Khoá luận tốt nghiệp phân loại đa tạp khả vi một chiều

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

KHOA TOÁN

N g u y ễn T h ị X u â n

P H Â N LO Ạ I
Đ A T Ạ P K H Ả V I M Ộ T C H IÊ U

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

H à N ội —N ăm 2016


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s ư P H Ạ M H À N Ộ I 2

KHOA TOÁN

N g u y ễn T h ị X u â n

P H Â N LO Ạ I
Đ A T Ạ P K H Ả V I M Ộ T C H IÊ U

C h u y ê n n g àn h : H ìn h H ọ c

K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I H Ọ C

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. N guyễn Tất Thắng

H à N ội —N ăm 2016


Lời cảm ơn

Để hoàn thành khóa luận này, trước hết em xin được bày tỏ lòng cảm ơn
sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ và đóng góp ý kiến cho em trong suốt
thời gian học tập và nghiên cứu tại trường. Đặc biệt em xin chân thành
cảm ơn thầy giáo TS. Nguyễn Tất Thắng đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ
bảo tận tình để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu nên không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến
của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện
hơn. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
N guyễn T h ị X u ân


Lời cam đ oan

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS.
Nguyễn Tất Thắng cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình
nghiên cứu em có tham khảo các kết quả nghiên cứu của các nhà hoa học
với sự trân trọng và biết ơn.
Em xin khẳng định nội dung của đề tài này không có sự trùng lặp với các
đề tài khác. Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viên
N guyễn T h ị X u ân

11


M ục lục

Lời m ở đ ầ u

iv

1 K iến th ứ c ch u ẩ n b ị

1

1.1

Cấu trúc tuyến tính của Rn ................................................

1

1.2

Chuẩn trên Rn

.......................................................................

2

1.3

Khoảng cách trên Rn .............................................................

2

1.4

Sự tương đương của các chuẩn trên Rn ..............................

3

1.5

Sự hội tụ của dãy trong Rn

................................................

4

1.6

Hình cầu mở, hình cầu đóng, lân c ậ n ................................

4

1.7

Tập đóng, tập m ở ...................................................................

5

1.8

Các điểm đặc b i ệ t ...................................................................

6

1.9

Tập compact

..........................................................................

7

1.10 Tập liên thông trong Rn .......................................................

8

2 Đ a tạ p k h ả vi
P h â n loại đ a tạ p k h ả vi 1-chiều

10

2.1

Ánh xạ trơn và đa tạp trơn

................................................

10

2.2

Không gian tiếp xúc và ánh xạ vi p h â n .............................

13

2.3

Phân loại đa tạp khả vi một c h iề u .......................................

22

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3

N gu y ễ n T hị X uân

Đ ư ờng cong tr o n g M3

26

3.1

Đường cong trong M3 ..............................................................

26

3.1.1

Cung tham s ố .............................................................

26

3.1.2

Cung trong M3 ..........................................................

27

3.1.3

Cung chính q u y ..........................................................

28

3.1.4

Cung định h ư ớ n g .......................................................

28

3.1.5

Tiếp tuyến, pháp tuyến và pháp diện của cung . .

29

3.2

3.3

3.4

3.5

Độ dài cung và tham số hóa tự nhiên của một cung chính
q u y .............................................................................................

30

3.2.1

Độ dài c u n g ................................................................

30

3.2.2

Tham số hóa tự nhiên của một c u n g ...................

33

Cung song chính quy. Mặt phẳng m ật tiếp tại điểm song

chính quy của c u n g ..................................................................

34

3.3.1

Cung song chính q u y ................................................

34

3.3.2

Mặt phẳng mật tiếp, m ặt phẳng trực đ ạ c .............

34

Độ congcủa cung chính q u y ...................................................

35

3.4.1

Khái niệm độ c o n g ...................................................

35

3.4.2

Công thức tính độ cong của cung trong M3 . . . .

35

3.4.3

Cung t h ẳ n g ................................................................

36

Mục tiêu Frénet và độ xoắn của cung song chính quy trong
R3 .............................................................................................

37

3.5.1

Mục tiêu F ré n e t..........................................................

37

3.5.2

Độ xoắn và công thức Prénet của cung song chính
quy định h ư ớ n g ..........................................................

ii

38


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3.5.3
3.6

Cung p h ẳ n g ................................................................

39

Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong R 3 ...................

40

T ài liệu th a m k h ảo

46

iii


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lời m ở đầu
1. L ý do ch ọ n đ ề tà i.
Hình học vi phân là môn học yêu thích của em. Các đa tạp khả vi là
đối tượng nghiên cứu chính trong chủ đề này. Một trong những bài toán
cơ bản là phân loại các đa tạp khả vi. Đây là vấn đề khó và lời giải khá

là thú vị. Vì vậy em đã chọn đề tài "Phân loại đa tạp khả vi một chiều"
làm khóa luận tốt nghiệp.

2. M ụ c đ ích n g h iê n cứu.
Tìm hiều sâu hơn về cấu trúc của các đa tạp khả vi.
Phân loại đa tạp khả vi một chiều.
Tìm hiểu đường cong trong R3.

3. Đ ối tư ợ n g n g h iê n cứu.
Đa tạp khả vi trong Rn và chủ yếu là các đa tạp khả vi 1-chiều.

4. N h iệm v ụ n g h iê n cứu.
Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều và nghiên cứu đường cong trong R 3.
5. P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứu.
Đọc hiểu lý thuyết về đa tạp khả vi. Sử dụng lý thuyết cơ bản của
hình học vi phân để chứng minh sự đồng phôi của các đa tạp trơn.

6. C ấ u tr ú c lu ậ n văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm
iv


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

N gu y ễ n T hị X uân

3 chương:
Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị” trình bày lại một số kiến thức về cấu
trúc của không gian Rn và tôpô của Rn.
Chương 2. "Đa tạp khả vi và phân loại đa tạp khả vi 1-chiều" trình

bày về đa tạp khả vi (cấp vô hạn) và định lý chủ yếu của chương này là
Phân loại đa tạp khả vi một chiều.
Chương 3. "Đường cong trong R3" trình bày một số lý thuyết về
đường cong trong R3 và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết đường
trong R3.


Chương 1
K iến thứ c chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta trình bày lại một số kiến thức về cấu trúc
của không gian Rn và tôpô của Mn.

1.1

C ấu trú c tu y ế n tín h củ a Mn

Kí hiệu
Mn = {x — ị x i , x n) : Xị G M, i — 1 , n} .
Đưa vào trong Mn phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử với
một vô hướng được định nghĩa như sau: Nếu X = ( a : i , x n) ,
y = (yi,...,ỉ/„) G Mn thì
X + y = (Xị + yu ...,xn + yn) ,
Xx = ( Ằ X i , X x n) ,
trong đó A e 1 . Dễ thấy Mn với hai phép toán trên trở thành một
không gian vectơ thực n-chiều với cơ sở chính tắc là ei = ( 1 , 0 , 0 ) ,
e2 = (0,1,0, ...0),

en = ( 0 , 0 , 1 ) .
1

N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

C huẩn trên Mn

Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Chuẩn trên Rn là một hàm tp : Rn —>• R thỏa mãn các
điều kiện sau: Với mọi X, y e Rn và với mọi A e R,
1. ip (X) > 0 và ip (x) = 0 <=>• X = 0,
2. ip(\x ) = ỊAỊ^(a^),
3. (fi {x + y) < (fi (x) + ip (y).
V í d ụ 1.2.1. Hàm trị tuyệt đối I.I là một chuẩn trên R.
V í d ụ 1.2.2. Hàm ||.|| : Rn —¥ R cho bởi
n
X

với X = (xi,X2,

ẽ Rn, là một chuẩn trên Rn. Chuẩn này được gọi

là chuẩn Euclide của Rn.

1.3

K h oản g cách trên Mn

Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Hàm p : Rn X Rn —>R được gọi là khoảng cách (hay

mêtric) trên Rn nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi X, y, z € Rn,
1. p (x, y) > 0 và p (x, y) = 0 4» X = y,
2. p{x, y) = p (y, x) (tính đối xứng),
3. p (X, z) < p (X, y) + p (y , z) (bất đẳng thức tam giác).

2


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Giả sử ip : Rn —»• M là một chuẩn trên Rn. Khi đó dễ
kiểm tra hàm
p{x, y) = < p ( x - y ) ,
với mọi x , y G Mn, xác định một khoảng cách trên Mn. Khoảng cách này
được gọi là khoảng cách sinh bởi chuẩn (p.

1.4

Sự tư ơ n g đương củ a các chuẩn trên Mn

Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Hai chuẩn ip và Ip trên Mn được gọi là tương đương và
viết íp ~ ĩp nếu tồn tại các số dương ƠI, c 2 sao cho
C r t (X) < ip (x) <

(a:), \/x G Mn.

N h ậ n x é t 1.1. Quan hệ ~ là quan hệ tương đương.
Ta phát biểu định lý sau trong [4].

Đ ịn h lý 1.1. Hai chuẩn bất kỳ trên Mn ỉà tương đương.
Chứng minh. Xem [4].

□

Vì mọi chuẩn trên Mn là tương đương nên từ đây về sau ta sẽ sử dụng
kí hiệu ||.|| để chỉ cho một chuẩn tùy ý trên Mn.

3


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5

Sự hội tụ củ a d ãy tro n g Mn

Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Điểm a E M
n được gọi

là giới hạn của dãy (x k) c Mn

nếu với mọi £ > 0 tồn tại k (s) sao cho \/k > k (e) ta có
lịa;* —a II < £.
Khi đó ta nói dãy (x k) hội tụ đến a và viết lim x k = a hay x k —>a khi
k —ị oo

k —ỳ’ oo.

Ta có các nhận xét sau: Dãy x k = (x \ , ...:x k) : Ả: = 1,2,... hội tụ đến
a = (ữ i,..., an) khi và chỉ khi dãy (Xị) c M hội tụ đến ữj, ¿ = 1 ,2 ,....
Như vậy sự hội tụ trong Rn là sự hội tụ theo tọa độ.

1.6

H ìn h cầu m ở, h ìn h cầu đ ón g, lân cận

Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Giả sử x ũ € Mn và r > 0.
1. Tập hợp
B (x °,r) = Ịx ẽ R" : ||a; —a:°|| < r}
được gọi là hình cầu mở tâm x°, bán kính r trong Mn.
2. Tập hợp
Ẽ (x°,r) = Ịx G r

: ||a; —x°|| < r}

được gọi là hình cầu đóng tâm x ữ, bán kính r trong Mn.
Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Cho x ữ € Mn. Tập con u

c Mn được gọi là một lân

cận của x° nếu tồn tại r > 0 sao cho B (x°, r)
4

c u.


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ta có các nhận xét
1. Nếu

u là một lân cận của x ũ thì mọi tập

con của Mn chứa

u đều là

lân cận của x ữ.
2. Giao của hữu hạn và hợp của một họ tùy ý các lân cận của x ữ cũng
là lân cận của x ữ.
3. Với mọi lân cận

u đều tồn

tại lân cận V c

u của x ữ sao cho V

là

lân cận của mọi y E V.

1.7

Tập đ ón g, tậ p m ở

Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Tập D c Rn được gọi là mở nếu D là lân cận của mọi
điểm của nó.
Kí hiệu họ tấ t cả các tập mở của Mn là

T.

Khi đó

1. 0, Rn € T,
2. Di e r , i = 1 , 2 , m =>•
3. Di e

T,

%e I =>

Không gian

uA

iel

e

nA

i=1

e T,

T.

khi đó trở thành một không gian tôpô với họ tập mở

r.
Đ ịn h n g h ĩa 1.9. Tập M c K " được gọi là đóng nếu phần bù của nó là
mở.
Kí hiệu họ tấ t cả các tập đóng trong Mn là (. Khi đó
5


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1. 0,Mne c,

2. Di e c, i G I ^ ie/nA €c,
3. Di € ( , i = 1,2, ...,m => Ũ D i e Ci=l
M ệ n h đ ề 1.1. Cho Ẩ c M ” . Hai khẳng định sau là tương đương
1. A là đóng.
2. Nếu (xfc) c A hội tụ đến

1.8

X

thì

X

G A.

C ác đ iểm đặc b iệt

Đ ịn h n g h ĩa 1.10. Cho Ả c Kn.
1.

X

được gọi là điểm trong của

nếu

Ả

Ả

là lân cận của

X.

Tập tấ t cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A. Kí
hiệu I n t (A) hay A°.
2.

X

được gọi là điểm tụ của

một điểm của

A nếu mọi lân cận u của X

A khác X.

Tập tấ t cả các điểm tụ của
viết là
3.

X

chứa ít nhất

A được

gọi là tập dẫn xuất của

A và

A'.

được gọi là điểm cô lập của

A nếu tồn

tại lân cận

u của X

thỏa

mãn
U n A = { x} .
4.

X

hoặc là điểm tụ hoặc là điểm cô lập của

dính của

A.
6

A sẽ được

gọi là điểm


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tập tấ t cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng của A và kí
hiệu là A.

5.

X

được gọi là điểm biên của A nếu

lân cận

unA

Ỷ 0 và U \A Ỷ 0 với ưiọi

u của X.

Tập tấ t cả các điểm biên của A được gọi là biên A và kí hiệu là dA.

1.9

Tập co m p a ct

Đ ịn h n g h ĩa 1.11. Tập

Ẩ c l" được gọi là tập compact nếu mọi dãy

trong a đều chứa một dãy con hội tụ đến một phần tử thuộc A.
Đ ịn h lý 1.2. (Haussdorf) Tập A

c Rn là compact khi và chỉ khi nó

đóng và bị chặn.
Đ ịn h n g h ĩa 1.12. Giả sử A

c Rn. Họ các tập

được gọi là một

phủ mở của A nếu
1. Ui là mở trong
2. A

c

Rn, V« € I,

uUi.

i€l

BỔ đ ề 1.1. Trong

Rn; mọi tập bị chặn có thể phủ bởi hữu hạn hình cầu

có bán kính nhỏ tùy ý.
Đ ịn h lý 1.3. (Định lý Heỉne-Borel). Tập A

c Mn là compact khi và chỉ

khi mọi phủ mở của A đều chứa một phủ con hữu hạn.

7


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.10

Tập liên th ô n g tro n g Mn

Đ ịn h n g h ĩa 1.13. Tập E c Rn được gọi là liên thông nếu không tồn
tại hai tập mở A và B của Rn sao cho

V í d ụ 1.10.1. R là tập liên thông.
M ệ n h đ ề 1.2. Tập Ể c R Ỉ À liên thông nếu và chỉ nếu nó có tính chất

xEE,y&E,xChứng minh. Giả sử phản chứng z Ệ E. Khi đó ta có A = (—00 , 2:) và
B = (z, +oo) là hai tập mở không giao nhau trong R. Hơn nữa ta có,
^ 4 n £ l ^ 0 , H n £ l 7 ^ 0 v à £ ’ C^ 4 U 5 . Ta suy ra E không liên thông (mâu
thuẫn với giả thiết E là tập liên thông).
Vậy z € E.

□

Đ ịn h n g h ĩa 1.14. Tập E € R gọi là liên thông đường nếu với mọi điểm
X, y thuộc E tồn tại một đường liên tục trong E nối X Yầ y, tức là tồn
tại một ánh xạ liên tục
/ : [0,1] -> E
sao cho / (0) = x , f (1) = y.

M ệ n h đề 1.3. Tập E liên thông đường thì liên thông.
Chứng minh. Ta có [0,1] là tập liên thông, / là ánh xạ liên tục nên

/ ([0,1]) là tập liên thông trong E. Tập liên thông này chứa
8

X

và

y.

Mà


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

ta có hệ quả trong [5] là nếu với hai điểm bất kỳ

X

gian tôpô E đều tồn tại một tập liên thông chứa

và
X

không gian liên thông. Do đó, ta có E là liên thông.

9

y

và

của một không
y

thì E là một
□


Chương 2
Đ a tạp khả vi
P h ân loại đa tạp khả vi 1-chiều
Trong chương này chúng ta trình bày về đa tạp trơn, nhắc lại các khái
niệm của đa tạp trơn, ánh xạ trơn, không gian tiếp xúc, ánh vi phân và
định lý chính trong chương này là "Phân loại đa tạp khả vi 1-chiều".
_

2.1

*

A n h x ạ trơn và đ a tạ p trơn

Kí hiệu

là không gian Euclide A;-chiều. Với mỗi X € Mfc, ta viết

X = (Xị, ..., Xỵ) trong đó Xị E K, i = 1,..., k.
Đ ịn h n g h ĩa 2.1. Cho

u

c Mfc là một tập mở. Ánh xạ

được gọi là trơn nếu tấ t cả các đạo hàm từng phần a

/ :u —
>Rl
của fi tại

X = (x i, ..., Xỵ) G ư tồn tại và liên tục.
Đ ịn h n g h ĩa 2.2. Cho X c Mfc, Y c M1. Ánh xạ / : X —» Y được gọi là
trơn nếu với mọi X E X , tồn tại một tập mở ư c R k chứa X và một ánh
xạ trơn F : u —¥ M.1 trùng với / trên

10

un X.


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

T ín h c h ấ t 2.1.1. Cho X
f :X

Y và g : Y

Chứng minh. Với mọi

u c Rfc chứa X

z
X

c Rfc, Y c Mì, z c Rm. Nếu các ánh xạ

là trơn thì g o / : X —»■z cũng là trơn.

E X , do f : X —>■y là trơn nên tồn tại tập mở

và ánh xạ trơn
F : u -> R l

trùng với

/ trên u n X . Với / (:r) € Y. Do g : Y —
>z là trơn nên tồn

tại tập mở V

c Rz chứa / (x) và ánh xạ trơn
Rm

G :V

trùng với g trên V n Y . Ta có thể chọn
T hật vậy, ta thay

u đủ

nhỏ sao cho F (u)

u bởi ƠI = u n F ~ x (V ) nếu cần thiết.

c V.

Khi đó ánh xạ

G o F : u ->• Rm
là trơn do tính khả vi vô hạn của hợp hai ánh xạ khả vi vô hạn. Hơn
nữa, G o F đồng nhất với g o / trên

un X.

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Đ ịn h n g h ĩa 2.3. Cho X

□

c Rfc, Y c R*. Ánh xạ / : X —» Y được gọi là

một vi phôi nếu / là đồng phôi và cả / , / -1 là trơn. Khi đó ta nói X vi
phôi với Y qua ánh xạ / hoặc / ánh xạ X vi phôi với Y .
Đ ịn h n g h ĩa 2.4. Tập con M
nếu với mỗi

X

c Rfcđược gọi là một đa tạp trơn m-chiều

€ M có một lân cận w n M vi phôi với một tập mở

ơ c Rm.
11


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đ ịn h n g h ĩa 2.5. Ánh xạ g : u —>■R k được gọi là tham số hóa của lân
cận w n M của

X

nếu g ánh xạ u vi phôi với w n M . Ánh xạ ngược

g~l : w n M —> u được gọi là một hệ tọa độ của w n M .
V í d ụ 2.1.1. Đường tròn đơn vị s 1 gồm những điểm (x , y ) e M2 thỏa
mãn

X2

+ y2 = 1 là đa tạp khả vi 1-chiều. T hật vậy, ta chọn
w = {(a:,i/) : X > 0} c M2.

Ta có w n s 1 = |(:r, y) : X = y / ĩ - y2, y e ( - 1 , 1 ) |.

Bây giờ, ta sẽ chứng minh / : w n s 1

R 1 là vi phôi.

• Ta xây dựng ánh xạ /i : (—1,1) —>■w n s 1,y ^

ị y / l — y2,y^ ■

Xét ánh xạ / i -1 ta có

/ r 1ivvns1-* (-1,1),(\Ơ - y

\y )^ y

là ánh xạ chiếu nên nó là song ánh. Hơn nữa, ta có /i, /i 1 khả vi.
Do đó /i là vi phôi.
• Ta xây dựng ánh xạ /2 : M1 —»• (—1,1).
Xét ánh xạ ngược / 2-1 : (—1,1) —>M1. Ta có / 2-1 = h o g trong đó

mà g, h là vi phôi nên /2 là vi phôi.
Vậy / = /2 ° /1 là vi phôi.
12


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tổng quát, hình cầu S n 1 cR" gồm tấ t cả các điểm ( a q , x n) thỏa
n

mãn ^
= 1 là đa tạp khả vi có số chiều là n — 1. Chứng minh là
i=1
tương tự đối với Ví dụ 2.1.1. Đặc biệt, sữc M1 là đa tạp khả vi chứa 2
điểm.
V í d ụ 2.1.2. Tập hợp M gồm tấ t cả các (X, y ) ẽ R2 với y = siĩtx là đa
tạp khả vi 1-chiều. (Chứng minh tương tự ví dụ trên).

2.2

K h ôn g gian tiế p x ú c và án h x ạ v i p h ân

Đ ịn h n g h ĩa 2.6. Cho

u tại

điểm

X

€

ucR

u được

k là tập mở. Không gian tiếp xúc của tập

định nghĩa là không gian vectơ Mfc. Kí hiệu là

TXU.
Đ ịn h n g h ĩa 2.7. Cho

uc

V

c R l là các tập mở và / : u —>■V là

ánh xạ trơn bất kỳ. Với X E ư, ánh xạ
dfx : R k

Rl

cho bởi công thức
df x (h) = lim

/ (x + th) - f (z)

í->0

với h e

được gọi là ánh xạ vi phân của / tại x.

Khi đó ánh xạ vi phân df x là ánh xạ tuyến tính và df x có ma trận
biểu diễn đối với cơ sở chính tắc của

và cơ sở chính tắc của M* là

(x) cấp ỉ X k gồm các phần tử là đạo hàm cấp một các hàm thành
phần của / tại x.
13


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Sau đây là hai tính chất cơ bản của ánh xạ vi phân của ánh xạ trơn
giữa các tập mở:
T ín h c h ấ t 2.2.1. (Quy tắc dẫy xích) Cho
Nếu f : u —»■ V và g :

V —»• w

uc

V

c E.1, w c Mm.

là các ánh xạ trơn, vói f (x) = y thì

d(g ° f ) x = dgy o d f x .
Theo cách khác, với mỗi tam giác giao hoán của các ánh xạ trơn giữa
V

u
các tập mở của Mk, M.1, Rm; tương ứng với một tam giác giao hoán của

các ánh xạ tuyến tính

Chứng minh. Do / và g là trơn nên g o / : u

—>•w là trơn. Gọi ma trận

của các ánh xạ tuyến tính dfx, dgy, d (g o / )

lần lượt là

'dfi {xỴ

' Ỡ9i { y Ỵ

-

-

^ xj

- ỉxk

dyj

- mxl

14


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Hơn nữa, ta có

(g° f)i (z) = gi (/ ( x ) ) .
Từ đây và theo công thức đạo hàm của hàm hợp, ta suy ra

9{g o f)i Ọc) =

dgị ( / (3;)) dfj (x) =

9xj

dĨ Ả x)

'

° XJ

dỹi (y) dfj (x)
“ ĩ

d Vj

'

° XJ

Nghĩa là

' d{g°f) i ixY
dxỗ

mxk

9 gi (yỴ
. 9yó .

mxl

9fị (xỴ
. 9xj _

Do đó d(g o f ) x = dgy o d f x.

□

T ín h c h ấ t 2.2.2. Nếu I ỉà ánh xạ đồng nhất của
đồng nhất của R k. Tổng quát hơn, nếu

uc

U',

u thì d lx

u và U'

ỉà ánh xạ

là các tập mở,

ỉ : u —»■U' là phép nhúng thì dix là ánh xạ đồng nhất của R fc.
Chứng minh. T hật vậy, ta có

di,(h) = tụ—»0

+

~t

i

Vm{x + ịth)- x =tỊim/i
= h.
—»0

—
»0

□
H ệ q u ả 2.1. Nếu L :

—»■R* là một ánh xạ tuyến tính thì dLx = L.

Chứng minh. Do L là ánh xạ tuyến tính nên

ằLÁh) =
v ’

lún
Ho

L(x + th)-L{x) =
t

(L(X)+tL{h))-L{x)
Ho

= Ịim L{h) = L ( h ) .
t-t 0
15

t


N gu y ễ n T hị X uân

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

□
M ệ n h đ ề 2.1. Nếu f : u

V là một vi phôi giữa các tập mở u c R k

và V c R l thì k = ỉ và ánh xạ tuyến tính
d fx : R k

R'

là không suy biến.
Chứng minh. Ta có / _1o / là ánh xạ đồng nhất của u . Do đó d ( f ~ 1)yodf x
là ánh xạ đồng nhất của R 1. Tương tự, d/a; ° d ( / _1) là ánh xạ đồng nhất
của Mfc. Do đó dfx có nghịch đảo hai phía nên ta suy ra k = /.
Đ ịn h lý 2.1. (Định lý hàm ngược) Cho

u mở
thì

f

trong

Rk. Nếu

ánh xạ vi phân

ánh xạ tập mở bất kì U' c

u

: u -> Mfc là ánh xạ

f

dfx

:

—»■

nhỏ chứa

đủ

□
trơn với

là không suy biến

X

vi phôi lên một tập

mở f{U' ).
Chứng minh. Xem trong [4].

□

Đ ịn h n g h ĩa 2.8. Cho đa tạp trơn M c

Với

X

G M , chọn một tham

số hóa
g :u

của lân cận g ( u ) c M của

X,

Rk

trong đó

u

c Km là tập mở. Ta có ánh

xạ vi phân của g tại u = g~x (x) là
dgu : Mm ->• R k.
Khi đó không gian tiếp xúc của đa tạp M tại
Im dgu. Kí hiệu là TXM .
16

X

được định nghĩa là