Khoá luận tốt nghiệp giá trị chính quy của ánh sạ trơn và định lý sard
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.67 MB, 62 trang )
B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2
KHOA TOÁN
M ai N gọc H oàng A nh
GIÁ TR Ị CH ÍNH Q U Y C Ủ A Á N H X Ạ TR Ơ N
VÀ Đ ỊN H LÝ SARD
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
H à N ội —N ăm 2016
BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2
KHOA TOÁN
M ai N gọc H oàng A nh
GIÁ T R Ị CH ÍNH Q U Y C Ủ A Á N H X Ạ TR Ơ N
VÀ Đ ỊN H LÝ SA R D
C huyên ngành: H ình học
K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. N guyễn Tất Thắng
H à N ội —N ăm 2016
Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của bản báo cáo thực tập chuyên
ngành, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Tất Thắng
đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em
tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện đề tài thực tập này.
Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Mai N gọc Hoàng Anh
Lời cam đ oan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và nội dung nghiên cứu trong khóa luận này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm
ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Mai N gọc Hoàng Anh
11
M ục lục
Lời mở đầu
ii
1 K iến thứ c cơ bản
1
2
3
1.1
Ánh xạ trơn và đa tạp trơn
................................................
1
1.2
Không gian tiếp xúc và ánh xạ vi p h â n .............................
4
1.3
Giá trị chính q u y ...................................................................
16
Đ ịnh lý Sard và Đ ịnh lý điểm bất động Brow n
20
2.1
Định lý Sard và B ro w n ..........................................................
20
2.2
Đa tạp với b i ê n .......................................................................
28
2.3
Định lý điểm bất động B r o w n .............................................
31
2.4
Chứng minh của định lý S a r d .............................................
34
Đ a tạp định hướng và bậc Brow n
45
3.1
Đồng luân trơn và đẳng luân t r ơ n ......................................
45
3.2
Đa tạp định h ư ớ n g ................................................................
46
3.3
Bậc B row n................................................................................
48
Tài liệu tham khảo
55
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Lời mở đầu
Ánh xạ trơn và đa tạp trơn là các đối tượng nghiên cứu chính của Tôpô
vi phân. Việc hiểu biết các ánh xạ xác định trên các đa tạp trơn cho
phép ta nhận lại thông tin về đa tạp đó. Để nghiên cứu các tính chất
hình học và tôpô của các ánh xạ trơn, bài toán đầu tiên cần được giải
quyết là nghiên cứu các điểm chính quy và giá trị chính quy của ánh xạ
đó. Điểm chính quy của một ánh xạ trơn là các điểm mà tại đó ánh xạ
vi phân là toàn ánh. Mục đích của khoá luận là trình bày lại một số kết
quả cơ bản về giá trị chính quy của các ánh xạ trơn và ứng dụng trong
việc nghiên cứu các đa tạp trơn. Một trong những định lý cơ bản trong
vấn đề này là định lý Sard. Nói rằng tập các giá trị chính quy của một
ánh xạ trơn là trù mật khắp nơi. Bằng việc sử dụng kết quả này, người
ta đưa ra định nghĩa về bậc Brown của một ánh xạ trơn giữa các đa tạp
cùng số chiều rồi từ đó phát hiện ra nhiều kết quả nổi tiếng.
Khoá luận gồm ba chương.
Chương 1 "Kiến thức cơ bản " trình bày một số các khái niệm cơ bản
về ánh xạ trơn, đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, ánh xạ vi phân và giá
trị chính quy có trong [1, Chapter 1].
Chương 2 "Định lý Sard và Định lý điểm bất động Brown " giới thiệu
Định lý Sard cùng với các hệ quả của nó trong [1, Chapter 2], đặc biệt
là hệ quả tập các giá trị chính quy của ánh xạ trơn giữa đa tạp trơn là
trù mật trên tập đích. Từ đó dẫn đến định lý điểm bất động Brown.
Chương 3 "Đa tạp định hướng và bậc Brown" đưa ra các khái niệm
ii
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
về đồng luân trơn, đẳng luân trơn, đa tạp định hướng, bậc Brown cùng
một số hệ quả và định lý về bậc Brown có trong [1, Chapter 4, 5], tiêu
biểu là kết quả bậc Brown của một ánh xạ trơn giữa hai đa tạp định
hướng cùng chiều không phụ thuộc vào giá trị chính quy mà chỉ phụ
thuộc vào lớp đồng luân trơn của nó.
Tác giả luận văn chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Tất Thắng đã tận
tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu. Tác giả
cũng xin được cảm ơn ThS. Nguyễn Thanh Tâm đã góp ý chi tiết về
cách trình bày một số kết quả trong luận văn.
Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Hình học, đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận
này.
Hà Nội, ngày 02/05/2016
Tác giả khóa luận
Mai Ngọc Hoàng Anh
Chương 1
K iến thứ c cơ bản
Trong chương này trình bày lại một số các khái niệm cơ bản về ánh xạ
trơn, đa tạp trơn, không gian tiếp xúc, ánh xạ vi phân và giá trị chính
quy trong [1, Chapter 1].
1.1
*
Anh xạ trơn và đa tạp trơn
Kí hiệu
là không gian Euclide A;-chiều. Với mỗi X € Kfc, ta viết
X = ( x i ,..., Xỵ) trong đó Xị G R, ỉ = 1,..., k.
Đ ịn h nghĩa 1.1. Cho u c R fe là một tập mở. Ánh xạ / = (fi,
u —>• M.1 được gọi là trơn nếu tấ t cả các đạo hàm g dnfg
X
:
của fi tại
= ( x i,..., X k ) € u tồn tại và liên tục.
Đ ịn h nghĩa 1.2. Cho X c Mfe, Y c M1. Ánh xạ / : X —» Y được gọi là
trơn nếu với mọi
X
E X , tồn tại một tập mở
xạ trơn F : u —¥ M
.1trùng với / trên
T ính chất 1.1.1. Cho X c
f
ư
c M.k chứa
X
và một ánh
un X.
Y c M1,
z
c Rm. Nếu các ánh xạ
: X —)■Y và g : Y —)■z là trơn thì g o / : X —»■z cũng là trơn.
1
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Chứng minh. Với mọi X £ X , do f
X —>• y là trơn nên tồn tại tập mở
u C R fc chứa X và ánh xạ trơn
F : u -> R l
trùng với / trên u n X . Với / (:r) £ Y . Do g : Y —> z là trơn nên tồn
tại tập mở V c R l chứa f (x) và ánh xạ trơn
G : V -> Mm
trùng với g trên V n Y . Ta có thể chọn u đủ nhỏ sao cho F (u ) c V.
T hật vậy, ta thay u bởi U\ — u n F ~ l (V ) nếu cần thiết. Khi đó ánh xạ
G o F : u ->• Mm
là trơn vì do tính khả vi vô hạn của hợp hai ánh xạ khả vi vô hạn. Hơn
nữa, G o F đồng nhất với g o / trên u n X . T hật vậy, lấy x' £ u n i ,
suy ra
F ự ) = f 0X') G F ỢJ) n Y c V n Y.
Do đó G{F{x' ) ) = g ( f ( x ' ) ) .
Đ ịnh nghĩa 1.3. Cho X c
□
Y c M*. Ánh xạ / : X —» Y được gọi là
một đồng phôi nếu / là song ánh, liên tục và / -1 liên tục.
Đ ịnh nghĩa 1.4. Cho X c
Y c M1. Ánh xạ / : X —»■Y được gọi là
một vi phôi nếu / là đồng phôi và cả / , / -1 là trơn. Khi đó ta nói X vi
phôi với Y qua ánh xạ / hoặc / ánh xạ X vi phôi với Y.
Đ ịnh nghĩa 1.5. Tập con M cM .k được gọi là một đa tạp trơn m-chiều
2
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
nếu với mỗi
X
€ M có một lân cận w n M vi phôi với một tập mở
u G Rm qua ánh xạ g.
Khi đó ánh xạ g : u —»• Rfe được gọi là tham số hóa của lân cận W n M
của
X.
Ánh xạ ngược g~l : w n M —>■u được gọi là một hệ tọa độ của
w nM .
V í dụ 1.1.1. Theo định nghĩa, M là một đa tạp trơn có số chiều không
nếu mỗi
X
€ M có một lân cận W n M chứa duy nhất
X.
V í dụ 1.1.2. Mặt cầu đơn vị s 2, gồm tấ t cả các các điểm (X , y, z ) G R3
thỏa mãn
X2
+ y2 + z 2 = 1 là đa tạp trơn có số chiều 2. T hật vậy, ta có
vi phôi
g : { (x ,y ) e R 2 : X 2 + y2 < l}
R3
xác định bởi công thức g (x,y) = ị x , y , y / l — X 2 — y
miền
z >
0 của s 2. Thay đổi vai trò của
X, y
,z
, là tham số hóa
và thay đổi ký hiệu cho
các biến, ta thực hiện tương tự tham số hóa của miền
X
< 0, y < 0 và
z
X
> 0, y > 0,
< 0. Do các miền này phủ s 2 nên suy ra s 2 là đa tạp
trơn 2-chiều.
V í dụ 1.1.3. Tổng quát, hình cầu S n~1 c Rn gồm tấ t cả các điểm
71
(x i, ..., x n) thỏa mãn
= 1 là đa tạp trơn có số chiều là n — 1. Chứng
i=1
minh là tương tự đối với ví dụ trên. Đặc biệt, s ữ c R 1 là đa tạp trơn
chứa hai điểm.
V í dụ 1.1.4. Tập hợp M gồm tấ t cả các (x,y) G R2 với
X
Ỷ 0
y = sin - là đa tap trơn 1-chiều. T hât vây, với moi í^o,sin — ) e M ,
x 0 > 0 hoặc x ữ < 0. Nếu
X
> 0, ta chọn lân cận w = {(x ,y ) : X > 0}
3
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
của ộco,sin—
Khi đó, dễ thấy
w n M
—>• (0, +oo)
(
, 1\
1 X , sin — I—>•
\
xj
X
là vi phôi với (0, +oo) là tập mở trong M1. Tương tự với
1.2
XQ
< 0.
Không gian tiếp xúc và ánh xạ vi phân
Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Cho u c
u tại điểm
X
là tập mở. Không gian tiếp xúc của tập
€ ư được định nghĩa là không gian vectơ Mfc. Kí hiệu là
Txu .
Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Cho u c M.k, V c M1 là các tập mở và / : u —»• V là
ánh xạ trơn bất kỳ. Với
X
€ u , ánh xạ
d fx : R k
Rl
cho bởi công thức
d fx (h) = lim
t-+0
với h G
f (x + th) - f (x)
được gọi là ánh xạ vi phân của / tại
X.
M ệ n h đề 1.1. Cho u c R k, V c R l là các tập mở và f : u —»■ V là
ánh xạ trơn bất kỳ. Khi đó, ánh xạ vi phân d fx là ánh xạ tuyến tính và
d fx có ma trận biểu diễn là
cấp l X k gồm các phần tử là đạo
hàm cấp một các hàm thành phần của f tại
4
X.
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Chứng minh. Với h = (h i, ..., hk) € Kfc. Ta viết
/i i x )
f ( x)
fi{x )
trong đó fi : u —»• M là các hàm khả vi cấp vô hạn. Mặt khác, với h €
giới hạn
y fi ix + th) - fi (X)
í—
y0
ị
là đạo hàm theo hướng h của fị. Theo Định lý 2.3 trong [4], ta có
fi (X + th ) - fi (z)
dfi {x)
dfi (z)
h m ----------- 7-----------= — — *1 + ... + —¿7 — hỵ
t->0
t
ƠXị
ƠXỵ
Do đó
/1 ( x + t h ) - f i(a )
y f ( x + t h ) - f (x)
t—
ì0
ị
í
lim
í—
^0
df i { x)
ỠX1 ht + ... + ^ ^ h k
dfi (x)
ÕXỵ
df i ( x )
ÕXỵ
dfi{x)
dxk
hị
df i ( x)
dxk
hk
□
5
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Sau đây là hai tính chất cơ bản của ánh xạ vi phân của ánh xạ trơn
giữa các tập mở:
T ín h c h ấ t 1 .2 .1 . (Quy tắc dẫy xích) Cho
Nếu f
:u —
»■V và g : V —
>•w
uc
ỉà các ánh xạ trơn,
Vc M
.1, w c Mm.
vói XGu, f (X) = y
thì d(go f ) x = dgy o d f x .
Theo cách khác, với mỗi tam giác giao hoán của các ánh xạ trơn giữa
V
u
các tập mở của Mk, R 1, Rm; tương ứng với một tam giác giao hoán của
các ánh xạ tuyến tính
Chứng minh. Do / và g là trơn nên g o / : u —
>•w là trơn. Gọi ma trận
của các ánh xạ tuyến tính dfx, dgy, d (g o / )
'dfi {xỴ
' Ỡ9i { y Ỵ
-
-
^ xj
- ỉxk
dyj
- mxl
6
lần lượt là
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Hơn nữa, ta có
(g° f)i (z)
= gi ( / ( x ) ) .
Từ đây và theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta suy ra
9(g ° f)i (x ) =
dxj
“
à gỉ ( / (ap) 9fp (x) =
9 f p (x )
9xó
dỹi (y) df p (x)
9yp
9xó
Nghĩa là
H
Cồ
__ 1
mxk
'9 gi (yỴ
. 9yó . mxl
9 fi (xỴ
1
03
«-ã.
' 9 { g ° f ) i {xỴ
Do đó d(0 o / ) x = d0„ o d f x.
T ính chất 1.2.2. Nếu
I là
□
ánh xạ đồng nhất của tập mở
d lx ỉà ánh xạ đồng nhất của R k. Tổng quát hơn, nếu
uc
uc
thì
U', u và U'
là các tập mở, i : u —>■U' là phép nhúng thì dix là ánh xạ đồng nhất của
R k.
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp tổng quát. T hật vậy, ta có
di,(h) = ụ
ư* + *fc)-i(»)= ^
t —^0
ị
{x + t h ) - x =
t —»0
ị
t —»0
□
H ệ quả 1.1. Nếu L : R k —»• R* là một ánh xạ tuyến tính thì dLx — L.
Chứng minh. Do L là ánh xạ tuyến tính nên
đL.{h) = lim ^
K ’ Ho
+ tk)-L(x) =
( L ( X) + t L ( h ) ) - L ( X)
t
t-To
t
= Ịim L( h) = L ( h ) .
t -»0
7
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
□
H ệ quả 1.2. Nếu f : u —»• V là một vi phôi giữa các tập mở
uc
Rfc,
V c M.1 thì ánh xạ vi phân df x : R k —>M1 là một đẳng cấu, suy ra k = l.
Chứng minh. Ta có / _1o / là ánh xạ đồng nhất của u. Do đó d( f ~1)yodfx
là ánh xạ đồng nhất của R*, suy ra dfx là toàn ánh do tính tính toàn
ánh của ánh xạ đồng nhất. Tương tự, dfx o d ( / _1) là ánh xạ đồng nhất
của Rfc, suy ra dfx là đơn ánh do tính đơn ánh của ánh xạ đồng nhất.
Do đó, df x là đẳng cấu và ta suy ĩã k — l.
□
Đ ịn h lý 1.1. (Định lý hàm ngược) Cho f : u -> Rfe là ánh xạ trơn với
u mở trong R k. Nếu ánh xạ vi phân df x : Rfc —»•
thì f ánh xạ tập mở bất kì U' c
u
là không suy biến
đủ nhỏ chứa X vi phôi lên một tập
mở
(Chứng minh xem trong [4, Định lý hàm ngược])
Dưới đây, ta định nghĩa không gian tiếp xúc của một đa tạp trơn và
ánh xạ vi phân của ánh xạ giữa các đa tạp trơn.
Đ ịnh nghĩa 1.8. Cho đa tạp trơn m-chiều M c Rfe. Với
X
e M , chọn
một tham số hóa
g : u -> R k
của lân cận g (u) c M của X, trong đó
uc
phân của g tại u = g~x (x) là
dgu : Rm->•Rk.
8
Rmlà tập mở. Ánh xạ vi
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Khi đó, không gian vectơ I m dgu không phụ thuộc vào việc chọn tham
số g. Ta gọi I m dgu là không gian tiếp xúc của đa tạp trơn M tại X. Kí
hiệu là TXM .
Ta chứng minh không gian vectơ dgu không phụ thuộc vào việc chọn
tham số g.
Chứng minh. T hật vậy, cho h : V —> Mfc là tham số hóa khác của lân
cận
hịy)
c M của X với V = h~l {x). Ta có thể chọn
u đủ nhỏ sao cho
g (U) c h( V) . T hật vậy ta thay u bởi Ui = g~l (h ( V )) n u nếu cần
thiết. Khi đó h~l og ánh xạ tập mở
u chứa u vi phôi với tập mở V
V. Ta có sơ đồ giao hoán của các ánh xạ trơn giữa các tập mở
u
V
Ta chuyển sang sơ đồ giao hoán của ánh xạ tuyến tính
R'k
c
9
chứa
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Từ đây ta suy ra Im dgu = Im dhv. Do đó TXM được xác định duy
nhất.
□
M ệ n h đ ề 1.2. Cho đa tạp trơn m-chiều M c Rfc. Với
X
€ M , không
gian tiếp xúc TXM c Mfc là không gian vectơ m-chiều.
Chứng minh. T hật vậy, vì
g- 1 : s ( t / ) -> c/
w chứa X
w n g (u).
là ánh xạ trơn nên ta có thể chọn một tập mở
trơn F
:w —
»■Rmtrùng với g~l trên
Đặt Uo = g~l (W n g (t/)), ta có sơ đồ giao hoán
w
Ta có sơ đồ giao hoán các ánh xạ tuyến tính
Rk
10
và một ánh xạ
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Sơ đồ này chỉ ra rằng dgu có hạng m và do đó ảnh TXM của nó có số
chiều ra.
□
Đ ịn h nghĩa 1.9. Cho hai đa tạp trơn M c R k, N c R l và ánh xạ trơn
f : M -► N
Lấy X € M, f (x) = y. Vì / là trơn nên tồn tại tập mở w c R k chứa X
và ánh xạ trơn
F : w ->• R'
trùng với / trên w n M . Ta có ánh xạ vi phân
dFx : R k
M1.
Khi đó ánh xạ
d fx : TXM -> TyN
xác định bởi công thức d fx (V) = dFx (v), với mọi V G TXM c
không
phụ thuộc vào việc chọn F. Ta gọi d f x là ánh xạ vi phân của / tại X.
Ta chứng minh d f x ánh xạ TXM vào TyN và d f x không phụ thuộc
vào việc chọn F.
Chứng minh. T hật vậy, ta chọn các tham số hóa
g :u
của lân cận
g
(u ) c M của
nhỏ sao cho F (w) c
h
Rk,
X
và
h
h : V - + R 1,
(V ) c N của
y.
Ta có thể chọn w đủ
(V) (thay w bởi Wi = F ~ l
11
(h
(V )) n w nếu cần
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
thiết) và u đủ nhỏ sao cho g (u ) c
w
(thay u bởi Uị = g 1 (W) n u
nếu cần thiết). Khi đó F ánh xạ g (u ) vào h (V ). Ta suy ra
/T 1 o F o g : u
là ánh xạ trơn. Do g (u ) c
w nM
V
nên F = f trên g ([/), suy ra
h~l o F o g = h~l o f o g : u —>V.
Xét sơ đồ giao hoán
F
w
Rl
9
h
u
h 1o F o g
■V
của các ánh xạ trơn giữa các tập mở. Chuyển sang ánh xạ vi phân, ta
có sơ đồ giao hoán của các ánh xạ tuyến tính
dFx
Rk
dhv
dgu
R ĩn
Rl
d{h 1 o F o g^j
WL
trong đó u = g~l (z),và V = h~l (y ).
Ta suy ra dFx ánh xạ TXM = Im, dgu vào TyN = Im dhv, tức là d fx
ánh xạ TXM vào TyN. Hơn nữa, d fx không phụ thuộc vào việc chọn F,
12
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
ta có thể nhận được cùng biến đổi tuyến tính bằng cách đi vòng quanh
sơ đồ. Đó là
dFx = dhv o d{h~l o / o g )u o {dgu)~ \
trong đó, h, h~l o / ° g, g là các ánh xạ cố định. Điều này hoàn thành
chứng minh.
□
Ánh xạ vi phân của ánh xạ trơn giữa hai đa tạp trơn có hai tính chất
cơ bản sau đây:
T ính chất 1.2.3. (Quy tắc dây xích) Nếu f : M —>■N và g : N —»■p là
các ánh xạ trơn giữa các đa tạp trơn với X G M , f (x) = y thì d(g o / )
=
dgy o d f x.
Chứng minh. Giả sử M c
N c M1, p c Mh. Do / , g là ánh xạ trơn
nên g o f : M —> p là trơn. Khi đó tồn tại các tập mở u c Mfc chứa
X
,
V c M1 chứa y và các ánh xạ trơn
F : U -> R l,
G :V
Rh
sao cho F trùng với / trên u n M , G trùng với g trên V n M . Ta chọn
u đủ nhỏ sao cho F (u ) c V (ta có thể thay u bởi ƠI = u n F ~ l (V)
nếu cần). Khi đó tồn tại ánh xạ trơn
G o F : u -)> R h
thỏa mãn G o F trùng với g o f trên u n M . T hật vậy, với mọi
X
€
ơ n M , ta có / (x) = F (x) € V n N , suy ra G (F (t )) = g ( / (t)), hay
13
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
(G o F) (X) = (g o / ) (a;) . Theo Tính chất 1.2.1 và Định nghĩa 1.9, ta có
d{g ° f ) x = d{G o F )x = dGy o dFx = dgy o d fx
Ta có điều phải chứng minh.
□
T ính chất 1.2.4. Nếu cho M c
nhất của M thì với
X
là đa tạp trơn và I là ánh xạ đồng
e M , d lx là ánh xạ đồng nhất của TXM . Trong
trường hợp tổng quát, nếu cho M ,N c Mk là hai đa tạp trơn thoả mãn
M c N và i : M —> N là phép nhúng thì với
di.r : T XM
X
G M , TXM c TXN và
TXN là phép nhúng.
Chứng minh. Ta chứng minh cho trường hợp tổng quát. Giả sử M , N là
các đa tạp trơn có số chiều lần lượt là m, n. Ta chọn các tham số hóa
g :U
M,
h :V
N
của lân cận g (u ) c M của X = g (u) và lân cận h (y) c N của X — h (v),
trong đó u c Mm, V c Mn là các tập mở. Hơn nữa, i : M ^ N là trơn
nên tồn tại tập mở w chứa
X
và ánh xạ trơn
J :w
Rk
trùng với i trên w n M. Ta chọn w đủ nhỏ sao cho J {yv n M) c h (V)
và u đủ nhỏ sao cho g (U) c w n M. Khi đó ta có sơ đồ giao hoán sau
14
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
u
h 1 og
9
y
h
phép nhúng
g
(ủ)--------
- h
Chuyển sang ánh xạ vi phân, ta có sơ đồ giao hoán
d (h 1 o g)
R m___ v_____ yJu > R n
_
Từ sơ đồ trên và theo Tính chất 1.2.2, phép nhúng dJx ánh xạ I m dgu
vào I m dhv, nghĩa là phép nhúng dix đi từ TXM đến TXN.
□
Đ ịn h lý 1.2. Nếu f : M —¥ N là một vi phôi giữa các đa tạp trơn thì với
X
€ M , f (x) = y, ánh xạ vi phẫn d fx : TXM —> TyN là một đẳng cấu
của các không gian vectơ. Lúc đó, số chiều của M phải bằng số chiều
của N .
Chứng minh. Do / _1 o / là ánh xạ đồng nhất của M nên d ( / -1) o d fx
là ánh xạ đồng nhất của TXM, suy ra dfx là toàn ánh do tính toàn
ánh của ánh xạ đồng nhất. Do / o / -1 là ánh xạ đồng nhất của N nên
dfx ° d ( / -1) là ánh xạ đồng nhất của TyN, suy ra dfx là đơn ánh do
tính đơn ánh của ánh xạ đồng nhất. Ta suy ra dfx là đẳng cấu. Do đó
dim TXM = dimT^lV.
15
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Vậy M và N là hai đa tạp có cùng số chiều.
1.3
□
Giá trị chính quy
Đ ịnh nghĩa 1.10. Cho / : M —>• V là một ánh xạ trơn giữa hai đa tạp
trơn. Ta nói rằng
1. Điểm
X
e M là một điểm chính quy của / nếu ánh xạ vi phân
dfx '■TxM —»■Tf(x) N là toàn ánh.
2. Điểm
X
e M là một điểm tới hạn của / nếu nó không là điểm chính
quy của / .
3. Điểm y G N là một giá trị chính quy của / nếu / -1 (y ) chỉ chứa các
điểm chính quy.
4. Điểm y G N là một giá trị tới hạn của / nếu nó không là điểm
chính quy của / .
N hận x ét 1.1. Với mỗi y e N, y là một giá trị tới hạn hoặc là một giá
trị chính quy tùy vào / -1 (y) có chứa điểm tới hạn hay không.
T ính chất 1.3.1. Cho f : M —»■N là một ánh xạ trơn giữa hai đa tạp
trơn có cùng số chiều m . Nếu
X
€ M là một điểm chính quy thì f ánh
xạ từ một lân cận của
X
Chứng minh. Giả sử
E M là điểm chính quy của / . Khi ăó f (x) E N .
X
trên M vi phôi vào một tập mở của N .
Do M là đa tạp nên tồn tại lân cận Wi c
g : W1n M
16
của
u
X
và vi phôi
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
trong đó u c Rm là mở. Do N là đa tạp nên tồn tại lân cận w 2 c M.1
của / (X) và vi phôi
h : w 2 n N ->• V
trong đó V c Rm là mở. Ta có thể chọn Wị đủ nhỏ sao cho / (Wi n M) c
w2n N . Khi đó h o f o g~l : u
V là trơn và u, V là các tập mở của
Rm. Theo tính chất đạo hàm của hợp các ánh xạ trơn, ta có
d(h o / o g~l )g_1{x) = dhf{x) o d f x o (
là không suy biến. Theo định lý hàm ngược, tồn tại tập mở U' c u c Rm
chứa g~l (x) vi phôi với ( / i o / o g _1) (JJ') qua h o f o g~l . Ta suy ra lân
cận <7_1 (Ur) của
X
vi phôi với ( / o <7-1) (£/') qua / .
□
M ệnh đề 1.3. Cho f : M —»■N ỉà một ánh xạ trơn giữa hai đa tạp trơn
có cùng số chiều m . Nếu M là compact và y & N là một giá trị chính
quy thì f ~ l (y ) là một tập hữu hạn (có thể là tập rỗng).
Chứng minh. Với mọi
X
E / -1 (y). Do y là giá trị chính quy nên
X
là
điểm chính quy. Ánh xạ vi phân
dfx : TXM -> TyN
là không suy biến. Theo Tính chất 1.3.1, / ánh xạ một lân cận u c M
của
X
vi phôi với / (u ) c N chứa y, nghĩa là với mỗi y , tồn tại duy nhất
17
M ai N gọc H oàng A nh
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
X
trong lân cận u c M của
X
thoả mãn / (a;) = y. Do đó / -1 (y ) là
tập rời rạc các phần tử. Hơn nữa, do / -1 (y) là tập con đóng trong tập
compact M nên / -1 (y) là tập compact . Nếu / -1 (y) là tập vô hạn phần
tử thì do tính compac của / -1 (y ) nên / -1 (y ) có điểm tụ. Mâu thuẫn
với tính rời rạc của / -1 (y ). Vậy / -1 (y) là tập hữu hạn phần tử.
□
M ệnh đề 1.4. Cho ánh xạ trơn f : M —> N giữa hai đa tạp có cùng số
chiều, trong đó M là compact và y £ N là một giá trị chính quy của f .
Ta đặt # / -1 (y) là số lượng các điểm trong f ~ l {ỳ). Khi đó hàm # / _1 (y)
là hằng địa phương theo biến y, tức là tồn tại một lân cận V c N của
giá trị chính quy y của f sao cho
# r 1 (y') = # r 1 (»)
với mọi y' £ V.
Chứng minh. Cho
X ị , . . . , Xỵ
là tấ t cả các điểm của / -1 (y). Do M , N là
hai đa tạp trơn có cùng số chiều nên theo Tính chất 1.3.1, ta có thể chọn
trong M cấc lân cận đôi một rời nhau Ui,..., Uk lần lượt của
X ị , . . . , Xỵ
mà vi phôi lần lượt với các lân cận Ví,..., v k trong N qua / . Khi đó
V = V, n v 2 n ... n v t \ f { M \u ,.\...\u t )
là lân cận trong N cần tìm. T hật vậy, với mọi y' £ V, ta có y' £ Vị,
ỉ = 1,..., k. Do
Ui
vi phôi với Vị qua / nên tồn tại duy nhất x'ị £
cho / (x'ị) = y ', ỉ = 1,..., k. Mặt khác, do
y' £ f (M \U i\...\U k) = / ( M \ (Ut u ... u u k))
18
Ui
sao
