skkn hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập hình học không gian

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền
Mã số: ................................

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
( Phần III )

Người thực hiện: LÊ THANH HÀ
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục



Phương pháp dạy học bộ môn:

Toán



Lĩnh vực khác: ......................................................... 

Có đính kèm:
 Mô hình

 Phần mềm

 Phim ảnh

 Hiện vật khác

Năm học: 2015 - 2016
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 1


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: LÊ THANH HÀ
2. Ngày tháng năm sinh: 13/02/1962
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: 59/92 Phan Đình Phùng phường Quang Vinh, Biên Hòa - Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0919817453
6. E-mail:
7. Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: tốt nghiệp ĐHSP Toán
- Năm nhận bằng: 1982
- Chuyên ngành đào tạo: ĐHSP Toán.
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán
- Số năm có kinh nghiệm: 34 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

+ Năm học 2011 - 2012, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh ôn tập bằng
cách thuyết trình”.
+ Năm học 2012 – 2013, thực chuyên đề: “Sử dụng Hàm số bậc hai và Dấu
Tam thức bậc hai để giải toán”.
+ Năm học 2013 – 2014, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải
bài tập Hình học Không gian”. ( Phần I )
+ Năm học 2014 – 2015, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải
bài tập Hình học Không gian”. ( Phần II )
+ Năm học 2015 – 2016, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải
bài tập Hình học Không gian”. ( Phần III )

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 2


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Tên sáng kiến kinh nghiệm:
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
( PHẦN III )
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1/.Trong chương III của hình học không gian lớp 11, sau phần quan hệ song song
học sinh sẽ được học các kiến thức về quan hệ vuông góc.Trong hình học phẳng học
sinh cũng đã học các kiến thức về hai đường thẳng vuông góc và nhiều kết quả các em
đã biết vẫn còn đúng trong không gian. Tuy nhiên trong không gian, định nghĩa hai
đường thẳng vuông góc phải được phát biểu đầy đủ vì hai đường thẳng không có điểm
chung cũng có thể vuông góc. Trong không gian còn có quan hệ vuông góc giữa đường
thẳng và mặt phẳng , giữa hai mặt phẳng ; vì vậy các mối quan hệ trở nên phức tạp hơn
nhiều và có những kết quả trong hình học phẳng học sinh cũng đã học không còn đúng

trong không gian.
2/. Việc vẽ hình không gian và giải các bài toán hình học không gian nói chung là
một khó khăn rất lớn cho học sinh. Sau khi học xong chương II các em mới chỉ biết
cách giải các bài toán về quan hệ song song nên bài toán về quan hệ vuông góc là hoàn
toàn mới với các em.
Nếu được giáo viên hướng dẫn cẩn thận phương pháp giải các dạng bài toán cơ bản
thường gặptrong chương này thì học sinh sẽ dễ dàng tiếp thu kiến thức và trên cơ sở đó
các em sẽ tự mình làm được các dạng bài tương tự và nâng cao. Năm học 2014 - 2015
tôi đã thực hiện chuyên đề hướng dẫn học sinh giải các bài toán thường gặp về quan
hệ song song trong không gian.Trong phạm vi chuyên đề này tôi tiếp tục trình bày
chuyên đề hướng dẫn học sinh giải các bài toán thường gặp về quan hệ vuông góc
trong không gian.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1/. Chương trình sách giáo khoa 11 ban Cơ bản và Nâng cao đang sử dụng hiện
nay, phần kiến thức về Hình học Không gian đã được trình bày theo tinh thần giảm tải
về mức độ hàn lâm. Yêu cầu chứng minh các Định lí đã được giảm nhẹ rất nhiều so với
nội dung chương trình phân ban lần trước, các ví dụ minh họa được trình bày trong mỗi
bài học cũng có nội dung đơn giản. Nội dung bài tập cũng được các tác giả chọn lọc
theo hướng tập trung vào các nội dung kiến thức cơ bản nhất, cắt bỏ bớt những bài tập
có nội dung yêu cầu cao so với trình độ của đa số học sinh. Và cũng chính vì thế mà các
bải toán hình học Không gian trong các đề thi Đại học và cao đẳng hiện nay cũng dễ
hơn so với trước. Tuy nhiên với đa số các em học sinh học, Hình không gian vẫn là môn
học khó. Đa số các em nghe giảng lí thuyết có thể hiểu vấn đề nhưng khi áp dụng vào
làm bài tập cụ thể thường không biết cách trình bày bài giải nên rất ngại làm bài.
2/. Từ những lí do trên bản thân tôi nhận thấy cần thiết phải phân loại các bài toán
trong chương quan hệ vuông góc thành một số dạng khác nhau, hướng dẫn thật kĩ cho
học sinh phương pháp giải từng dạng với những bài tập minh họa cụ thể sẽ giúp học
sinh nắm vững kiến thức, bên cạnh những kiến thức về hình học không gian các em đã
học ở phần trước các em sẽ cảm thấy tự tin hơn khi học Hình không gian. Đây không
phải giải pháp hoàn toàn mới với các giáo viên đã dạy Hình học Không gian nhưng tùy

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 3


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

vào đối tượng học sinh, mỗi giáo viên sẽ chọn cho mình cách giảng dạy để học sinh dễ
tiếp thu bài và làm bài tập tốt nhất. Do phân phối chương trình rất hạn chế nên để thực
hiện được giải pháp này tôi sử dụng số tiết học tự chọn trong chương trình cho phép và
các giờ học tăng tiết do hoc sinh tự nguyện đăng kí và nhà trường tổ chức dạy vào buổi
chiều. Kết quả cho thấy tỉ lệ học sinh nắm vững lí thuyết và biết giải bài tập Hình học
không gian thay đổi rất rõ.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Dạng 1 : Chứng minh hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau.
Phương pháp : • Sử dụng định nghĩa góc của hai đường thẳng.
• Chứng minh đường này vuông góc với mặt phẳng chứa đường kia.
• Áp dụng định lí ba đường vuông góc.
• Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp
chứng minh vuông góc đối với hai đường thẳng đã học trong hình học phẳng.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
SA ⊥ ( ABCD ) , AD = 2a, AB = BC = a. Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông
Giải: Ta có:
 SA ⊥ ( ABCD )
⇒ SA ⊥ CD (1)

CD ⊂ ( ABCD )

Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là
hình vuông. Do đó, ·ACI = 450 (*).
Mặt khác, ∆CID là tam giác vuông cân tại I
·
nên: BCI
= 450 (**).
Từ (*) và (**) suy ra: ·ACD = 900 hay AC ⊥ CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ SC hay ∆SCD vuông tại C
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD
là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung
điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE
và BC. CMR: MN ⊥ BD
Giải: Gọi P là trung điểm của AB và SA, O là
giao điểm của AC và BD.
Ta có: PM là đường trung bình của tam giác EAD
Nên PM //AD và AD = 2 PM

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 4


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Theo giả thiết ABCD là hình vuông , N là trung điểm BC nên PM // CN và PM = CN.
Vậy : PMCN là hình bình hành , suy ra MN// PC(*)
 BD ⊥ SO
⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ PC (∗∗)
Ta lại có : 
 BD ⊥ AC

Từ (*) và (**) ta có: MN ⊥ BD
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và
CD. Chứng minh rằng: AM ⊥ BP
Giải: Gọi H là trung điểm của AD, I là giao diểm
của AN và BP, K là giao điểm của AN và BH.
Vì ∆SAD đều nên SH ⊥ AD
 SH ⊥ AD

Ta có: ( SAD) ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ BP(*) .
 BP ⊂ ( ABCD)

Xét hai tam giác vuông ABN và BCP có:
AB = BC, BN = CP.
·
·
·
Suy ra: ∆ABN = ∆BCP ⇒ BAN
= CBP
, ·ANB = BPC

·
·
mà BAN
+ ·ANB = 900 ⇒ CBP
+ ·ANB = 900 hay AN ⊥ BP (1)
Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chữ nhật nên K là trung điểm của HB hay
MK / / SH (**)
Từ (*) và (**) suy ra: BP ⊥ MK (2)

Từ (1), (2) suy ra: BP ⊥ ( AMN ) ⇒ BP ⊥ AM
Dạng 2 : Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P)
Phương pháp :
• Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).
• Chứng minh d song song với đường thẳng b mà vuông góc với (P).
• Dùng định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình
vuông, tam giác SAB là tam giác đều,
( SAB ) ⊥ ( ABCD) . Gọi H và I lần lượt là trung điểm
của AB và AD. Chứng minh : IC ⊥ ( SHD )
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 5


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giải:
 SH ⊥ AB

Ta có: ( SAB) ⊥ ( ABCD) ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ IC (1)
 SH ⊂ ( SAB )

Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADH và DCI có: AH = DI, AD = DC.
·
 ·ADH = DCI
Do đó: ∆ADH = ∆DCI từ đó ta có: 
·
 ·AHD = DIC

·
·
Mà ·ADH + DIC
= 900 ⇒ IKD
= 900 . Hay IC ⊥ HD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IC ⊥ ( SHD )
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA ⊥ ( ABC )
a/ Chứng minh : BC ⊥ (SAC )
b/ Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh : AE ⊥ ( SBC )
c/ Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh : SB ⊥ ( P)
d/ Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh : AF ⊥ ( SAB )
Giải: a/ Ta có: BC ⊥ AC ( gt ) (1)
Mặt khác, vì SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
BC ⊥ ( SAC )

b/ Ta có: AE ⊥ SC (3) (gt)
Theo a) BC ⊥ ( SAB) ⇒ AE ⊥ BC (4)
Từ (3) và (4) suy ra: AE ⊥ ( SBC )
c/ Ta thấy: ( P ) ≡ ( ADE )
Theo b/ AE ⊥ ( SBC ) ⇒ BC ⊥ AE (5)
Trong mp(ADE) kẻ EH ⊥ AD, H ∈ AD .
( ADE ) ⊥ ( SAB )

Vì ( ADE ) ∩ ( SAB ) = AD ⇒ EH ⊥ (SAB ) ⇒ SB ⊥ EH (6)
 EH ⊥ AD

Từ (5) và (6) suy ra: SB ⊥ ( ADE ) hay SB ⊥ ( P)
 SA ⊥ ( ABC )
⇒ AF ⊥ SA (7)

d/ Từ 
AF
⊂
(
ABC
)

Theo c/ SB ⊥ ( ADE ) ⇒ AF ⊥ SB (8) . Từ (7) và (8) suy ra: AF ⊥ ( SAB )
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 6


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Dạng 3 : Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Phương pháp : • Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng kia.
• Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 900.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình
thoi và SA = SC. Chứng minh : ( SBD) ⊥ ( ABCD)
Giải: Ta có: AC ⊥ BD (1) (giả thiết)
Mặt khác: SAC là tam giác cân tại A và O là trung
điểm của AC nên SO ⊥ AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AC ⊥ ( SBD) mà
AC ⊂ ( ABCD ) nên ( SBD) ⊥ ( ABCD)
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật, AB = a, AD = a 2 , SA ⊥ ( ABCD) . Gọi M là
trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM.
Chứng minh rằng: ( SAC ) ⊥ ( SMB)

Giải: Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BM (1) .
Xét tam giác vuông ABM có: tan ·ABM =
·
=
Xét tam giác vuông ABC có: cot BAC

AM
1
=
.
AB
2

BA
1
=
BC
2

·
Suy ra : ·ABM + BAC
= 900 ⇒ ·AIB = 900 . Hay BM ⊥ AC (2) .
Từ (1) và (2) suy ra: BM ⊥ ( SAC ) mà BM ⊂ ( SAC ) nên ( SAC ) ⊥ ( SMB )
Dạng 4 : Các bài toán về góc
1. Xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau
Phương pháp :
Cách 1: (a,b) = (a’,b’) trong đó a’, b’ là hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song
với a và b. Tức là, chọn hai đường thẳng cắt nhau a’, b’và lần lượt song song với a và b
Cách 2: (a,b) = (a,b’) trong đó b’ là đường thẳng cắt đường thẳng a và song song với b.
Tức là chọn trên a (hoặc b) một điểm A rồi từ đó kẻ một đường thẳng qua A và song

song với b (hoặc a)
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC
và AD, MN = a 3 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 7


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giải: Gọi I là trung điểm của BD.
 IN / / AC
⇒ ( AB, CD) = ( IM , IN ) .
Ta có: 
 IM / / CD

Xét tam giác IMN có: IM = IN = a, MN = a 3 .

2a 2 − 3a 2
1
·
·
Do đó cos MIN =
= − ⇒ MIN
= 1200
2
2a
2
Vậy: ( AB, CD) = 1800 − 1200 = 600
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = a 3, SA ⊥ BC . Tính

góc giữa hai đường thẳng SD và BC?
 BC / / AD ·
⇒ SAD = 900 .
Giải: Ta có: BC//AD và 
 SA ⊥ BC

·
Do đó, ( SD, BC ) = ( SD, AD) = SDA
.
Xét tam giác SAD vuông tại A ta có:
SA
·
·
tan SDA
=
= 3 ⇒ SDA
= 600
AD
Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 600
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam
giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là
trung điểm của BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’?
Giải: Gọi H là trung điểm của BC
 AA '/ / BB '
⇒ ( AA ', B ' C ') = ( BB ', BC )
Ta có: 
 B ' C '/ / BC
·
Hay : cos( AA ', B ' C ') = cos( BB ', BC ) = cos HBB
'

µ = 900 , AA ' = 2a, AH = 1 BC ,
Xét tam giác AA’H có H
2
2

 BC 
A ' H = AA ' − AH = AA ' − 
÷ =a 3.
 2 
2

2

2

Xét tam giác A’B’H có µ
A ' = 900 , A ' B ' = a , HB ' = A ' H 2 + A ' B '2 = 2a .

1
BH 2 + BB '2 − HB '2 1
·
·
'=
Do đó: cos HBB ' =
= .Vậy cos( AA ', B ' C ') = cos HBB
4
2.BH .BB '
4
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 8


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

2. Xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)
Phương pháp
- Tìm I = d ∩ ( P )
- Từ A thuộc d kẻ AH vuông góc với (P) tại H.
- (d ,( P)) = ·AIH
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
( SAB ) ⊥ ( ABCD) , H là trung điểm của AB, SH = HC, SA = AB.
Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
Giải: Ta có: AH =

1
a
AB = , SA = AB = a ,
2
2

SH = HC = BH 2 + BC 2 =

a 5
.
2

5a 2
Vì SA + AH =
= SH 2

4
nên tam giác SAH vuông tại A hay SA ⊥ AB
mà ( SAB) ⊥ ( ABCD) và có giao tuyến AB
2

2

Do đó: SA ⊥ ( ABCD ) và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD).

·
Vậy góc giữa thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là SCA
.
·
Ta có : tan SCA
=

SA
2
2
·
.
=
⇒ SCA
= arctan
AC
2
2

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt phẳng đáy, SA = a 6 . Tính sin của góc giữa:

a/ SC và (SAB)
b/ AC và (SBC)
Giải:
a/ Ta có: BC ⊥ AB (gt) và SA ⊥ BC (vì
SA ⊥ ( ABCD ) ) ⇒ BC ⊥ ( SAB)
do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB)
·
Vậy góc giữa SC và (SAB) là BSC
.
BC
a
2
=
=
.
2
2
SC
4
SA + AC
AH
⊥ SB (H ∈ SB) .
b/ Trong mp(SAB) kẻ
Theo a/ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ AH ⊥ BC nên AH ⊥ ( SBC ) hay CH là hình chiếu vuông góc
của AC trên mp(SBC) .
Vậy góc giữa AC và (SBC) là ·ACH .
·
=
Ta có: sin BSC

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 9


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Xét tam giác vuông SAB có:
Ta có: sin ·ACH =

1
1
1
7
6
=
+ 2 = 2 ⇒ AH = a.
2
2
AH
AB
SA 6a
7

AH
21
=
AC
7

3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)
Phương pháp: Ngoài cách dùng định nghĩa ta thường dùng cách sau
- Tìm giao tuyến ∆ = ( P ) ∩ (Q )
- Trong (P) tìm a vuông góc với ∆, trong (Q) tìm b vuông góc với ∆ và a,b cắt nhau
tại I
-

Góc giữa (P) và (Q) là góc giữa a và b.

Chú ý: Trong một số trường hợp nếu chỉ yêu cầu tính góc giữa hai mặt phẳng thì chúng
ta có thể áp dụng công thức hình chiếu để tính.
Công thức hình chiếu: Gọi hình (H) có diện tích S; hình (H’) là hình chiếu của (H) trên
mặt phẳng (α) có diện tích S’; φ là góc giữa mặt phẳng chứa (H) và mp(α). Lúc đó, ta
có công thức : S ' = S .cos ϕ
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C)
Giải: Kẻ BH ⊥ A ' C , (H ∈ A'C) (1)
Mặt khác, ta có: BD ⊥ AC (gt) ,
AA ' ⊥ ( ABCD) ⇒ AA ' ⊥ BD
⇒ BD ⊥ ( ACA ') ⇒ BD ⊥ A ' C (2)
Từ (1) và (2) suy ra: A ' C ⊥ ( BDH ) ⇒ A ' C ⊥ DH .
Do đó, góc giữa (BA’C) và (DA’C) là góc giữa hai đường
thẳng HB và HD.
Xét tam giác vuông BCA’ có:
1
1
1
3
2
2

=
+
= 2 ⇒ BH = a.
⇒ DH = a.
2
2
2
BH
BC
BA '
2a
3
3
2 BH 2 − BD 2
1
·
·
Ta có: cos BHD =
= − ⇒ BHD
= 120 0 .
2
2 BH
2

Vậy góc giữa (BA’C) và (DA’C) bằng 600

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 10

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB = AC = a,
·
BAC
= 1200 , BB’= a, I là trung điểm của CC’. Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và
(AB’I).
Giải: Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của
tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC). Gọi φ là góc giữa hai
mặt phẳng (ABC) và (AB’I).
Theo công thức hình chiếu thì : cos ϕ =
Ta có: S ABC

S ABC
.
S AB ' I

1
a2 3
0
.
= . AB. AC.sin120 =
2
4

a 5
, AB ' = AB 2 + BB '2 = a 2,
2
a 13

IB ' = B ' C '2 + IC '2 =
.
2
AI = AC 2 + CI 2 =

1
a 2 10
.
= . AB '. AI =
2
4

Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên S AB ' I
Vậy cos ϕ =

S ABC
3
=
S AB ' I
10

Dạng 5 : Các dạng toán về khoảng cách
1. Tính Khoảng cách từ điểm M đến mp(P)
Phương pháp:
Cách 1:
- Tìm mp(Q) chứa M và vuông góc với mp(P) theo giao tuyến ∆
- Từ M hạ MH vuông góc với ∆ ( H ∈ ∆ )
- MH = d(M,(P))
Cách 2:
-

Kẻ ∆//(P). Ta có: d(M,(P)) = d(∆,(P))

-

Chọn N ∈ ∆ . Lúc đó, d ( M, ( P ) ) = d(∆,(P)) = d ( N , ( P ) )

Cách 3:
- Nếu MN ∩ ( P ) = I . Ta có:

d ( M, ( P ) )
d ( N,( P) )

=

MI
NI

- Tính d ( N , ( P ) ) và MI
NI
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 11


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

-

d ( M, ( P ) ) =

MI
.d ( N , ( P ) )
NI

Ví dụ cho cách 1:
Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một
góc α. Tính d ( A,( SBC )) theo a và α.
Giải: Gọi I là trung điểm của BC.
 SI ⊥ BC
¶ =α
⇒ BC ⊥ ( SAI ) và SIA
Ta có: 
AI
⊥
BC

Kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI) mà SI = ( SAI ) ∩ ( SBC ) nên
AH ⊥ ( SBC ) . Do đó, d ( A,( SBC )) = AH

Mặt khác, xét tam giác vuông AHI có:
a 3
AH = AI .sin α =
.sin α
2
Vậy, d ( A,( SBC )) = AH =

a 3
.sin α
2

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) ,
SA = 2a,
a/ Tính d ( A,( SBC ))
b/ Tính d ( A,( SBD))
Giải: a/ Kẻ AH ⊥ SB (H ∈ SB) (1)
Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC (*)
và AB ⊥ BC (gt) (**) .
Từ (*) và (**) suy ra: BC ⊥ ( SAB) ⇒ BC ⊥ AH (2) .
Từ (1) và (2) ta có: AH ⊥ ( SBC )
hay d ( A,( SBC )) = AH
Mặt khác, xét tam giác vuông SAB có:
Vậy, d ( A,( SBC )) =

1
1
1
5
2a
=
+ 2 = 2 ⇒ AH =
.
2
2
AH
AB
SA
4a
5

2a
5

b/ Gọi O = AC ∩ BD và kẻ AK ⊥ SO (K ∈ SO) (1)
Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD (*) và AC ⊥ BD (gt) (**) .
Từ (*) và (**) suy ra: BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ AK (2) .
Từ (1) và (2) ta có: AK ⊥ ( SBD ) hay d ( A,( SBD )) = AK
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 12


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Mặt khác, xét tam giác vuông SAO có:
Vậy, d ( A,( SBD)) =

1
1
1
9
2a
=
+
=
⇒
AK
=
.
AK 2 AO 2 SA2 4a 2

3

2a
.
3

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều,
( SAB ) ⊥ ( ABCD) . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính d ( I ,( SFC ))
Giải: Gọi K = FC ∩ ID
Kẻ IH ⊥ SK (H ∈ K) (1)
( SAB ) ⊥ ( ABCD )
( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB

⇒ SI ⊥ ( ABCD)
Ta có: 
SI
⊂
(
SAB
)

 SI ⊥ AB
⇒ SI ⊥ FC (*)
Mặt khác, xét hai tam giác vuông AID và DFC có: AI = DF, AD = DC.
·
·
Suy ra, ∆AID = ∆DFC ⇒ ·AID = DFC
, ·ADI = DCF

·

mà ·AID + ·ADI = 900 ⇒ DFC
+ ·ADI = 900 hay FC ⊥ ID (**)
Từ (*) và (**) ta có: FC ⊥ ( SID) ⇒ IH ⊥ FC (2).
Từ (1) và (2) suy ra: IH ⊥ ( SFC ) hay d ( I ,( SFC )) = IH
Ta có: SI =

a 3
a 5 1
1
1
5
a 5
, ID =
,
=
+
=
⇒
DK
=
2
2 DK 2 DC 2 DF 2 a 2
5
⇒ IK = ID − DK =

Do đó:

3a 5
10

1
1
1
32
3a 2
3a 2
.
Vậy,
=
+
=
⇒
IH
=
d
(
I
,(
SFC
))
=
IH 2 SI 2 IK 2 9a 2
8
8

Ví dụ cho cách 2:
Ví dụ 1: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 .
Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD.
Tính d ( B ',( A ' BD ))
Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD).
Do đó d ( B ',( A ' BD)) = d ( B ' C ,( A ' BD)) = d (C ,( A ' BD))
Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ CH ⊥ BD, (H ∈ BD) (1) .
Mặt khác, A ' O ⊥ ( ABCD ) ⇒ A 'O ⊥ CH (2)
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 13


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Từ (1) và (2) suy ra: CH ⊥ ( A ' BD) ⇒ d ( B ',( A ' BD)) = CH
Xét tam giác vuông BCD có:
Vậy: d ( B ',( A ' BD )) = CH =

1
1
1
4
a 3
.
=
+
= 2 ⇒ CH =
2
2
2
CH
BC
CD

3a
4

a 3
4

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ·ABC = 300 ,
∆SBC là tam giác đều cạnh a, ( SBC ) ⊥ ( ABC ) . Tính d (C ,( SAB ))
Giải: Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật
ABDC. Gọi M, I, J lần lượt là trung điểm của BC,
CD và AB. Lúc đó, CD//(SAB) hay
d (C ,( SAB )) = d (CD,( SAB )) = d ( I ,( SAB ))
Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ
IH ⊥ SJ , (H ∈ SJ) (1)
Mặt khác, ta có: SM ⊥ ( ABC ) ⇒ AB ⊥ SM
 AB ⊥ IJ
⇒ AB ⊥ ( SIJ ) ⇒ AB ⊥ IH (2)
Vì 
AB
⊥
SM

Từ (1) và (2) suy ra: IH ⊥ ( SAB ) hay d (C ,( SAB)) = IH
Xét tam giác SIJ có: S SIJ =

1
1
SM .IJ
IH .SJ = SM .IJ ⇒ IH =
.

2
2
SJ

Với: IJ = AC = BC.sin 300 =
Do đó: IH =

a
a 3
a 13
, SM =
, SJ = SM 2 + MJ 2 =
.
2
2
4

SM .IJ a 39
a 39
. Vậy d (C ,( SAB )) =
=
SJ
13
13

Ví dụ cho cách 3:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, biết
AB = AD = a, CD = 2a, SD ⊥ ( ABCD ) , SD = a.
a/ Tính d ( D,( SBC ))
b/ Tính d ( A,( SBC ))

Giải: Gọi M là trung điểm của CD, E là giao
điểm của hai đường thẳng AD và BC.
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 14


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

a/ Trong mặt phẳng (SBD) kẻ DH ⊥ SB, (H ∈ SB) (1) .

1
Vì BM = AD = CD ⇒ Tam giác BCD vuông tại B hay BC ⊥ BD (*) .
2
Mặt khác, vì SD ⊥ ( ABCD ) ⇒ SD ⊥ BC (**) .
Từ (*) và (**) ta có: BC ⊥ ( SBD) ⇒ BC ⊥ DH (2) .
Từ (1) và (2) suy ra: DH ⊥ ( SBC ) hay d ( D,( SBC )) = DH
Xét tam giác vuông SBD có:
Vậy, d ( D,( SBC )) =
b/ Ta có:

1
1
1
3
2a 3
.
=
+
= 2 ⇒ DH =

2
2
2
DH
SD
BD
2a
3

2a 3
3

d ( A,( SBC )) AE AB 1
1
a 3
=
=
= ⇒ d ( A,( SBC )) = d (d ,( SBC )) =
.
d ( D,( SBC )) DE CD 2
2
3

Vậy, d ( A,( SBC )) =

a 3
3

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA =3a, BC =
·

4a, ( SBC ) ⊥ ( ABC ), SB = 2a 3, SBC
= 300 .
Tính d ( B,( SAC ))
Giải: Trong mặt phẳng (SBC)
kẻ SM ⊥ BC (M ∈ BC)
Trong mặt phẳng (ABC) kẻ MN ⊥ AC (N ∈ AC)
Trong mặt phẳng (SMN) kẻ MH ⊥ SN (N ∈ SN ) .
Suy ra MH ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( M ,(SAC )) = MH
Ta có: SM = SB.sin 300 = a 3 , BM = SB.cos300 = 3a ⇒ CM = a , MN =
Xét tam giác vuông SMN có:
⇒ MH =

AB.CM 3a
=
AC
5

1
1
1
28
=
+
=
MH 2 SM 2 MN 2 9a 2

3a
3a
⇒ d ( M ,( SAC )) =
28

28

Mặt khác, ta có:

d ( B,( SAC )) BC
6a
=
= 4 ⇒ d ( B,( SAC )) = 4.d ( M ,( SAC )) =
d ( M ,( SAC )) MC
7

Vậy d ( B,( SAC )) =

6a
.
7

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 15


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

2. Tính Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’
Phương pháp:
Cách 1:
- Xác định đường thẳng vuông góc chung của d và d’
- Tính độ dài đoạn vuông góc chung.
Cách 2:

- Tìm mp(P) chứa d’ và song song với d
-

Khi đó d ( d , d ') = d (d ,( P )) = d ( A,( P)) với A là một điểm bất kỳ thuộc d

Ví dụ cho cách 1:
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB = a, tất cả các cạnh còn lại bằng 3a. Tính
d ( AB, CD)
Giải: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB.
Vì ACD và BCD là các tam giác đều nên:

CD ⊥ AI , CD ⊥ BI ⇒ CD ⊥ ( AIB ) ⇒ CD ⊥ IJ (1)

Mặt khác, ∆ACD = ∆BCD nên tam giác AIB cân tại I.
Do đó, IJ ⊥ AB (2)
Từ (1), (2) suy ra: IJ là đường vuông góc chung của AB
và CD.
2

 3a 3   a  2 a 26
Ta có: IJ = AI − AJ = 
.
÷ − ÷ =
2
2
2

  
2

Vậy : d ( AB, CD ) =

2

a 26
2

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM,
SH ⊥ ( ABCD ), SH = a 3 . Tính d ( DM , SC )
Giải: Trong mp(SCH) kẻ HK ⊥ SC (1), (K ∈ SC) .
 SH ⊥ ( ABCD)
⇒ SH ⊥ DM (*)
Mặt khác, 
 DM ⊂ ( ABCD )

Xét hai tam giác vuông AMD và DNC có
AM = DN, AD = DC ⇒ ∆AMD = ∆DNC .
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 16


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

·
 ·AMD = DNC

·
·

·
⇒ DNC
+ ·ADM = 900 ⇒ NHD
= 900
Từ đó ta có:  ·ADM = DCN
·
0
·
 AMD + ADM = 90

hay DM ⊥ CN (**) .
Từ (*), (**) suy ra: DM ⊥ ( SCH ) ⇒ DM ⊥ HK (2) .
Từ (1), (2) suy ra: HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC.
CD 2
a2
2a 3
=
=
Ta có: ∆HCD : ∆DCN ⇒ HC =
.
2
2
CN
3
CD − DN
Xét tam giác vuông SHC ta có:
Vậy d ( DM , SC ) = HK =

1
HK 2

=

1
HC 2

+

1
HS 2

=

5
3a 2

⇒ HK =

a 15
5

a 15
5

Ví dụ cho cách 2
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
a 2
. Tính d ( AB, CB ')
AA ' =
2

Giải: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.
Ta có: AB / /(CA ' B ') ⇒ d ( AB, CB ') = d ( AB,(CA ' B '))

= d ( I ,(CA ' B '))

Trong mp(CIJ) kẻ IH ⊥ CJ (1), (H ∈ CJ)
Ta có: A ' B ' ⊥ ( IJ ) (vì ABC. A’B’C’ là hình lăng trụ đứng)
và IC ⊥ A ' B ' (vì ∆A’B’C’ là tam giác đều)
nên A ' B ' ⊥ (CIJ ) ⇒ IH ⊥ A ' B ' (2) .
Từ (1), (2) suy ra: IH ⊥ (CA ' B ') hay d ( AB, CB ') = IH
Xét tam giác vuông CIJ có:
1
1
1
4
2
10
a 30
= 2 + 2 = 2 + 2 = 2 ⇒ IH =
2
10
IH
IC
IJ
3a
a
3a
Vậy d ( AB, CB ') = IH =

a 30

10

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh
bên bằng a 2 . Tính d ( AD, SB )
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 17


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Giải: Vì AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, SB) = d ( AB,( SBC ))
Gọi O là giao điểm của AC và BD. I, J lần lượt là trung
điểm của AD và BC.
Trong mp(SIJ) kẻ IH ⊥ SJ ,( H ∈ SJ ) (1) .
Theo giả thiết ta có: SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ BC
IJ / / AB ⇒ IJ ⊥ BC
 BC ⊥ SO
⇒ BC ⊥ ( SIJ ) ⇒ BC ⊥ IH (2)
Vì : 
 BC ⊥ IJ
Từ (1), (2) suy ra: IH ⊥ (SBC ) hay d ( AD, SB ) = IH
1
1
SO.IJ
IH .SJ = SO.IJ ⇒ IH =
. Với: IJ = a,
2
2
SJ

SO.IJ 2a 21
3
a. 7
. Suy ra: IH =
SO = SA2 − AO 2 = a. , SJ = SB 2 − BJ 2 =
=
.
2
4
SJ
7

Xét tam giác SIJ có: S SIJ =

Vậy d ( AD, SB ) = IH =

2a 21
7

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là
tam giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính d ( SA, BD )
Giải: Qua A kẻ đường thẳng d song song với
BD. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I, M lần
lượt là trung điểm của AD và OD; N là giao điểm
của d và IM.Ta có: d ( SA, BD) = d (( SA, d ), BD)
= d ( M ,( SA, d ))
Trong mp(SMN) kẻ MH ⊥ SN (1), (H ∈ SN)
Theo giả thiết:
 SI ⊥ AD
⇒ SI ⊥ ( ABCD) ⇒ SI ⊥ d (*)


(
SAD
)
⊥
(
ABCD
)


 d / / BD

Mặt khác ta có:  BD ⊥ AO ⇒ d ⊥ MN (**) .
 AO / / MN

Từ (*), (**) suy ra: d ⊥ ( SMN ) ⇒ d ⊥ MH (2) .
Từ (1), (2) suy ra: MH ⊥ ( SA, d ) . Vậy MH = d ( M ,( SA, d )) = d ( SA, BD )
Xét tam giác SMN có:
1
1
SI .MN
S SMN = MH .SN = SI .MN ⇒ MH =
2
2
SN
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 18

Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

với SI =

a 3
a 2
a 10
; MN = AO =
; SN = SI 2 − IN 2 =
2
2
4

Do đó, MH =

SI .MN a 15
a 15
. Vậy d ( SA, BD) =
=
SN
5
5

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB = BC = 2a,
hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung
điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt
phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính d ( AB, SN )
Giải: Gọi I là trung điểm của BC.
Do MN//BC nên N là trung điểm của AC. Do đó, IN//AB
hay d ( AB, SN ) = d ( AB,(SNI )) .

Trong mp(ABC) kẻ AJ ⊥ IN ,( J ∈ IN ) (*)
Trong mp(SAJ) kẻ AH ⊥ SJ ,( H ∈ SJ ) (1)
Theo giải thiết ta có:
( SAB ) ⊥ ( ABC )
⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ IN (**)

(
SAC
)
⊥
(
ABC
)

Từ (*), (**) ta có: IN ⊥ ( SAJ ) ⇒ IN ⊥ AH (2) .
Từ (1), (2) ta có: AH ⊥ ( SIN ) ⇒ d ( AB, SN ) = AH .
·
Ta có: góc giữa (SBC) và (ABC) là SBA
= 600 ⇒ SA = AB.tan 600 = 2a 3 ;
AJ = BI = a .
Xét tam giác vuông SAJ có:
Vậy d ( AB, SN ) = AH =

1
AH 2

=

1
SA2

+

1
AJ 2

=

13
12a 2

⇒ AH = a.

12
.
13

a. 156
13

CÁC BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD).
a/ CMR: BC ⊥ (SAB); CD ⊥ (SAD)
b/ CMR: BD ⊥ (SAC)
c/ Kẻ AE ⊥ SB. CMR: SB ⊥ (ADE)
Bài 2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và
SA = a 6 . Tính góc giữa:
a/ SC và (ABCD)
b/ SC và (SAB)
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 19


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

c/ SB và (SAC)
d/ AC và (SBC)
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh
a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của AB.
a/ Chứng minh (SAD) ⊥ (SAB)
b/ Tính góc giữa SD và (ABCD)
c/ Gọi F là trung điểm của AD. C/m: (SCF) ⊥ (SID)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD ; ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều ,
mp(SAB) ⊥ mp(ABCD)
a/ Gọi I là trung điểm AB. CMR : SI ⊥ (ABCD)
b/ Chứng minh : tam giác SBC và SAD vuông
c/ Tính góc giữa các cạnh bên và đáy
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác
vuông tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) ; AB = a, AD = a 2 .
a/ Chứng minh : SA ⊥ (ABCD), (SAD) ⊥ (SCD)
b/ Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh : AH ⊥ (SBC),
(SBC) ⊥ (AHC)
c/ Chứng minh : DH ⊥ SB
d/ Tính góc giữa (SAC) và (SAD)
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. Cho (SAB) ⊥ ABCD),
(SAD) ⊥ (ABCD).
a/ Chứng minh : SA ⊥ (ABCD), BD ⊥ (SAC)
b/ Gọi AH, AK là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. CMR: AH
vuông góc với (SBC), AK vuông góc với (SCD)

c/ Chứng minh : (SAC) vuông góc với (AHK)
d/ Cho biết SA = a hãy tính góc giữa (SAC) và (SCD) . Dựng và tính đoạn vuông
góc chung của hai đường thẳng AB và SC.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA ⊥ (ABCD), SA =
a.
a/ Chứng minh : Các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông
b/ Chứng minh : BD vuông góc với SC
c/Tính góc giữa SC và (ABCD); (SBD) và (ABCD)
d/ Tính góc giữa (SCD) và (ABCD). Tính diện tích hình chiếu của ΔSCD trên
(ABCD).
Bài 8. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi
H là điểm thuộc (ABC) sao cho OH ⊥ (ABC).
1.Chứng minh:
a/ BC ⊥ (OAH).
b/ H là trực tâm của tam giác ABC.
1
1
1
1
=
+
+
c/
OH 2 OA2 OB 2 OC 2
2. Khi OA = OB = OC = a. Tính góc giữa OA và (ABC); (OBC) và (ABC).
Bài 9. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông
góc với nhau, tam giác ABC vuông tại A, AB = a; AC = b, tam giác ADC vuông tại D,
CD = a.
Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 20


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

a/ Chứng minh các tam giác BAD và BDC đều vuông.
b/ Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh IJ là đoạn vuông
góc chung của hai đường thẳng AD và BC.
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI:
- Qua quá trình giảng dạy nhiều năm bản thân tôi thấy nếu cố gắng hướng dẫn
cẩn thận phương pháp giải các bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian cho
học sinh lớp 11 thì các em dễ dàng tiếp thu kiến thức hơn và trên cơ sở đó các em sẽ tự
mình làm được các dạng bài tương tự và nâng cao.
- Trong năm học qua khi tiến hành giải pháp này tôi đã giảng dạy trực tiếp tại hai
lớp 11A02 và 11A06 sau đó theo dõi kết quả thu được qua hai bài kiểm tra cụ thể như
sau
Bài 1: ( thời gian 20 phút)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , biết SA vuông góc
với đáy và SA = a
a/ Chứng minh : (SCD) ⊥ (SAD)
b/ Chứng minh : BD ⊥ SC
c/ Tính góc giữa SD và mặt phẳng (SAC)
d/ Tính góc giữa 2 mặt phẳng :
(SBC) và (SCD)
Thang điểm :
- Hình vẽ câu a : 1 điểm
- Câu a : 1 điểm
- Câu b : 2 điểm
- Câu c : 3 điểm
- Câu d : 3 điểm

Kết quả cụ thể
Lớp
11A02
(45học sinh)
11A 06
(44học sinh)

Điểm 1- 2
0
2

Điểm 3 - 4
4

Điểm 5 - 6
11

7

Điểm 7 - 8
18

14

17

Điểm 9 - 10
12
4

Lớp 11A02 là lớp chọn nên số học sinh đạt điểm tốt nhiều hơn
Bài 2: ( thời gian 20 phút)
a 3
. Mặt bên
2
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Gọi H là hình chiếu
vuông góc của S lên mặt đáy và K là trung điểm đoạn thẳng CD
a/ Chứng minh : (SHK) ⊥ (SCD)
b/ Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
c/ Tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD)
d/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 21


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

Thang điểm :
- Hình vẽ câu a : 1 điểm
- Câu a : 2 điểm
- Câu b : 2 điểm
- Câu c : 2 điểm
- Câu d : 3 điểm
Kết quả cụ thể
Lớp
11A02
(45học sinh)

11A 06
(44học sinh)

Điểm 1- 2
0
0

Điểm 3 - 4
0

Điểm 5 - 6
10

3

14

Điểm 7 - 8
20
18

Điểm 9 - 10
15
9

So với lần kiểm tra trước tỉ lệ điểm kém giảm rõ rệt măc dù mức độ đề yêu cầu
cao hơn.
Tuy nhiên, các dạng và phương pháp tôi lựa chọn chưa hẳn tối ưu và đầy đủ, chắc chắn
còn phải bổ sung thêm cho việc giảng dạy tốt hơn. Rất mong có sự đóng góp của quí
đồng nghiệp.

Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong Tổ Toán Trường THPT Ngô Quyền đã rất
nhiệt tình góp ý kiến để tôi hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm này.
Người thực hiện

Lê Thanh Hà

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 22


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT NGÔ QUYỀN

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Biên Hoà, ngày 18 tháng 05 năm 2016

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học : 2015 - 2016
––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian ( Phần III )
Họ và tên tác giả: Lê Thanh Hà
Chức vụ: Tổ Trưởng tổ Toán
Đơn vị: Trường THPT Ngô Quyền – Đồng Nai.
Lĩnh vực:
- Quản lý giáo dục


- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán

- Phương pháp giáo dục 
- Lĩnh vực khác: .................................

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng : Tại đơn vị  Trong ngành 
1. Tính mới
- Đề ra giải pháp hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn



- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị
mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị

2. Hiệu quả
- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả
cao

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã thực hiện trong toàn ngành có hiệu
quả cao

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có
hiệu quả

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị
mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị


3. Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Trong Tổ/Phòng/Ban 
Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT
Trong ngành

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ
đi vào cuộc sống:
Trong Tổ/Phòng/Ban 
Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT

Trong ngành

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 23


Chuyên đề: Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập Hình học Không gian

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả
trong phạm vi rộng:
Trong Tổ/Phòng/Ban 
Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT

Trong ngành

Xếp loại chung : Xuất sắc 

Khá 

Đạt 

Không xếp loại 

Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài
liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.
Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh
nghiệm này đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường
xem xét, đánh giá; tác giả không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội
dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của chính tác giả.
NGƯỜI THỰC HIỆN
SKKN

XÁC NHẬN CỦA TỔ
CHUYÊN MÔN

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
HIỆU TRƯỞNG

Lê Thanh Hà

Lê Văn Đắc Mai

Nguyễn Duy Phúc

Giáo viên : Lê Thanh Hà – Trường THPT Ngô Quyền

Page 24