Tich Phan So Phuc Full

I. NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp:

1 3x
3x
+ C = 3sinx +C
.
3 ln 3
3 ln 3
Bài 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
1
f(x) = 3x2 – + 4ex biết rằng F(1) = 0
x
1
2
x
Giải: Ta có: F(x) = ∫ (3x − + 4e )dx
x
1
2
x
= 3∫ x dx − ∫ dx + 4 ∫ e dx = x3 – ln|x| + 4ex + C
x
Mà F(1) = 0 ⇔ 13 – ln|1| + 4e1 + C = 0
⇔ C = – 1 – 4e
Vậy: F(x) = x3 – ln|x| + 4ex – 1 – 4e
Bài 3: Cho f(x) = tan2x, tìm nguyên hàm F(x)
π
biết F( ) = 0
4
2

Giải: Ta có: F(x) = ∫ tan xdx
= 3sinx –

Các công thức cần nhớ
1. a. ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx

b. ∫ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx
2. F(x) là nguyên hàm của f(x)
⇔ F′(x) = f(x)
3. Bảng nguyên hàm:
a. ∫ 0dx = C
b. ∫ cos xdx = sin x + C

x α+1
+ C d. ∫ sin xdx = − cos x + C
α +1
1
x
x
e. ∫ e dx = e + C
f. ∫ dx = ln x + C
x
ax
g. ∫ dx = x + C
h. ∫ ax dx =
+C
ln a
1
dx = ∫ (1 + tan 2 x) = tan x + C
i. ∫

2
cos x
1
2
j. ∫ 2 dx = ∫ (1 + cot x) = − co t x + C
sin x
c. ∫ x α dx =

2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính:
a) ∫ ( x − 2)dx
1

2
2
= ∫ (1 + tan x − 1)dx = ∫ (1 + tan x)dx − ∫ dx
= tanx – x + C
π
π π
π
Mà: F( ) = 0 ⇔ tan − + C = 0 ⇔ C = – 1
4
4 4
4
Vậy: F(x) = tanx – x + – 1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính
3
a) ∫ (4x − 3cos x)dx (x4 – 3 sinx)

1

= (x 2 − 2)dx = x 2 dx − 2 dx
∫
∫
∫

b)

3
2

2
1
1
−
x + x +1 x
x
1
3
6
3
=
+
+
=
x
+
x
+

x
3
3
3
3
x
x
x
x
1
)dx (tanx – cotx + C). HD:
c) ∫ ( 2
sin x.cos2 x
1
sin 2 x + cos2 x
1
1
=
=
+ 2
2
2
2
2
2
sin x.cos x sin x.cos x cos x sin x
x2
2 x3
d) ∫ xdx ( ) e) ∫ xdx (
)

2
3
dx
1
f ) ∫ 4 (− 3 )
x
3x
x3
2
d) ∫ (x + 2x − 4)dx ( + x 2 − 4x )
3
1
x
)dx ( e x + tan x )
e) ∫ (e +
cos2 x
2
g) ∫ (3 cos x − )dx ( 3 sin x − 2 ln x )
x
3
2
x − 2x + x − 3
x2
3
h) ∫
(
dx
− 2x + ln x + )
2
x

2
x
Bài 2: Cho f(x) = sinx + cosx. Tìm nguyên hàm
F(x) biết F( ) = -1(ĐS: F(x) = sinx – cosx – 2)
Bài 3: Cho f(x) = sin2x. Tìm nguyên hàm F(x)
biết F( ) = 0 (ĐS: F(x) = - cos2x + )

x
2 23
2 x3
− 2x + C
= 3 − 2x + C = .x − 2x + C =
3
3
2
dx
b) ∫ 5
x
x −4
1
1
= ∫ x −5dx =
+ C = − .x −4 + C = − 4 + C
−4
4
4x
2
c) ∫ (3 sin x + )dx
x
2

dx
= ∫ 3sin xdx + ∫ dx = 3∫ sin xdx + 2 ∫
x
x
= – 3cosx + 2ln|x| + C
1
2
d) ∫ (2x + 3 2 )dx
x
2
−
1
2
2
2x
dx
+
dx
=
2
x
dx
+
x
= ∫
∫ 2
∫
∫ 3 dx
x3

HD:

1

1
x3 x 3
2x3
2x 3
3
2.
+
+
C
=
+
3x
+
C
=
+ 33 x + C
=
1
3
3
3
3
x −1
e) ∫ (3 cos x − 3 )dx

= ∫ 3cos xdx − ∫

x + x +1
3 53 6 67 3 23
dx
(
x + x + x + C)
∫ 3x
5
7
2

3x
1
dx = 3∫ cos xdx − ∫ 3x dx
3
3

1


du
du
du
=
=
u′ (2 − 3x)′ −3
1 u
u du
Khi đó: I = ∫ e . = − ∫ e du
−3

3
1
e2−3x
= − .e u + C = −
+C
3
3
2x + 1
dx
e. I = ∫
x−2
5
1
)dx = 2 ∫ dx + 5∫
dx
= ∫ (2 +
x−2
x−2
= 2x + 5ln|x – 2| + C

Bài 4: Cho f(x) = cosxcos3x. Tìm nguyên hàm
sin 4x sin 2x
+
F(x) biết f(x) bằng 0 khi x = 0 (
)
8
4
II. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG
PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Phương pháp:

Đặt: u = 2 – 3x ⇒ dx =

1. Dùng bảng nguyên hàm đặc biệt:
1
1
dx = ln ax + b + C
a. ∫
ax + b
a
1 (ax + b)α+1
b. ∫ (ax + b)α dx = .
+C
a
α +1
1 aax + b
c. ∫ aax + b dx = .
+C
a ln a
1 ax + b
ax + b
+C
d. ∫ e dx = .e
a
1
e. ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C
a
1
f. ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C
a

A
A
dx = ln ax + b + C
g. ∫
ax + b
a
ax + b
a
A
dx = ∫ dx + ∫
dx
h. ∫
cx + d
c
cx + d
Ghi nhớ
du
dx =
u′

a.

ln x
dx
x

dx

∫ x ln x

ln x + 3
dx . Đặt u = lnx + 3
x
(ln x − 2)4
e. ∫
dx . Đặt u = lnx – 2
x
d.

∫

Bài 2: Tính:
ln x
dx
a. I = ∫
x

du
du
du
=
=
= xdu
Đặt: u = lnx ⇒ dx = u′ (ln x)′ 1
x
2
u
u
ln 2 x
Khi đó: I = ∫ .xdu = ∫ udu =

+C=
+C
x
2
2
(ln x + 3)2
b. I = ∫
dx
x
du du
=
= xdu
1
Đặt: u = lnx + 3 ⇒ dx = u′
x
2
u
Khi đó: I = ∫ .xdu = ∫ u2 du
x
3
u
(ln x + 3)3
=
+C=
+C
3
3
dx
c. I = ∫
x ln x

du du
=
= xdu
1
Đặt: u = lnx ⇒ dx = u′
x
xdu
du
=
= ln u + C = ln ln x + C
Khi đó: I = ∫
xu ∫ u

2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính:
a. I = ∫ sin(3x + 1)dx

du
du
du
=
=
u′ (3x + 1)′ 3
du 1
Khi đó: I = ∫ sin u. = ∫ sin udu
3 3
1
1
= − cos u + C = − cos(3x + 1) + C
3

3
b. I = ∫ cos(2 − x)dx
Đặt: u = 3x + 1 ⇒ dx =

Đặt: u = 2 – x ⇒ dx =

∫

Ghi nhớ
ln 2 x
b. ∫
dx c.
2x
Đặt u = lnx

du
du
du
=
=
= −du
u′ (2 − x)′ −1

Khi đó: I = ∫ cos u.(−du) = − ∫ cos udu
= – sinu + C = – sin(2 – x) + C
2010
c) I = ∫ (1 − 2x) dx

du
du

du
=
=
u′ (1 − 2x)′ −2
1
2010 du
= − ∫ u2010 du
Khi đó: I = ∫ u .
−2
2
2011
1 u
(1 − 2x)2011
=− .
+C= −
+C
2 2011
4022
2 − 3x
d. I = ∫ e dx
Đặt: u = 1 – 2x ⇒ dx =

2


1

e) I = ∫ x 3 − 2x 2 dx = x(3 − 2x 2 ) 2 dx
∫

Ghi nhớ
a. ∫ 2x(3x − 5) dx . Đặt u = 3x2 – 5
(vì bậc u′ = 6x bằng bậc 2x)
2
3x
b. ∫ 3
dx . Đặt u = x3 + 4
x +4
(vì bậc u′ = 3x2 bằng bậc 3x2)
4x
dx . Đặt u = x2 – 3
c. ∫ 2
(x − 3)5
(vì bậc u′ = 2x bằng bậc 4x)
2

d. ∫ x e
3

x4 −2

du du
=
u′ −4x
1
du
1 1
Khi đó: I = ∫ x.u 2 .
= − ∫ u 2 du
−4x

4
Đặt: u = 3 – 2x2 ⇒ dx =

7

3
2

1 u
u3
3 − 2x 2
−
.
+
C
=
−
+
C
=
−
+C
=
4 3
6
6
2
Ghi nhớ
Gặp dạng:
3

a. ∫ cos x.sin xdx . Đặt u = cosx
(vì u′ = – sinx chứa thừa số sinx)
4
b. ∫ sin x.cos x dx . Đặt u = sinx
(vì u′ = cosx chứa thừa số cosx)
2 cos x
dx . Đặt u = sinx + 3
c. ∫
sin x + 3
(vì u′ = cosx chứa cosx ở tử)
3sin x
dx . Đặt u = 2cosx – 5
d. ∫
(2 cos x − 5)3
(vì u′ = – 2sinx chứa sinx ở tử)
e. ∫ sin x 2 − 3cos xdx . Đặt u = 2 – 3cosx
(vì u′ = 3sinx chứa thừa số sinx)
sin x
dx . Đặt u = cosx
f. ∫
cos4 x
(vì u′ = – sinx chứa sinx ở tử)
3
dx . Đặt u = 5x + 2
g. ∫ 3
5x + 2
(vì bậc u′ = 5 bằng bậc ở tử 3x0 (bậc 0))
x
dx . Đặt u = 1 – 3x2
h. ∫

1 − 3x 2
(vì bậc u′ = – 6x bằng bậc x ở tử)
sin x
dx . Đặt u = cosx + 1
i. ∫
cos x + 1
(vì u′ = – sinx chứa sinx ở tử)

dx . Đặt u = x – 2
4

(vì bậc u′ = 4x3 bằng bậc x3)

e. ∫ x 3 − 2x 2 dx . Đặt u = 3 – 2x2
(vì bậc u′ = – 4x bằng bậc x)
Bài 3: Tính:
2
10
a) I = ∫ x(3x + 2) dx

du du
=
u′ 6x
1
10 du
= ∫ u10 du
Khi đó: I = ∫ x.u .
6x 6
11
1 u

(3x 2 + 2)11
= .
+C=
+C
6 11
66
3x
dx
b) I = ∫ 2
x −5
du du
=
Đặt: u = x2 – 5 ⇒ dx =
u′ 2x
3x du 3 du
=
Khi đó: I = ∫ .
u 2x 2 ∫ u
3ln x 2 − 5
= 3 ln u + C =
+C
2
2
3x 2
dx
c) I = ∫
(1 − x 3 )5
du
du
=

Đặt: u = 1 – x3 ⇒ dx =
u′ −3x 2
du
1
2 1
= − ∫ 5 du
Khi đó: I = ∫ 3x . 5 .
2
u −3x
u
1
1
+C=
+C
=
4
4u
4(1 − x 3 )4
Đặt: u = 3x2 + 2 ⇒ dx =

2 2x
d) I = ∫ x e

3

−3

Bài 4: Tính:
a) I = ∫ sin x. cos xdx

du
du
=
u′ cos x
du
= udu
Khi đó: I = ∫ u.cos x
cos x ∫
u2
sin 2 x
=
+C=
+C
2
2
3
b) I = ∫ cos x. sin xdx
Đặt: u = sinx ⇒ dx =

dx

du du
=
u′ 6x2
1 u
2 u du
Khi đó: I = ∫ x e . 2 = ∫ e du
6x
6
2x3 − 3

1
e
= .e u + C =
+C
6
6
Đặt: u = 2x3 – 3 ⇒ dx =

Đặt: u = cosx ⇒ dx =

3

du
du
=
u′ − sin x


du
= − ∫ u3du
− sin x
4
u
cos 4 x
= − +C= −
+C
4
4
2 sin x
dx

c) I = ∫
cos x
du
du
=
Đặt: u = cosx ⇒ dx =
u′ − sin x
2sin x du
du
.
= −2 ∫
Khi đó: I = ∫
u
− sin x
u
−
2
ln
u
+
C
=
−
2
ln
cos
x
+
C
=

3 cos x
dx
d) I = ∫
(1 − 2 sin x)3
du
du
=
Đặt: u = 1 – 2sinx ⇒ dx =
u′ −2 cos x
1
du
Khi đó: I = ∫ 3cos x. 3 .
u −2 cos x
3 1
3 1
3
= − ∫ 3 du = . 2 + C = 2 + C
2 u
2 2u
4u
3
+C
=
4(1 − 2sin x)2
cos x
dx
e) I = ∫
sin 5 x
du
du

=
Đặt: u = sinx ⇒ dx =
u′ cos x
1 du
1
= ∫ 5 du
Khi đó: I = ∫ cos x. 5 .
u cos x
u
1
1
+C
= − 4 +C=−
4u
4sin 4 x
1
dx
−
f) I = ∫ 3
= (3x − 2) 3 dx
∫
3x − 2
du du
=
Đặt: u = 3x – 2 ⇒ dx =
u′
3
1
1
−

du 1 −
1 2
Khi đó: I = ∫ u 3 . = ∫ u 3 du = .u 3 + C
3 3
3

du
du
=
u′ 2 cos x
1
−
du
1 −1
⇒ I = ∫ cos.u 2 .
= ∫ u 2 du
2 cos x 2

3
Khi đó: I = ∫ u .sin x

Đặt: u = 2sinx + 3 ⇒ dx =

1

1 u2
= . 1 + C = u + C = 2sin x + 3 + C
2
2

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

Bài 5: Tính:
2
a) I = ∫ sin xdx

1
1
1
(1 − cos 2x)dx = ∫ dx − ∫ cos 2xdx
∫
2
2
2
1
1 1
1
1
= x − . sin 2x + C = x − sin 2x + C
2
2 2
2

4
4
b) I = ∫ cos xdx
=

1
2
2
2
= ∫ (cos x) dx = ∫ [ (1 + cos 2x)] dx
2
1
1
2
= ∫ (1 + cos 2x) dx = ∫ (1 + 2 cos2x + cos2 2x)dx
4
4
1
1
1
2
= ∫ dx + ∫ cos 2xdx + ∫ cos 2xdx
4
2
4
1
1
1
= x + sin 2x + ∫ (1 + cos 4x)dx
4

4
8
1
1
1
1
= x + sin 2x + x + sin 4x + C
4
4
8
32
3
1
1
= x + sin 2x + sin 4x + C
8
4
32
3
c) I = ∫ cos xdx

(3x − 2)
u
+C=
+C
3
3
1
2x
dx = 2x(3 − x 2 )− 2 dx

g) I = ∫
∫
3 − x2
du du
=
Đặt: u = 3 – x2 ⇒ dx =
u′ −2x
1
1
−
−
du
Khi đó: I = ∫ 2x.u 2
= − ∫ u 2 du
−2x
=

3

2

2

3

1

h) I =

∫

Ghi nhớ
1
sin 2 x = (1 − cos 2x)
2
1
cos2 x = (1 + cos 2x)
2
1
sin3 x = (3sin x − sin 3x)
4
1
cos3 x = (3cos x + cos3x)
4
1
sin a.sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
cos a.cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)]
2
1
sin a.cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)]
2
1
cos a.sin b = [sin(a + b) − sin(a − b)]
2
sin 2 x + cos2 x = 1

u2
2

−
= 1 + C = −2 u + C = −2 3 − x + C
2
1
cos x
dx = cos x.(2sin x + 3)− 2 dx
∫
2 sin x + 3

2
2
= ∫ cos x.cos xdx = ∫ (1 − sin x) cos xdx

4


du
du
=
u′ cos x
du
2
= ∫ (1 − u2 )du
Khi đó: I = ∫ (1 − u ).cos x.
cos x
3
u
sin 3 x
2
= ∫ du − ∫ u du = u − + C = sin x −

+C
3
3
5
d) I = ∫ sin xdx
Đặt: u = sinx ⇒ dx =

Ghi nhớ
ax + bx + c
C
dx = ∫ (Ax + B)dx + ∫
dx
dx + e
dx + e
P(x)
dx . Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x):
2. ∫
Q(x)
P(x)
P(x)
A
B
=
=
+
a.
Q(x) (x − a)(x − b) x − a x − b
P(x)
P(x)
=

b.
Q(x) (x − α)(ax 2 + bx + c)
A
Bx + C
+ 2
=
với ax2 + bx + c = 0: VN
x − α ax + bx + c
P(x)
P(x)
A
B
=
=
+
c.
2
2
Q(x) (x − a)
(x − a) x − a
P(x)
P(x)
=
d.
Q(x) (x − a)(x − b)3
A
B
C
D
+

+
+
=
3
2
x − a (x − b) (x − b) x − b
1.

4
2
2
= ∫ sin x.sin xdx = ∫ (1 − cos x) .sin xdx

du
du
=
u′ − sin x
du
⇒ I = ∫ (1 − u2 )2 .sin x.
= − ∫ (1 − u2 )2 du
− sin x
2
4
2
4
= − ∫ (1 − 2u + u )du = − ∫ du + 2 ∫ u du − ∫ u du
Đặt: u = cosx ⇒ dx =

u2 2u3 u 5
+

− +C
2
3
5
2
cos x 2 cos3 x cos5 x
=−
+
−
+C
2
3
5
2
3
e) I = ∫ sin x cos xdx
=−

Bài 6: Tính:
x 2 − 3x + 6
a) I = ∫
dx
x−2
4
1
)dx = ∫ xdx − ∫ dx + 4 ∫
dx
= ∫ (x − 1 +
x−2
x−2

x2
=
− x + ln x − 2 + C
2
1 − 2x
dx
b) I = ∫ 2
x − 5x + 6
1 − 2x
dx . Đặt:
= ∫
(x − 2)(x − 3)
1 − 2x
A
B
A(x − 3) B(x − 2)
=
+
=
+
(x − 2)(x − 3) x − 2 x − 3
x −2
x −3
⇒ 1 – 2x = A(x – 3) + B(x – 2)
• Chọn: x = 3 ⇒ –5 = B ⇔ B = –5
• Chọn: x = 2 ⇒ –3 = – A ⇔ A = 3
3
5
−
)dx

Khi đó: I = ∫ (
x−2 x−3
= 3ln x − 2 + 5ln x − 3 + C

2
2
2
2
= ∫ sin x cos x cosxdx = ∫ sin x(1 − sin x)cosxdx

du
du
=
u′ cos x
du
⇒ I = ∫ u2 (1 − u2 ).cos x.
= u2 (1 − u 2 )du
cos x ∫
2
4
2
4
= − ∫ (u − u )du = ∫ u du − ∫ u du
Đặt: u = sinx ⇒ dx =

u3 u 5
sin3 x sin 5 x
=
− +C=
−

+C
3 5
3
5
e) I = ∫ sin 3x cos 2xdx

1
1
1
(sin 5x + sin x)dx = ∫ sin 5xdx + ∫ sin xdx
∫
2
2
2
1
1
= − cos 5x − cos x + C
10
2
f) I = ∫ cos 3x cos 7xdx
=

= ∫ cos 7x cos3xdx =

∫

2

1
(cos 4x + cos10x)dx

2∫

1
1
cos 4xdx + ∫ cos10xdx
∫
2
2
1
1
= sin 4x + sin10 + C
8
20
=

b) I =

5x − 1

∫ (x − 1)

3

dx .

5x − 1
A
B
C
=

+
+
3
3
2
(x − 1)
(x − 1) (x − 1) x − 1
A
B(x − 1) C(x − 1)2
+
+
=
(x − 1)3 (x − 1)2
x −1
2
⇒ 5x – 1 = A + B(x – 1) + C(x – 1)
• Chọn: x = 1 ⇒ 4 = A ⇔ A = 4
• Chọn: x = 0: ⇒ – 1 = A – B + C
• Chọn: x = 2: ⇒ 9 = A + B + C
Suy ra: A = 4, B = 5, C = 0
Đặt:

5


Khi đó: I =

4

∫ (x − 1)

3

dx + ∫

5
dx
(x − 1)2

Bài 5: Tính
1
a) ∫ cos(3x − 5)dx ( sin(3x − 5) )
3
π

π

b) ∫ sin  − x ÷dx ( cos  − x ÷ )
4

4

2
2
c) ∫ 2x sin(x )dx (- cos(x ))

−3
−2
= 4 ∫ (x − 1) dx + 5∫ (x − 1) dx

−2
5
4(x − 1)−2 5(x − 1)−1
−
+C
+
+C =
2
(x − 1) x − 1
−2
−1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính
1
6
7
a) ∫ ( 4x − 3) dx ( (4x − 3) )
28
(2 − x 2 )6
2 5
b) ∫ x(2 − x ) dx ( −
)
12
ln x
ln 2 x
dx (
c) ∫
)
x
2

ln 3 x
ln 4 x
d) ∫
)
dx (
x
4
sin 2 x
cos2 x
sin
x.cos
xdx
e) ∫
(
)
hay −
2
2
sin3 x
2
f) ∫ sin x.cos xdx (
)
3
cos5 x
4
g) ∫ cos x.sin xdx ( −
)
5
Bài 2: Tính
3dx

3
a) ∫
( ln 4x − 7 )
4x − 7 4
x
1
dx ( ln x 2 − 3 )
b) ∫ 2
x −3
2
2
1
x
dx ( −
c) ∫
)
3
2
6(2x3 + 1)
(2x + 1)
=

1
1
2
d) ∫ sin 2x.cos xdx ( − cos 2x + cos 4x )
4
16
Bài 6: Tính
1 2 x −1

2 x −1
a) ∫ e dx ( e )
2
1 x2 + 3
x2 + 3
b) ∫ xe dx ( e )
2
cosx
c) ∫ e .sin xdx ( −ecosx )
Bài 7: Tính
1
1
2
a) ∫ cos xdx ( x + sin 2x )
2
4
1
3
3
b) ∫ sin xdx ( cos x − cos x )
3
2 sin 3 x sin5 x
5
c) ∫ cos xdx ( sin x −
)
+
3
5
3
1

1
4
d) ∫ sin xdx ( x − sin 2x + sin 4x )
8
4
32
Bài 8: Tính
1
1
a) ∫ sin 5x.sin 3xdx ( sin 2x − sin 8x )
4
16
1
1
b) ∫ sin 5x.cos 3xdx ( − cos 8x − cos 2x )
6
4
1
1
1+ x
dx ( ln
c) ∫
)
(1 + x)(1 − 2x)
3 1 − 2x
1 x−3
1
dx ( ln
d) ∫ 2
)

4 x +1
x − 2x − 3
dx
e) ∫
(tanx – cotx)
2
cos x.sin 2 x
x
1  1
1
dx (
− )
f) ∫
5
3 
(x + 1)
(x + 1)  4(x + 1) 3 

d) ∫ tan xdx ( − ln cos x )
e) ∫ cot xdx ( ln sin x )

cos x
1
dx ( −
)
3
x
2sin 2 x
sin x
1

dx ( − ln 2 cos x + 3 )
g) ∫
2 cos x + 3
2
Bài 3: Tính
f)

a)

∫ sin

∫

3
5x + 3dx ( 2 (5x + 3) )
15

2
4
3
b) ∫ 2x 3 x 2 − 5dx ( 3 (x − 5) )
4
3
c) ∫ cos x 3 sin x + 1dx ( 2 (3 sin x + 1) )
9
Bài 4: Tính
dx
1
2
a) ∫ 3

( − 3 (2 − 3x)
2 − 3x
2
xdx
b) ∫ 2
( x2 + 3 )
x +3
sin xdx
c) ∫
( −2 cos x + 1 )
cos x + 1

6


Khi đó: I = xsinx – ∫ sin xdx = xe2x + cosx + C

III. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG
PHÁP TỪNG PHẦN
1. Phương pháp:

d) I = ∫ (2 − x) cos 2xdx . Đặt:

du = (2 − x)′dx du = −dx
u = 2 − x
⇒
⇒

1
dv = cos 2xdx v = ∫ cos 2xdx

 v = 2 sin 2x
1
1
Khi đó: I = (2 – x)sin2x – ∫ sin 2xdx
2
2
1
1
= (2 – x)sin2x + cos2x + C
2
4
Cách 2: I = ∫ 2 cos 2xdx − ∫ x cos 2xdx = I1 – I2

Ghi nhớ
Công thức: ∫ udv = uv − ∫ vdu

1. Nếu ∫ P(x)sin(ax + b)dx

 u = P(x)
thì đặt: 
dv = sin(ax + b)dx
2. Nếu ∫ P(x) cos(ax + b)dx

 u = P(x)
thì đặt: 
dv = cos(ax + b)dx
ax + b
dx
3. Nếu ∫ P(x)e

* Tính I1 = ∫ 2 cos 2xdx = 2 ∫ cos 2xdx = sin 2x + C
* Tính I2 = ∫ x cos 2xdx . Đặt:

du = dx
du = x′dx
u = x

⇒
⇒

1
dv = cos 2xdx v = ∫ cos 2xdx v = sin 2x

2
1
1
Khi đó: I2 = xsin2x – ∫ sin 2xdx
2
2
1
1
= xsin2x + cos2x + C
2
4
1
1
Vậy: I = I1 – I2 = sin2x – xsin2x + cos2x + C
2
4
1

1
= (1 – x)sin2x + cos2x + C
2
4
2
e) I = ∫ (x + 1) sin xdx . Đặt:

 u = P(x)
thì đặt: 
ax + b
dv = e dx
4. Nếu ∫ P(x) ln(ax + b)dx

 u = ln(ax + b)
thì đặt: 
dv = P(x)dx
ax + b
sin(ax + b)dx
5. Nếu ∫ e

 u = eax + b
thì đặt: 
dv = sin(ax + b)dx
ax + b
cos(ax + b)dx
6. Nếu ∫ e

 u = eax + b
thì đặt: 
dv = cos(ax + b)dx

du = (x 2 + 1)′dx du = 2xdx
u = x2 + 1
⇒
⇒

 v = − cos x
dv = sin xdx  v = ∫ sin xdx

Khi đó: I = – (x2 + 1)cosx + 2 ∫ x cos xdx
= – (x2 + 1)cosx + 2I1
* Tính I1 = ∫ x cos xdx

2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính:
x
a) I = ∫ xe dx

du = x′dx
u = x
du = dx
⇒
⇒
Đặt: 
dv = cos xdx v = ∫ cos xdx v = sin x

du = x′dx
u = x
du = dx
⇒

⇒
Đặt: 


x
x
x
dv = e dx v = ∫ e dx v = e

Khi đó: I1 = xsinx – ∫ sin xdx
= xsinx + cosx + C
Vậy: I = – (x2 + 1)cosx + 2I1
= – (x2 + 1)cosx + 2xsinx + 2cosx + C
= – x2cosx + cosx + 2xsinx + C
2
Cách 2: I = ∫ x sin xdx + ∫ sin xdx = I1 – I2

x
Khi đó: I = xex – ∫ e dx = xex – ex + C
2x
b) I = ∫ 2xe dx

du = (2x)′dx du = 2dx
 u = 2x
⇒
⇒
Đặt: 
1 2x
2x
2x

dv = e dx v = ∫ e dx
 v = 2 e
1 2x
2x
Khi đó: I = xe2x – ∫ e dx = xe2x – e + C
2
c) I = ∫ x cos xdx

2
* Tính I1 = ∫ x sin xdx . Đặt:

du = (x 2 )′dx du = 2xdx
u = x2
⇒
⇒

dv = sin xdx  v = ∫ sin xdx v = − cos x

Khi đó: I1 = – x2cosx + 2 ∫ x cos xdx
= – x2cosx + 2I3
* Tính I3 = ∫ x cos xdx (ở trên)

du = x′dx
u = x
du = dx
⇒
⇒
Đặt: 

dv = cos xdx v = ∫ cos xdx v = sin x

7


b) ∫ x cos xdx (xsinx + cosx)

Suy ra: I1 = – x2cosx + 2xsinx + 2cosx + C
* Tính I2 = ∫ sin xdx = – cosx + C
Vậy:I = I1 – I2 = – x2cosx + 2xsinx + 2cosx – cosx
= – x2cosx + cosx + 2xsinx + C
f) I = ∫ ln xdx .

c) ∫ 2x ln xdx (x2lnx –
x
d) ∫ (1 + x)e dx (xex)
x
e) ∫ (1 + e )xdx (

1

 u = ln x du = (ln x)′dx du = dx
⇒
⇒
x
Đặt: 
dv = dx  v = ∫ dx
 v = x

x2
)

2

x2
+ xe x − e x )
2

Bài 2: Tính
a) ∫ 2x cos xdx (2xsinx + 2cosx)

Khi đó: I = xlnx – ∫ dx = xlnx – x + C

1 2x 1 2x
2x
b) ∫ xe dx ( xe − e )
2
4

g) I = ∫ 2x ln(1 − x)dx

 u = ln(1 − x) du = [ln(1 − x)]′dx
⇒
Đặt: 
dv = 2xdx
v = ∫ 2xdx

c) ∫ (2x − 1) ln xdx ( (x 2 − x) ln x −

x2
+x)
2

1
1
d) ∫ x sin 2xdx ( − x cos 2x + sin 2x )
2
4
e) ∫ (x + 1)sin xdx (– (x + 1)cosx + sinx)

−1

dx
du =
⇒
1− x
v = x 2


f) ∫ (1 − x) cos xdx ((1 – x)sinx – cosx)
Bài 3: Tính
1
1 2x
2 2x
2x
a) ∫ (1 + x) e dx ( (1 + x)e − e + C )
2
2
2
2
b) ∫ ln xdx (xln x – xlnx + x + C)

x2
Khi đó: I = x2ln(1 – x) + ∫
dx
1− x
1
)dx
= x2ln(1 – x) + ∫ (−x − 1 +
1− x
1
dx
= x2ln(1 – x) – ∫ xdx − ∫ dx + ∫
1− x
x2
= x2ln(1 – x) –
– x – ln|1 – x| + C
2
x
h) I = ∫ e sin xdx

−x
c) ∫ e cos xdx (

1 -x
e (sinx – cosx) + C)
2

du = (e x )′dx
u = ex
⇒
Đặt: 

dv = sin xdx v = ∫ sin xdx
du = e x dx
⇒
v = − cos x
x
Khi đó: I = – excosx + ∫ e cosx dx

IV. TÍCH PHÂN
1. Phương pháp:
Ghi nhớ

= – excosx + I1
x
* Tính I1 = ∫ e cosx dx

b
= F(b) − F(a)
a
a
(gọi là công thức Niutơn – Lepnit)
b

Công thức: ∫ f(x)dx = F(x)

du = (ex )′dx
 u = ex
⇒
Đặt: 
dv = cos xdx v = ∫ cos xdx

b

b

a

a

1. ∫ kf(x)dx = k ∫ f(x)dx

x

du = e dx
⇒
v = sin x
x
Khi đó: I1 = exsinx – ∫ e sin x dx

b

b

b

a

a

a

2. ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
a

3. ∫ f(x)dx = 0

= exsinx – I + C
Vậy: I = – excosx + exsinx – I + C
⇒ 2I = – excosx + exsinx + C
1
⇒ I = ex (sinx – cosx ) + C
2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính
x
a) ∫ xe dx (xex – ex)

a

b

a

4. ∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx
a

b

b

c

b

a

a

c

5. ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx (a < c < b)
2. Bài tập mẫu:

8


Bài 1: Tính các tích phân sau:
3

a) I =

∫ (x

3

+ 1)dx

−1

=

3

3

−1

−1

3
∫ x dx + ∫ dx =

3
x4 3
+x
−1
4 −1

81 1
− + 3 − (−1) = 24
4 4
2
1
4
b) I = ∫ (2x − 3 )dx
x
1
2

2

2

1

0

1 2 −3x 1
1
1 1
= − (e −1 − e2 ) = − ( − e2 )
=− e
0
3
3
3 e

2

1
dx = 2 ∫ x 4 dx − ∫ x −3dx
3
x
1
1
1
1
5
−2
x 2 x 2 2x 5 2 1 2
−

=
+
= 2.
5 1 −2 1
5 1 2x 2 1
64 2 1 1 481
− + − =
=
5 5 8 2
40
8
1
c) I = ∫ (4x − 3 2 )dx
3 x
1
8
8
8
8
1 1
1 − 23
= 4 ∫ xdx − ∫ 2 dx = 4 ∫ xdx − ∫ x dx
31 3
31
1
1
x

π
4

e) I = sin 2xdx
∫
0

π
1
1
π
1
= − cos 2x 4 = − (cos − cos 0) =
2
2
2
2
0
2π

π x 2π
π 2π
π 0
= −4[sin( − ) − sin( − )]
= – 4sin( − )
4 4 0
4 4
4 4
= 2 2 − (−2 2) = 4 2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
π

2
+ 3 sin x)dx
cos 2 x

π
4

π
4

0

−π

−π

π
π
3 2
– 2tan0 – (3cos – 3cos0) = 5 −
4
4
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1
dx
dx
a) I = ∫
4x + 1
0

−2

3

c) I =

∫

2

2

∫

−π
π

2

∫

=

−π

2

sin 2x. sin 7xdx

2
π

1 2
sin 7x.sin 2xdx = ∫ (cos 5x − cos 9x)dx
2 −π
2

π
1 1
1
2
2
4
2
− (− ) =
= ( sin 5x − sin 9x)
=
π 45
2 5
9
45 45
−
2

dx

1 (11 + 5x)−2 −1
−3
(11

+
5x)
dx
=
.
= ∫
−2
5
−2
−2
−1
1
1
1
7
− (− ) =
=−
=−
2
10(11 + 5x) −2
360
10 72
3

π

b) I =

−1

1

2

1 2
cos 5x.cos3xdx = ∫ (cos 2x + cos8x)dx
2 −π

π

1 1
1
1
= ln 4x + 1 = (ln 5 − ln1) = ln 5
0 4
4
4
dx

2

cos 3x. cos 5xdx

π
1 1
1
2
= ( sin 2x + sin 8x)
=0
π

2 2
8
−
2

= 2tan

∫ (11 + 5x)

2

∫

=

π
π
1
dx + 3∫ sin xdx = 2 tan x 4 − 3 cos x 4
= 2∫
2
cos
x
0
0
0
0

−1

2

∫

a) I =
π

d) I = (
∫

x

0

1

π
4

π

∫ cos ( 4 − 4 )dx

f) I =

8
8
x2 8 1 x 3 8
4.
− .

= 2x 2 − 3 x
=
1
1
2 1 3 1 1
3
3
= 128 – 2 – ( 8 − 3 1 ) = 125

b) I =

2
3

2 − 3x
d) I = ∫ e dx

=

4
= 2 ∫ x dx − ∫

5

3 3 (1 − x)5 1
(1 − x) 3 1
(1
−
x)
dx

=
−
=
−
= ∫
5
0
0
5
0
3
3
3 3
5
5
= − ( 3 1 − 1) − 3 (1 − 0) ) = 0 − (− ) =
5
5 5
1

π

c) I =

2

∫ (sin 2x. cos 3x + 2)dx
0

π

=

(1 − x) dx
2

2

9

2

∫ cos3x.sin 2xdx + 2 ∫ dx
0

0

π

0


1
=
2

π

π

2

2

0

2

b) I =

2x + 2 neáu x ≥ −1
Ta có: 2x + 2 = 
 −2x − 2 neáu x < −1
Vậy: I =

1

2

c) I =

1

x 2 + 3x + 2
dx
b) I = ∫
x+3
0
0

1

−1

∫ (−2x − 2)dx + ∫ (2x + 2)dx

∫x

2

− 1 dx

1

2

2

2
Vậy: I = ∫ (−x + 1)dx + ∫ (x − 1)dx
2

0

1

1 x
2
x
+ x) + ( − x)

0
1
3
3
2
2
2 6
= − 0 + − (− ) = = 2
3
3
3 3
Bài 6: Tính các tích phân sau:
3

= (−

2

2
3
1
1
+
)dx = 2 ∫
dx + 3∫
dx
x−3 x+2
x−3
x+2
1

1
1
2
2
= 2 ln x − 3 + 3ln x + 2
1
1
= 2(ln1 − ln 2) + 3(ln 4 − ln 3) = 4ln2 – 3ln3

3

π

a) I =

2

∫ cos

2

xdx

0

1
=
2

π

1
∫0 (1 + cos 2x)dx = 2
2

π

1
∫0 dx + 2
2

π

2

∫ cos 2xdx
0

π
π
1
1
π
π
= x 2 + sin 2x 2 = − 0 + 0 − 0 =
2
4
4
4
0

0

Ghi nhớ
A neáu A ≥ 0
1. A = 
− A neáu A < 0
2.Nếu f(x) = ax2 + bx + c có 2 n0 phân biệt x1, x2
* Trường hợp 1: a > 0
+ f(x) > 0 ⇔ x < x1 hoặc x > x2 (x1 < x2)
+ f(x) < 0 ⇔ x1 < x < x2 (x1 < x2)
* Trường hợp 2: a < 0
+ f(x) > 0 ⇔ x1 < x < x2 (x1 < x2)
+ f(x) < 0 ⇔ x < x1 hoặc x > x2 (x1 < x2)

π

b) I =

2

∫ sin

3

xdx

0

1
Cách 1: I =

4
3
=
4

π

π

2

∫ (3sin x − sin 3x)dx
0

π

1 2
∫0 sin xdx − 4 ∫0 sin 3xdx
2

π
π
3
1
= − cos x 2 + cos3x 2
4
12
0
0

Bài 5: Tính các tích phân sau:
2

a) I =

−2

2
 x − 1 neáu x ≤ −1 ∨ x ≥ 1
2
Ta có: x − 1 =  2
 −x + 1 neáu − 1 < x < 1

1

1
x2 1
+ 2 ln x + 3
=
0
2 0
1
1
4
= − 0 + 2(ln 4 − ln 3) = + 2 ln
2
2
3
2
5x − 5

dx
c) I = ∫ 2
x −x−6
1
2

2

0

2
1
)dx = ∫ xdx + 2 ∫
dx
x+3
x+3
0
0

= ∫(

−1

−1
2
2
2
= (− x − 2x) + (x + 2x)
−2
−1

= 1 – 0 + 8 – (– 1) = 10

1
1
= x − ln x + 1 = 1 − 0 − (ln 2 − ln1) = 1 − ln 2
0
0

= ∫ (x +

∫ 2x + 2 dx

−2

1
1
)dx = ∫ dx − ∫
dx
= ∫ (1 −
x +1
x +1
0
0
0

1

1

x 1

x2 2 1
1
= (x − ) + (− x + ) = – 0 + 0 – (– ) = 1
2 0
2 1 2
2

2
2
= 0 – + π– 0 = – + π
5
5
Bài 4: Tính các tích phân sau:
1
x
dx
a) I = ∫
x +1
0
1

0

2

π
π
1 1
= (− cos 5x + cos x) 2 + 2x 2
2 5

0
0

1

2

Vậy: I = ∫ (1 − x)dx + ∫ (−1 + x)dx

∫ (sin 5x − sin x)dx + 2 ∫ dx
0

1

∫ 1 − x dx
0

1 − x neáu x ≤ 1
Ta có: 1 − x = 
−1 + x neáu x > 1

= 0 – (–

10

3
1
2
)+0–
=

4
12
3


π

 π π
Đặt: x = tant, t ∈  − ; ÷
 2 2
1
⇒ dx = (tan t)′dt =
dt
cos2 t
 π
x = 1
t =
 π
⇒ 4
Đổi cận: 
Suy ra: t ∈  0; 
 4
x = 0 t = 0


2

2
∫ sin x sin xdx

Cách 2: I =

0

π

=

2

∫ (1 − cos

2

0

Đặt: u = cosx ⇒ dx =

x)sin xdx
du
du
=
(cos x)′ − sin x

π

π

u = 0
x =

2⇒
Đổi cận: 
u = 1
 x = 0
0

Vậy: I =

π

c) I =

2

∫ cos

4

=
=
=

1
4
1
4

1
=
4

π

 π π
Đặt: x = sint, t ∈  − ; 
 2 2
⇒ dx = (sin t)′dt = cos t dt

xdx

2

2

∫ (1 + 2 cos 2x + cos

2

 π
x = 1
t =
⇒ 2
Đổi cận: 
x = 0 t = 0


2x)dx

π

0

π

Vậy: I =

1

2

∫ [1 + 2 cos 2x + 2 (1 + cos 4x)]dx
=

3
∫0 ( 2 + 2 cos 2x + cos 4x)dx
2

∫

π
2

2

sin t 1 − sin t.cos tdt =

1
4

2

∫ sin

2

t.cos2 tdt

0

π

1
∫0 sin 2tdt = 8
2

2

π

2

∫ (1 − cos 4t)dt
0

π
1
1
= (t − sin 4t) 2
8
4

0

π
3
1
1
3π
3π
−0 =
= ( x + sin 2x + sin 4x) 2 =
8
4
16
16
16
0

1 π 1
1
π
[ − sin 2π − (0 − sin 0)] =
8 2 4
4
16
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các tích phân sau:
2
9
3
a) ∫ (x − 3x + 1)dx ( )

4
−1
=

Ghi nhớ
b

Dạng:

2

 π
Suy ra: t ∈  0; 
 2

0

0

π

4

0

2
1
2
(cos
x)

dx
=
∫0
∫0 [ 2 (1 + cos 2x)] dx
2

π
π
∫0 dt = t 4 = 4
0

π

4

1

π

2

1
dt
t cos2 t
.

2
2
b) I = ∫ x 1 − x dx

0

π

2

1
= ∫
(1 + tan 2 t)dt =
2
1 + tan t
0

du
= − ∫ (1 − u2 )du
Khi đó: I = ∫ (1 − u )sin x.
− sin x
1
1
3
0
u
2
2
= −(u − ) = 0 – (– ) =
3 1
3
3
π

∫ 1 + tan
0

0

2

1

4

∫ f ( x)dx
a

a2 + x 2 thì
đặt x = atant hay x = acott
2. Nếu f(x) chứa a2 − x 2 thì
đặt x = asint hay x = acost
3. Nếu f(x) chứa x 2 − a2 thì
a
a
đặt x =
hay x =
sin t
cos t
2
2
4. Nếu f(x) chứa a + x thì
đặt x = atant hay x = acott
1. Nếu f(x) chứa

x 3 + x 2 − 2x + 1
3
dx ( + ln 2 )
3
∫1
x
8
2

b)

x 3 + x 2 − 2x + 1
1 2 1
= 1+ − 2 + 3
3
x
x x
x
2
2
25
2

c) ∫  x + ÷ dx (
)
3
x
1
HD:

2

2
4

HD: (  x + ÷ = x 2 + 4 + 2
x
x

π/ 4
 4

− 3 sin x ÷dx (8)
d) ∫ 
2
cos x

−π / 4 

Bài 7: Tính các tích phân sau:
1
dx
a) I = ∫
1 + x2
0

11

π/ 2

∫

e)

2

(2 cos x − sin 2x)dx (1)

c)

0

e

2

2 x + 5 − 7x
dx (– 7e2 + 4e + 13)
∫1
x

f)

2 x + 5 − 7x
HD:
= 2x
x
π/ 4

π
2
g) ∫ tan x dx (1 − )
4
0

−

1
2

5
+ −7
x

∫

x + 2dx (

1

π

dx
31
d) ∫
)
4 (
(3x − 2) 21952
2

4

c)

1
e) ∫ cos3xdx ( )
3
0
6

b)

11
)
6
0
Bài 6: Tính các tích phân sau:
d)

1

2

− π)

0

c)

2

∫ cos 4x cos 9xdx
0

(

9
)
65

2
d) ∫ sin 2x cos xdx (0)
0

1
sin 2x(1 + cos 2x)
2
1
1
1
1
= sin 2x + sin 2x cos 2x = sin 2x + sin 4x
2
2
2
4
HD: sin 2x cos2 x =

2

∫ sin

π

b)

3

∫ cos

π

6
π
2

∫ sin

4

x dx (

π
3
4 − x 2 dx ( +
)
6 4
1
 π π

HD: Đặt: x = 2sint, t ∈  − ; 
 2 2
π π 
Lấy cận t ∈  ; 
6 4 
1
dx
3
(−
)
c) ∫ 2
2
6
x
4
−
x
3

2

∫x

2

 π π
HD: Đặt: x = 2sint, t ∈  − ; 
 2 2
π π 
Lấy cận t ∈  ; 

3 6 

1

b)

4

2

b)

π
x cos2 xdx ( )
16
0
1 2
1
HD: sin2x.cos2x = sin 2x = (1 − cos 4x)
4
8
Bài 4: Tính các tích phân sau:
1
2x + 9
4
dx (2 + 3ln )
a) ∫
x+3
3
0

e)

2

 π π
HD: Đặt: x = sint, t ∈  − ; 
 2 2
 π
Lấy cận t ∈  0; 
 2

π

π

− 3x + 2 dx (

2

x dx (

π
)
12

3π − 8
2
d) ∫ cos3 x dx ( )
)
32

3
0
0
Bài 7: Tính các tích phân sau:
1
π
2
a) ∫ 1 − x dx ( )
4
0
c)

3 3

2

π
a) ∫ sin 2 x dx ( )
4
0
π

∫ (sin 6x sin 2x − 6)dx ( 32
π

∫x

π

2

6

x 2 − 6x + 9 = (x − 3)2 = |x – 3|

HD:

∫ sin 3x cos 5xdx (0)

π

x 2 − 6x + 9 dx (1)

3

2

−π

∫

2

2

1
π
4
g) ∫ sin  − x ÷dx (0)
h) ∫ (2x − 1) dx ( )

5
4

0
0
Bài 3: Tính các tích phân sau:
a)

2

4
dx ( − 3ln 2)
3

1
1
1 1
1 
=
= 
−
÷
x − x − 2 (x + 1)(x − 2) 3  x − 2 x + 1 
Bài 5: Tính các tích phân sau:
3
3
71
2
a) ∫ x − 2 dx (13)
b) ∫ x − 4dx ( )

3
−3
−4

1 11 5
2x + 5
f) ∫ e dx ( (e − e ) )
2
0

π

1

2

HD:

3

π

1 − 3x

∫ (x + 1)

2

16
− 2 3)

3

3

2

1
1
1
= −
x(x + 1) x x + 1

1 − 3x
A
B
A + B(x + 1)
=
+
=
2
2
(x + 1)
(x + 1) x + 1
(x + 1)2
⇒ 1 – 3x = A + B(x + 1) ⇒ A = 4, B = – 3
2
dx
2
(− ln 2)
e) ∫ 2

3
1 x −x−2

1
−1
cos2 x
Bài 2: Tính các tích phân sau:
1
2
1
2
dx
1
dx ( )
a) ∫
( ln 3 )
b) ∫
3
2x − 1 2
3x + 1
0
1
2

(ln 2) HD:

HD:

HD: tan2x = tan2x + 1 – 1 =

c)

1

2

d)

1

∫ x(x + 1) dx

x 2 − 3x + 6
1
∫0 x − 2 dx (− 2 − 4 ln 2)

12


2

dx
π
( )
d) ∫
2
4+x 8
0

3

3
Khi đó: I = ∫ u .

2

V. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG
PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Phương pháp:

2
4
b) I = ∫ x(x − 2) dx
1

du
du
=
(x − 2)′ 2x
 x = 1  u = −1
⇒
Đổi cận: 
x = 2  u = 2
Đặt: u = x2 – 2 ⇒ dx =

Ghi nhớ
b

I = ∫ f ( x)dx
a

* Nếu f(x)dx = g[ ϕ (x)]. ϕ′ (x)dx thì:
Đặt u = ϕ (x)
du
⇒ du = ϕ′(x)dx ⇒ dx =
ϕ′(x)
 x = a  u = ϕ(a)
⇒
Đổi cận: 
 x = b  u = ϕ(b)
ϕ(b)

Vậy: I =

∫

3

du 1 3
= ∫ u du
2
21
1
4
4
1 u 3 u 3 81 1 80
=
= − =
= 10
= .

2 4 1 8 1 8 8 8

 π π
HD: Đặt: x = tant, t ∈  − ; ÷
 2 2

2

Khi đó: I =

4
∫ xu .

−1

2

2

du 1 4
=
u du
2x 2 −∫1

1 u 2
u5 2 16
1
33
.
=

= − (− ) =
2 5 −1 10 −1 5
10 10
5

=

1

1

0

0

1

2
2
c) I = ∫ 2x x + 3 dx = ∫ 2x(x + 3) 2 dx

du
du
=
(x + 3)′ 2x
x = 0 u = 3
⇒
Đổi cận: 
x = 1
u = 4

g(u)du

Đặt: u = x2 + 3 ⇒ dx =

ϕ(a)

Chú ý:
1. Nếu hàm số có chứa dấu ngoặc kèm theo
lũy thừa thì đặt u là phần bên trong dấu
ngoặc
2. Nếu hàm số có chứa mẫu số thì đặt u là
mẫu số
3. Nếu hàm số có chứa căn thức thì đặt u là
phần bên trong dấu căn thức hoặc cả căn thức
đó.
dx
4. Nếu tích phân có chứa
thì đặt u = lnx
x
5. Nếu tích phân có chứa exdx thì đặt u = ex
dx
6. Nếu tích phân có chứa
thì đặt u = x
x
dx
1
7. Nếu tích phân có chứa 2 thì đặt u =
x
x

8. Nếu t.phân có chứa sinxdx thì đặt u = cosx
9. Nếu t.phân có chứa cosxdx thì đặt u = sinx
dx
10. Nếu tp có chứa
thì đặt u = tanx
cos2 x
dx
11. Nếu tp có chứa
thì đặt u = cotx
sin 2 x

4

1

Khi đó: I = ∫ 2xu 2 .
3

2

2

1
du
= ∫ u 2 du
2x −1

3
2

u 4 2 u3 4 2
2
= ( 64 − 27) = (8 − 3 3)
= 3 3=
3 3 3
3
2
3

∫

d) I =

0

4x
x2 + 1

dx =

3

−

1

2
∫ 4x(x + 1) 2 dx
0

Đặt: u = x2 + 1 ⇒ dx =

du
du
=
(x + 1)′ 2x
2

u = 1
 x = 0
⇒
Đổi cận: 
 x = 3  u = 4
4

1
2

1
2

4

1
−
du
= 2 ∫ u 2 du
Khi đó: I = ∫ 4x.u .
2x
1

1
−

4
u 4
= 2. 1 1 = 4 u 1 = 4( 4 − 1) = 4(2 − 1) = 4
2
1
x2
dx
e) I = ∫ 3
x +2
−1
du
du
= 2
Đặt: u = x3 + 2 ⇒ dx = 3
(x + 2)′ 3x
 x = −1  u = 1
⇒
Đổi cận: 
x = 1
u = 3

Bài 1: Tính các tích phân sau:
1

3
a) I = ∫ (2x + 1) dx
0

du
du
=
(2x + 1)′ 2
x = 0 u = 1
⇒
Đổi cận: 
x = 1
u = 3
Đặt: u = 2x + 1 ⇒ dx =

13


3

1
u
u2 1 1
.xdu
=
udu
=
=
Khi đó: I = ∫
∫
0
x
2

2
0
0

3

1

x 2 du 1 du
Khi đó: I = ∫ . 2 = ∫
u 3x
31 u
1
3 1
1
1
= ln u = (ln 3 − ln1) = ln 3
1 3
3
3

e

4x 3
dx
f) I = ∫ 4
(x + 1)2
0
du
du

= 3
(x + 1)′ 4x
x = 0 u = 1
⇒
Đổi cận: 
x = 1
u = 2
2

3
Khi đó: I = ∫ 4x .
1

4

3

1

5
f) I = ∫ x(1 − x) dx

e2

du
= −du và x = 1 – u
(1 − x)′
x = 0 u = 1
⇒
Đổi cận: 

x = 1
u = 0
Đặt: u = 1 – x ⇒ dx =

1

5
5
6
Khi đó: I = ∫ (1 − u).u .(−du) = − ∫ (u − u )du

u u 0
1
1
= −( − ) = 0 − ( − ) =
6
7 1
42 42
7

7

g) I =

x +1

3

∫
0

3

3x + 1

−

e2

−

4

1

1
2

4

1
−
Khi đó: I = 1 u .xdu = 1 u 2 du
2 ∫3 x
2 ∫3
1
2

4
1 u 4

.
= u = 4 − 3 =2− 3
3
2 1 3
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:

dx

=

3x + 1 ⇒ u3 = 3x + 1 ⇒ 3u2du = 3dx
u3 − 1
⇒ dx = u2du và x =
3
 x = 0
u = 1
⇒
Đổi cận: 

7
 x = 3  u = 2
u3 − 1
+1
2
2
1
2
4
Khi đó: I =

3
∫1 u .u du = 3 ∫1 (u + 2u)du
1 u5
52 2 46
2 2
− =
= ( +u ) =
1 15 5 15
3 5
Bài 2: Tính các tích phân sau:
e
ln x
dx
a) I = ∫
x
1
du
du
dx =
=
= xdu
Đặt: u = lnx ⇒
(ln x)′ 1
x
x = 1  u = 0
⇒
Đổi cận: 
x = e  u = 1
Đặt: u =

dx

2
c) I = ∫
= 1 (2 + ln x) dx
2 ∫e
x
e 2x 2 + ln x
du
du
dx =
=
= xdu
Đặt: u = 2 + lnx ⇒
(2 + ln x)′ 1
x
x = e
u = 3
⇒
Đổi cận: 
2
u = 4
x = e

0

1

2

u 2 2 2 u3 2 2
= ( 8 − 1)
= 3 1=
3 1 3
2

12
1
1
= −( − 1) =
=−
u1
2
2

6

∫

1
2
Khi đó: I = u .xdu = u 2 du
∫1 x
∫1

1 du
1
. 3 = ∫ 2 du
2
u 4x

u
1

0

1

2

2

0

1
2

e

(1 + ln x)
dx
x
1
1
du
du
dx =
=
= xdu
Đặt: u = 1 + lnx ⇒
(1 + ln x)′ 1

x
x = 1  u = 1
⇒
Đổi cận: 
x = e  u = 2

∫

b) I =

1

Đặt: u = x4 + 1 ⇒ dx =

1 + ln x
dx =
x

3

2

3x − 2
dx
a) I = ∫ e
0

du
du
=

(3x − 2)′ 3
 x = 0  u = −2
⇒
Đổi cận: 
x = 2 u = 4
Đặt: u = 3x – 2 ⇒ dx =

4

u
∫e .

⇒ I=

−2

=

4

du 1 u
=
e du
3 3 −∫2

1 u 4
1
e
= (e4 − e −2 )
3 −2 3

1

2

x
b) I = ∫ xe dx
0

du
du
=
2
(x )′ 2x
x = 0 u = 0
⇒
Đổi cận: 
x = 1
u = 1
Đặt: u = x2 ⇒ dx =

14


1

⇒ I = ∫ xe u .
0

ln 2

1
1
du 1 u
= ∫ e du = e u = e1 − e 0 = e − 1
0
2x 2 0

∫ (3 + e ) .e

c) I =

x 3

x

π

dx

Đặt: u = sinx ⇒ dx =

du
du
= x
x
(3 + e )′ e
x = 0
u = 4
⇒
Đổi cận: 

 x = ln 2  u = 5

1

3
Khi đó: I = ∫ u .cos x.

5

0

du
3
Khi đó: I = ∫ u .e . x = ∫ u du
e
4
4
4
5
u
625
369
=
− 64 =
=
4 4
4
4
ln 3

∫

d) I =

0

x

π

3

0

du
du
=
(cos x)′ − sin x
 x = 0
 u = 1
⇒
Đổi cận: 

x=π
u= 1
3 
2


ex

dx
2 + ex

1

Khi đó: I =

∫
0

∫

1

π

e x (3 − e x ) 2 dx

c) I =

0

du
du
= x
x
(3 − e )′ −e
x = 0
u = 2
⇒

Đổi cận: 
 x = ln 2  u = 1
1

x
Khi đó: I = ∫ e .u 2 .
2

=

∫ (1 + 4sin x)2 .cos xdx
du
du
=
(1 + 4 sin x)′ 4 cos x

 x = 0
u = 1
⇒
Đổi cận: 

π
 x = 6  u = 3
3 1
3
du
1 21
2
=
u du

Khi đó: I = ∫ u .cos x.
4 cos x 4 ∫1
1
3

2

1 u2 3 1 3 3 1
u = ( 27 − 1)
= . 3 1=
1 6
4
6
2

cos x
∫ e . sin x dx
0

du
du
=
(cos x)′ − sin x

π

d) I =

 x = 0
u = 1

⇒
Đổi cận: 

π
 x = 2  u = 0
0

1

6

Đặt: u = 1 + 4sinx ⇒ dx =

1

1
du
2
=
−
u
∫2 du
−e x

Đặt: u = cosx ⇒ dx =

1 + 4 sin x . cos xdx

0

3

f) I =

∫
π

u2 1
2 u3 1
2
2
−
=
−
= − (1 − 8) = ( 8 − 1)
= 3 2
3 2
3
3
2
π

6

0

Đặt: u = 3 – ex ⇒ dx =

1

∫

1

2
sin x du
du
.
=
−
4
∫
u − sin x
u4
1

1
1
8 1 7
= 3 2= − =
3u
3 3 3
1

5
5
ex du
du
5
⇒ I= ∫ . x =∫

= ln u = ln 5 − ln 3 = ln
3
u e
u
3
3
3
ln 2

2

1

5

ex 3 − ex dx =

sin x
dx
4
x

Đặt: u = cosx ⇒ dx =

du
du
= x
x
(2 + e )′ e
x = 0

u = 3
⇒
Đổi cận: 
 x = ln 3  u = 5

ln 2

1
du
u4 1 1
= ∫ u3du =
=
cos x 0
4 0 4

∫ cos

b) I =

Đặt: u = 2 + ex ⇒ dx =

e) I =

du
du
=
(sin x)′ cos x

 x = 0
u = 0

⇒
Đổi cận: 
π
 x = 2  u = 1

Đặt: u = 3 + ex ⇒ dx =

3

x. cos x dx

3

0

0

5

2

∫ sin

a) I =

2

∫ sin

2

x . cos 3 xdx

0

π

=

0

du
u
= − ∫ e udu
Khi đó: I = ∫ e .sin x.
−
sin
x
1
1
u 0
0
1
= −e = −(e − e ) = −(1 − e) = e − 1
1
Bài 4: Tính các tích phân sau:

2

∫

π
2

2

sin x.cos x.sin xdx =

0

Đặt: u = sinx ⇒ dx =

2

∫ sin
0

x(1 − sin 2 x).sin xdx

du
du
=
(sin x)′ cos x

 x = 0
u = 0
⇒
Đổi cận: 

π

 x = 2  u = 1

15

2


1

2
2
Khi đó: I = ∫ u (1 − u ).cos x.
0

x = 4 u = 2
⇒
Đổi cận: 
x = 9 u = 3
3
3
u
u2
.2udu
=
2
du
Khi đó: I = ∫
∫
u
−

1
u
−
1
2
2

1

du
= ∫ (u 2 − u 4 )du
cos x 0

u3 u 5 1 2
=( − ) =
3 5 0 15
π

e) I =

2

3
1
u2
)du = 2( + u + ln u − 1)
= 2 ∫ (u + 1 +
2
u −1
2

2
= 9 + 6 + 2ln2 – 4 – 4 – 2ln1 = 7 + 2ln2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1
1
7
127
5
2
6
(3x
−
2)
dx
(
−
)
)
a) ∫
b) ∫ x(x + 1) dx (
2
14
0
0
3

∫ cos

3

xdx

0

π

=

π

2

∫ cos x.cos xdx =

2

∫ (1 − sin

2

0

2

x).cos xdx

0

du

du
=
(sin x)′ cos x

Đặt: u = sinx ⇒ dx =

2

 x = 0
u = 0
⇒
Đổi cận: 
π
 x = 2  u = 1
1
1
du
= ∫ (1 − u2 )du
⇒ I = ∫ (1 − u2 ).cosx.
cosx 0
0
= (u −
π

f) I =

2

∫ sin

1

e)

=

0

i)

2

2
2
∫ (1 − cos x) .sin xdx

f)

x
1 3
dx ( ln )
+2
2 2

6x + 1
13
dx (ln )
2
+ x −1
3

∫ 3x
1

8 1
− )
3 3

∫
1

−1
)
2012.2011
0
Bài 2: Tính các tích phân sau:
e2

a)

∫
1

e2

ln x
dx (2)
x

e

2 + ln x
5
dx ( )
c) ∫
x
2
1
e2

e)

∫x
e

dx

∫ x ln x (ln 2)

b)

e

e

1 + ln 4 x
6
dx ( )
d) ∫
x

5
1

dx
(2 3 − 2 2)
1 + ln x

e

(1 + ln x)2
7
dx ( )
f) ∫
x
3
1

e

g)

sin(ln x)
dx (1 − cos1)
x
1

∫

e 3

6 + 2 ln x
dx (6 − 3 3 6)
x
1
Bài 3: Tính các tích phân sau:
1
1 3
2x +1
a) ∫ e dx ( (e − e))
2
0
h)

2

1 + u3
5
3
6
∫1 u2 .6u du = 6∫1 (u + u )du
u 4 u 7 2 936 33 1839
−
=
= 6( + ) =
4
7 1
7 14
14

∫

0

2

2

2010
j) ∫ x(1 − x) dx (

∫

1

Khi đó: I =

b)

ex
1+ e
∫0 1 + ex dx (ln 2 )
1

d) ∫ 2xe

x

ln 2

c)

π
x2 +1

2

dx (e − e)

e)

2

∫e

sin x

x 3

) .ex dx (

175
)
4

.cos xdx (e − 1)

0

1

1
3 x4
f) ∫ x e dx( (e − 1))
4
0

16

∫ (2 + e
0

0

dx
x
−
1
4
Đặt: u = x ⇒ u2 = x ⇒ dx = 2udu
b) I =

∫x

(2 5 − 2 2)
x2 + 1
2x + 1
dx (6 − 2 3)
x2 + x + 3

0

0

2u3 u5 0
8
8
+ ) = 0 − (− ) =
= −(u −
3
5 1
15 15
Bài 5: Tính các tích phân sau:
64
1+ x
dx
a) I = ∫ 3
x
1
Đặt: u = 6 x ⇒ u6 = x ⇒ dx = 6u5du
⇒ x = u3, 3 x = u2
x = 1
u = 1
⇒
Đổi cận: 
 x = 64  u = 2

9

1
dx ( ln 2)

3

d)

2xdx

∫

1
2

du
du
=
Đặt: u = cosx ⇒ dx =
(cos x)′ − sin x
 x = 0
u = 1
⇒
Đổi cận: 

π
 x = 2  u = 0
0
0
du
2 2
(1
−
u

)
.sin
x.
=
−
(1 − 2u2 + u 4 )du
⇒ I= ∫
∫
− sin x
1
1

2

3

0

2

h)
π

4
∫ sin x.sin xdx =

∫ 2−x

2
g) ∫ x x + 1dx (

xdx

2

2

1

0

π

x

5

0

u3 1 2
) =
3 0 3
5

1

243
)
c) ∫ (x − 1) .xdx (
4

1
2

9

g)

e x
3
∫1 2 x dx (e − e)


ln 2

ex



h)

1 + ex

0

ln3

VI. TNH TCH PHN BNG PHNG
PHP TNG PHN
1. Phng phỏp:

dx (2 3 2 2)

2
2 + e x dx ( ( 125 27))
3
0
Bi 4: Tớnh cỏc tớch phõn sau:
i)

e



x

3
a) tan xdx ( ln
) .HD:
2
0


6





6

0



1
d) cos3 x sin xdx ( )
4
0


f)

2

h)

6

3


0



=

3

0





thaứnh daùng I = udv
a

8
5
0 cos xdx ( 15 )
2

u = ...
du = ...(tớnh vi phaõn ủửụùc)

* t:
dv = ... v = ...(tớnh tớch phaõn ủửụùc)
* Vn dng cụng thc tớch phõn tng phn:
b
b b
a udv = uv a a vdu
* Chỳ ý:
P(x)sin(ax + b)

1. Nu f(x) cú dng: P(x) cos(ax + b)
P(x)eax + b

sin(ax + b)dx

thỡ t: u = P(x); dv = cos(ax + b)dx
eax + b dx

2. Nu f(x) cú dng: P(x)ln(ax + b)
u = ln x
thỡ t:
dv = P(x)dx

cos x

2

g)

2

cos

2

x sin 3 xdx (

0



3

0

2
)
15

sin 2 x
.sin x dx
cos2 x

(1 cos2 x)
.sin x dx . t: u = cosx
cos2 x

3
i) cos x 3 sin xdx ( )
4
0
2

b

0



cos x
3
dx ( )
3

x
2
sin3 x
1
dx ( )HD :
2
cos x
2



a

sin x
dx
cos x

1 + sin x dx (ln 2)

e)

sin



6

0

2

2

Phaõn tớch I = f ( x)dx

tan xdx =

15
b) (1 + sin x)3 cos xdx ( ) c)
4
0


Ghi nh
b



j)

2

sin
0

3

2
xdx ( )
3

2
1 + cos x.sin xdx ( (2 2 1))
3
0
Bi 4: Tớnh cỏc tớch phõn sau:
1
64
dx
dx
2
(2 2 ln 2)
(11

6
ln
)
a)
b)

3
3
1
+
x
x
+
x
0
1

k)

2



2. Bi tp mu:
Bi 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau:


a) I =

2

x sin xdx
0

u = x
du = dx

t:
dv = sin xdx v = cos x
2
Khi ú: I = x cos x 2 + cos xdx
0 0



= cos (0 cos 0) + sin x 2
2

2
0
= 0 + sin


b) I =


sin 0 = 1
2

2

x cos 2xdx
0

du = dx
u = x


t:
1
dv = cos 2xdx v = sin 2x

2

17


u = x

du = dx
⇒
Đặt: 

x
x
dv = e dx v = e
1
x 1
x
Khi đó: I = xe − ∫ e dx
0 0

π
π
1
1 2
Khi đó: I = x sin 2x 2 − ∫ sin 2xdx
2
2 0
0

π
1 π
1
1
= . sin π − ( .0.sin 0) + cos 2x 2
2 2
2
4

0
=0+

1
1
1 1
1
cos π – cos 0 = − – = –
4
4
4 4
2
π

c) I =

1
0
x
= 1.e − 0.e − e

1
= e – (e1 – e0) = 1
0

2

3x
b) I = ∫ xe dx
0

2

∫ (1 − x) cos xdx

du = dx
u = x

⇒
Đặt: 
1 3x
3x
dv = e dx v = e
3

2
1 3x 2 1 3x
− e dx
Khi đó: I = xe
0 3 ∫0
3

0

u = 1 − x
du = −dx
⇒
* Cách 1: Đặt: 
dv = cos xdx v = sin x
π π2

Khi đó: I = (1 − x)sin x 2 + ∫ sin xdx
0 0

=

π
π
π
= (1 − )sin − [(1 − 0)sin 0] − cos x 2
2
2
0

2
1
1
1
.2.e6 − .0.e 0 − e3x
0
3
3
9

=

2e6 1 6 1 0
2e6 e6 1 5e6 1
−( e − e ) =
− + =
−

3
9
9
3
9 9
9 9

π
π
π
π
=1–
– (cos – cos0) = 1 – + 1 = 2 –
2
2
2
2

−x
c) I = ∫ (2x − 1)e dx

π

* Cách 2: I =

1

0

 u = 2x − 1

du = 2dx
⇒
* Cách 1: Đặt: 
−x
−x
dv = e dx v = −e
1
−x 1
+ 2 ∫ e − x dx
Khi đó: I = −(2x − 1)e
0 0

2

∫ (1 − x)cosxdx
0

π

=

π

2

∫ (cosx − x cosx)dx =
0

2

π

2

∫ cosxdx − ∫ x cosxdx
0

0

−x
= – (2.1 – 1) e −1 – [– (2.0 – 1)e0] – 2e

π
π
Tính I1 = ∫ cosxdx = sin x 2 = sin − sin 0 = 1
2
0
0
π

π

Tính I2 =

2

1
0

= – e −1 – 1 – (2 e −1 – 2e0) = – 3 e −1 + 1

1

1

1

0

0

0

−x
−x
−x
* Cách 2: I = ∫ (2x − 1)e dx = ∫ 2xe dx − ∫ e dx

2

∫ x cosxdx

1

0

−x
Tính I1 = ∫ 2xe dx

u = x
du = dx

⇒
Đặt: 
dv = cos xdx v = sin x
π π2
Khi đó: I2 = x sin x 2 − ∫ sin xdx
0 0

0

 u = 2x
du = 2dx
⇒
Đặt: 

−x
−x
dv = e dx v = −e
1
−x 1
+ 2 ∫ e− x dx
Khi đó: I = −2xe
0 0

π
π
π
= sin − (0sin 0) + cos x 2
2
2
0

−x
= – 2.1. e −1 – (– 2.0.e0) – 2e

1
0

= – 2 e −1 – (2 e −1 – 2e0) = – 4 e −1 + 2
1
−x
−x 1
= −(e −1 − e 0 ) = −e−1 + 1
Tính I2 = ∫ e dx = −e
0
0

π
π
π
= + (cos – cos0) =
–1
2
2
2
π
π
Vậy: I = I1 – I2 = 1 – + 1 = 2 –
2
2
Bài 2: Tính các tích phân sau:

Vậy: I = I1 – I2 = – 4 e −1 + 2 + e −1 – 1 = – 3 e −1 + 1

1

x
a) I = ∫ xe dx
0

18


1

 u = ln x
du = dx
⇒
x
Đặt: 
dv = (4x + 1)dx v = 2x 2 + x

e e
2
(2x
+
x)
ln
x
− (2x + 1)dx
Khi đó: I =

1 ∫1
e
2
= (2e2 + e)lne – (2 + 1)ln1 – (x + x)
1
2
2
2
= 2e + e – [e + e – (1 + 1)] = e – 2
Bài 4: Tính các tích phân sau:

Ghi nhớ
b
 u = ln x
1. ∫ ln xdx đặt: 
dv = dx
a
 u = ln(x + 1)
ln(1 + x)

dx đặt: 
2. ∫
1
2
x
a
 dv = x 2 dx
b

Bài 3: Tính các tích phân sau:

e

π

a) I = ∫ ln xdx

a) I =

1

b) I =

∫
1

π

=

2

cosxdx + ∫ x cosxdx = I1 + I2
0

2

∫e

sin x

cosxdx

Đặt: u = sinx ⇒ dx =

du
du
=
u′ cosx

x = 0
u = 0

Đổi cận: 
π⇒
u = 1
 x = 2
1
1
du
u
= ∫ e u du
Khi đó: I1 = ∫ e cosx.
cosx 0
0
u
=e

1
= e1 − e 0 = e − 1
0

π

* Tính I2 =

1 e2
1
1
2
= − 4 ln e − (− 2 ln1) –
4x 2 1
2e
2.1
1
1
1
1
1
1 1
5
= − 4 −( 4 − 2 ) = − 4 − 4 + = − 4
e
4e 4.1
e 4e 4 4 4e

2

∫ x cosxdx
0

u = x

du = dx
⇒
Đặt: 
dv = cos xdx v = sin x
π π2
Khi đó: I = x sin x 2 − ∫ sin xdx
0 0

1

c) I = ∫ ln(1 + x)dx
0

1

dx
 u = ln(1 + x) du =
⇒
1+ x
Đặt: 
dv = dx
 v = x
1 1 x
x.ln(1
+
x)
+
dx
Khi đó: I =
0 ∫0 1 + x

= ln2 – (x – ln|1 + x|)

∫e

0

e2 1 e 1
1
.ln
x
+
dx
2x 2
1 2 ∫1 x3

0

+ x) cos xdx
π

sin x

* Tính I1 =

2

= 1.ln2 – 0.ln1 – ∫ (1 −

sin x

π

1

du = dx
 u = ln x



x
⇒
Đặt: 
1
dv = x3 dx v = − 1
2x 2


1

2

0

ln x
dx
x3

Khi đó: I = −

∫ (e
0

1

 u = ln x du = dx
⇒
x
Đặt: 
dv = dx v = x

e e
Khi đó: I = x ln x − ∫ dx
1 1
e
= elne – 1.ln1 – x = e – (e – 1) = 1
1
e2

2

π
π
π
= sin – 0sin0 + cos x 2
2
2
0
π
π

π
+ cos – cos0 = – 1
2
2
2
π
π
Vậy: I = I1 + I2 = e – 1 + – 1 = e – 2 +
2
2
=

1
)dx
1+ x

1

x
b) I = ∫ 2x(e − x)dx

1
0

0

1

1

2
= ∫ 2xe dx − ∫ 2x dx = I1 – I2

= ln2 – [1 – ln2 – (0 + ln1)] = 2ln2 – 1

x

0

0

1

e

x
* Tính I1 = ∫ 2xe dx

d) I = ∫ (4x + 1) ln xdx

0

1

19


u = 2x
du = 2dx

t:

x
x
dv = e dx v = e
1
x 1
x
x 1
Khi ú: I1 = 2xe 2 e dx = 2e 2e
0 0
0
= 2e (2e 2e0) = 2e 2e + 2 = 2
1
1
2 31 2
2
2
* Tớnh I2 = 2x dx = 2 x dx = x =
3 0 3
0
0

VII. NG DNG CA TCH PHN
1. Phng phỏp:
Ghi nh
1. Din tớch hỡnh phng:
a) Dng 1:
Din tớch hỡnh thang cong gii hn bi cỏc
y = f(x) lieõn tuùc treõn [a; b]

ng: y = 0 (truùc hoaứnh 0x)

2 4
=
3 3
BI TP T LUYN
Bi 1: Tớnh cỏc tớch phõn sau:

x = a; x = b


Vy: I = I1 I2 = 2



c)

2

b) 2x cos xdx (4)
0





4

d)



x cos 2xdx ( 8 4 )

1
HD: sinxcosx = sin2x
2


e) x sin x cos xdx ( )
8
0


2



5

6

a

b

b

a

a



b) Dng 2:
Din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc
y = f(x) lieõn tuùc treõn [a; b]

0

g)

a

thỡ S = f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx

(x 1) cos xdx ( 2 2)


b

+ Nu (*) cú 1 nghim [a; b]

0

2

b

thỡ S = f(x)dx = f(x)dx

1

x sin 2xdx ( 4 )
0

f)

a

* Cỏch tớnh din tớch:
B.1: Gii p. trỡnh: f(x) = 0 (*)
B.2: + Nu (*) VN hoc (*) cú n0 [a; b]



2


a) x cos xdx ( 1)
2
0

b

l S = f(x)dx



(2 x)sin 3xdx ( 9 )

ng: y = g(x) lieõn tuùc treõn [a; b]

0

Bi 2: Tớnh cỏc tớch phõn sau:
2

x
2
a) xe dx (e + 1)
0

b

1

1 2
2x
b) xe dx ( (e + 1))
4
0

1

l S = f(x)g(x) dx
a

* Cỏch tớnh din tớch:
B.1: Gii p. trỡnh: f(x) g(x) = 0 (**)
B.2: + Nu (**) VN hoc (**) cú n0 [a; b]

1

e 1
2x 1
x
c) xe dx ( + )
d) (x + 1)e dx (e)
4 4e
0
0
Bi 3: Tớnh cỏc tớch phõn sau:
e
e2 1
x
ln
xdx
(
+ )
a)
4

4
1

2

ln x
15 ln 2
dx (

)
5
x
256 64
1
Bi 3: Tớnh cỏc tớch phõn sau:



x(2 + sin x)dx (
0

e

1


c) (e
0

cos x

b

a



2. Bi tp mu:
Bi 1: Tớnh din tớch hỡnh phng c gii hn
bi th ca hm s y = x3, trc honh v hai
ng thng x = 1, x = 2.
Gii: Ta cú: x3 = 0 x = 0 [ 1; 2]
Din tớch hỡnh phng l:

2
+ 1)
4

3
b) 2x(3x + ln x)dx (2e +

a

Chỳ ý: Nu cha cú 2 cn thỡ tỡm 2 cn bng
cỏch:
a) Gii PT: f(x) = 0 hoc g(y) = 0
x = a; x = b hoc y = a; y = b
b) Gii PT: f(x) = g(x) x = a; x = b

1
c) (2x 1) ln xdx (2 ln 2 )
2
1

2

a

S = [ f(x) g(x)] dx + [ f(x) g(x)] dx

2

a)

b

+ Nu (**) cú 1 n0 [a; b] thỡ

17
b) (3x + 2) ln xdx (10 ln 2 )
4
1



b

thỡ S = f(x)g(x) dx = [ f(x) g(x)] dx

2

d)

x = a; x = b


e2 3
)
2 2

2

1
+ x)sin xdx (e + )
e

S=

x

1

20

3

dx =

0

2

x dx + x dx

1

3

0

3


x4 0
x4 2
1
1
17
+
= 0− + 4−0 = +4 =
=
4 −1 4 0
4
4
4
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y = 5x4 + 3x2 + 3, y = 0, x = 0, x = 3
Giải: Ta có: 5x4 + 3x2 + 3 = 0: VN

Diện tích hình phẳng là:
3

S=

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y = – x2 + 6x – 8, tiếp tuyến tại điểm
I(3; 1) và trục tung 0y (x = 0)
Giải: PTTT tại điểm I(3; 1) có dạng:
y = y′ (x0)(x – x0) + y0
* y′ = – 2x + 6 ⇒ y′ (x0) = y′ (3) = 0
Vậy: PTTT cần tìm là: y = 1
Ta có: – x2 + 6x – 8 = 1
⇔ – x2 + 6x – 9 = 0 ⇔ x = 3
Diện tích hình phẳng là:

3

5x 4 + 3x 2 + 3dx = ∫ (5x 4 + 3x 2 + 3)dx

∫
0

0

1
= 1+1+ 3 − 0 = 5
0
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y = x2 – 4x + 4, y = 0, x = 1, x = 3

Giải: Ta có: x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2 ∈ [1; 3]
Diện tích hình phẳng là:
5
3
= (x + x + 3x)

3

S=

∫x

2

3

S=

0

3
x
+ 3x 2 − 9x) = −9 − 0 = 9
0
3
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y2 – 2y + x = 0 và x + y = 0
Giải: * y2 – 2y + x = 0 ⇔ x = – y2 + 2y
*x+y=0 ⇔x=–y
y = 0

Ta có: – y2 + 2y = – y ⇔ – y2 + 3y = 0 ⇔ 
y = 3
Diện tích hình phẳng là:

− 4x + 4dx

=

∫ (x

2

− 4x + 4)dx +

1

= (

3

∫ (x

2

− 4x + 4)dx

2

2
3

x3
x3
− 2x 2 + 4x) + ( − 2x 2 + 4x)
1
2
3
3

3

S=

8 7
8 1 1 2
− + 3− = + =
3 3
3 3 3 3
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y = x3 – 3x + 2, x – y + 2 = 0,
x = – 1, x = 2
Giải: x – y + 2 = 0 ⇔ y = x + 2
Ta có: x3 – 3x + 2 = x + 2
x = 0
⇔ x3 – 4x = 0 ⇔  x = 2
 x = −2∉ [−1; 2]
=

S=

∫

x 3 − 4x dx =

−1

= (

0

2

−1

0

S=

∫
0

= (

3

−y 2 + 3y dx = ∫ (−y 2 + 3y)dx
0

y 3 3y 2 3 9
9
+

) = −0 =
3
2 0 2
2
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
1 2
1 2
các đường: y = − x và y = x − 3x
4
2
1 2 1 2
Giải: Ta có: − x = x − 3x
4
2
x = 0
⇔ 3x2 – 12x = 0 ⇔ 
x = 4
Diện tích hình phẳng là:
4
4
1 2 1 2
3 2
S = ∫ − x − ( x − 3x)dx = ∫ (− x + 3x)dx
4
2
4
0
0

3

3
∫ (x − 4x)dx + ∫ (x − 4x)dx

0
2
x4
x4
− 2x 2 )
+ ( − 2x 2 )
−1
0
4
4

x 3 3x 2 4
) = 8−0 = 8
= (− +
4
2 0
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
x
các đường: y =
, trục hoành Ox (y = 0) và
x +1
x=1
x
Giải: Ta có:
=0 ⇔x=0
x +1
Diện tích hình phẳng là:

1
1
x
1
dx
=
(1 −
)dx
S= ∫
∫
x
+
1
x
+
1
0
0

3

x(x − 3)2 dx = ∫ (x3 − 6x 2 + 9x)dx
0

x
9x 3 27
27
− 2x3 +
) =
−0 =

4
2 0
4
4
4

3

= (−

7
7
23
= − − 0 + −4 − 0 = + 4 =
4
4
4
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y = x(x – 3)2 và trục hoành
x = 0
x = 0
⇔
Giải: Ta có: x(x – 3)2 = 0 ⇔ 
x − 3 = 0
x = 3
Diện tích hình phẳng là:
3

∫
0

Diện tích hình phẳng là:
2

0

= (−

1

2

∫

3

−x 2 + 6x − 9dx = ∫ (− x 2 + 6x − 9)dx

2

= (x − ln x + 1)

21

1
= 1 − ln 2 − (0 − ln1) = 1 − ln 2
0


x = 0

⇔ x(x3 – 8) = 0 ⇔ 
x = 2

Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
ln x
các đường: y = 2 , y = 0 và x = 1, x = e
x
ln x
Giải: Ta có: 2 = 0 ⇔ lnx = 0
x
⇔ x = e0 = 1 ∈ [1; e]
Diện tích hình phẳng là:
e
e
ln x
ln x
S = ∫ 2 dx = ∫ 2 dx
x
x
1
1

* Từ y2 = 2x ⇒ y =

3

x 2 1 x3 2
2 2. x3 x3 2
− )
= ( 2. − . ) = (

3 2 3 0
3
6 0
2
4
4
= −0 =
3
3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường:
125
a) y = x2 – 2, y = – 3x + 2 (
)
6
1192
b) y = x4 + 2x2 + 3, y = 0, x = – 1, x = 3 (
)
15
c) y = x2 – 12x + 36, y = 6x – x2 (9)
9
d) y = x2, y = x + 2 ( )
2
9
e) y = x2 – 4x + 3, y = – x + 3 ( )
2
27
f) y = – x3 + 3x2, y = 0 (
)

4
31
g) y = 2x2 – x2, y = x – 2, x = – 2, x = 1 ( )
6
27
h) y = x3 – 6x2 + 9x, trục hoành (
)
4
27
i) y = 2x3 + 3x2 – 1, trục hoành (
)
32
x4
3
16 3
j) y =
)
− x 2 − , trục hoành (
2
2
5
16
k) 2x + 1 – y2 = 0, x – y – 1 = 0 ( )
3
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường:
a) y = lnx, y = 0, x = e (1)
ln x − 1
1
b) y =

, y = 0, x = 1, x = e ( )
x
2
3π
c) y = cosx, y = 0, x = 0, x =
(3)
2

ln x
dx
2
x
1

∫

1

du = dx
 u = ln x



x
⇒
Đặt: 
1
dv
=
dx


v = − 1
x2

x
e
e
1
1
Khi đó: S1 = − ln x + ∫ 2 dx
1 1x
x
1
1e
1 1
2
= − − ( − 1) = − + 1
= − ln e − (−1ln1) −
e
x1
e e
e
Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y = x + sin2x, y = x và x = 0, x = π
Giải: x + sin2x = x ⇔ sin2x = 0 ⇔ sinx = 0
⇔ x = kπ ( k ∈ ¢ )
Mà x ∈ [0; π ] ⇒ x = 0, x = π
Diện tích hình phẳng là:
π
π

π
1
2
2
sin
xdx
=
sin
xdx
=
(1 − cos 2x)dx
S= ∫
∫
∫
2
0
0
0
π π
1
1
π
(x − sin 2x) = − 0 =
0 2
2
2
2
Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y = sin2x, y = 0 và x = 0, x = π
kπ

Giải: sin2x = 0 ⇔ 2x = k π ⇔ x =
( k ∈¢ )
2
π
Mà: x ∈ [0; π ] ⇒ x =
2
Diện tích hình phẳng là:
=

π

S=

π

2

π

∫ sin 2x dx = ∫ sin 2xdx + ∫ sin 2xdx
0

0

π

x2
2

Diện tích hình phẳng là:

2
2 1
2
x2
1 2
2
2x
−
dx
=
2
x
dx
−
x dx
S= ∫
∫
∫
2
2
0
0
0

e

* Tính S1 =

2x , 2y = x2 ⇒ y =

2

π
π
1
1
= − cos 2x 2 + − cos 2x π
2
2
0
2
1
1
1
1
= − (− ) + − (− ) = 1 + 1 = 2
2
2
2
2
Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường: y2 = 2x, x2 = 2y
x ≥ 0
Giải: Điều kiện: 
y ≥ 0
2
Ta có: x = 2y ⇔ x4 = 4y2 = 8x ⇔ x4 – 8x = 0

x

d) y = xe 2 , y = 0, x = 0, x = 1 ( 4 − 2 e )
e) y = ex, y = 2, x = 1 (e – 4 + 2ln2)
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường:

22


4x3
x5 2
16
16
x4 + ) = ( 0 ) =
3
5 0
15
15
Bi 2: Tớnh th tớch ca vt th trũn xoay sinh
ra bi hỡnh phng gii hn bi cỏc ng:
y = sinx, trc honh Ox v x = 0, x =
Gii: Ta cú: sinx = 0 k ( k  )
M: x [0; ] x = 0, x =
Th tớch vt th l:



2
V = sin xdx = (1 cos 2x)dx
20
0

a) (C): y = x2 2x + 2, tip tuyn ca (C) ti im
32
M(3; 5) v trc tung (
)
3
x2 4
b) y = 2x,y =
( )
2 3
Bi 4: Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi cỏc
ng:
x 2 2x 15
a) y =
, 2 trc ta (y = 0, x = 0)
x 3
2x 4
b) y =
, y = 0, x = 3 (8ln5 ln4 2)
x+2

= (

2

1
(x

sin
2x)

=
=
0 2
2
2
Bi 3: Tớnh th tớch ca vt th trũn xoay sinh
ra bi hỡnh phng gii hn bi cỏc ng:
4
y=
, y = 0 v x = 0, x = 2, quay quanh
x4
trc Ox
Gii: Th tớch vt th l:

2. Th tớch vt th trũn xoay:
a) Dng 1:
Th tớch vt th trũn xoay do hỡnh thang
y = f(x)



cong: y = 0 (truùc hoaứnh 0x)

x = a; x = b vaứ quay quanh truùc 0x

b

b) Dng 2:
Th tớch vt th trũn xoay do hỡnh thang
cong:

x = f(y)

16 2
= 8 4 = 4
x4 0
0
Bi 4: Tớnh t.tớch ca vt th trũn xoay sinh ra
2

2
= 16 (x 4) dx =


x = 0 (truùc tung 0y)
y = a; y = b vaứ quay quanh truùc 0y


1

1

a

c) Dng 3: Th tớch vt th trũn xoay do hỡnh
phng:
y = f(x)

2

2

1

x
* Tớnh V1 = xe dx
1

u = x
du = dx

t:

x
x
dv = e
v = e
2
x 2
x
Khi ú: V1 = xe e dx
1 1
x 2
= 2e2 e e = 2e2 e e2 + e = e2
1

Vy: V = V1 = e2
Bi 5: Tớnh t.tớch ca vt th trũn xoay sinh ra
4
bi h. phng gii hn bi cỏc ng: y = ,
x

y = x + 5, quay quanh trc Ox
4
Gii: Ta cú: = x + 5 x2 5x + 4 = 0
x
x = 1

x = 4

Chỳ ý: Nu cha cú 2 cn thỡ tỡm 2 cn bng
cỏch:
a) Gii PT: f(x) = 0 hoc g(y) = 0
x = a; x = b hoc y = a; y = b
b) Gii PT: f(x) = g(x) x = a; x = b
Bi 1: Tớnh th tớch ca vt th trũn xoay sinh
ra bi hỡnh phng gii hn bi cỏc ng:
y = 2x x2, y = 0 v quay quanh trc Ox
x = 0
Gii: Ta cú: 2x x2 = 0
x = 2
Th tớch vt th l:
0

1

2

l V = f (x) g (x) dx
a

0

1

1

2

2

1

2
x
V = (x 2 e 2 ) dx = xe dx = V1


y = g(x)
x = a; x = b vaứ quay quanh 0x


2

x

Gii: Ta cú: x 2 e 2 = 0 x 2 = 0
x = 0 x = 0 [1; 2]
Th tớch vt th l:

2

2

x

bi h. phng gii hn bi cỏc ng: y = x 2 e 2 ,
y = 0 v x = 1, x = 2, quay quanh trc Ox

thỡ V = f (y)dy

b

2

16
4
dx
V =
ữ dx =
x4
(x 4)2
0
0

a

b

2

2

2

l V = f (x)dx

2 2
2
3
4
V = (2x x ) dx = (4x 4x + x )dx

23


b) y = 4 – x2, y = 2 + x2 (24 π )

Thể tích vật thể là:
4

4

4
x

4
x

2
2
2

2
V = π ∫ ( ) − (−x + 5) dx = π ∫ [( ) − (−x + 5) ]dx
1

4

= π ∫(
1

1

----------------------------------------------------

16
− x 2 + 10x − 25)dx
x2

VIII. SỐ PHỨC
1. Phương pháp:

4
16 x3
2
= π (− − + 5x − 25x)
1
x 3

Các công thức cần nhớ
1. Cho số phức: z = a + bi, trong đó:
a: phần thực, b: phần ảo

và đơn vị ảo: i2 = -1
2. Hai số phức bằng nhau:
a = c
a + bi = c + di ⇔ 
b = d

136
109
− (−
) = 9π
3
3
Bài 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh
ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường:
x+2
y=
, y = 0, x = 3, x = 5, quanh trục Ox
x −1
Giải: Thể tích vật thể là:
= =π−

5

2

5

3. Môđun của số phức: z = a + bi = a2 + b2
4. Số phức liên hợp: z = a – bi

2

3 
 x+2

V = π∫ 
÷ dx = π∫  1 +
÷ dx
x −1 
x −1 
3
3

2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z
a) z = 2 – 3i
Phần thực: a = 2, phần ảo: b = – 3
b) z = 7i
Phần thực: a = 0, phần ảo: b = 7
c) z = 5
Phần thực: a = 5, phần ảo: b = 0
Bài 2: Tìm môdun của các số phức sau:
a) z = – 2 + i 3

5


6
9 
+

dx
= π∫  1 +
x − 1 (x − 1)2 ÷

3
9 5

= π  x + 6 ln x − 1 −
÷
x −1  3

9
9
= π [5 +6ln4 – – (3 + 6ln2 – )]
4
2
17
= π( + 6 ln 2)
4
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra
bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường và quay
quanh trục Ox:
16π
a) y = 1 – x2, y = 0 (
)
15
23π
b) y = 1 + x3, y = 0, x = 0, x = 1 (
)

14
4
c) y =
, y = 0, x = 0, x = 2 ( 4π )
x−4
d) y = x. e x , y = 0, x = 1, x = 2 (e2)
3
e) y = 2x ln x , y = 0, x = 1, x = 2 ( π(4 ln 2 − ) )
2
x
π
f) y = sin , y = 0, x = 0, x =
( π( 2 − 2) )
2
4
π
π 1
g) y = sinx, y = 0, x = 0, x =
( π( − ) )
8 2
4
π
π 1
h) y = cosx, y = 0, x = 0, x =
( π( + ) )
8 2
4
i) y = lnx, y = 0, x = e (e – 2)
Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra
bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường và quay

quanh trục Ox:
162π
a) y = x2, y = 3x (
)
5

⇒ z = −2 + i 3 = (−2)2 + ( 3)2 = 7
b) z = 2 − 3i
⇒ z =

2 − 3i = ( 2)2 + (−3)2 = 11

c) z = – 5 ⇒ z = −5 = 5
d) z = i 3 ⇒ z = i 3 = (0)2 + ( 3)2 = 3
Bài 3: Tìm số phức liên hợp của số phức sau:
a) z = 4 – 2i ⇒ z = 4 + 2i
b) z = 1 – i 2 ⇒ z = 1 + i 2
c) z = 3 ⇒ z = 3
d) z = 7i ⇒ z = – 7i
Bài 4: Tìm các số thực x và y, biết:
a) (3x – 2) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i
b) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i
c) (2x + y) + (2y – x)i = (x –2y + 3) + (y +2x + 1)i
Giải:
3x − 2 = x + 1
3x − x = 1 + 2
⇔
a) Ta có: 
2y + 1 = −(y − 5)
2y + 1 = −y + 5


3
x=

2x = 3
x =

⇔
⇔
2 ⇔
2y + y = 5 − 1 3y = 4
y =



24

3
2
4
3


4 + 7i 4 7
= + i
13
13 13
b) 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) = 32 + 13i
5 + 4i
(4 − 3i)(3 + 6i) + (5 + 4i)

c) 4 − 3i +
=
3 + 6i
3 + 6i
35 + 19i (35 + 19i)(3 − 6i)
=
=
3 + 6i
(3 + 6i)(3 − 6i)
219 − 153i 219 153
=
−
i
=
45
45 45
Bài 9: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z
a) z = (0 – i) – (2 – 3i) + (7 + 8i)
= 5 + 10i
Vậy: Phần thực: a = 5, phần ảo: b = 10
(6 − i)(3 − 2i)
6−i
b) z =
=
(3 + 2i)(3 − 2i)
3 + 2i
16 − 15i 16 15
= − i
=
13

13 13
16
15
Vậy: Phần thực: a =
, phần ảo: b = −
13
13
c) z = (7 – 3i)2 – (2 – i)2 = 37 – 38i
Vậy: Phần thực: a = 37, phần ảo: b = – 38
Bài 10: Tìm môđun của số phức z
−8 − 3i (−8 − 3i)(1 + i)
a) z =
=
(1 − i)(1 + i)
1−i
−5 − 11i
5 11
=− − i
=
2
2 2
5 11
5
11
73
Suy ra: z = − − i = (− )2 + (− )2 =
2 2
2
2
2

b) z = (4 – 2i) + (1 + 4i) – 3i = 5 – i

1 − 2x = 5
−2x = 5 − 1
⇔
b) Ta có: 
 − 3 = 1 − 3y
3y = 1 + 3

5 −1
x =

−2
⇔
y = 1 + 3

3
2x + y = x − 2y + 3 x + 3y = 3
⇔
c) Ta có: 
2y − x = y + 2x + 1
−3x + y = 1
x = 0
⇔
y = 1
Bài 5: Trên mp tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu
diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) z = 1
b) z + 2 ≤ 3
Giải: a) Cho z = x + iy, ta có:

2
2
z = 1 ⇔ x + iy = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1

=

Vậy: Tập hợp các số phức của mặt phẳng tọa độ là
phương trình đường tròn bán kính bằng 1 và có
tâm là (0; 0)
b) Cho z = x + iy, ta có:
2

2

z + 2 ≤ 9 ⇔ x + iy + 2 ≤ 9
2

⇔ (x + 2) + iy ≤ 9 ⇔ (x + 2) 2 + y 2 ≤ 9
Vậy: Tập hợp các số phức của mặt phẳng tọa độ là
phương trình hình tròn bán kính bằng 3 và có tâm
là (– 2; 0) (kể cả biên của hình tròn)
Ghi nhớ
Cộng – Trừ số phức bằng máy tính bỏ túi
VD: Tính: (2 + 3i) + (– 5 + 7i)
1) 570MS: MODE 2
Ấn: (2 + 3 SHIFT i ) + (– 5 + 7 SHIFT i)
= – 3 (phần thực)
Ấn tiếp: SHIFT (Re Im) 10.i (phần ảo)
Vậy: (2 + 3i) + (– 5 + 7i) = – 3 + 10i
2) 570ES: MODE 2

Ấn: (2 + 3 SHIFT i ) + (– 5 + 7 SHIFT i)
= – 3 + 10i

Suy ra: z = 5 − i = (5)2 + (−1)2 = 26
Bài 11: Tìm nghịch đảo

1
của số phức z, biết:
z

a) z = 1 + 2i
1
1
1 − 2i
=
Suy ra: =
z 1 + 2i (1 + 2i)(1 − 2i)
1 − 2i 1 2
= − i
=
5
5 5
b) z = 2 – 3i
1
1
2 + 3i
=
Suy ra: =
z
2 − 3i ( 2 − 3i)( 2 + 3i)

Bài 6: Thực hiện các phép tính sau:
a) (3 – 5i) + (2 + 4i) = 5 – i
b) (– 2 – 3i) + (– 1 – 7i) = –3 – 10i
c) 5 + 2i – 3(– 7 + 6i) = 26 – 16i
Bài 7: Thực hiện các phép tính sau:
a) ( 3 – 2i)(2 – 3i) = – 13i
1
3 3
b) (2 − i 3)( + i 3) = 4 +
i
2
2
c) (2 + 3i)2 = – 5 + 12i
Bài 8: Thực hiện các phép tính sau:
(2 + i)(3 + 2i)
2+i
a)
=
(3 − 2i)(3 + 2i)
3 − 2i

2 + 3i
2 3
=
+ i
11
11 11
Bài 12: Giải các phương trình sau:
a) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i

⇔ (3 – 2i)z = 7 + 3i – (4 + 5i)
⇔ (3 – 2i)z = 3 – 2i
3 − 2i = 1
⇔ z=
3 − 2i
b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
⇔ (1 + 3i)z – (2 + i)z = 2 + 5i
⇔ (– 1 + 2i)z = 2 + 5i
=

25