Khoá luận tốt nghiệp dạng chuẩn tắc jordan và ứng dụng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

KHOA TOÁN

N guyễn T hị N gọc

D Ạ N G C H U Ẳ N TAC JO R D A N
VÀ Ứ NG D Ụ N G

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

H à N ội —N ăm 2016


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ ÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

KHOA TOÁN

N guyễn T hị N gọc

D Ạ N G C H U Ẩ N TẮC JO R D A N
VÀ Ứ NG D Ụ N G

C huyên ngành: H ình học

K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC

NG Ư ỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
P h ạ m T h a n h T âm

H à N ội —N ăm 2016


M uc luc

Lời m ở đ ầ u

4

1

6

K iế n th ứ c cơ sở
1.1

1.2

2

Á nh xạ tuyến tín h ...................................................................................................

6

1.1.1

Các định ng h ĩa..........................................................................................

6

1.1.2

H ạt nhân, ảnh của ánh xạ tuyến tín h .................................................... 10

C ấu trú c của tự đồng cấu tuyến tín h ...............................................................

11

1.2.1

G iá trị riêng và vector riêng, đa thức đặc trư n g ..............................

11

1.2.2

Không gian con b ấ t biến........................................................................

15

D ạ n g ch u ẩn tắ c J o r d a n và ứ n g d ụ n g .
2.1

2.2

20

Dạng chuẩn tắc J o rd a n ............................................................................................. 20
2.1.1

T h u ậ t to án tìm dạng chuẩn tắc Jo rd an của m a trậ n vuông A.

29

2.1.2

Các ví d ụ ......................................................................................................... 30

ứ n g d ụ n g ........................................................................................................................ 38
2.2.1

T ính lũy th ừ a ................................................................................................. 38

2.2.2

Giải hệ phương trìn h vi phân tuyến tín h ..............................................41

1


Lời cảm ơn

Trước khi trìn h bày nội dung chính của khoá luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới th ầy giáo T h . s P h ạ m T h a n h T â m đã tậ n tìn h chỉ bảo, hướng dẫn, tạo
điều kiện để em có thể hoàn th à n h khóa luận này.
Q ua đây em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th à n h tới các th ầy cô trong tổ Hình
học và các th ầy cô trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo
em tậ n tìn h trong suốt quá trìn h học tậ p tạ i khoa.
N hân dịp này em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th à n h tới gia đình, bạn bè đã

luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìn h học tậ p vừa qua.
Em xin chân th à n h cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn T hị Ngọc

2


Lời cam đoan

Em xin cam đoan bài khóa luận là kết quả của quá trìn h làm việc nghiêm túc, sự cố
gắng, nỗ lực từ bản th â n dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tậ n tìn h của th ầy giáo T h . s
P h ạ m T h a n h T âm .
Trong quá trìn h thực hiện khóa luận em có tham khảo tà i liệu của m ột số tác giả
đã nêu trong mục tà i liệu th am khảo.
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn T hị Ngọc

3


Lời m ở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Đại số tuyến tín h là m ột môn học cơ bản của Toán cao cấp, được áp dụng vào hàng
loạt các lĩnh vực khác nhau, từ giải tích tới hình học vi phân, từ cơ học, vật lý tới
kĩ th u ậ t. Những kiến thức cơ bản của Đại số tuyến tín h như ánh xạ tuyến tính, cấu

trú c của tự đồng cấu là những kiến thức không thể thiếu. Hơn nữa, các tự đồng cấu
đóng vai trò quan trọng trong việc làm rõ cấu trú c của không gian vector. Để việc
tìm cho mỗi tự đồng cấu m ột cơ sở của không gian được dễ dàng hơn th ì ta cần
tìm m a trậ n biểu diễn đơn giản n h ấ t có thể của tự đồng cấu. M a trậ n dạng chéo là
m ột m a trậ n đơn giản, các tự đồng cấu có m a trậ n với m ột cơ sở nào đó là m a trậ n
dạng chéo được gọi là các tự đồng cấu chéo hóa được. Nhưng không phải b ấ t kỳ tự
đồng cấu nào cũng chéo hóa được. Vì vậy ta cần tìm m a trậ n có dạng gần với m a
trậ n dạng chéo n h ấ t chính là tìm dạng Jo rd an của m a trậ n trong m ột tự đồng cấu
b ấ t kỳ.
T hấy được tầm quan trọng của vấn đề, cùng với sự hướng dẫn nhiệt tìn h của thầy
giáo T h . s P h ạ m T h a n h T â m tôi đã chọn đề tà i "D ạng chuẩn tắc Jo rd an và ứng
dụng".

2. M ục đích nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu về dạng chuẩn Jo rd an và ứng dụng.

4


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

3.Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài
D ạng chuẩn Jo rd an và những ứng dụng quan trọng của nó.

4 .Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Nghiên cứu m ột số kiến thức chuẩn bị liên quan đến dạng chuẩn Jordan.

5.Phương pháp nghiền cứu

Nghiên cứu tà i liệu th am khảo theo phương pháp: hệ thống lại các kiến thức có liên
quan, phân tích, tổng hợp.

6.K ết cấu của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tà i liệu tham khảo, khóa luận gồm hai
chương:
C hươngl: Kiến thức cơ sở
Chương2: Dạng chuẩn tắc Jo rd an và ứng dụng
Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên khóa luận không trá n h khỏi những thiếu sót.
Vì vậy em rấ t mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các th ầy cô và
các bạn sinh viên để đề tà i được hoàn thiện hơn.
T rân trọng cảm ơn!
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn T hị Ngọc

Nguyễn Thị Ngọc

5

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Chương 1
K iến thứ c cơ sở
1.1
1.1.1

Ánh xạ tuyến tính.
Các định nghĩa.

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .1 .
Cho v , w là hai không gian vector trên trường K .
Ánh xạ ậ : V — > w được gọi là m ột ánh xạ tuyến tín h nếu:

ệ ( ã + ặ) = ệ ( ă ) + ậ(ặ)

ậ ( k ã ) = kậ (ã )
với mọi ã, ¡3 G V và mọi k G K . Ánh xạ tuyến tín h còn được gọi là đồng cấu tuyến
tín h , hay m ột cách vắn tắ t là đồng cấu.
Kí hiệu: H o m (y w ) là tậ p các ánh xạ tuyến tín h từ V vào w .
V í dụ
a)

1 .1 .2 .
Á nh xạ không 0 : V — > w cho bởi: 0(õ?) = 0, Võ? G V là m ột ánh xạ tuyến

tính.
b)

Ánh xạ đồng n h ấ t idv : V

—

> w m à idv (ã) = ã, Vổ € V là m ột ánh xạ tuyến

tính.

6

Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

c) Á nh xạ đạo hàm J - : -Rfz] — »

cho bởi:

d
J—(anx n + ... + axx + a0) = na„xn
dx

+ ... + a1

là m ột ánh xạ tuyến tính.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .3 .
Giả sử V , w là các K không gian vector và ậ,

w là hai ánh xạ tuyến
tín h . Ta gọi tổng của ậ và ip là m ột ánh xạ, kí hiệu là ộ + ip xác định bởi:

ệ + tp : V — > w
ă I— » (ậ +
với A G K và ệ : V — > w là ánh xạ tuyến tín h , ta gọi là tích của ánh xạ ậ với
vô hướng A là m ột ánh xạ, kí hiệu là Xậ xác định bởi:

Xệ : V

—

>w

ấ I— > (Xệ)(ấ) = Xệ(ấ).

Đ ịn h lý 1 .1 .4 .
Giả sử V là m ột không gian vector n — chiều. Khi đó, mỗi ánh xạ tuyến tính
từ V vào w được hoàn to àn xác định bởi ảnh của nó trê n m ột cơ sở. Nói rõ hơn,
giả sử (e) = {ẽi, ¿2,..., ẽ^} là m ột cơ sở của V còn (/3) = {/?1, /?2, ..., /3n} là n vector
nào đó của w . K hi đó có m ột và chỉ m ột ánh xạ tuyến tín h (ị) : V — > w sao cho
ộ

1

1,2,...,71.

C h ứ n g m in h .

• Sự tồn tại:
Nếu ã = Xiẽ[ + x 2ẽ2 + ■■■+ x nẽ*n € V , ta đặt:

ậ( ã) = x 1ặ 1 + x 2ặ 2 + — h x np n e w .

Nguyễn Thị Ngọc

7

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

Khi đó:
ệ :V — >w
là m ột ánh xạ tuyến tín h và ậ(Ei) — Pi, i — 1, 2,..., n.
• Sự duy nhất:
Nếu tồn tại ánh xạ / : V — > w th õ a m ãn định lí và ệ(ẽ\) = f( ẽ \) =
1, 2

Pi,

ì =

, n th ì với mỗi ã = 2 ?=1 XịEị ta đều có:
n

n

n

n

ậ( đ) = ậ ( J 2 x iZi) =
x i<ì>(?ì) = X ] x i ĩ ( t i ) = f ( ĩ 2
i=1
i=1
i=1
i=1

= / ( “ )•

Suy ra ậ = / .
Vậy ậ tồn tạ i duy n h ất.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .5 .
Cho ộ : V — > w là ánh xạ tuyến tín h trê n trường K khi đó:
• ậ là m ột đơn cấu nếu ậ là đơn ánh.
• ậ là m ột to àn cấu nếu (ị) là to àn ánh.
• ệ là m ột đẳng cấu nếu ệ là song ánh.
Nếu có m ột đẳng cấu ệ : V — >

w th ì ta nói rằng V

đẳng cấu với

w và viết V

—

w.

Đ ịn h lý 1 .1 .6 .

w là hai không gian vector hữu hạn
với w khi và chỉ khi d i m V = d i m W .

Cho V và
đẳng cấu

chiều trê n trường K. K hi đó V

C h ứ n g m in h .
G iả sử V đẳng cấu với

w,

khi đó có m ột đẳng cấu ệ : V — > w . Tức là, nếu

{¿{,¿*2 ,..., ể*n} là m ột cơ sở của V th ì hệ

ậ(E2) , ...,

là m ột cơ sở của

w.

T h ậ t vậy:

Nguyễn Thị Ngọc

8

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

Giả sử /3 là m ột vector b ấ t kỳ trong V, khi đó tồn tại ã £

w

ảể P — ậ(ã). Tức là,

_<
-+
n
-* .I V
neu CO a = 2X = 1 aieỉ thì:
n

n

P = ậ( ã) = ự>(X aiẽi) = X ai H s i)i=1
¿=1
K hi đó /3 biểu th ị tuyến tín h duy n h ấ t qua hệ { ệ ( ẽ ‘1), ậ ( ẽ ^ ) , ..., ệ(^n)} nên hệ này là
m ột cơ sở của

w. Nói cách

khác d i m V = d i m W .

Ngược lại, giả sử d i m V = d i m W = n. Chọn các cơ sở {õq, a 2, ( P n } của V và
{Ph 02, ■■■, Pn} của

w.

Á nh xạ duy n h ấ t / : V — > w được xác định bởi / ( a i ) =

/ ? ! , f ( a n) = /3n là m ột đẳng cấu tuyến tính.
T h ậ t vậy, nghịch đảo của f là ánh xạ tuyến tín h h : w — > V được xác đinh bởi
điều kiện h(/3i) = đ q , h(Ị3„) = õ^.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .7 .
G iả sử V, w là những K - không gian vector hữu hạn chiều, (e)
là m ột cơ sở của V, (e) = { ẽ ĩ , . l à

= {ẽi,

m ột cơ sở của w . Ánh xạ tuyến tính

ậ : V — > w được xác định duy n h ấ t bởi m ột hệ vector ệ(e) =

0(ẽ^)}.

Các vector ậ(ếj) lại biểu th ị tuyến tín h m ột cách duy n h ấ t qua cơ sở (e) = { ¿ I , ẽ^n)
của

w.

m

^
i= 1
trong đó các

ữịj

3

1, . n.

đều thuộc trường K .

Đ ặt A là m a trậ n xác định bởi:

«11

«12

n

«21

«22

a 2n

«m 1

«m 2

Ojffin

K hi đó A được gọi là m a trậ n của ánh xạ tuyến tín h ộ : V — > w đối với cặp cơ sở
(e) và (e).
Cho ậ : V — > w là m ột ánh xạ tuyến tín h có m a trậ n A = (ajj)mxn đối với cặp

Nguyễn Thị Ngọc

9

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

cơ sở (e) và (e). Mọi ấ có tọ a độ ( x i , x „ ) trong cơ sở (e), viết dưới dạng cột:
X1 ,
ã =

K hi đó tọ a độ của vector ậ( a) £ w trong cơ sở (e) là (y1 ;..., y m), viết

:

dưới dạng cột:
2/1

ậ(ấ) =

\

cho bởi công thức: y = Ax .

Vm

2/1 — ư ii^ i + «12^2 + ■■• + a inx n
2/2 = 0,2 1 X 1 + Ũ22%2 + ■■• + a,2 nx n

Vm

“Ị” am2X 2 “1“ ***“1“ cirnnx ri

E n
Hay là <

j=l

i = 1, 2,..., m.
Ta gọi công thức trên là biểu thức tọ a độ của ánh xạ tuyến tín h ậ đối với cặp cơ sở
(e) và (e) đã cho.

1.1.2

H ạt nhân, ảnh của ánh xạ tu yến tính.

Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .8 .
Giả sử ệ : V — > w là m ột ánh xạ tuyến tín h . Ta gọi:
a) K e r ị >= <^>- 1(0) = ị x \ ậ ( x ) = 0} của V được gọi là h ạ t nhân (hay hạch) của ệ. số
chiều của ke rậ gọi là số khuyết của ộ.
b) I m ị >= ậ ( v ) = { ậ( x) \ x £ V } của w được gọi là ảnh của ậ. số chiều của I m ệ
gọi là hạng của
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .9 .
Ta gọi ánh xạ tuyến tín h từ không gian vector V vào chính nó là m ột tự đồng

Nguyễn Thị Ngọc

10

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

cấu của V. M ột tự đồng cấu của V đồng thời là m ột đẳng cấu được gọi là m ột tự
đẳng cấu của V.
Không gian vector t ấ t cả các tự đồng cấu của V được ký hiệu là E nd(K ).
Tập hợp tấ t cả các tự đẳng cấu của V được kí hiệu là G L (K ).
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .1 0 .
Cho ộ e E n d ( v ) . Gọi A = (UýOmxn là m a trậ n của ệ tro n g m ột cơ sở nào đó
của V . Ta gọi:
a) D et A là định thức của tự đồng cấu ộ và kí hiệu là det ậ.
b) Tổng các ph ần tử nằm trên đường chéo chính của m a trậ n A là vết của ậ, kí hiệu
là

n
tr(ậ) = ^ 2 aiii=1

Ta cũng gọi số này là vết của m a trậ n A, kí hiệu là trA .

1.2

c ấ u trúc của tự đồng cấu tuyến tính.

1.2.1

G iá trị riêng và vector riêng, đa thứ c đặc trưng.

Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 .1 .
Số thực A được gọi là giá trị riêng của tự đồng cấu tuyến tín h (ị) nếu tồn tạ i m ột
vector

0 sao cho: ộ(v) — Ằv. K hi đó

V Ỷ

V

được gọi là vector riêng của (ị) ứng với giá

trị riêng A.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 .2 .
Số thực A được gọi là giá trị riêng của m a trậ n vuông A cấp n nếu tồn tạ i m ột
vector

V Ỷ

0 sao cho:
A v = Xv.

Khi đó

V

được gọi là vector riêng của A ứng với giá trị riêng A.

Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 .3 .

Nguyễn Thị Ngọc

11

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

Đ a thức đặc trư ng của ậ, kí hiệu là Pộ(t), được định nghĩa là định thức của ánh
xạ ậ — t ■id, trong đó id là ánh xạ tuyến tín h đồng n h ất.
Đ ịn h lý 1 .2 .4 .
Số thực A là giá trị riêng của ậ khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức đặc trư ng

C h ứ n g m in h .
G iả th iế t Pậ(t) = 0. Cố định m ột cơ sở (e) = { ẽ i , ẽ ^ } của V và kí hiệu A là
m a trậ n của ậ, [x] là tọ a độ của

X

theo cơ sở này. K hi đó det(A

—

XIn) = 0. T ừ đó

hệ phương trìn h tuyến tín h th u ần nhất:

(A - XIn)[x} = 0

có nghiệm không tầm thường. Nghiệm của hệ này chính là vector riêng của ộ ứng
với giá trị riêng A.
Ngược lại, giả sử ư 7^ 0 là nghiệm của hệ

(A — A/n)[a:] = 0

A[v] — A[u] = 0

A[v] = A[u].

Suy ra A chính là giá trị riêng của ệ.
N h ậ n x é t 1 .2 .5 .
Để tìm giá trị riêng và vector riêng của m ột tự đồng cấu ậ ta làm như sau:
Bước 1: Tìm m a trậ n A của ậ trong m ột cơ sở tù y ý (e) = { ế i , ..., ẽ*n} của V.
Bước 2: T ính đa thức đặc trư ng det(A — X E n).
Bước 3: Giải đa thức bậc n đối với ẩn X:

det(A — X E n) — 0.

Bước 4: Giả sử A là m ột nghiệm của phương trìn h đó. Giải hệ phương trìn h tuyến

Nguyễn Thị Ngọc

12

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

tín h th u ần n h ấ t suy biến:

(« 1 1

<

- A)^! + « 1 2 ^ 2 + ----- ỉ- a-ín^n =

« 21«-1 “ỉ” ( « 2 2 —

0

T ' ' ' T « 2 n%n — 0

«nl^l + «n 2^2 + • • • + («nn — K)x, J — 0
G iả sử = ( c i,...,c n) là m ột nghiệm không tầm thường của hệ này. K hi đó, ấ =
C1«1 + • • • + cnen là m ột vector riêng của Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 .6 .
Ánh xạ ậ được gọi là chéo hóa được, nếu tồn tạ i m ột cơ sở m à ứng với nó m a
trậ n biểu diễn của ánh xạ là m a trậ n đường chéo, nói cách khác ộ chéo hóa được
nếu có m ột cơ sở của V gồm toàn những vector riêng của ộ .
Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 .7 .
M a trậ n A E M a t ( n

X

n, K ) đồng dạng với m ột m a trậ n chéo B E M a t ( n

X

n, K

)

th ì A được gọi là m a trậ n chéo hóa được.
Do đó, nếu A chéo hóa được th ì mọi m a trậ n đồng dạng với nó cũng chéo hóa được.
Việc tìm m ột m a trậ n khả nghịch

c

(nếu có) sao cho C _1A C là m ột m a trậ n chéo

được gọi là việc chéo hóa m a trậ n A.
Đ ịn h lý 1 .2 .8 .
T ự đồng cấu ậ chéo hóa được khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây được thỏa
m ãn:
a) Đa thức Pậ(t) có đủ nghiệm thực. Tức là đa thức đặc trư ng Pệ(t) phân tích được
thành:
p ệ {t) = ( - 1 ) " ( Í - A1r i . . . ( í - A „ r - .
Trong đó A i,..., An là các số đôi m ột khác nhau.
b) R a n k ( ậ — Ai) = n — ơi,i = 1

ở đây AỂ là nghiệm với bội ơị của đa thức

đặc trư ng Pậ(t).

Nguyễn Thị Ngọc

13

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

C h ứ n g m in h .
G iả sử ậ chéo hóa được. Khi đó, giả sử m a trậ n của ậ trong m ột cơ sở nào đó
của V là m ột m a trậ n chéo D với Ơ1 phần tử nằm trên đường chéo bằng Ai, ...,crm
phần tử nằm trên đường chéo bằng Am, trong đó n = ƠI + ... + ơm. K hi đó:

p y t ) = p D{t) = (Ai - ¿ r • • ■(Am - t y - = ( - 1)"(Í - x 1y i • • ■(t - Xmy - .

Ta th ấy m a trậ n (D — XịEn) là m a trậ n chéo, với ơi phần tử nằm trê n đường chéo
bằng Aj — Aị = 0, các phần tử còn lại bằng Aj — Xị y ữ với i y Jj j nào đó.
Cho nên ta có:

R a n k ( ậ — Xịidy) = r a n k ( D — XịE„ ) = n — ơị.

Ngược lại, giả sử các điều kiện (a), (b) được th ỏ a m ãn. X ét không gian vector con
riêng ứng với giá trị riêng Aj : Vị = K e r ( ộ — Xịidy ) (ì = 1,..., m) ta có:

dimVị = d i m K er(ậ — Xịidy) = n — rank(
M à ta luôn có tổng V1 + ... + Vm là m ột tổng trự c tiếp, với số chiều bằng ơi + ... + ơm =
n. Vậy tổng đó bằng to àn bộ không gian V.

V = ®Vii
Lấy m ột cơ sở b ấ t kì {e7i, ...,e e7ơj} của Vị với i = 1, ...,m.
Khi đó {¿ 1 1 , ..,

,.., e ^ i , ...,

} là cơ sở của V gồm toàn bộ những vector riêng

của ộ.
Vậy ậ chéo hóa được.
H ệ q u ả 1 .2 .9 .
Cho ậ là m ột tự đồng cấu của không gian vector V chiều n. Khi đó:
• ậ chéo hóa được khi và chỉ khi V có cơ sở gồm n vector riêng.
• Nếu ộ có n giá trị riêng khác nhau th ì ậ chéo hóa được.

Nguyễn Thị Ngọc

14

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

1.2.2

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

K hông gian con bất biến.

Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 .1 0 .
Không gian con u c V được gọi là b ấ t biến đối với ộ (hoặc ổn định đối với ộ)
nếu ộ { u ) C u .
V í dụ
a)

1 .2 .1 1 .
G iả sử A là m ột giá trị riêng của ệ. K hi đó không gian riêng ứng với giá trị

riêng A là m ột không gian con b ấ t biến đối với ộ.
b)

Ta xét m ột đa thức theo ậ:

A( ộ)

aoậk + ãiậ>k 1 + ... + akidự

ữj là các hệ số thực. A(ộ) được gọi là m ột ánh xạ đa thức theo ệ. Hạch và ảnh của

A(ậ) là các không gian con b ấ t biến đối với ộ.
M ệ n h đ ề 1 .2 .1 2 .
G iả th iế t u là không gian con b ấ t biến đối với ánh xạ ệ. K hi đó ta có các m ệnh
đề sau:
a) Tồn tạ i m ột cơ sở của V để m a trậ n của ánh xạ ậ có dạng:

B

c

o

D

Với B là m a trậ n cấp bằng số chiều của u .
b) K í hiệu v / u là không gian thương của V theo u. Khi đó ộ cảm sinh m ột ánh xạ

ậ trên v / u bởi công thức:
ệ([v]) := [ậ(v)j

c) Kí hiệu là ộ\ụ là hạn chế của các đa thức đặc trư ng của ệ\u và ệ:

P Á t ) = p ộ\v(t)p ị(t)-

Nguyễn Thị Ngọc

15

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

C h ứ n g m in h .
Chọn m ột cơ sở {ũ*!, ...,ur} của u và mở rộng th à n h m ột cơ sở của V bằng

a)

cách bổ sung các phần tử (w )

= (ĩưx, ...,ĩưs).

biểu diễn được theo các vector

Uj

Theo giả th iế t ậ{uị) e u nên có thể

bởi m ột m a trậ n B.

Vì (u , w ) là m ột cơ sở của V nên các vector ộ{vứk) có thể biểu diễn theo cơ sở đó
bởi m ột m a trậ n dạng

c
D

Vậy theo cở sở (u , w), ậ có m a trậ n với dạng đã khẳng định.
b) Trước hết ta đã chứng m inh rằng ánh xạ ậ được định nghĩa đúng. T h ậ t vậy, nếu
V\ và v *2 có hiệu thuộc u , nghĩa là cũng xác định m ột phần tử trong v / u th ì theo
giả th iế t ậ(v\) — Ộ(v 2 ) = ậ(v\ — 0 *)2 cũng thuộc u , do đó ệ(v{) và ệ(Ũ2 ) cũng xác
định m ột phần tử trong v / u .
c) X ét cơ sở của V như trong (a). Khi đó m a trậ n của ộ\ụ theo cơ sở (u) là B và :

Pệ\v {i) = det{B - t . E r).

M ặt khác, {[íũ*i],..., [ũTs]} là cơ sở của

v/u . T ừ

(a) dễ th ấy m a trậ n của

ậ theo

cơ

sở này là D. Do đó:
Pỹ(t) = det(D - t . E n_r ).
Theo công thức đã biết về định thức m a trậ n ta có:

det

b

c

^ [o

D

( \

— t . E n\

= de t(B - t E T)det(D - t E n_r) = Pậ\v (t)Pị(t).

ì

Vế trá i chính là Pệ{t).
Đ ịn h n g h ĩa 1 .2 .1 3 .
G iả th iế t X là m ột giá trị riêng của

ệ.

Vector

V €

V được gọi là vector nghiệm

(vector riêng suy rộng) của ộ nếu tồn tạ i r > 0 sao cho (ậ — A)r (Ư) = 0. Tập hợp

Nguyễn Thị Ngọc

16

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

các vector nghiệm lập th à n h m ột không gian con của V 1 gọi là không gian nghiệm
ứng với giá trị riêng A, kí hiệu là V(A).
Đ à i tậ p 1.1.
Cho ậ : V — > w là ánh xạ tuyến tín h giữa các không gian vector. Chứng m inh
rằng:
a) Nếu hệ ị ậ ( a i ) , ..., ậ ( a n)} độc lập tuyến tính, th ì hệ { « i , a n} độc lập tuyến
tính.
b) r a n k ( a i , ..., a n) > rank(B à i tậ p 1.2.
Với số nguyên dương n, xét cơ sở En = ( l ,x , ...,x " ) của R không gian vector Vn
các đa thức m ột biến X với hệ số hữu tỉ bậc nhỏ hơn n.
a) Chứng m inh rằng phép lấy đạo hàm :

a0 + aỵX + ... + anx n I-» ữi + 2a2x + ... + n a nx n 1

là m ột tự đồng cấu từ Vn đến Vn- 1 - Hãy viết m a trậ n của nó trong cơ sở {1, X , x n}.
b) Chứng m inh rằng phép lấy nguyên hàm:

a0 + a\X + ... + anx

ũiX2
anx n+1
I—> aoX + ——---- h ... + ------- —
2
n + 1

là m ột tự đồng cấu từ Vn đến Vn+1. Hãy viết m a trậ n của nó trong cơ sở {1, X ,..., x"}.
B à i tậ p 1.3.
a)T ìm các giá trị riêng và vector riêng cúa các m a trận:

1
A =

Nguyễn Thị Ngọc

1 0

1 -3

4

-1

2

1 \B =

4 -7

8

1

0

1

6 -7

7

17

K38ASPT-DHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

b) Tìm giá trị của A sao cho m a trậ n sau có hạng th ấ p n h ất.

3

1 1 4

A 4

10

1

1

7

17

3

2

2

4

3

c) Tìm m a trậ n nghịch đảo của các m a trậ n sau:

0
c =

2 3
3

1 2

-1

-2

3 8

0

-4

2 2

-4

-3

3 8

-1

-6

1 3
5

\D =

5 7

B à i tậ p 1.4.
Chứng m inh rằng nếu tự đồng cấu ip của không gian vector n chiều V có n giá
trị riêng khác nhau và ĩjj là m ột tự đồng cấu giao hoán với tp, th ì mỗi vector riêng
của

B à i tậ p 1.5.
a) Cho u c V là không gian con b ấ t biến của ip và w c u . Chứng tỏ rằng w
là không gian con b ấ t biến của (p\u khi và chỉ khi nó là không gian con b ấ t biến của

b)

1(U) là các không gian con b ấ t biến của ip.

B à i tậ p 1.6.

Các m a trậ n sau có đồng dạng với nhau không:

3

2

-5

2 6

-1 0

1 2

-3

6
\F =

20

-2 4

6 32

-5 1

4

-3 2

20

B à i tậ p 1.7.

Nguyễn Thị Ngọc

18

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

Cho V^I, ..., v^n. là các vector độc lập tuyến tín h và là các vector riêng của tự
đồng cấu ip ứng với giá trị riêng

\i,i

= 1~r. Giả sử A i,...,A r đôi m ột khác nhau.

Chứng m inh rằng hệ vector U-=1{ú7i,

} độc lập tuyến tín h . T ừ đó hãy suy ra

điều kiện cần và đủ để

B à i tậ p 1.8.
Cho ậ là tự đồng cấu của không gian vector hữu hạn chiều chéo hóa được và u

là không gian con b ấ t biến. Chứng m inh rằng ệ\ự chéo hóa được.

Nguyễn Thị Ngọc

19

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Chương 2
D ạn g chuẩn tắc Jordan và ứng
dụng.
2.1

D ạng chuẩn tắc Jordan.

Đ ịn h n g h ĩa 2 .1 .1 .
a)

T ự đồng cấu (ị)

:V

— > V được gọi là m ột tự đồng cấu lũy linh nếu có số

nguyên dương k sao cho ậ k = 0.
Nếu thêm vào nó ậk~1 Ỷ 0 th ì k được gọi là bậc lũy linh của ệ.
b) Cơ sở { ẽ [ , ẽ^} của V được gọi là m ột cơ sở xyclic đối với tự đồng cấu ậ : V — >

V nếu ta có:

(^(éỉi)

625 0 (^2)

&3;

—l)

^n; 0 (^n)

b

c) K hông gian vector con u của V được gọi là m ột không gian con xyclic đối với tự
đồng cấu ệ : V

—> V

nếu u có m ột cơ sở xyclic đối với ộ.

N h ậ n x é t 2 .1 .2 .
Mỗi tự đồng cấu lũy linh đều có m ột giá trị riêng duy n h ấ t bằng 0.
C h ứ n g m in h .
G iả sử ệ> : V — > V là tự đồng cấu lũy linh bậc k. Theo định nghĩa, có ã € V
sao cho ậ k~1(ấ) ^ 0 và ệ k(ấ) = 0. K hi đó vector /3 = ậ k~1( ã ) chính là m ột vector

20


Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp
riêng của ệ tương ứng với giá trị riêng bằng 0.

Ngược lại, giả sử ã là m ột vector riêng của ộ ứng với giá trị riêng A. Ta có ậ(ã ) =
x(ã) , do đó <f>k(ã) — x kã. Vì ệ k — 0 nên ta có x kã — ậ k(õì) — 0. Do vector riêng
ã Ỷ 0 nên ta có x k = 0. Suy ra A = 0.
Đ ịn h lý 2 .1 .3 .
G iả sử ậ : V — > V là tự đồng cấu của V , m à V có cơ sở { ẽ ỉ , ẽ ^ } để
ệ(ẽj) = £j+1 (j = 1, 2,

n - 1) và ệ ự n) = 0 .

Cơ sở như thế gọi là cơ sở xyclic đối với ộ. Trong cơ sở đó, m a trậ n ệ có dạng:

0

0

0

0

1

0 •••

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

K hi đó ậ là tự đồng cấu lũy linh bậc n.
C h ứ n g m in h .
Với 0 < j < n ta luôn có I m ệ j —< ểj+1, ể j +2 , ■■■,£*„ > tức là r a n k ệ j — n — j .
Với j > n ta luôn có Im(f)j = 0, tức là

= 0.

Vậy ậ là đồng cấu lũy linh bậc n.
V í dụ

2 .1 .4 .

Nguyễn Thị Ngọc

1

1

0

-1

2

0

1

-1

0

1

0

-1

-1

0

21

to

0

1

Cho tự đồng cấu / : R 4 — > i?4 có m a trậ n sau trong cơ sd chính tắc {ẽi, Ẽ2 , £3, £4}.

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

Hãy chứng m inh rằng f là lũy linh. Tìm cơ sở xyclic của đồng cấu f.
Ta có
-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

Õ
II

CN
Do đó f là tự đồng cấu lũy linh bậc q — 3.

Đ ặt V\ = V]1 là không gian vector sinh bởi các vector cột của A 2. Không gian này
có cơ sở là { —¿ì — ¿2 + ¿3 +

£4}

(cột đầu của A 2 ).

Gọi V2 là không gian vector sinh bởi các vector cột của m a trậ n A. Ta chọn v f sinh
bởi vector { —£2 — £ 3 } vì v f đẳng cấu với v f qua ánh xạ f.
Tiếp theo V3 = V = i?4. Ta chọn Vg1 là không gian sinh bởi E\.
Vì d ỉ m i y = R 4) = 4, nên V 2 = V 2 = {0}, vì nếu V 2 Ỷ {0} th ì V 2 Ỷ {0} (hoặc
cũng có thể th ấy điều đó do các vetor cột của A rõ ràng gây nên không gian vector
con 2 chiều).
Không gian

V33

là phần bù tuyến tín h của v f trong ke r f , nhưng rõ ràng d im k e r f = 2

và £~1 + £4 G k e r f nên có thể lấy

V33

là không gian con sinh bởi £1 +

£4.

N hư vậy, ta tìm được m ột không gian vector con 3 chiều với cơ sở xyclic đối với f
với cơ sở xyclic là {t í = £1,72 = —£2 — £3,73 = —£1 — £2 + £3 + £4} và m ột không
gian vector con m ột chiều xyclic đối với f gây nên bởi vector 74 = £1 + £4.
M a trậ n của f trong cơ sở mới {71,72,73,74} có dạng:

0 0 0 0
1 0
0

0 0
1 0

0

0 0 0 0

Đó là vì / ( f i ) = 725/ ( 72) = 735/ ( 73) = 0; / ( 74) = 0.
Đ ịn h lý 2 .1 .5 .
a) Mỗi không gian riêng suy rộng V(A) của ậ đều là m ột không gian con b ấ t

Nguyễn Thị Ngọc

22

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2


Khóa luận tốt nghiệp

Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

biến đối với ậ.
b) Á nh xạ (ậ — X ■i d y ) |y(A) là m ột tự đồng cấu lũy linh của V (A).
c) Nếu A là m ột giá trị riêng của ậ th ì không gian riêng p x — ker(<Ị) — X ■idv ) nằm
trong không gian riêng suy rộng V(A).
d) Với mọi không gian riêng suy rộng V (A), A là m ột giá trị riêng của ộ.
C h ứ n g m in h .
a) Vì Xidv )m = (ậ — Xidv )mộ. Vì vậy, nếu ã e V(A) th ì có m nguyên dương nào đó để
(ậ - Xidv )m (ã) = Ổ.
K hi đó thì:

(ộ — Xid y) m (ậ(ã)) = ậ( (ậ — Xidy)m (ã)) = ậ(ẽ) = Ổ.

Chứng tỏ ộ( ã) € V(A).
b) X ét m ột cơ sở của V(A) là {ẽ[, ...,£p} với mỗi j = l , p đều có n%j để
(ậ — Xidy)mj (Ẽ*j) = Ổ .
Lấy k = m a x { m 1,

m p} th ì rõ ràng là ((ậ — Azdy)|y(A))fc = 0.

c) Hiển nhiên.
d) Với ấ e V(A)|{Ổ}, có số nguyên dương m > 1 để (ậ — Xidv )m~1(a) ^ ổ và
(ậ — Xidv )m (đ) = 0. Gọi ặ = {ộ — A idy)ra-1(a ) th ì ặ e K e r ( ị >— X i d v ) = PxĐ ịn h n g h ĩa 2 .1 .6 .
Cho ậ là m ột tự đồng cấu lũy linh của không gian vector V . Dạng Jo rd an của (Ị)
là dạng m à m a trậ n biểu diễn dưới dạng:

Jk

J k•»m

0

0

Nguyễn Thị Ngọc

23

n

K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2