Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ đề phép biến hình bằng nhiều cách

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
---------------------

ĐỖ THỊ HẬU

HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI
TOÁN THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH
BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Hà Nội, 2016


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
---------------------

ĐỖ THỊ HẬU

HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI
TOÁN THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH
BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. ĐÀO THỊ HOA

Hà Nội, 2016


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Đào Thị Hoa
đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ phƣơng pháp
giảng dạy, ban chủ nhiệm khoa Toán và các bạn sinh viên trong khoa đã tạo
điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận này.
Em xin trân trọng cảm ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Đỗ Thị Hậu


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình học tập, nghiên cứu và nỗ lực của
bản thân em dƣới sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo, đặc biệt là sự chỉ bảo,
hƣớng dẫn tận tình của cô giáo Đào Thị Hoa.
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải bài
toán thuộc chủ đề phép biến hình bằng nhiều cách” không có sự trùng lặp với
các khóa luận khác và kết quả thu đƣợc trong đề tài này là hoàn toàn xác thực.
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên
Đỗ Thị Hậu


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ...............................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ..........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...............................................................2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ..............................................................................2
6. Giả thuyết khoa học ......................................................................................2
7. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................3
NỘI DUNG ..........................................................................................................4
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN ...........................................................................4
1.1. Khái niệm bài toán và lời giải bài toán.....................................................4
1.2. Vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học...............................4
1.3. Phân loại bài toán.......................................................................................6
1.4. Phƣơng pháp chung để giải bài toán. .......................................................7

CHƢƠNG 2. HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI CÁC BÀI
TOÁN THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH BẰNG NHIỀU CÁCH..........12
2.1. Mục tiêu dạy học các bài toán về phép biến hình ..................................12
2.2. Những kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặt phẳng. ..............12
2.3. Một số sai lầm thƣờng gặp khi giải các bài toán thuộc chủ đề phép
biến hình trong mặt phẳng. .............................................................................20
2.4. Một số khó khăn khi tổ chức hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải các
bài toán thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng. ...............................22
2.5. Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ đề các phép
biến hình bằng nhiều cách. .............................................................................23


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

2.6. Đánh giá chất lƣợng các cách hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải bài
toán thuộc chủ đề phép biến hình. .................................................................61
KẾT LUẬN .........................................................................................................64
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................65
PHỤ LỤC ............................................................................................................66


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết 29-NQ/TW của Hội nghị trung ƣơng 8 khoá IX về đổi mới căn

bản toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ ra mục tiêu chung của giáo dục hiện
nay là “Tạo chuyển biến căn bản, mạnh mẽ về chất lƣợng, hiệu quả giáo dục,
đào tạo; đáp ứng ngày càng tốt hơn công cuộc xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và
nhu cầu học tập của nhân dân. Giáo dục con ngƣời Việt Nam phát triển toàn
diện và phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; yêu
gia đình, yêu Tổ quốc, yêu đồng bào; sống tốt và làm việc hiệu quả. Xây dựng
nền giáo dục mở, thực học, thực nghiệp, dạy tốt, học tốt, quản lý tốt; có cơ
cấu và phƣơng thức giáo dục hợp lý, gắn với xây dựng xã hội học tập;”
Trong trƣờng Phổ thông, môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực
hiện mục tiêu chung của giáo dục. Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh
kiến tạo tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn có tác
dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, đồng thời là công cụ để học
các môn học khác.
Trong các phân môn của Toán học thì Hình học là một môn học có tính hệ
thống rất chặt chẽ, có tính lôgic và có tính trừu tƣợng cao hơn so với các môn
học khác, có thể nói hình học là môn học khó đối với nhiều học sinh, đặc biệt
là phần phép biến hình ở lớp 11. Việc giải quyết một bài toán về phép biến
hình không hề đơn giản, học sinh không chỉ phải nắm vững kiến thức cơ bản
mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo và cần phải thực hành nhiều.
Tuy nhiên, trên thực tế đa phần học sinh nắm không chắc kiến thức về chủ đề
này và chƣa biết cách áp dụng lí thuyết vào bài tập. Khi dạy học chủ đề này
giáo viên cũng gặp không ít khó khăn trong việc diễn đạt và trình bày cho học
sinh hiểu. Để giúp bản thân vƣợt qua các khó khăn trong quá trình dạy học,
giúp học sinh có cái nhìn toàn diện và sâu sắc hơn về chủ đề phép biến hình,

1


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

đồng thời góp phần nhỏ bé vào công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục
và đào tạo, em chọn nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài
toán thuộc chủ đề phép biến hình bằng nhiều cách”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng nhiều cách giải cho các bài tập thuộc chủ đề “phép biến hình
trong mặt phẳng” nhằm nâng cao chất lƣợng, hiệu quả dạy và học chủ đề này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc giải toán.
 Hệ thống các kiến thức cơ bản, các dạng bài tập và phƣơng pháp
giải tƣơng ứng.
 Xây dựng các cách hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải các bài toán
thuộc chủ đề phép biến hình.
 Xin ý kiến chuyên gia về chất lƣợng của nhiều cách hƣớng dẫn khác
nhau cho cùng một bài toán thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt
phẳng.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
 Đối tƣợng nghiên cứu: các bài toán về phép biến hình trong mặt
phẳng
 Phạm vi nghiên cứu: chƣơng trình Toán lớp 11
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận
 Quan sát điều tra
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng và sử dụng đƣợc nhiều cách hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải
bài toán thuộc chủ đề “phép biến hình” phù hợp với trình độ học sinh thì sẽ
nâng cao chất lƣợng dạy và học chủ đề này, góp phần phát triển năng lực giải
bài tập cho học sinh.

2


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài các phần: mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận gồm 2
chƣơng sau:
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận.
Chƣơng 2. Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ đề phép
biến hình bằng nhiều cách.

3


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Khái niệm bài toán và lời giải bài toán
1.1.1. Khái niệm bài toán
Theo GPOLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách
có ý thức các phƣơng tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông
thấy rõ ràng, nhƣng không thể đạt đƣợc ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của GPOLYA cho ta thấy rằng: Bài
toán là sự đòi hỏi phải đạt tới đích nào đó. Nhƣ vậy, bài toán có thể đồng nhất

với một số quan niệm khác nhau về bài toán nhƣ đề tài, bài tập,…[3]
1.1.2. Khái niệm lời giải bài toán
Lời giải bài toán đƣợc hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện
để đạt tới mục đích đặt ra. Nhƣ vậy, ta thống nhất lời giải, bài toán, cách giải,
đáp án của bài toán. [3]
Một bài toán có thể có một lời giải, không lời giải hoặc nhiều lời giải.
Giải một bài toán đƣợc hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời
giải của bài toán trong trƣờng hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải đƣợc bài
toán không giải đƣợc trong trƣờng hợp nó không có lời giải. [3]
1.2. Vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều căn bản là
bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài tập,
học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và
thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, những hoạt động Toán
học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt
động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ. [5]
Vai trò của bài tập toán học đƣợc thể hiện trên ba bình diện: Mục tiêu, nội
dung và phƣơng pháp dạy học.

4


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

1.2.1. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện mục tiêu dạy học
Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học là giá mang những
hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu.
Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hƣớng đến

việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:
- Hình thành củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của
quá trình dạy học, kể cả những kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;
- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tƣ duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ;
- Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
đạo đức của ngƣời lao động mới. [5]
Ví dụ: Khi giải bài toán: “Chứng minh rằng tổng các góc trong một tứ giác
bằng 360°”, học sinh đƣợc củng cố kiến thức cũ, đó là tổng ba góc trong một
tam giác bằng 180°. Vậy thì làm thế nào để xuất hiện tam giác ở đây? Việc kẻ
thêm đƣờng chéo sẽ giúp ta giải quyết vấn đề. Qua hoạt động tìm tòi trên đã
giúp rèn cho học sinh thao tác tƣ duy, quy lạ về quen, linh hoạt vận dụng tri
thức sẵn có.
1.2.2. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện nội dung dạy học
Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội
dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày
trong phần lí thuyết. [5]
Ví dụ: Khi học xong về phƣơng trình đƣờng thẳng, khoảng cách và góc (lớp
10), giáo viên đƣa bài tập viết phƣơng trình đƣờng phân giác ∆ của 1 góc
đƣợc tạo bởi 2 đƣờng thẳng d: ax + by +c = 0 và d’: a’x + b’y + c’ = 0. Để
giải bài toán này học sinh phải xây dựng phƣơng trình đƣờng phân giác dựa
vào khoảng cách:

5


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

Khoảng cách từ một điểm M = (x; y) bất kì nằm trên ∆ tới d và d’ là
bằng nhau, do vậy ta có:
|ax + by + c| |ax' + b'y + c'|
ax + by + c
ax' + b'y + c'
=

=
*
a 2 + b2
a'2 + b'2
a 2 + b2
a'2 + b'2

Về sau ta chỉ việc áp dụng công thức (*) mà không cần xây dựng lại
nữa. Nhƣ vậy bài toán trên đã bổ sung thêm kiến thức về phần lí thuyết
phƣơng trình đƣờng thẳng.
1.2.3. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện phƣơng pháp dạy học
Trên bình diện phƣơng pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt
động để ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực
hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập nhƣ vậy sẽ góp
phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác,
tích cực, chủ động và sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lƣu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,... [5]
Ví dụ: Bài tập trong đề kiểm tra 45’ nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và
học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh sau một quá
trình học tập.

1.3. Phân loại bài toán
Ngƣời ta phân loại các bài toán theo nhiều cấp khác nhau để đạt đƣợc
mục đích nhất định, thƣờng là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
1.3.1. Phân loại theo hình thức bài toán
Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã đƣợc đƣa ra
một cách rõ ràng trong đề bài toán.
Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chƣa có sẵn trong
đề bài toán. [3]

6


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

1.3.2. Phân loại theo phƣơng pháp giải toán
Ngƣời ta căn cứ vào phƣơng pháp giải bài toán: Bài toán này có angorit
giải hay chƣa để chia các bài toán thành hai loại:
Bài toán có angorit giải: Là bài toán mà phƣơng pháp giải của nó theo
một angorit nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó.
Bài toán không có angorit giải: Là bài toán mà phƣơng pháp giải của nó
không theo một angorit nào đó hoặc không mang tính chất angorit nào. [3]
1.3.3. Phân loại theo nội dung bài toán.
Ngƣời ta căn cứ vào nội dung của bài toán đƣợc phát biểu theo thuật
ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành
các loại khác nhau nhƣ sau:
Bài toán số học
Bài toán đại số
Bài toán hình học [3]

1.3.4. Phân loại theo ý nghĩa giải toán
Ngƣời ta dựa vào ý nghĩa của việc giải toán để phân loại bài toán: Bài
toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ năng nào đó
hay là bài toán nhằm phát triển tƣ duy. Ta có hai loại bài toán nhƣ sau:
Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau
khi học một hay một vài kiến thức cũng nhƣ kĩ năng đó.
Bài toán phát triển tƣ duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các
kiến thức cũng nhƣ kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tƣ duy
phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo. [3]
1.4. Phƣơng pháp chung để giải bài toán.
Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng những gợi ý chi tiết của Polya
về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm thực tiễn trong dạy học, có
thể nêu lên phƣơng pháp giải toán nhƣ sau:

7


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
 Phát biểu đề bài dƣới những dạng hình thức khác nhau để hiểu nội
dung bài toán.
 Phân biệt cái đã có với cái phải tìm, phải chứng minh.
 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề
bài.
Bƣớc 2: Tìm cách giải
 Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã có, biến đổi cái cần phải tìm hay phải chứng minh, liên

hệ cái đã có đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ
bài toán cần giải với một bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng,
một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử
dụng các phƣơng pháp đặc thù với từng dạng toán nhƣ phản chứng, quy
nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích....
 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt
hoá kết quả đạt đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên
quan,...
 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải
hợp lí nhất.
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng
trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớc đó.
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả cho lời giải.
 Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn
đề.[5]

8


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ: Hƣớng dẫn học sinh giải bài toán sau
“Chứng minh rằng tam giác có tâm đƣờng tròn ngoại tiếp trùng tâm
đƣờng tròn nội tiếp là tam giác đều.”

Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Bài toán này có thể đƣợc phát biểu cụ thể nhƣ sau: Cho tam giác ABC.
I là đồng thời là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Gọi D,
E, F lần lƣợt là chân đƣờng cao hạ từ I tới AB, BC, CA. Chứng minh rằng
tam giác ABC đều.
Bƣớc 2: Tìm cách giải
Giáo viên: Có những cách nào để chứng minh tam giác ABC là đều?
Học sinh: có 3 cách
Cách 1: Chứng minh tam giác ABC có 3 cạnh bằng nhau.
Cách 2: Chứng minh tam giác ABC có 3 góc bằng nhau.
Cách 3: Chứng minh tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°.
Giáo viên: Ở bài toán này chƣa cho yếu tố về góc, do đó để chỉ ra 1 góc nào
đó bằng 60° là khó khăn. Vậy trong ba cách trên ta nên chọn cách 1 (hoặc
cách 2). Giáo viên có thể đƣa ra các câu hỏi hƣớng dẫn theo cách 1 nhƣ sau:
<?1> Chứng minh rằng AD = AF, BD = BE, CE = CF, AD = BD, BE =
EC, AF = FC?
<?2> Chứng minh rằng AB = BC = CA?
Bƣớc 3: Trình bày lời giải

9


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

Gọi I là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp, đồng thời là tâm đƣờng tròn nội tiếp của
tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lƣợt là chân đƣờng cao hạ từ I tới AB, BC, CA.
Dễ thấy ∆ADI = ∆AFI (cạnh huyền – cạnh góc vuông), suy ra AD = AF ( 2
cạnh tƣơng ứng).
Tƣơng tự BD = BE, CE = CF, AD = BD, BE = EC, AF = FC.

Do vậy theo tính chất bắc cầu, ta có AD = DB = BE = EC = CF =FA (1)
Mặt khác AB = AD + DB, BC = BE + EC, AC = AF + FC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA. Vậy tam giác ABC đều (đpcm)
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Giáo viên: Chiều ngƣợc lại của bài toán có đúng không? Hãy giải thích câu
trả lời?
Học sinh: Điều ngƣợc lại “Trong tam giác đều, tâm đƣờng tròn ngoại tiếp
trùng tâm đƣờng tròn nội tiếp” hoàn toàn đúng. Ta có dễ dàng chứng minh
bằng cách xét các tam giác bằng nhau.
Giáo viên: Ta có thể phát biểu bài toán theo hai chiều nhƣ sau: “ Một tam giác
là đều khi và chỉ khi nó có tâm đƣờng tròn ngoại tiếp trùng tâm đƣờng tròn
nội tiếp”.
Giáo viên: (i) Mở rộng bài toán ra đối với tứ giác ta có bài toán sau: “ Một tứ
giác là hình vuông khi và chỉ khi nó có tâm đƣờng tròn ngoại tiếp trùng tâm
đƣờng nội ngoại tiếp”.
(ii) Mở rộng ra trƣờng hợp đa giác lồi: “Một đa giác lồi là đều khi
và chỉ khi nó có tâm đƣờng tròn ngoại tiếp trùng tâm đƣờng tròn nội tiếp.”
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Chƣơng 1 đã thực hiện đƣợc nhiệm vụ 1 đề ra trong khoá luận. Trong
chƣơng này, khóa luận đã hệ thống những vấn đề lí luận về bài toán, lời giải
và phƣơng pháp chung để giải một bài toán. Đó là tiền đề mang tính lí luận

10


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

cho việc xây dựng các cách hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ

đề phép biến hình. Vai trò của lời giải trong quá trình dạy học là cực kì quan
trọng. Chính vì vậy việc xây dựng nhiều lời giải cho một bài toán sẽ giúp cho
học sinh có tƣ duy linh hoạt, cách nhìn đa chiều trong giải bài tập.

11


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

CHƢƠNG 2
HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI CÁC BÀI TOÁN THUỘC
CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH BẰNG NHIỀU CÁCH.
2.1. Mục tiêu dạy học các bài toán về phép biến hình
• Về kiến thức:
Học sinh nắm vững các kiến thức: Định nghĩa phép tịnh tiến và các
tính chất của phép tịnh tiến; Phép dời hình; Phép đối xứng trục; Phép quay;
Phép đối xứng tâm; Hai hình bằng nhau; Phép vị tự; Phép đồng dạng.
• Về kĩ năng:
Học sinh có kĩ năng xác định ảnh của một hình qua các phép biến hình
đã học, biết vận dụng các kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặt phẳng
để giải các bài toán của hình học phẳng nhƣ: Các bài toán liên quan đến quỹ
tích, tập hợp điểm, điểm cố định, dựng hình,...
• Về tƣ duy
Học sinh phát triển đƣợc tƣ duy thuật giải thông qua việc giải các bài
toán hình học phẳng liên quan đến phép biến hình, đƣợc rèn luyện tƣ duy linh
hoạt, sáng tạo khi giải các dạng bài tập khác nhau.
Rèn luyện cho học sinh tính quy củ, tính kế hoạch, cẩn thận, thói quen
tự kiểm tra.

2.2. Những kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặt phẳng.
2.2.1. Phép biến hình
• Định nghĩa
Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác định được duy nhất một điểm M’ thuộc mặt phẳng ấy.
Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
Ta thƣờng kí hiệu phép biến hình là F và viết F(M) = M’ hay M’ = F(M). Nếu
H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm

12


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình
H’, hay hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F.
Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta có thể
chứng minh: Với điếm M tuỳ ý thuộc H thì F(M) thuộc H’ và với mỗi M’
thuộc H’ thì có M thuộc H sao cho F(M) = M’.
Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành chính nó đƣợc gọi là
phép đồng nhất.
2.2.2. Phép tịnh tiến
• Định nghĩa
Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’
sao cho MM '  u
Phép tịnh tiến theo u thƣờng đƣợc kí hiệu là Tu .
Nhƣ vậy Tu (M) = M' MM' = u

M

M’

Nhận xét: Phép tịnh tiến theo 0 là phép đồng nhất
• Tính chất
- Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’
thì M’N’ = MN.
- Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
- Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó,
biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng
nó.
• Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M = (x; y) và vectơ u = (a ; b) . Gọi
 x' = x + a
 y' = y + b

M' (x'; y') = Tu (M) . Khi đó 

13


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

2.2.3. Phép dời hình
• Định nghĩa

Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa
hai điểm bất kì.
• Tính chất
Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường
thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến
tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng
bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
2.2.4. Phép đối xứng trục
• Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho đƣờng thẳng d.
Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d
thành chính nó, biến mỗi điểm M không
thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đƣờng
trung trực của MM’ đƣợc gọi là phép đối
xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng
trục d.
Phép đối xứng qua trục d thƣờng đƣợc kí hiệu là Đd. Nhƣ vậy M’= Đd(M)
 M0M' = -M0M ,với M0 là hình chiếu vuông góc của M trên d.

Đƣờng thẳng d đƣợc gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đd biến H thành
chính nó. Khi đó H đƣợc gọi là hình có trục đối xứng.
• Tính chất
Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất
của phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và

14


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường
thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến
tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng
bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
• Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đƣờng thẳng d. với mỗi điểm M = (x; y),
gọi M’ = Đd(M) = (x’; y’)
x '  x

Nếu chọn d là trục Ox thì 

y '  y
x '  x
y '  y

Nếu chọn d là trục Oy thì 
2.2.5. Phép quay
• Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác  không
đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O
thành điểm M’ sao cho OM = OM’và (OM, OM’) =  được gọi là phép quay
tâm O góc quay  . Kí hiệu Q(O, )  QO .

• Tính chất
Phép quay là phép dời hình nên có đầy đủ các tính chất của phép dời
hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay

đổi thứ tự của ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia

15


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành
tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến
góc thành góc bằng nó.
2.2.6. Phép đối xứng tâm.
• Định nghĩa
Phép đối xứng qua điểm I là một phép biến hình biến mỗi điểm M
thành điểm M’ đối xứng với M qua I, có nghĩa là IM  IM '  0 .
Phép đối xứng tâm I thƣờng đƣợc kí hiệu là ĐI .

• Tính chất
Phép đối xứng tâm là phép dời hình nên có đầy đủ các tính chất của
phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng,
biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác
thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính,
biến góc thành góc bằng nó.
• Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho I = (x0; y0) và M’ = (x’; y’) là ảnh
của M = (x; y) qua phép đối xứng tâm I. Khi đó
 x '  2x 0  x


 y '  2y0  y

2.2.7. Hai hình bằng nhau
Nếu ∆ABC và ∆A’B’C’ là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình
biến tam giác này thành tam giác kia.

16


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

Hai hình H và H’ gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này
thành hình kia.
2.2.8. Phép vị tự
• Định nghĩa
Cho một điểm O cố định và
một số k không đổi, k ≠ 0. Phép
biến hình biến mỗi điểm M thành
M’ sao cho OM  kOM ' được gọi là
phép vị tự tâm O tỉ số k.
• Tính chất
- Phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’ thì
M ' N '  kMN và M’N’=|k|MN.

- Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm
thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.
- Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc
trùng với đường thẳng đó; biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn

thẳng mà độ dài được nhân lên với |k|, biến tam giác thành tam giác đồng
dạng với tỉ số đồng dạng là |k|, biến góc thành góc bằng nó; biến đường tròn
có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R
• Tâm vị tự của hai đƣờng tròn
Là tâm của phép vị tự V biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự ngoài hay tâm vị tự trong tuỳ theo tỉ số vị tự là
dương hay âm.
Hai đường tròn có bán kính khác nhau thì có một tâm vị tự ngoài và
một tâm vị tự trong. Hai đường tròn có bán kính bằng nhau (tâm khác nhau)
thì chỉ có tâm vị tự trong, đó chính là trung điểm đoạn thẳng nối tâm hai
đường tròn.

17


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

2.2.9. Phép đồng dạng
• Định nghĩa
Phép đồng dạng tỉ số k (k>0) là phép biến hình biến hai điểm tuỳ ý M,
N thành hai điểm M’, N’ sao cho M’N’= k.MN.
• Định lí
Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ
số k và một phép dời hình D.
• Tính chất
Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường
thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được

nhân lên với k (k là tỉ số của phép đồng dạng), biến tam giác thành tam giác
đồng dạng với tỉ số k, biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán
kính |k|R, biến góc thành góc bằng nó.
2.2.10. Quan hệ giữa các phép biến hình.
- Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay là
những phép dời hình.
+ Phép tịnh tiến theo vectơ 0 là phép đồng nhất.
+ Phép đối xứng tâm I là phép vị tự tâm I, tỉ số -1.
+ Phép quay với góc quay 360° là phép đồng nhất.
- Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k
và một phép dời hình D.
+ Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
+ Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.
- Ta có sơ đồ sau:

18


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

Phép đồng dạng
Phép
dời
hình

Phép
vị tự

Phép đối xứng tâm

Phép đồng nhất

2.2.11. Một số dạng toán thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng.
Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua một phép biến hình.
Để giải quyết các bài toán dạng này, học sinh cần nắm chắc các kiến
thức cơ bản về các phép biến hình, đặc biệt là biểu thức toạ độ.
Dạng 2: Dạng toán chứng minh.
Trong dạng này ta sẽ gặp các bài toán nhƣ: Chứng minh 3 điểm thẳng
hàng, chứng minh một đẳng thức nào đó, chứng minh một tam giác là đều...
những bài toán nhƣ vậy hoàn toàn có thể giải theo cách sơ cấp thông thƣờng,
nhƣng nếu đƣợc giải theo cách sử dụng phép biến hình thì sẽ cho ta một lời
giải ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và công sức.
Dạng 3: Dạng toán tìm tập hợp điểm (Bài toán quỹ tích).
- Khái niệm bài toán quỹ tích: Bài toán quỹ tích là bài toán đi tìm một tập hợp
những điểm có tính chất  cho trƣớc.
Quỹ tích những điểm M có tính chất  cho trƣớc có thể là tập rỗng, tập hợp
một điểm, tập hợp hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm.
- Các bƣớc giải bài toán quỹ tích bằng cách sử dụng phép biến hình:
Bƣớc 1: Tìm hiểu kỹ bài toán (nắm chắc các yếu tố đặc trƣng của bài
toán: yếu tố cố định, yếu tố không đổi, quan hệ không đổi, yếu tố thay đổi)

19