sự tồn tại của các hàm chọn xấp xỉ ................................................... 22
1.4 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị - điểm bất động ............................................. 24
1.4.1 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị ................................................................. 24
1.4.2 Điểm bất động của ánh xạ đa trị ....................................................... 29
Chương 2 HÀM CHỌN ĐO ĐƯỢC ...................................................................... 35
2.1 Sự tồn tại của hàm chọn đo được ............................................................ 35
2.1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị đo được ....................................................... 35
2.1.2 Sự tồn tại của hàm chọn đo được ...................................................... 40
2.2 Các ví dụ áp dụng .................................................................................... 42
Chương 3 HÀM CHỌN CỦA ÁNH XẠ TĂNG ................................................... 42
3.1 Ánh xạ đa trị tăng .................................................................................... 46
3.1.1 Các khái niệm .................................................................................... 46
3.1.2 Ánh xạ đa trị tăng .............................................................................. 48
3.2 Hàm chọn của ánh xạ tăng ....................................................................... 49
3.2.1 Sự tồn tại hàm chọn đơn điệu của ánh xạ tăng ................................. 49
3.2.2 Các ví dụ áp dụng .............................................................................. 60
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 64


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT.
2Y

: Lớp các tập con của tập Y .

2Y \

: Lớp các tập con khác rỗng của tập Y .

(GF )

: Đồ thị của ánh xạ F .

Fix(F )

: Tập hợp các điểm bất động của ánh xạ F .

r (x , A)

: Khoảng cách từ điểm x đến tập A.

dH (A, B ) : Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B.
B(x 0 , r )

: Quả cầu mở tâm x 0 bán kính r .

B(x 0 , r )

: Quả cầu đóng tâm x 0 bán kính r .

L(X ,Y ) : Tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y .
R(T )

: Ảnh của ánh xạ tuyến tính T .

N (T )

: Nhân của ánh xạ tuyến tính T .

|x |

: Chuẩn của x .

h.k.n

: Hầu khắp nơi.

convA

: Bao lồi của tập A .

m

: Độ đo Lebesgue.

x n  x 0 : Dãy x n hội tụ yếu về x 0 .

diamA

: Đường kính của tập A.

suppf

: Giá của hàm f .

D

: Biên của tập D.

A

: s - đại số.

x y

: Cận dưới của hai phần tử x , y.

x y

: Cận trên của hai phần tử x , y.

X

: Tập các phần tử cực đại của X .

X

: Tập các phần tử cực tiểu của X .


LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với trường Đại học Sư phạm Thành
phố Hồ Chí Minh, phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm

Thành phố Hồ Chí Minh, Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Ninh Thuận và trường THPT
Chu Văn An, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi được tham gia học tập khóa học
Cao học và hoàn thành luận văn này .
Xin chân thành cám ơn quý cô thầy đã tham gia giảng dạy lớp Cao học
chuyên ngành Toán Giải Tích khóa 21 đã trang bị cho tôi những kiến thức cơ bản
làm nền tảng giúp cho tôi bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học.
Đặc biệt, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Bích
Huy, người thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, sửa chữa và góp ý cho tôi trong
suốt quá trình thực hiện luận văn.
Cám ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và
đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn.
Cám ơn các bạn học viên trong lớp cao học chuyên ngành Toán Giải Tích
khóa 21 đã nhiệt tình giúp đỡ, góp ý và động viên tinh thần giúp tôi hoàn thành tốt
luận văn này.

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 08 năm 2012.
Học viên thực hiện

Nguyễn Đức Dũng


1

LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết về các ánh xạ đa trị bắt đầu được quan tâm, nghiên cứu và phát triển
mạnh từ những năm 1950. Xuất phát từ sự phát triển nội tại của toán học cũng như
do nhu cầu mô tả nhiều mô hình tự nhiên và xã hội. Cho đến nay lý thuyết về các
ánh xạ đa trị đã được nghiên cứu, phát triển khá hoàn chỉnh và đã tìm được nhiều
ứng dụng rộng rãi, có giá trị trong toán học cũng như các lĩnh vực đời sống xã hội.
Chẳng hạn như trong lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,

lý thuyết tối ưu và điều khiển, các bài toán kinh tế, lý thuyết trò chơi…
Do phạm vi ứng dụng rộng rãi cũng như giá trị và tầm quan trọng của nó, việc
nghiên cứu các ánh xạ đa trị trong suốt một thời gian dài luôn là một đề tài hấp dẫn,
đã thu hút được rất nhiều các nhà toán học trên thế giới. Việc tiếp cận và nghiên cứu
nó cũng được phát triển theo nhiều hướng, nhiều phương pháp khác nhau. Tuy
nhiên một pháp tự nhiên và hữu hiệu để nghiên cứu các tính chất của ánh xạ đa trị
đó là nghiên cứu các ánh xạ đơn trị có chứa đầy đủ những tính chất, thông tin của
ánh xạ đa trị đó. Hàm chọn (hay lát cắt) của ánh xạ đa trị là một trong những ánh xạ
đơn trị như vậy.
Chính vì những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài: Hàm chọn của một số lớp
ánh xạ đa trị và ứng dụng làm đề tài trình bày trong luận văn Thạc sĩ của mình.
Trong luận văn này, chúng tôi đã tham khảo các tài liệu, tập hợp lại và trình bày
theo sự hiểu biết của mình về điều kiện tồn tại hàm chọn của các ánh xạ đa trị cùng
với các tính chất như tính liên tục, tính xấp xỉ, tính đo được, tính đơn điệu… Đồng
thời cũng thông qua các hàm chọn này xây dựng bậc tôpô cho ánh xạ đa trị và ứng
dụng của nó trong việc nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ đa trị.
Kết cấu của luận văn được chia thành 3 chương.
Chương 1 Hàm chọn liên tục. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày về tính
nửa liên tục, liên tục và Hausdorff – liên tục của các ánh xạ đa trị từ đó xem xét


2

điều kiện tồn tại của các hàm chọn liên tục. Đồng thời cũng trình bày về cấu trúc
hàm chọn xấp xỉ liên tục từ đó xây dựng bậc tôpô cho ánh xạ đa trị và ứng dụng vào
việc nghiên cứu điểm bất động của các ánh xạ đa trị. Các ví dụ trong chương này đã
chỉ ra điều kiện tồn tại nghiệm liên tục của một bao hàm thức vi phân, điều kiện tồn
tại nghiệm tuần hoàn chu kỳ w trong bài toán giá trị đầu của phương trình vi phân
đây chính là điểm bất động của ánh xạ đa trị Poincaré.
Chương 2 Hàm chọn đo được. Trong chương này, chúng tôi tập trung trình

bày về cấu trúc đo được của hàm chọn thông qua các tính chất đo được và đo được
yếu của các ánh xạ đa trị. Điều kiện tồn tại của các hàm chọn đo được. Các ví dụ
trong chương này giúp thấy được một ứng dụng quan trọng của hàm chọn đo được
vào bài toán điển hình của lý thuyết điều khiển tối ưu.
Chương 3 Hàm chọn của ánh xạ tăng. Trong chương này, chúng tôi trình bày
khái niệm ánh xạ đa trị tăng bằng cách mở rộng một quan hệ thứ tự trên một tập X
cho trước thành một quan hệ thứ tự trên lớp các tập hợp con của X . Từ đó định
nghĩa ánh xạ đa trị tăng và xem xét điều kiện tồn tại hàm chọn đơn điệu của ánh xạ
tăng khi tập đích của nó là một tập được sắp thứ tự bộ phận, một dàn hay một dây
chuyền. Khác với hai chương đầu, chủ yếu xét hàm chọn của ánh xạ đa trị trong
không gian Banach. Chương thứ ba, trình bày hàm chọn của ánh xạ tăng trong
không gian có thứ tự cho nên chúng tôi chỉ xét trên các tập hợp được sắp bộ phận và
các trường hợp đặc biệt là trên các dàn hay các dây chuyền.
Vì lý do những kiến thức cơ sở được sử dụng trong luận văn không nhiều, cho
nên để tiện cho người đọc, chúng tôi đã không chia ra một chương riêng để trình
bày về những kiến thức cơ sở, mà những kiến thức cơ sở này sẽ được trình bày ngay
trước mỗi phần có liên quan và được sử dụng đến trong luận văn.
Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng vì thời gian và kiến thức còn hạn chế cho
nên luận văn này có thể không tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn. Rất mong
nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô trong hội đồng phản biện và sự góp ý
của các bạn học viên.


3

Chương 1. HÀM CHỌN LIÊN TỤC
1.1 Tính liên tục của các ánh xạ đa trị
1.1.1 Tính nửa liên tục và liên tục của các ánh xạ đa trị
Trước khi xét tính liên tục của ánh xạ đa trị ta sẽ trình bày lại một số khái
niệm và ký hiệu liên quan đến các ánh xạ đa trị được sử dụng trong phần này.

Cho hai tập hợp khác rỗng X ,Y một ánh xạ đa trị từ X vào Y là một phép
đặt tương ứng mỗi phần tử x  X với một tập hợp con của Y mà ta ký hiệu là Fx .
Như vậy, nếu ta ký hiệu 2Y là lớp tất cả các tập con của Y thì một ánh xạ đa trị F
từ X vào Y được ký hiệu là F : X  2Y . Cũng có thể định nghĩa ánh xạ đa trị F
sao cho Fx  , x  X . Khi đó ta ký hiệu F : X  2Y \ .
Trường hợp đặc biệt, đối với ánh xạ F mà với mỗi x  X , tập Fx chỉ chứa
một phần tử thì ánh xạ F chính là ánh xạ đơn trị đã biết từ X vào Y .
Cho ánh xạ đa trị F : X  2Y , với A  X , B  Y , ta có các khái niệm sau:
• Ảnh của tập A qua ánh xạ F là một tập con của Y , ký hiệu là F (A) , được
xác định bởi: F (A)   x A Fx .
• Ảnh ngược lớn của tập B qua ánh xạ F là một tập con của X , ký hiệu là
F1(B ), được xác định bởi: F1(B )  {x  X : Fx  B   .

• Ảnh ngược nhỏ của tập B qua ánh xạ F là một tập con của X , ký hiệu là
F 1(B ) , được xác định bởi: F 1(B )  {x  X : Fx  B } .

• Đồ thị của ánh xạ F là một tập con của X Y , ký hiệu là (GF ) , được xác
định bởi: (GF )  {(x , y )  X Y : y  Fx } .
• Nếu Y  X thì điểm x  X mà x  Fx gọi là điểm bất động của ánh xạ F .
Tập hợp các điểm bất động của ánh xạ F ký hiệu là Fix(F ) .


4

• Khi có ánh xạ đơn trị f : X  Y thỏa mãn f (x )  Fx , x  X thì f được
gọi là hàm chọn (hay lát cắt) của ánh xạ đa trị F .
• Cho X là không gian Banach, khoảng cách từ điểm x  X đến tập A  X là
r (x , A)  inf{| x  y |: y  A} . Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp con A, B





của X là dH (A, B )  max sup r (x , B ); sup r (x , A)
A

B

• Nếu dãy {x n } hội tụ yếu về x 0 , ta ký hiệu x n  x 0
Bây giờ ta sẽ trình bày các khái niệm và một số tính chất của ánh xạ đa trị nửa
liên tục, liên tục và Hausdorff – liên tục trong không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.1. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị
F : D  X  2Y \ , ta nói:

a) F là nửa liên tục trên trên D nếu tập F 1(V ) là mở trong D với bất kỳ

V  Y là mở.
b) F là nửa liên tục dưới trên D nếu tập F1(V ) là mở trong D với bất kỳ

V  Y là mở.
Từ Định nghĩa 1.1.1 ở trên ta có ngay một số tính chất sau:
Mệnh đề 1.1.1. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị
F : D  X  2Y \ . Khi đó ta có:

a) F là nửa liên tục trên trên D nếu và chỉ nếu F1(A) đóng trong D với
bất kỳ A  Y là đóng.
b) F là nửa liên tục dưới trên D nếu và chỉ nếu F 1(A) đóng trong D với
bất kỳ A  Y là đóng.
Chứng minh.
a) Ta có F là nửa liên tục trên trên D khi và chỉ khi tập F 1(V )  {x  D :

Fx  V } là mở trong D với bất kỳ V  Y là mở. Điều này tương đương với tập
D \{x  D : Fx  V } là đóng trong D với mọi V  Y là mở. Hay có nghĩa là tập


5

D \{x  D : Fx  (Y \A)} là đóng trong D với mọi A  Y đóng. Tương đương

với tập {x  D : Fx  (Y \A)} là đóng trong D với bất kỳ A  Y là đóng. Tức là
tập {x  D : Fx  A  }  F1(A) đóng trong D với bất kỳ A  Y là đóng.
b) Ta có F là nửa liên tục dưới trên D khi và chỉ khi tập hợp F1(V ) 
{x  D : Fx V  } là mở trong D với bất kỳ V  Y là mở. Điều này có nghĩa

tương đương với tập {x  D : Fx V  } là đóng trong D với bất kỳ V  Y là
mở. Nói cách khác tập {x  D : Fx  (Y \A)  } là đóng trong D với bất kỳ

A  Y là đóng. Tương đương với tập {x  D : Fx  A}  F 1(A) là đóng trong

D với bất kỳ A  Y là đóng. 
Trước khi tiếp tục trình bày thêm một số tính chất ta có một vài nhận xét sau:
Đối với ánh xạ đơn trị F ta có {x  D : Fx  V }  F 1(V )  F1(V ) với
mọi tập mở V  Y do vậy trong trường hợp này định nghĩa nửa liên tục trên, nửa
liên tục dưới của F là trùng nhau và có nghĩa là liên tục. Như vậy, hiển nhiên rằng
đối với hàm nửa liên tục trên j : D  X   đã được định nghĩa trước đây bởi
lim j(x n )  j(x 0 ) với bất kỳ dãy {x n }  D và x n  x 0  D không có quan hệ gì

n 

với Định nghĩa 1.1.1. bởi vì khi đó j có thể gián đoạn. Tuy nhiên, có một sự tương
tự khi cho rằng đối với một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên F ta có lim Fx n  Fx 0

n 

với bất kỳ dãy x n  x 0 và với Fx 0 là đóng. Thật vậy, bởi vì theo định nghĩa ta có
lim Fx n   n 1  k n Fx k và ánh xạ F nửa liên tục trên tại x 0 có nghĩa là

n 

Fx n  Fx 0  B(0, e ) với mọi n đủ lớn, từ đó lim Fx n  Fx 0  B(0, e ) với mọi
n 

e  0 và vì thế lim Fx n chứa trong Fx 0 nếu Fx 0 là đóng.
n 

Ta cũng có thể định nghĩa ánh xạ đa trị F nửa liên tục trên tại điểm x 0  D
như sau: với mọi tập mở V  Fx 0 trong Y đều tồn tại d  d(x 0,V )  0 sao cho


6

F (B(x 0, d )  D )  V . Khi đó ta có F là nửa liên tục trên trên D nếu như F là nửa

liên tục trên tại mọi x 0  D .
Tương tự, ta có thể định nghĩa ánh xạ đa trị F nửa liên tục dưới tại x 0  D
như sau: với mọi y  Fx 0 và mọi lân cận V của y đều tồn tại d  d(x 0, y,V )  0
sao cho Fx V   với mọi x  B(x 0, d )  D. Khi đó ta có F là nửa liên tục dưới
trên D nếu và chỉ nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi x 0  D .
Mệnh đề 1.1.2. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị
F : D  X  2Y \ thỏa mãn Fx đóng với mọi x  D . Khi đó ta có:

a) Nếu sup{r (y, Fx n ) : y  Fx 0 }  0 với bất kỳ dãy {x n }  D, x n  x 0 thì

F là nửa liên tục dưới trên D .
b) Nếu F là nửa liên tục trên trên D thì sup{r (y, Fx 0 ) : y  Fx n }  0 với
bất kỳ dãy {x n }  D, x n  x 0 .
Chứng minh.
a) Giả sử F không nửa liên tục dưới trên D . Khi đó tồn tại tập mở V  Y sao
cho F1(V ) không là tập mở trong D. Suy ra tồn tại x 0  F1(V ) sao cho có dãy
{x n }  F1(V ) mà x n  x 0 . Khi đó Fx 0 V   và Fx n V   với mọi n .

Chọn y 0  Fx 0 V , bởi vì V mở nên tồn tại r  0 sao cho B(y 0, r )  V . Khi đó
B(y 0, r )  Fx n   với mọi n . Điều này mâu thuẫn với giả thiết sup{r (y 0, Fx n ) :
y 0  Fx 0 }  0 khi n   . Vậy F là nửa liên tục dưới trên D.

b)

Giả sử F là nửa liên tục trên và {x n } là dãy bất kỳ sao cho x n  x 0 . Lấy

e  0 tùy ý, khi đó do F là nửa liên tục trên nên Fx n  Fx 0  B(0, e ) với n đủ
lớn. Vì thế sup{r (y, Fx 0 ) : y  Fx n }  e với n đủ lớn. Bởi vì e  0 nhỏ tùy ý , do
vậy ta phải có sup{r (y, Fx 0 ) : y  Fx n }  0 . 


7

Mệnh đề 1.1.3. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị
F : D  X  2Y \ thỏa mãn Fx đóng với mọi x  D . Khi đó:

a) Nếu F là nửa liên tục trên và D đóng thì đồ thị (GF ) là đóng.
b) Nếu F (D ) compact và D đóng thì F là nửa liên tục trên khi và chỉ khi
đồ thị (GF ) đóng.

Chứng minh.
a) Lấy tùy ý dãy (x n , yn )  (GF ) , giả sử (x n , yn )  (x 0, y 0 ) tức là x n  x 0 và
yn  y 0 . Ta chứng minh x 0  D và y 0  Fx 0 . Trước tiên, do D đóng {x n }  D

và x n  x 0 nên x 0  D . Tiếp theo, do (x n , yn )  (GF ) nên yn  Fx n , n . Mặt
khác, Fx đóng với mọi x  D và F là nửa liên tục trên nên theo Mệnh đề 1.1.2 (b)
ta có sup{r (yn , Fx 0 ) : yn  Fx n }  0 . Vì yn  y 0 nên r (y 0, Fx 0 )  0 , lại do
Fx 0 đóng nên y 0  Fx 0 . Vậy (x 0, y 0 )  (GF ) nên (GF ) là đóng.

b) Cho Fx đóng với mọi x  D, F (D ) compact và D đóng. Trước tiên, ta thấy
rằng nếu F nửa liên tục trên thì theo câu (a) ta có đồ thị (GF ) là đóng. Ngược lại,
giả sử đồ thị (GF ) đóng, ta chứng minh F là nửa liên tục trên trên D . Nếu trái lại

F không là nửa liên tục trên trên D , khi đó tồn tại một lân cận mở V  Y chứa
Fx sao cho với mọi lân cận mở U của x trong X ta đều có F (U )  V . Bây giờ,
lấy U  B(x , n 1 ), n  1, 2,... Với mỗi n chọn x n  B(x , n 1 ) sao cho Fx n  V
và lấy yn sao cho yn  Fx n và yn  V . Khi đó ta có lim x n  x và {yn }  F (D ) .
n 

Vì F (D ) compact, không mất tính tổng quát ta có thể coi lim yn  y  F (D ) . Ta
n 

thấy rằng y  V . Từ đó, với mỗi n ta có (x n , yn )  (GF ) và (x n , yn )  (x , y ) . Bởi
vì đồ thị (GF ) đóng cho nên (x , y )  (GF ) . Điều này mâu thuẫn với y  V . Như
vậy phải có F là nửa liên tục trên. 


8

Mệnh đề 1.1.4. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị

F : D  X  2Y \. Khi đó nếu D là tập compact, F là nửa liên tục trên và Fx

compact với mọi x  D thì F (D ) là compact.
Chứng minh. Lấy {Vt } là một họ phủ mở của F (D ) . Vì Fx compact với mọi

x  D nên tồn tại một số hữu hạn các tập Vt sao cho Fx  Wx , trong đó Wx là
hợp của một số hữu hạn các tập Vt , với mọi x  D . Điều này dẫn đến một họ
{Wx }x D là họ phủ mở của F (D ) . Với mỗi x  D, đặt U x  F 1(Wx ) . Khi đó do

F là nửa liên tục trên nên U x mở, do đó họ {U x }x D là một phủ mở của D trong
X . Vì D compact nên tồn tại một phủ con hữu hạn U x , U x ,...,U x của D . Từ đây
1

2

n

suy ra Wx , Wx ,..., Wx phủ F (D ) .
1

2

n

Bây giờ bởi vì mỗi Wx là hợp của một số hữu hạn các tập trong họ {Vt } nên
i

rõ ràng ta thu được một phủ con hữu hạn Vt , Vt , ..., Vt của phủ {Vt } . Vậy ta phải
1

2

k

có F (D ) là tập compact. 
Dựa vào các khái niệm nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới ta đưa ra định nghĩa
ánh xạ đa trị liên tục sau:
Định nghĩa 1.1.2. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị
F : D  X  2Y \, ta nói F là liên tục trên D nếu nó vừa là nửa liên tục trên

vừa là nửa liên tục dưới trên D .
Ta thấy rằng khái niệm liên tục của ánh xạ đa trị trong Định nghĩa 1.1.2 được
định nghĩa thông qua các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới, bởi vậy
khi nghiên cứu các ánh xạ đa trị thì các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục
dưới sẽ là các khái niệm được quan tâm và sử dụng nhiều hơn khái niệm liên tục đã
được giới thiệu trong Định nghĩa 1.1.2.
Tuy nhiên, đối với các ánh xạ đa trị, bởi vì Fx là một tập con của Y và ta sẽ
làm việc với chúng chủ yếu trên các tập hợp nên ta sẽ giới thiệu thêm một khái niệm


9

liên tục có nhiều ý nghĩa và ứng dụng khi nghiên cứu, đó là khái niệm Hausdorff liên tục.
Định nghĩa 1.1.3. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị
F : D  X  2Y \, ta nói F là Hausdorff- liên tục tại x 0 nếu dH (Fx n , Fx 0 )  0

với bất kỳ dãy x n  x 0 và nói F là Hausdorff - liên tục trên D nếu nó là
Hausdorff - liên tục tại mọi điểm x 0  D .
Mệnh đề 1.1.5. Cho X ,Y là các không gian Banach và một ánh xạ đa trị
F : D  X  2Y \ thỏa mãn Fx đóng với mọi x  D . Khi đó:

a) Nếu F là Hausdorff - liên tục thì F là nửa liên tục dưới.
b) Nếu Fx compact với mọi x  D thì F là Hausdorff - liên tục nếu và chỉ
nếu F liên tục.
Chứng minh.
a) Giả sử F là Hausdorff - liên tục, theo định nghĩa ta có dH (Fx n , Fx 0 )  0 . Hay



max sup r (y, Fx n ); sup r (y, Fx 0 )  0 với bất kỳ dãy {x n } sao cho x n  x 0 . Suy
 Fx 0

Fx n
ra sup{r (y, Fx n ) : y  Fx 0 }  0 với bất kỳ dãy x n  x 0 . Do đó theo Mệnh đề
1.1.2 (a) thì F là nửa liên tục dưới.
b) Cho Fx compact với mọi x  D . Giả sử F là Hausdorff - liên tục, theo câu (a)
ta đã có F là nửa liên tục dưới. Để chứng minh F nửa liên tục trên, lấy tùy ý tập
đóng A  Y và dãy {x n }  F1(A) sao cho x n  x 0 . Ta có Fx n  A  , n .
Bây giờ với mỗi n, chọn yn  Fx n  A . Do F là Hausdorff - liên tục nên
r (yn , Fx 0 )  0 và do tính compact của Fx 0 dẫn đến có một dãy con hội tụ, không

mất tính tổng quát giả sử yn  y 0  Fx 0  A . Vậy F1(A) là đóng do đó F là
nửa liên tục trên. Ngược lại, giả sử F liên tục nghĩa là nó vừa là nửa liên tục dưới
vừa là nửa liên tục trên, nếu x n  x 0 thì do F là nửa liên tục trên nên theo Mệnh


10

đề 1.1.2 (b) ta có sup{r (y, Fx 0 ) : y  Fx n }  0 . Bây giờ để chứng minh
dH (Fx n , Fx 0 )  0 , ta sẽ chứng tỏ rằng không tồn tại a  0 sao cho

r (yn , Fx n )  a  0 với mọi n và yn  Fx 0 nào đó. Thật vậy, nếu không thì do

tính compact của Fx 0 nên không mất tính tổng quát ta có thể coi yn  y 0  Fx 0 và
do vậy r (y 0, Fx n )  a/2 . Đặt V  B(y 0, a/2) ta thấy rằng với n đủ lớn thì
Fx n V   . Điều này mâu thuẫn với tính nửa liên tục dưới của F tại x 0 . Vậy F

là Hausdorff - liên tục. 
1.1.2 Các ví dụ
Một số ví dụ sau đây sẽ phần nào giúp làm rõ hơn về các ánh xạ đa trị, các
thuộc tính nửa liên tục, liên tục và Hausdorff - liên tục. Đồng thời cũng giúp làm rõ
thêm những giả thiết về các tính chất của Fx như đóng, lồi, compact…
Ví dụ 1.1.1. Cho hai không gian Banach X ,Y và một toàn ánh T : X  Y
trên đó. Xét ánh xạ đa trị F : X  2Y \ được xác định bởi Fy  T 1y . Khi đó
với một tập bất kỳ M  X ta có:
F1(M )  {y  Y : Fy  M  }  {y  Y : T 1y  M  }

 {y  Y : x  M : Tx  y }  T (M )

Do đó từ Định nghĩa 1.1.1 và Mệnh đề 1.1.1 ta thấy rằng ánh xạ F là nửa liên
tục dưới nếu và chỉ nếu T là ánh xạ mở. Ánh xạ F là nửa liên tục trên nếu và chỉ
nếu T là ánh xạ đóng.
Giả sử nói riêng T  L(X ,Y ) . Vì T là toàn ánh nên R(T )  Y là đóng và
T 1y  x  N (T ) với Tx  y . Ta có | Tx | c r (x , N (T )) trên X với một c  0

nào đó, thật vậy giả sử ngược lại tồn tại x 0  X :| Tx 0 | er (x 0, N (T )), e  0 .
Cho e  0 ta được | Tx 0 |  0 tức x 0  N (T ) dẫn đến 0  0 đây là điều vô lý.
Bây giờ, giả sử với bất kỳ dãy {yn } thỏa yn  y 0 trong Y . Do T là toàn ánh
nên tồn tại {x n } và x 0 sao cho yn  Tx n , y 0  Tx 0 . Bởi vì Tx n  Tx 0 nên

11

T (x n  x 0 )  0 điều này kéo theo r (x n  x 0, N (T ))  0 cho nên dẫn đến

r (x n ,T 1y 0 )  0 và r (x 0,T 1yn )  0 . Từ đó suy ra dH (T 1yn ,T 1y 0 )  0 hay
dH (Fyn , Fy 0 )  0 . Vậy F là Hausdorff - liên tục và do đó theo Mệnh đề 1.1.5 (a)

thì F là nửa liên tục dưới hay T là ánh xạ mở. Tuy nhiên, T  0 với N (T )  0
không là ánh xạ đóng. Để thấy được điều này ta xét A  {nx 0  x 1 /n : n  1} với
0  x 0  N (T ) và Tx 1  0 . Ta có A đóng và F1(A)  T (A)  {T (x 1 /n )} nên

lim T (x 1 /n )  0  T (A) vậy T (A) không đóng. Do đó F không phải là ánh xạ

n 

nửa liên tục trên hay T không phải là ánh xạ đóng.
Ví dụ 1.1.2. Cho X là không gian Banach và   D  X là tập compact.
Xét mêtric chiếu P : X  2D \ được định nghĩa bởi:
Px  {z  D :| x  z |  r (x , D )}

Khi đó Px đóng trong D compact nên Px compact với mọi x  D . Thật vậy,
lấy tùy ý dãy {z n }  Px , giả sử z n  z 0 bởi vì:

| z n  x |  | z n  z 0 | | x  z 0 | | z n  x |  | z n  z 0 |, n
Dẫn đến r (x , D ) | z n  z 0 |  | x  z 0 |  r (x , D )  | z n  z 0 |, n .
Cho n   , ta được | z n  z 0 | 0 nên | x  z 0 | r (x , D ) . Hay z 0  Px
nên Px đóng. Hơn nữa, Px cũng lồi nếu D là lồi. Thật vậy:
u, v  Px  D và t  [0,1] . Bởi vì D lồi nên tu  (1  t )v  D. Hơn nữa:
r (x , D )  | tu  (1  t )v  x | | t(u  x )  (1  t )(v  x ) |

 t | u  x | (1  t ) | v  x |  t r (x , D )  (1  t )r (x , D )  r (x , D )

Vậy tu  (1  t )v  Px . Do đó Px lồi với mọi x  D .
Bây giờ lấy tùy ý A  X là đóng và lấy bất kỳ dãy {x n }  P1(A) giả sử
x n  x 0 ta chứng minh x 0  P1(A) . Giả sử trái lại x 0  P1(A) khi đó ta có


12

Px 0  A   . Dẫn đến z  A đều có | x 0  z |  r (x 0, D ) . Đặt A1  {z  A :
| x 0  z | r (x , D )} và A2  {z  A :| x 0  z | r (x , D )} thì rõ ràng A  A1  A2 .

Khi đó e  0 :| x 0  z | e  r (x 0, D ), z  A1 và | x 0  z | e  r (x 0, D ), z 
A2 . Mặt khác vì x n  x 0 nên | x n  x 0 |  e với n đủ lớn, khi đó:

| x n  z |  | x n  x 0 |  | x 0  z |  e  | x 0  z |  r (x 0, D ), z  A1
| x n  z |  | x 0  z |  | x n  x 0 | | x 0  z |  e  r (x 0, D ), z  A2
Suy ra Px n  A1   và Px n  A2   với n đủ lớn. Hay Px n  A   với n đủ
lớn. Điều này mâu thuẫn với sự kiện Px n  A  , n . Như vậy ta phải có
Px 0  A   vậy P là nửa liên tục trên trên X .

Tuy nhiên P có thể không là nửa liên tục dưới nếu D lồi, vì thế P cũng
không là Hausdorff - liên tục. Ta hãy xem một ví dụ minh họa cụ thể trong trong
hình 1.1 sau. Lấy X  2 và D  {(x ,| x |) : x  [1,1]}  2 với chuẩn:
| (x , y ) | max{| x |,| y |} .

Khi đó P là Hausdorff – liên tục trên 2 \{(0, y ) : y  0} , P không nửa liên
tục dưới tại những điểm (0, y ), y  0 và cũng dễ thấy P (0, y ) không liên thông với
y  0.

13

Ví dụ 1.1.3. Cho X là không gian Banach,   X và cho các hàm bị chặn
j, y :    thỏa mãn j(x )  y(x ) trên  . Xét ánh xạ đa trị F :   2 \ xác

định bởi Fx  [j(x ), y(x )]   . Hiển nhiên Fx compact lồi với mọi x   . Khi
đó, điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị F nửa liên tục dưới là các hàm j nửa liên
tục trên và y nửa liên tục dưới. Thật vậy:
•

Điều kiện đủ:
Giả sử j là nửa liên tục trên và y là nửa liên tục dưới. Lấy bất kỳ tập mở

V   và x 0  F1(V ), giả sử dãy {x n }  , x n  x 0   . Bởi vì x 0  F1(V )
nên Fx 0 V   . Tức là [j(x 0 ), y(x 0 )] V   . Do j là nửa liên tục trên, y là
nửa liên tục dưới và j(x )  y(x ) trên  cho nên lim j(x n )  j(x 0 )  y(x 0 )
n 

 lim y(x n ) . Điều này dẫn đến [j(x n ), y(x n )] V   với n đủ lớn, hay là
n 

Fx n V   với n đủ lớn. Do vậy x n  F1(V ) với n đủ lớn. Bởi vậy F1(V ) là

mở trong  .
•

Điều kiện cần:
Giả sử ánh xạ đa trị F xác định bởi Fx  [j(x ), y(x )] là nửa liên tục dưới, ta

chứng minh j là nửa liên tục trên và y là nửa liên tục dưới. Lấy tùy ý dãy
{x n }   giả sử x n  x 0   . Ta phải chứng tỏ rằng lim j(x n )  j(x 0 ) và
n 

lim y(x n )  y(x 0 ) . Thật vậy, giả sử trái lại y  lim j(x n )  j(x 0 ) . Khi đó đặt

n 

n 

r  y  j(x 0 )  0 . Do F là nửa liên tục trên tại x 0 nên với dãy x n  x 0 và V 

B j(x 0 ), r /2 là lận cận của j(x 0 )  Fx 0 , ta có Fx n  V với n đủ lớn. Dẫn đến
y  j(x n )  r /2 với n đủ lớn. Điều này mâu thuẫn với y  lim j(x n ) . Vậy phải
n 

có j là hàm nửa liên tục trên. Lập luận tương tự như trên ta cũng có được y là
hàm nửa liên tục dưới.


14

Ví dụ 1.1.4. Cho J  [0,1], f : J  n  n là một hàm liên tục và thỏa
| f (t, x ) |  M (1 | x |) . Ta biết rằng bài toán giá trị đầu của phương trình vi phân:

u   f (t, u )





u(0)  x



(1.1)

có nghiệm trên J . Đặt X  C (J ) và xét ánh xạ đa trị S : n  2X \ định bởi
Sx  {u  C (J ) : u là một nghiệm của (1.1)} . Ta biết rằng Sx là compact, liên
n

thông. Lấy t  (0,1] và xét ánh xạ đa trị - Poincaré Pt : n  2 \ được cho bởi
Ptx  {u(t; x ) : u  Sx } . Rõ ràng Pt  Rt  S , trong đó Rt : X  n là ánh xạ

liên tục được xác định bởi Rtu  u(t) và Ptx là compact liên thông trong n . Nói
chung, đây là những tính chất tốt nhất mà ta có thể nói về

Ptx

. Trong trường hợp

n  1 ta có ngay Ptx compact, lồi vì trong trường hợp này Ptx là một điểm hoặc
một khoảng compact.
{x } 
Ta có S là nửa liên tục trên. Thật vậy, lấy tùy ý A  X đóng và dãy n

S 1(A)

Sx n  A

giả sử

xn  x 0

ta được

. Ta có

un  f (t, un )

Ascoli-Arzela ta có

un  u
k

Sx n  A  , n.

u 
Khi đó với mỗi n chọn n

u (0)  x n  x 0
trong J và n
. Do vậy từ Định lý

S 1(A)
u  Sx 0  A
X
trong
và cho nên
. Vậy
là

R
đóng với bất kỳ A đóng. Bây giờ bởi vì t liên tục, Sx compact với mọi x và S

là nửa liên tục trên do đó

Pt

cũng là nửa liên tục trên.

Ví dụ 1.1.5. Cho ánh xạ đa trị f : n  2 \ là nửa liên tục trên, f (n )
compact và f (x ) compact, lồi với mọi x , tức f (x ) là một điểm hoặc một khoảng
p

compact trong  . Cho J  [0, a ] và xét ánh xạ đa trị F : C (J , n )  2L (J ) \ xác
định bởi Fu  {v  L (J ) : v(t )  f (u(t )) h.k.n trong J } với p  [1, ) . Do f (x )


15

compact, lồi với mọi x nên với mọi u  C (J ) thì Fu là tập con lồi, bị chặn của
Lp (J ) , Hơn nữa vì một dãy hội tụ trong Lp (J ) đều có một dãy con hội tụ h.k.n nên

Fu là đóng trong Lp (J ) . Để chứng minh rằng Fu   , ta phải tìm một hàm chọn
đo được v của f (u()) : J  2 \ , điều này là có thể thực hiện được dưới những
giả thiết đã cho ở trên, ta sẽ thấy trong Ví dụ 2.1.1, chương 2. Ở đây, chúng ta sẽ
chứng tỏ đồ thị (GF ) là nửa đóng yếu, nghĩa là cho un  u 0, vn  Fun và vn  v0
dẫn đến v0  Fu 0 . Bởi vì f là nửa liên tục trên, cho nên với mỗi tập mở
Vn  {y   : r (y, f (u 0 (t )))  n 1} chứa f (u 0 (t )) đều tồn tại dn  0 sao cho

f (B(u 0 (t ), dn ))  Vn . Điều này dẫn đến convf (B(u 0 (t ), dn ))  Vn . Từ đây ta có:

 d 0 convf (B(u0(t ), d ))  n 1 convf (B(u0(t ), dn ))  n 1Vn  f (u0(t ))
Mặt khác hiển nhiên ta có f (u 0 (t ))   d 0 convf (B(u 0 (t ), d )).
Vậy f (u 0 (t ))   d 0 convf (B(u 0 (t ), d )) trên J .
Hơn nữa un  u 0 trong C (J ) dẫn đến un (s )  B(u 0 (t ), d ) với n  n 0 (d ) và
| s  t |  r (d ). Do đó vn (s )  f (B(u 0 (t ), d )) với n  n 0 (d ) và | s  t |  r (d ) nên:

1
h

t h



vn (s )ds  convf (B(u 0 (t ), d ))

(1.2)

t

với những giá trị n đủ lớn và h đủ nhỏ;
Nhớ lại rằng tích phân là giới hạn của các tích phân các hàm bậc, nghĩa là tổng

 i 1 zn m (J n ) với m
mn

i

i

là độ đo Lebesgue,

 i 1 m (J n )  h
mn

i

và z n  v(J n ) . Bởi vì
i

i

1  Lq (t, t  h ) và 〈vn − v0 , 1〉  0 khi n   ta thu được (1.2) với v0 thay vì vn

và bởi vì

1 t h
v0 (s )ds  v0 (t ) khi h  0 với hầu như tất cả t  J , cho nên ta có
h t


16

v0 (t )  convf (B(u 0 (t ), d )) h.k.n trong J với mọi d  0 . Tức là ta phải có

v0 (t )  f (u 0 (t )) h.k.n trong J .

1.2 Hàm chọn liên tục
1.2.1 Sự tồn tại của hàm chọn liên tục

Khi xét đến khái niệm hàm hay ánh xạ, thì một trong những tính chất “đẹp”
của nó mà ta thường quan tâm là tính liên tục. Theo tiên đề chọn ta biết rằng mọi
ánh xạ đa trị đều có hàm chọn. Tuy nhiên trong mục này, ta sẽ xét điều kiện tồn tại
hàm chọn liên tục của ánh xạ đa trị. Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm sau:
•

Cho X là một không gian tôpô và {Vi }i I là một họ phủ mở của X , tức là

X   i I Vi . Ta gọi một phân hoạch đơn vị đối với phủ này là một họ các hàm
liên tục ji : X  [0,1] sao cho ji (x )  0 trên X \Vi , với mỗi x 0  X đều tồn tại
lân cận V  V (x 0 ) sao cho ji |V  0 chỉ có thể xảy ra với một số hữu hạn i và

 i ji (x )  1 trên X .
•

Một phủ {Vi }i I của một không gian tôpô X được gọi là phủ hữu hạn địa

phương nếu với mọi x  X có một tập mở V chứa x sao cho V có giao khác rỗng
chỉ với một số hữu hạn các tập Vi trong phủ đó.
•

Phủ {U j } được gọi là phủ nội tiếp của phủ {Vi } nếu với mọi U j đều nằm

trong một Vi nào đó.
•

Một không gian tôpô Hausdorff được gọi là không gian paracompact nếu

mọi phủ mở đều có một phủ nội tiếp hữu hạn địa phương.
Bổ đề 1.2.1. Cho X ,Y là các không gian Banach, F : X  2Y \ là ánh xạ

nửa liên tục dưới và các ánh xạ đơn trị liên tục f : X  Y , l : X  (0, ) . Giả
sử Fx  B( f (x ), l(x ))   với mọi x  X . Khi đó ánh xạ đa trị G : X  2Y \
được xác định bởi Gx  Fx  B( f (x ), l(x )) cũng là nửa liên tục dưới.


17

Chứng minh. Lấy tùy ý tập mở V  Y và x 0  G1(V ) ta có Gx 0 V   .
Chọn y 0  Gx 0 V  V  (Fx 0  B( f (x 0 ), l(x 0 ))) và một lân cận mở Vy của y 0
0

sao cho Vy  V  B( f (x 0 ), l(x 0 )) bởi vì tập V  B( f (x 0 ), l(x 0 )) là mở chứa y 0 .
0

Bây giờ, do tính liện tục của f và l nên tồn tại một lân cận mở U x của x 0 trong
0

X sao cho Vy  B( f (x ), l(x )) với mọi x  U x . Vì F là nửa liên tục dưới nên ta
0

0

chọn một lân cận mở Wx của x 0 trong X sao cho Fx Vy  , x  Wx . Đặt
0

0

0

U  U x  Wx thì U là một lân cận mở của x 0 và Fx  B( f (x ), l(x )) Vy  ,

0

0

0

dẫn đến Fx  B( f (x ), l(x )) V   với mọi x  U . Hay Gx V   với mọi

x  U . Vậy U  G1(V ) nên G1(V ) là mở do đó G là nửa liên tục dưới. 
Định lý 1.2.1. Cho X ,Y là các không gian Banach, F : D  X  2Y \ là
ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới và Fx lồi, đóng với mọi x  D . Khi đó F chứa
một hàm chọn liên tục.
Chứng minh.
Bước 1: Ta sẽ chứng tỏ rằng với e  0 tồn tại hàm liên tục f : D  Y sao cho
f (x )  Fx  B(0, e ) trên D mà không cần giả thiết rằng Fx đóng. Thật vậy, cho

trước e  0 , đặt V  B(0, e ) và U y  {x  D : y  Fx V }  F1(y V ) thì U y
là mở do F là nửa liên tục dưới. Bởi vì D   y Y U y và D  X là không gian
Banach nên D là paracompact, do đó có một phủ nội tiếp hữu hạn địa phương
{Wi }i I của phủ {U y }y Y và một phân hoạch đơn vị {ji }i I đối với phủ {Wi }i I .

Với mỗi i  I chọn yi sao cho ji  0 trong X \U y . Đặt f (x )   i I ji (x ).yi thì
i

do f là tổng hữu hạn các hàm liên tục nên f liên tục và ji (x )  0 nghĩa là x  U y

i

hay yi  Fx V và do đó f (x )  Fx V bởi vì tập hợp này là tập lồi.

18

Bước 2: Cho e  2n , n  1, 2,... Ta được họ Vn  B(0, 2n ) , bằng quy nạp ta
xây dựng các hàm liên tục fn : D  Y sao cho:
fn (x )  fn 1(x )  2Vn với n  2 và

(1.3)

fn (x )  Fx Vn với n  1 trên D .

(1.4)

Bây giờ, sự tồn tại của f1 là dễ thấy từ bước thứ nhất. Giả sử ta đã có
f1, f2,..., fk . thỏa (1.3) và (1.4). Ta chứng minh tồn tại fk 1 cũng thỏa mãn (1.3) và

(1.4). Đặt Gx  Fx  ( fk (x ) Vk ) hiển nhiên Gx là lồi và khác rỗng. Theo Bổ đề
1.2.1 ta có G là ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới. Theo bước 1 thì tồn tại một hàm
liên tục, ký hiệu là fk 1 sao cho fk 1(x )  Gx Vk 1 trên D . Khi đó:
fk 1(x )  fk (x ) Vk Vk 1  fk (x )  2Vk và fk 1(x )  Fx Vk 1 trên D .

Do vậy (1.3) và (1.4) thỏa mãn với (k  1) . Vì thế theo nguyên lý quy nạp ta
có (1.3) và (1.4) được thỏa mãn với mọi n .
Bước 3: Từ quan hệ bao hàm (1.3) ta có fn (x )  fn 1(x )  2Vn  2B(0, 2n ) trên

D . Suy ra | fn  fn 1 | 2n 1 dẫn đến {fn } là dãy Cauchy trong C (D,Y ). Do đó
dãy {fn } hội tụ theo chuẩn về hàm f cho nên f liên tục. Từ quan hệ bao hàm (1.4)
cho ta r ( fn (x ), Fx )  2n , x  D . Nhưng vì {fn } hội tụ theo chuẩn về hàm f và

Fx đóng dẫn đến f (x )  Fx trên D . 

1.2.2 Các ví dụ
Để xét các ví dụ minh họa và áp dụng, trước hết ta cần nhắc lại một số khái
niệm có liên quan được sử dụng sau đây:
• Cho X là không gian Banach, tập B  X được gọi là bị chặn nếu B được
chứa trong một quả cầu nào đó, tức tồn tại r  0 sao cho B  B(0, r ) .
• diamB  sup{| x  y |: x , y  B} được gọi là đường kính của B .


19

• Cho B là một họ các tập con bị chặn của không gian Banach X , nếu B  B
không là compact tương đối (hay tiền compact) thì tồn tại một số e  0 sao cho B
không thể được phủ bởi một số hữu hạn các quả cầu bán kính e và cũng không thể
phủ B bởi một tập hợp hữu hạn các tập có đường kính nhỏ hơn e .
• Cho X là không gian Banach, xét các hàm a, b : B    định nghĩa bởi:
• a(B )  inf{d  0 : B được phủ bởi hữu hạn các tập có đường kính  d } .
Khi đó a được gọi là độ đo phi compact (Kuratowski).
• b (B )  inf{r  0 : B được phủ bởi hữu hạn quả cầu bán kính bằng r } . Khi
đó b được gọi là độ đo cầu phi compact.
Ví dụ 1.2.1. Cho  là tập con đóng của một không gian Banach, l  () là
không gian Banach các hàm bị chặn x :    với chuẩn | x |  sup | x (t ) | và
C  () là không gian con đóng của tất cả các hàm liên tục, bị chặn x :    . Khi

đó mêtric chiếu P : l  ()  2C  () \ định bởi: Px  {y  C  () :| x  y | 
r (x ,C  ())} là tồn tại. Để thấy được điều này, cho x  l  (), x 1(t )  lim x (s ) và
s t

1
x 2 (t )  lim x (s ) . Khi đó x 1(t )  x (t )  x 2 (t ) trên  và với a  2 | x 2  x 1 | ta
s t

có j(t )  x 2 (t )  a  y(t )  x 1(t )  a trên  . Hàm j là nửa liên tục trên và y là
nửa liên tục dưới. Do đó ta lấy y  C  () sao cho j  y  y . Ta sẽ chứng tỏ
y  Px . Thật vậy, đặt b  r (x ,C  ()) và chú ý rằng:
x  a  x 2  a  j  y  y  x1  a  x  a

Dẫn đến b  | x  y |  a . Hơn nữa cho e  0 bởi vì b  r (x ,C  ()) do
tính chất của inf nên tồn tại z  C  () sao cho | x  z |  b  e . Vì thế
x  b  e  z  x  b  e . Cho nên x 2  b  e  z  x 1  b  e bởi vì z liên

tục. Do vậy 0  x 2  x 1  2b  2e . Suy ra a  b  e với mọi e  0 và do đó


20

| x  y |  b . Bằng lập luận tương tự ta thấy rằng P là ánh xạ Lipschitz hằng số 2

đối với mêtric – Hausdorff dH nên cũng P chứa một hàm chọn liên tục (xem [11]
Theorem Kripke p.173).
Ví dụ 1.2.2. Cho X là một không gian Banach J  [0, a ]   và ánh xạ đa
trị F : J  B(x 0, r )  2X \ là Hausdorff - liên tục thỏa F (t, x ) lồi đóng với mọi
(t, x ) . Giả sử rằng g (F (J  B ))  k g (B ), với mọi B  B(x 0, r ) và với k  0, trong

đó g là một độ đo phi compact. Khi đó bài toán giá trị đầu của phương trình vi
phân sau:
u   F (t, u )


u(0)  x 0


có một nghiệm địa phương thuộc lớp C 1 . Thật vậy, bởi vì với giả thiết đã cho thì
ánh xạ đa trị F chứa một hàm chọn liên tục f : J  B(x 0, r )  X thỏa mãn
g ( f (J  B )  g (F (J  B ))  k g (B ) với mọi B  B(x 0, r ) và do vậy bài toán:

u   f (t, u )


có một nghiệm địa phương thuộc lớp C 1 .



u
(0)
x
0



Chú ý các trường hợp đặc biệt có thể tồn tại các hàm chọn liên tục, ví dụ như

F Hausdorff - liên tục, Fx lồi đóng, bị chặn với mọi x  D và Y lồi đều. Khi đó
chọn tùy ý y 0  Y và xác định hàm f bởi f (x )  Fx và | y 0  f (x ) | r (y 0, Fx ).
Rõ ràng f là hàm chọn liên tục của F . Cũng chú ý rằng Định lý 1.2.1 là sai nếu
như Y không đầy đủ hoặc Fx không đóng hay không lồi. Chẳng hạn ánh xạ đa trị
P trong Ví dụ 1.1.2 là nửa liên tục trên nhưng không chứa một hàm chọn liên tục.

Ta hãy xét một ví dụ minh họa khác.
Ví dụ 1.2.3. Xét bài toán giá trị đầu của phương trình vi phân:

u   2 | u |


u(0)  x
