CHUYÊN ĐỀ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ,THẦY QUANG BABY

Tất cả vì học sinh thân yêu

TUYỂN CHỌN 13 BÀI
Nếu các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các
hàm số y = f1(x); y = f2(x) và các đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức:

b

Công thức : S   f1 ( x)  f 2 ( x) dx
a

Yêu cầu phần này , các em cần phải biết xác định cận , biết tính tích phân trị tuyệt đối .
Link xem tích phân trị tuyệt đối :
/>
Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

1


Tất cả vì học sinh thân yêu

b
  f ( x) dx, khi _ f ( x)  0
a
f ( x) dx   b
 f ( x) dx, khi _ f ( x)  0
 
 a

b

S
a

Bài 1:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  ( x  1) ln x và đường thẳng y  x  1.
Bài giải:
+) Xét phương trình: (x-1)lnx = x-1  x = 1 hoặc x = e.
+ Diện tích cần tìm là:
e

e

e

S   ( x  1)(ln x  1) dx   ( x  1)(ln x  1)dx   (ln x  1)d (
1

1

1

x2
 x) 
2

e

x2
x

1 1

 (  x )(ln x  1) |1e   (  1)dx     x 2  x  |1e
2
2
2 4

1



e 2  4e  5
(đvdt).
4
x

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  (e  1) x , y  (e  1) x .
Bài giải:

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

2


Tất cả vì học sinh thân yêu

Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình

x  0

x  1

 e  1 x  (1  e x )x  
1

Diện tích cần tính là S 

 x e

x

 e  dx

0

1

1

1

1

S   xe dx   exdx   xd  e
x

0

0

0

1

x2
 xe   e dx  e
0
2
0
x 1

1

x


0

x

  e xdx
0

e
1
2

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 

x 1

và các trục tọa độ Ox, Oy.
x2

Bài giải:
0

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại (– 1; 0). Do đó S 


1

0

Ta có S 

x 1
1 x  2dx =

0

x 1
dx
x2

3

 (1  x  2 )dx

1

0

 ( x  3ln x  2 )|
 1  3ln

1

2
3
 3ln  1
3
2

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

3


Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y  x 2  x , trục hoành và hai đường
thẳng x = 0, x = 1.
Bài giải:
1

Diện tích hình phẳng cần tính là: S =

x

2

 x dx

0

1

Với x   0;1  S   ( x 2  x) dx
0

Suy ra S = (

Vậy S =

x3 x 2 1
 )
3 2 0

5
.
6

Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  x 2  2 x , x  0 , x  3 và trục
hoành.
Bài giải:
3

Do x 2  2 x  0  x  0  x  2 nên ta có diện tích cần tìm là S   x 2  2x dx
0

2



 x
0

3
2

 2x  dx 

 x

2

 2x  dx

2

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

4


Tất cả vì học sinh thân yêu



4 4 8
  .
3 3 3

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường: y  ln x; y  0; x  e .
Bài giải:
Xét phương trình ln x  0  x  1
Diện tích hình phẳng là
e
e e 1
S   ln xdx  x ln x   x. dx
1 1 x
1
e

 e   dx  e  x
1

e
1

1

Bài 7: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường
y

1
, y = 0, x = 0 và x = 1 xung quanh trục hoành.
1  4  3x

Bài giải:

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

5


Tất cả vì học sinh thân yêu

1

Thể tích khối tròn xoay là V   
0

dx



1  4  3x



2

.

4  t2
2t

nên dx   dt .
3
3

Đặt t  4  3 x , ta có khi x = 0 thì t = 2, khi x = 1 thì t = 1 và x 
Khi đó ta có:
1

V 
2



2
3

1

1  t 

.
2

2t
2
dt 
3
3

2

1

 1  t 

dt 
2

1

 1
1 


1  t  1  t  12 dt


2

2
3

2

1 
2  3 1   
3 

 ln t  1 
 

 ln     6ln  1
t 1 1
3  2 6 9 
2 


3x  1

Bài 8: Tính S hình phẳng được giới hạn bởi các đường y 

3

x

 1 3x  1

; y  0; x  1

Bài giải:
Ta có:

3x  1

3

x

 1 3x  1

 0  3x  1  x  0 . Rõ ràng

1

Do đó diện tích của hình phẳng là S  
0

3x  1

3

x

1

3x  1

3

x

 1 3x  1

 1 3  1
x

dx  
0

 0 với mọi x   0;1 .

3x  1

3

x

 1 3  1
x

.3x dx

Đặt t  3x  1 , ta có khi x  0 thì t  2 , khi x  1 thì t  2 và 3x  t 2  1
2tdt
Suy ra 3x ln 3dx  2tdt , hay 3x dx 
. Khi đó ta có
ln 3
Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

6


Tất cả vì học sinh thân yêu

2
S
ln 3

2

t2  2

2
 t 3 dt  ln 3
2

2

2
2  2

 1  t 2  dt  ln 3  t  t 
2

2



2 3 2 2

2



ln 3

Bài 9: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đồ hịt hàm số
y  x(3x  1) , trục hoành và đường thẳng x = 1 xung quanh trục Ox.

Bài giải:
x (3x  1)  0, x  0 và

Ta có

1

1

x (3x  1)  0  x  0 . Do đó thể tích khối tròn xoay cần tính
1

1

là V    x(3x  1) dx    x3x dx   xdx    x3x dx 
0

0

0

0

1

Tính

x
x
 x3 dx . Đặt u = x; dv  3 dx . suy ra du = dx; v 

0


2

. (1)

3x
.
ln 3

Theo công thức tích phân từng phần ta có
1

1

1

1

3x
1
3
1
3
2
x
3
dx


3x dx 

 2 3x 
 2 .
0

ln 3 0 ln 3 0
ln 3 ln 3 0 ln 3 ln 3
x

2
1
 3
Thay vào (1) ta được V   
 2  .
 ln 3 ln 3 2 

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

7


Tất cả vì học sinh thân yêu

Bài 10: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi các đường

y

1
, y  0, x  0 và x  1 xung quanh trục hoành.
1  4  3x

Bài giải:
Thể tích khối tròn xoay là V   

dx

1

0

1 

4  3x



2

Đặt t  4  3 x , ta có khi x = 0 thì t = 2, khi x = 1 thì t = 1 và x 

Khi đó ta có V   

1

2



2
3

1

1  t 

2

.

2t
2
dt 
3
3

2

t

  t  1
1

2

dt 

2
3



2

1

4  t2
2t
nên dx   dt
3
3

 1
1 


 dt
 t  1  t  12 



1  2 2  3 1   
3 

 ln t  1 
1 
 ln     6 ln  1
t 1
3  2 6 9 
2 


Bài 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn với đồ thị hàm số y   x  1 ln  x  1 và trục
hoành.
Bài giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là:

 x  1 ln  x  1  0
x 1
x  0

 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x  1 ln  x  1 và trục hoành là
Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

8


Tất cả vì học sinh thân yêu

1

1

S    x  1 ln  x  1 dx   1  x  ln  x  1 dx
0

0

1

u  ln  x  1
u  ln  x  1 du  x  1 dx
Đặt 


2
dv  1  x  dx
dv  1  x  dx v  2 x  x

2
1

1
x2  2 x 

 2x  x2

 S
ln  x  1   
dx
 2
 0 0 2  x  1

1 
1
1
3
3 

 ln 2    x  

2
2 2  x  1 
0 2

1

1
3
3
1

 ln 2   x 2  x  ln  x  1 
2
2
2
4
0
1
5 3
 ln 2   ln 2
2
4 2
5
   2ln 2
4
Vậy diện tích S  

5

 2ln 2
4

Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y   x  2  ln x và trục hoành.
Bài giải:
*) Hoành độ giao điểm của đồ thị y   x  2  ln x và trục hoành (y = 0) là:
Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

9


Tất cả vì học sinh thân yêu

x  2
x  1

 x  2  ln x  0  

*) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y   x  2  ln x; y  0; x  2; x  1 là:
2

2

2

S    x  2  ln x  0 dx    x  2  ln x dx     x  2  ln xdx
1

1

1

dx

du 

ln x  u

x
*) Đặt: 

2
x
dv   x  2  dx 
v   2x

2
2

2

2
  x2


 x2

5
x


 S      2x  ln x      2  dx  2 ln 2    2x   2 ln 2 
4


 4
1
  2
1 1  2

Bài 13: Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x ln  3x  1 , trục hoành
và hai đường thẳng x  0, x=1 .
Bài giải:
Chú ý rằng x ln  3x  1  0 , với mọi 0  x  1 . Khi đó diện tích hình phẳng cần tính là
1

S   x ln  3x  1 dx
0

Đặt u  ln  3x  1 , dv  xdx . Suy ra du 

3
1
dx, v  x 2
3x  1
2

Theo công thức tích phân từng phần ta có
S

1 3 1 x2
1 2
1 1
1 
x ln  3 x  1  
dx  ln 2    3 x  1 
 dx
0 2 0 3x  1
2
6 0
3x  1 

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

10


Tất cả vì học sinh thân yêu

13
1
1
1 8
 ln 2   x 2  x  ln 3 x  1   ln 2 
62
3
12
0 9

Facebook cá nhân : />
CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI

11