Dạng cơ bản thứ nhất trên các mặt cong trơn

Header Page 1 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********

PHẠM THỊ HỒNG THẮM

DẠNG CƠ BẢN THỨ NHẤT
TRÊN CÁC MẶT CONG TRƠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI - 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********

PHẠM THỊ HỒNG THẮM

DẠNG CƠ BẢN THỨ NHẤT
TRÊN CÁC MẶT CONG TRƠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Thạc Dũng

HÀ NỘI - 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.

Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy - Tiến sĩ Nguyễn Thạc Dũng
- Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy
đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình làm
khóa luận tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Hình Học, các
thầy cô giáo khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường bốn năm vừa qua và giúp
đỡ tôi thực hiện khóa luận này.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn nhiệt tình giúp đỡ, động viên, quan tâm, tiếp thêm
niềm tin và nghị lực cho tôi trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và
hoàn thành khóa luận.
Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những điều thiếu sót
và hạn chế. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và
các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Phạm Thị Hồng Thắm

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.

Lời cam đoan
Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu
của bản thân và sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Thạc Dũng.
Trong khóa luận tôi có tham khảo các kết quả nghiên cứu trong cuốn
sách chuyên khảo "Elementary Differential Geometry" của tác giả Andrew
Pressley do nhà xuất bản Springer ấn hành năm 2010. Tôi xin cam đoan
kết quả của khóa luận này được trình bày lại theo kiến thức tôi học được
từ cuốn sách trên, hoàn toàn không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Phạm Thị Hồng Thắm

i

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Đường cong tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Đường cong chính quy và độ dài cung . . . . . . . . . . .

4

1.3

Tham số hóa lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

Mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5

Mặt cong trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.6

Tiếp tuyến và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2 Dạng cơ bản thứ nhất trên các mặt cong trơn

16

2.1

Độ dài của đường cong trên mặt cong . . . . . . . . . . .

16

2.2

Đẳng cự trên mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3

Ánh xạ bảo giác của mặt cong . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4

Ánh xạ bảo toàn diện tích và định lý Ac-si-met . . . . .

31

2.5

Hình học cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Kết luận

55

Tài liệu tham khảo

56

Footer Page 5 of 161.

Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

Lời mở đầu
Hình học là môn khoa học đi nghiên cứu về tính chất định tính
và định lượng của các hình. Tùy vào các phương pháp nghiên cứu khác
nhau mà có những ngành hình học khác nhau như Hình học Afin, Hình
học xạ ảnh, Hình học Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số,
Tôpô...
Hình học Vi phân là một nhánh của hình học sử dụng các công cụ
và phương pháp của phép tính vi phân và tích phân để nghiên cứu các
vấn đề của hình học. Việc nghiên cứu Hình học của đường cong và mặt
cong trong không gian Euclide ba chiều đã trở thành cơ sở cho sự phát
triển ban đầu của Hình học Vi phân. Rất nhiều kết quả về đường cong
và mặt cong là dạng sơ khai của các kết quả tổng quát trong trường hợp
chiều cao. Việc nghiên cứu các quan hệ như thế tạo ra một mảng chính
của Toán học.
Khóa luận này đề cập đến lý thuyết của các mặt cong trơn liên quan
đến dạng cơ bản thứ nhất.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được
sự định hướng của thầy hướng dẫn, tôi đã quyết định chọn đề tài Dạng
cơ bản thứ nhất trên các mặt cong trơn để trình bày trong khóa
luận tốt nghiệp đại học.
Khóa luận gồm 2 chương.
Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số khái niệm về
đường cong tham số, đường cong chính quy và độ dài cung, tham số hóa
lại, mặt cong, mặt cong trơn, tiếp tuyến tại một điểm trên mặt cong và
1

Footer Page 6 of 161.


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

đạo hàm để nghiên cứu cho phần sau.
Chương 2 tập trung nghiên cứu về "Dạng cơ bản thứ nhất trên các
mặt cong trơn". Dựa vào dạng cơ bản đó, chúng ta xác định được độ dài
của đường cong trên mặt cong, ánh xạ đẳng cự và ánh xạ bảo giác đồng
thời thấy được mối quan hệ giữa các ánh xạ đó.
Bên cạnh đó, khóa luận trình bày về ánh xạ bảo toàn diện tích và
ví dụ nổi tiếng nhất về ánh xạ bảo toàn diện tích là ví dụ được tìm bởi
Ac-si-met. Và ứng dụng của định lý Ac-si-met được vận dụng vào tam
giác cầu trên hình học cầu.

Footer Page 7 of 161.

2


Header Page 8 of 161.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Đường cong tham số

Ký hiệu R3 là không gian vectơ 3-chiều gồm bộ ba các số thực (x, y, z).
Mục tiêu của phần này là đi mô tả chính xác các tập con đặc biệt của
R3 (được gọi là các đường cong) là gì? Để nghiên cứu các đối tượng này,
chúng ta cần biết các phép tính vi - tích phân trong không gian một
chiều. Chúng ta thường đòi hỏi các đường cong là "trơn" vì thế một
cách tự nhiên chúng ta xét lớp các hàm khả vi.
Trong toàn bộ khóa luận này, ta nói rằng một hàm số của một biến
thực là khả vi (hoặc trơn) trên một miền D ⊂ R nếu nó có đạo hàm mọi
cấp tại mọi điểm x ∈ D.
Định nghĩa 1.1. Một đường cong tham số là một ánh xạ liên tục γ :
I → R3 trên một khoảng mở I = (α, β) của đường thẳng thực R vào R3 .
Nếu ánh xạ γ là một hàm khả vi (trơn) thì γ được gọi là một đường cong
tham số khả vi (Đường cong tham số trơn).
Từ khả vi trong định nghĩa này được hiểu rằng γ là ánh xạ tương
ứng với mỗi t ∈ I là một điểm γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 , trong đó các

Footer Page 8 of 161.

3


Header Page 9 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

hàm số x(t), y(t), z(t) là khả vi. Biến số t được gọi là tham số của đường
cong. Từ khoảng được lấy trong trường hợp tổng quát để ta không loại

đi trường hợp α = −∞; β = +∞.
Nếu ta biểu thị x(t)
˙
là đạo hàm bậc nhất của x tại điểm t và đạo
hàm của các hàm số y và z cũng được biểu thị giống như vậy, thì vectơ
(x(t),
˙
y(t),
˙
z(t))
˙
= γ(t)
˙
∈ R3 được gọi là vectơ tiếp xúc (hoặc vectơ vận
tốc) của đường cong γ tại t. Tập ảnh γ(I) ⊂ R3 được gọi là vết của γ.
Lưu ý là ở đây ta cần phân biệt khái niệm một đường cong tham số với
vết của nó. Đường cong tham số là một ánh xạ còn vết của nó là một
tập con của R3 .

1.2

Đường cong chính quy và độ dài cung

Định nghĩa 1.2. Cho γ : (α, β) → R3 là một đường cong tham số khả
vi. Điểm γ(t) được gọi là điểm chính quy nếu γ(t)
˙
= 0, ngược lại nó được
gọi là điểm kì dị. Một đường cong được gọi là chính quy nếu mọi điểm
của nó đều chính quy.
Định nghĩa 1.3. Độ dài cung của một đường cong chính quy γ : (α, β) →

R3 xuất phát từ điểm γ(to ) là hàm số s(t) được cho bởi
t

s(t) =

γ(t)
˙
dt
to

trong đó γ(t)
˙
là độ dài của vectơ γ(t).
˙
Vì γ(t) là hàm khả vi nên độ dài cung s là một hàm số khả vi của
t và

ds
dt

= γ(t)
˙

Xem γ(t) như là vị trí của một điểm chuyển động tại thời điểm t,

Footer Page 9 of 161.

4

Header Page 10 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

thì

ds
dt

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

là vận tốc của điểm đó. Với lí do này, chúng ta đi đến định nghĩa

sau:
Định nghĩa 1.4. Giả sử γ : (α, β) → R3 là một đường cong chính quy,
khi đó vận tốc của nó tại điểm γ(t) là γ(t)
˙
và γ được gọi là đường
cong có vận tốc đơn vị nếu γ(t)
˙
= 1 với mọi t ∈ (α, β).

1.3

Tham số hóa lại

˜ → R3 là một tham số
Định nghĩa 1.5. Đường cong tham số γ˜ : (˜
α, β)
hóa lại của đường cong tham số γ : (α, β) → R3 nếu có một song ánh
˜ → (α, β) (được gọi là ánh xạ tham số hóa lại) sao cho

trơn φ : (˜
α, β)
˜ cũng là ánh xạ trơn và γ˜ (t˜) = γ(φ(t˜)) với mọi
φ−1 : (α, β) → (˜
α, β)
˜
t˜ ∈ (˜
α, β).
Do ánh xạ ngược của φ là ánh xạ trơn, nên γ là một tham số hóa
lại của γ˜ .
γ˜ (φ−1 (t)) = γ(φ(φ−1 (t))) = γ(t) với mọi t ∈ (α, β).
Hai đường cong là tham số hóa lại với nhau thì có cùng ảnh, vì vậy
chúng có các tính chất hình học giống nhau. Bởi định nghĩa của phép
tham số lại, ta dễ dàng chứng minh được mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1. Mọi tham số hóa lại của một đường cong chính quy đều
chính quy.

1.4

Mặt cong
Một mặt cong S trong R3 là một tập con của R3 mà mỗi lân cận

của một điểm p ∈ S đều giống như là một mảnh của R2 , chẳng hạn bề

Footer Page 10 of 161.

5


Header Page 11 of 161.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

mặt của quả địa cầu, mặc dù nó gần như là một mặt cầu, nhưng đối với
người đứng trên mặt đất quan sát thì nó dường như là một mặt phẳng.
Để phát biểu một cách chính xác thuật ngữ giống như và lân cận, chúng
ta sẽ giới thiệu lại một vài kiến thức cơ bản về topo trong R2 . Chúng
ta sẽ phát biểu cho Rn với mọi n ≥ 1 mặc dù chúng ta chỉ xét n = 1, 2
hoặc n = 3.
Một tập con U của Rn được gọi là mở, nếu với mỗi điểm a trong
U, tồn tại một số dương ε sao cho mọi điểm u ∈ Rn cách điểm a một
khoảng cách bằng ε đều nằm trong U
a ∈ U và u − a < ε ⇒ u ∈ U .
Cho X và Y tương ứng là các tập con của Rm và Rn , một ánh xạ
f : X → Y được gọi là liên tục tại một điểm a ∈ X nếu các điểm trong
X gần với điểm a có ảnh qua f là các điểm trong Y gần với điểm f (a).
Hay chính xác hơn, f liên tục tại a nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao
cho u ∈ X và u − a < δ ⇒ f (u) − f (a) < ε.
Khi đó, f được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc
X. Hợp của hai ánh xạ liên tục là liên tục.
Một song ánh f : X → Y liên tục và ánh xạ ngược của nó f −1 :
Y → X cũng liên tục, thì f được gọi là một đồng phôi và X được gọi là
đồng phôi với Y.
Bây giờ chúng ta có thể đi đến khái niệm mặt cong trong R3 .
Định nghĩa 1.6. Một tập con S của R3 được gọi là một mặt cong nếu
với mọi điểm p ∈ S, tồn tại một tập mở U trong R2 và một tập mở W
trong R3 chứa p sao cho S ∩ W đồng phôi với U.

Footer Page 11 of 161.

6


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

Như vậy, mỗi một mặt cong được trang bị bởi các đồng phôi σ :
U → S ∩ W, mà chúng ta sẽ gọi là các mảnh vá. Tập hợp tất cả các mảnh
vá này được gọi là một bản đồ của S.
Ví dụ 1.4.1. Mỗi mặt phẳng trong R3 là một mặt cong với bản đồ là
một mảnh vá.
Thật vậy, giả sử a là một điểm nào đó trên mặt phẳng, p và q là
hai vectơ đơn vị, vuông góc với nhau và song song với mặt phẳng đã
cho. Khi đó, mỗi vectơ song song với mặt phẳng là một tổ hợp tuyến
tính của p và q, có dạng up + vq với các vô hướng u và v. Với r là một
điểm bất kỳ trên mặt phẳng, thì vectơ r − a song song với mặt phẳng,
nên
r − a = up + vq
do đó
r = a + up + vq
với các vô hướng u, v nào đó. Như vậy, có thể xét mảnh vá
σ(u, v) = a + up + vq
và ánh xạ ngược của nó là σ −1 (u, v) = ((r − a).p, (r − a).q). Trong đó,
(r − a).p là tích vô hướng Euclid giữa hai vectơ r − a và p.
Dễ thấy, σ và σ −1 là các ánh xạ liên tục, do đó σ là một đồng phôi.
Ví dụ 1.4.2. Hình cầu đơn vị S 2 = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 = 1 là
một mặt cong

Tham số hóa phổ biến nhất của S 2 được cho bởi vĩ độ θ và kinh độ
ϕ. Nếu p là một điểm nằm trên mặt cầu, đường thẳng qua p song song

Footer Page 12 of 161.

7


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

với trục Oz giao với mặt phẳng Oxy tại điểm q thì θ là góc tạo bởi giữa
q và p còn ϕ là góc giữa q và chiều dương của trục Ox.

Tham số hóa của mặt cầu S 2 : σ(ϕ, θ) = (cosϕcosθ, sinϕcosθ, sinθ)
Nếu không hạn chế (ϕ, θ) thì σ không phải là một song ánh (và do
đó nó không phải là một đồng phôi). Để phủ hết mặt cầu, rõ ràng cần

Footer Page 13 of 161.

8


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

chọn như sau
0 ≤ ϕ ≤ 2π,

−π
π
≤θ≤
2
2

Tuy nhiên, tập hợp các điểm (ϕ, θ) thỏa mãn bất đẳng thức trên không
phải là một tập con mở của R2 , vì vậy nó không thể coi như một mảnh
vá. Tập mở lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên là
U=

(ϕ, θ)|0 < ϕ < 2π,

π
−π
<θ<
2
2

nhưng khi đó ảnh của σ : U → R3 không phải là toàn bộ mặt cầu, mà
là phần bù của nửa đường tròn lớn C bao gồm các điểm trên mặt cầu
có tọa độ (x, 0, z) với x ≥ 0. (hình 1.1)
Vì vậy, để chứng tỏ mặt cầu là một mặt cong, chúng ta cần phải
xây dựng thêm ít nhất một mảnh vá nữa để phủ nốt phần mặt cầu bị σ
bỏ qua. Ví dụ, xét σ
˜ là mảnh vá nhận được bằng cách quay σ một góc π
quanh trục Oz và sau đó một góc

π
2

quanh trục Ox. Cụ thể, σ
˜ : U → R3

xác định bởi
σ
˜ (ϕ, θ) = (−cosϕcosθ, −sinθ, −sinϕcosθ)
( tập mở U cũng giống như trong trường hợp của σ). Ảnh của σ
˜ là phần
˜ bao gồm các điểm trên mặt cầu có tọa độ
bù của nửa đường tròn lớn C
(x, y, 0) với x ≤ 0. (hình 1.2)
˜ không giao nhau, vì vậy hợp thành của các ảnh
Rõ ràng C và C
của σ và σ
˜ là toàn bộ mặt cầu. Chú ý rằng hầu hết các điểm của mặt
cầu nằm trên ảnh của cả hai mảnh vá.

Footer Page 14 of 161.

9


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

Hình 1.1:

Footer Page 15 of 161.

10


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

Hình 1.2:

Footer Page 16 of 161.

11


Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

Mặt cong trơn
Với U là một tập con mở của Rm , ánh xạ f : U → Rn được gọi là

trơn nếu trong mỗi hàm thành phần f i , i = 1, n trong số n thành phần
của f , là các hàm f i : U → R, có đạo hàm riêng liên tục ở mọi cấp. Khi
đó các đạo hàm riêng của f được tính theo mỗi thành phần. Ví dụ, nếu
m = 2 và n = 3 và
f (u, v) = (f1 (u, v), f2 (u, v), f3 (u, v))
thì
∂f
=
∂u

∂f1 ∂f2 ∂f3
,
,
∂u ∂u ∂u

,

∂f
=
∂v

∂f1 ∂f2 ∂f3
,
,
∂v ∂v ∂v

và tương tự cho các đạo hàm cấp cao hơn. Chúng ta thường viết ngắn
gọn lại như sau
∂f
∂f

= fu ,
= fv
∂u
∂v
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
= fuu ,
= fuv ,
= fvv .
∂u2
∂u∂v
∂v 2
Chú ý rằng fuv = fvu , vì tất cả các đạo hàm riêng của các thành
phần của f liên tục.
Định nghĩa 1.7. Cho U ⊂ R2 là một tập mở. Một ánh xạ σ : U → R3
được gọi là một mảnh vá chính quy nếu nó là ánh xạ trơn và các vectơ σu
và σv độc lập tuyến tính tại mọi điểm (u, v) ∈ U, hay tích vectơ σu × σv
khác vectơ không tại mọi điểm của U.
Định nghĩa 1.8. Cho S là một mặt cong. Một mảnh vá phù hợp với S
là một mảnh vá chính quy σ : U → R3 với U ⊂ R2 là một tập mở của R2
sao cho σ là một đồng phôi từ U lên một tập con mở của S. Mặt cong S

Footer Page 17 of 161.

12


Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

được gọi là trơn nếu với mọi điểm p ∈ S, tồn tại một mảnh vá phù hợp
với S xác định như trên sao cho p ∈ σ(U ).
Một họ A gồm các mảnh vá phù hợp với mặt cong S thỏa mãn mọi
điểm của S nằm trong ít nhất một mảnh vá trong A được gọi là một
bản đồ trơn của S.
Ví dụ 1.5.1. Mặt phẳng trong ví dụ 1.4.1 là một mặt trơn. Thật vậy,
σ(u, v) = a + up + vq là trơn và σu = p, σv = q độc lập tuyến tính (vì p
và q theo cách chọn là các vectơ có độ dài đơn vị vuông góc với nhau).

1.6

Tiếp tuyến và đạo hàm

Định nghĩa 1.9. Một vectơ tiếp xúc với mặt cong trơn S tại điểm p ∈ S
là vectơ tiếp xúc tại p của một đường cong trơn trên S đi qua p. Không
gian vectơ tiếp xúc Tp S của S tại p là tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc
với S tại p.
Để hiểu rõ hơn về không gian vectơ tiếp xúc Tp S, chúng ta chọn
một mảnh vá phù hợp σ : U → R3 của S sao cho σ(uo , vo ) = p. Nếu γ
là một đường cong trơn nằm trên S và đi qua p khi t = to , thì tồn tại
các hàm số u(t) và v (t) trơn sao cho:
γ(t) = σ(u(t), v(t))

(1.1)

và u(t0 ) = u0 , v(t0 ) = v0 . Lưu ý rằng, người ta chứng minh được các hàm
tọa độ u(t), v(t) cũng là các hàm trơn.

Ngược lại, nếu t → (u(t), v(t)) là trơn, thì (1.1) xác định một đường
cong nằm trên S. Mệnh đề dưới đây cho chúng ta thấy cấu trúc của
không gian tiếp xúc Tp S.

Footer Page 18 of 161.

13


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

Mệnh đề 1.2. Cho σ : U → R3 là một mảnh vá trên mặt cong S chứa
điểm p ∈ S và cho (u, v ) là tọa độ trong U. Không gian vectơ tiếp xúc
với S tại p là không gian vectơ con của R3 sinh bởi σu và σv .
Chứng minh của mệnh đề, đọc giả có thể xem trong tài liệu tham
khảo [1].
Giả sử σ chính quy, σu và σv độc lập tuyến tính nên không gian
vectơ tiếp xúc sinh bởi σu , σv là không gian 2 chiều và được gọi là mặt
phẳng tiếp xúc với S tại p. Lưu ý rằng mặt phẳng tiếp xúc không phụ
thuộc vào việc chọn mảnh vá chứa điểm p. Ngoài ra, σu và σv là một cơ
sở của mặt phẳng tiếp xúc tại σ(uo , vo ) của mặt cong.
Tiếp theo, cho hai mặt cong trơn S, S và ánh xạ trơn f : S → S.
Giả sử w là một vectơ tiếp xúc với mặt cong S tại p ∈ S. Do đó, tồn tại
một đường cong trơn γ nằm trong S đi qua p = γ(t0 ) sao cho w = γ(t
˙ 0 ).
Khi đó, γ = f ◦ γ là một đường cong trơn trong S đi qua f (p) = γ(t0 ),
˙ 0 ) ∈ Tf (p) S.

vì vậy w = γ(t
Định nghĩa 1.10. Đạo hàm Dp f của f tại điểm p ∈ S là ánh xạ
Dp f : Tp S → Tp S sao cho Dp f (w) = w với mọi vectơ w ∈ Tp S.
Đầu tiên, chúng ta cần chỉ ra rằng định nghĩa này có nghĩa, tức là
Dp f (w) chỉ phụ thuộc vào f , p và w; tức là nếu có nhiều đường cong γ
thì Dp f chỉ phụ thuộc vào cách chọn đường cong.
Cho σ : U → R3 là một mảnh vá của S chứa p, p = σ(uo , vo ) và cho
α, β là những hàm số trơn trên U sao cho: f (σ(u, v)) = σ(α(u, v), β(u, v))
Cho w = λσu + µσv là vectơ tiếp xúc tại p của đường cong γ(t) =
σ(u(t), v(t)), trong đó u,v là những hàm trơn sao cho u(t
˙ o ) = λ và v(t
˙ o) =

Footer Page 19 of 161.

14


Header Page 20 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

µ. Khi đó, đường cong tương ứng với γ trên S là γ˜ (t) = σ
˜ (˜
u(t), v˜(t)),
trong đó u˜(t) = α(u(t), v(t)), v˜(t) = β(u(t), v(t)). Ta có:
Dp f (w) = u˜˙ σ
˜u˜ + v˜˙ σ
˜v˜ = (uα

˙ u + vα
˙ v )˜
σu˜ + (uβ
˙ u + vβ
˙ v )˜
σv˜
Khi đó:
Dp f (w) = (λαu + µαv )˜
σu˜ + (λβu + µβv )˜
σv˜

(1.2)

Vế phải của nó chỉ phụ thuộc vào p, f , λ và µ; hay p, f và w.
Cuối cùng, chúng ta giới thiệu hai mệnh đề sau. Chứng minh của
chúng, độc giả có thể xem tài liệu tham khảo [1].
˜ là một ánh xạ trơn giữa các mặt cong
Mệnh đề 1.3. Giả sử f : S → S
˜ là ánh xạ tuyến tính.
và p ∈ S, khi đó Dp f : Tp S → Tp S
˜ là mặt cong và f : S → S
˜ là một ánh xạ
Mệnh đề 1.4. Cho S và S
trơn. Khi đó, f là một vi phôi địa phương khi và chỉ khi ánh xạ tuyến
˜ khả nghịch với mọi p ∈ S.
tính Dp f : Tp S → Tp S

Footer Page 20 of 161.

15

Header Page 21 of 161.

Chương 2
Dạng cơ bản thứ nhất trên các mặt
cong trơn
2.1

Độ dài của đường cong trên mặt cong

Định nghĩa 2.1. Cho p là một điểm của mặt cong trơn S và v, w ∈ Tp S
- không gian vectơ tiếp xúc. Khi đó, một dạng cơ bản của mặt cong S
kết hợp với các vectơ v, w ∈ Tp S là một tích vô hướng tác động lên v, w
v, w

p,S

=v·w

Nhưng trong hình học vi phân dạng cơ bản thứ nhất được xây dựng
như sau
Cho σ(u, v) là một mảnh vá phù hợp của S, khi đó vectơ tiếp xúc
w bất kì của S tại điểm p trong ảnh của σ có thể được biểu diễn tuyến
tính duy nhất qua hai vectơ tiếp xúc σu và σv .
Xây dựng ánh xạ: du : Tp S → R và dv : Tp S → R sao cho:
du(w) = λ,
nếu w = λσu + µσv

Footer Page 21 of 161.

dv(w) = µ

với λ, µ ∈ R.
16


Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

Dễ thấy, du, dv là các ánh xạ tuyến tính. Khi đó, do , là một dạng
song tuyến tính đối xứng, ta có
w, w = λ2 σu , σu + 2λµ σu , σv + µ2 σv , σv
E = σu 2 ,

Kí hiệu

F = σu · σv ,

G = σv

2

Ta nhận được
w, w = Eλ2 + 2F λµ + Gµ2 = Edu(w)2 + 2F du(w)dv(w) + Gdv(w)2
Vì lý do này, người ta gọi
Edu2 + 2F dudv + Gdv 2
là dạng cơ bản thứ nhất của mảnh vá σ(u, v). Chú ý rằng các hệ số

E,F,G và các ánh xạ tuyến tính du,dv phụ thuộc vào việc chọn mảnh vá
trên S, nhưng dạng cơ bản thứ nhất của nó chỉ phụ thuộc vào p và S.
Xét đường cong γ(t) = σ(u(t), v(t)) với u(t), v(t) là các hàm trơn.
Khi đó: γ˙ = uσ
˙ u + vσ
˙ v nên γ,
˙ γ˙ = E u˙ 2 + 2F u˙ v˙ + Gv˙ 2 và độ dài của γ
từ điểm γ(t0 ) đến điểm γ(t) được cho bởi
t

1

(E u˙ 2 + 2F u˙ v˙ + Gv˙ 2 ) 2 dt
t0

.
Ví dụ 2.1.1. Xét mặt phẳng trong R3 : σ(u, v) = a + up + vq, với a là
một điểm bất kì, p và q là hai vectơ đơn vị, vuông góc với nhau.
Ta có: σu = p, σv = q nên E = σu
G = σv

2

= q

2

2

= p

2

= 1, F = σu ·σv = p·q = 0,

= 1.

Vậy dạng cơ bản thứ nhất trên mặt phẳng là: du2 + dv 2

Footer Page 22 of 161.

17


Header Page 23 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

Ví dụ 2.1.2. Xét hình cầu đơn vị: σ(ϕ, θ) = (cosϕcosθ, sinϕcosθ, sinθ)
Ta có:
σϕ = (−sinϕcosθ, cosϕcosθ, 0)
và
σθ = (−cosϕsinθ, −sinϕsinθ, cosθ).
2

Khi đó: E = σϕ

= cos2 θ, F = σu · σv = 0, G = σθ

2

=1

Vậy dạng cơ bản thứ nhất trên hình cầu đơn vị là: cos2 θdϕ2 + dθ2
Ví dụ 2.1.3. Xét hình trụ tổng quát: σ(u, v) = γ(u) + va. Giả sử γ là
đường cong có tốc độ đơn vị, a là một vectơ đơn vị và γ được chứa trong
mặt phẳng vuông góc với a.
Ta có: σu = γ,
˙ σv = a thì E = σu
G = σv

2

= a

2

2

= γ˙

2

= 1, F = σu · σv = γ˙ · a = 0,

=1

Vậy dạng cơ bản thứ nhất của σ là: du2 + dv 2
Ví dụ 2.1.4. Xác định dạng cơ bản thứ nhất của các mặt cong sau:

a)

σ(u, v) = (sinhusinhv, sinhucoshv, sinhu)

b)

σ(u, v) = (u − v, u + v, u2 + v 2 )

c)

σ(u, v) = (coshu, sinhu, v)

d)

σ(u, v) = (u, v, u2 + v 2 )

Lời giải.
a) σ(u, v) = (sinhusinhv, sinhucoshv, sinhu)
Ta có:
σu = (coshusinhv, coshucoshv, coshu)
σv = (sinhucoshv, sinhusinhv, 0)

Footer Page 23 of 161.

18


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

Khi đó:
E = σu

2

=0

F = σu · σv = 2sinhucoshusinhvcoshv
G = σv

2

= −sinh2 u

Vậy dạng cơ bản thứ nhất của mặt cong này có dạng:
4sinhucoshusinhvcoshvdudv − sinh2 udv 2 .
b) σ(u, v) = (u − v, u + v, u2 + v 2 )
Ta có:

σu = (1, 1, 2u) và

Khi đó: E = σu

2

σv = (−1, 1, 2v)

= 2 + 4u2 , F = σu · σv = 4uv, G = 2 + 4v 2

Vậy dạng cơ bản thứ nhất của mặt cong trên là :
(2 + 4u2 )du2 + 8uvdudv + (2 + 4v 2 )dv 2 .
c) σ(u, v) = (coshu, sinhu, v)
Ta có:

σu = (sinhu, coshu, 0) và

Khi đó: E = σu

2

σv = (0, 0, 1)

= −1, F = σu · σv = 0, G = σv

2

=1

Vậy dạng cơ bản thứ nhất trên mặt cong là: −du2 + dv 2 .
d) σ(u, v) = (u, v, u2 + v 2 )
Ta có:

σu = (1, 0, 2u) và

Khi đó: E = σu

2

σv = (0, 1, 2v)

= 1 + 4u2 , F = σu · σv = 4uv, G = 1 + 4v 2

Vậy dạng cơ bản thứ nhất của mặt cong này có dạng:
(1 + 4u2 )du2 + 8uvdudv + (1 + 4v 2 )dv 2 .
Hệ quả 2.1. Cho Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 là dạng cơ bản thứ nhất của
mảnh vá σ(u, v) trên mặt cong S. Khi đó, nếu p là một điểm trên ảnh

Footer Page 24 of 161.

19


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán

của σ và v, w ∈ Tp S thì
v, w = Edu(v)du(w) + F (du(v)dv(w) + du(w)dv(v)) + Gdv(w)dv(w)
Thật vậy, giả sử Edu2 +2F dudv +Gdv 2 là dạng cơ bản thứ nhất của
mảnh vá σ(u, v) trên mặt cong S với E = σu 2 , F = σu · σv , G = σv 2 .
Xét ánh xạ du : Tp S → R và dv : Tp S → R sao cho:
du(v) = λ, dv(v) = µ

với λ, µ ∈ R

du(w) = α, dv(w) = β

với α, β ∈ R

Nếu v = λσu + µσv , w = ασu + βσv thì khi đó
v, w = λσu + µσv , ασu + βσv
= λα σu , σu + λβ σu , σv + µα σv , σu + µβ σv , σv
= Edu(v)du(w) + F (du(v)dv(w) + du(w)dv(v)) + Gdv(w)dv(w).
Vậy v, w = Edu(v)du(w)+F (du(v)dv(w)+du(w)dv(v))+Gdv(w)dv(w)
với mọi v, w ∈ Tp S.

2.2

Đẳng cự trên mặt cong
Quan sát lại ví dụ 2.1.1 và 2.1.3, ta thấy trong mặt phẳng và

hình trụ tổng quát khi tham số thích hợp chúng có cùng dạng cơ bản
thứ nhất. Không khó để chúng ta có thể lý giải một cách hình học hiện
tượng này. Hình trụ có thể thu được từ một mảnh của mặt phẳng bằng
cách "cuộn" mặt phẳng lại. Giả sử vẽ một đường cong trên mặt phẳng,
sau đó quấn nó trở thành một đường cong trên hình trụ. Khi đó độ dài
của hai đường cong này sẽ như nhau. Tuy nhiên độ dài lại được tính

Footer Page 25 of 161.

20