Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán chuyên hàm, tích phân bằng nhiều cách

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------

TẠ THỊ LAN ANH

HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12
GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2016


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------

TẠ THỊ LAN ANH

HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12
GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. ĐÀO THỊ HOA

HÀ NỘI - 2016


LỜI CẢM ƠN
Trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thạc sĩ Đào Thị
Hoa đã tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình em thực hiện
đề tài.
Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ phƣơng
pháp giảng dạy, ban chủ nhiệm khoa Toán và các bạn sinh viên trong
khoa đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận này.
Em xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Tạ Thị Lan Anh


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình học tập, nghiên cứu và nỗ
lực của bản thân em dƣới sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo, đặc biệt là sự
chỉ bảo, hƣớng dẫn tận tình của cô giáo Đào Thị Hoa.
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12
giải bài toán nguyên hàm, tích phân bằng nhiều cách” không có sự
trùng lặp với các khóa luận khác và kết quả thu đƣợc trong đề tài là
hoàn toàn xác thực.
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Tạ Thị Lan Anh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài .................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ......................................................... 3
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ....................................................................... 3
6. Giả thuyết khoa học .............................................................................. 3
7. Cấu trúc khóa luận ................................................................................ 3
NỘI DUNG ............................................................................................... 4
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN ................................................................ 4
1.1. Khái niệm bài toán và lời giải bài toán .............................................. 4
1.1.1. Khái niệm bài toán .......................................................................... 4
1.1.2. Khái niệm lời giải của bài toán ....................................................... 4
1.2. Vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học ......................... 4
1.2.1. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện mục tiêu dạy học......... 5
1.2.2. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện nội dung dạy học ........ 5
1.2.3. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện phƣơng pháp dạy học ..... 6
1.3. Phân loại bài toán ............................................................................... 6
1.3.1. Phân loại theo hình thức bài toán .................................................... 6
1.3.2. Phân loại theo phƣơng pháp giải toán. ............................................ 7
1.3.3. Phân loại theo nội dung bài toán. .................................................... 7
1.3.4. Phân loại theo ý nghĩa toán học. ..................................................... 7
1.4. Phƣơng pháp chung để giải bài toán .................................................. 8
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1........................................................................ 10

CHƢƠNG 2. HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TOÁN
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH ........................ 11
2.1. Mục tiêu dạy học nguyên hàm, tích phân ........................................ 11
2.2. Những kiến thức cơ bản về nguyên hàm, tích phân trong chƣơng
trình Toán lớp 12 bậc THPT. .................................................................. 12
2.2.1. Một số kiến thức cơ bản về nguyên hàm ...................................... 12
2.2.2. Một số kiến thức cơ bản về tích phân ........................................... 13
2.3. Một số sai lầm thƣờng gặp khi giải bài toán nguyên hàm, tích phân ... 17
2.4. Một số khó khăn khi tổ chức hƣớng dẫn học sinh giải bài tập thuộc
chủ đề nguyên hàm, tích phân ................................................................. 20
2.5. Hƣớng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán nguyên hàm, tích phân
bằng nhiều cách ....................................................................................... 22
2.5.1. Nguyên hàm .................................................................................. 22
2.5.2 Tích phân ........................................................................................ 35
2.5.3 Ứng dụng ........................................................................................ 55
2.6. Đánh giá chất lƣợng các cách hƣớng dẫn học sinh giải bài toán
nguyên hàm, tích phân. ........................................................................... 64
2.6.1. Mục đích đánh giá ......................................................................... 64
2.6.2. Nội dung đánh giá ......................................................................... 64
2.6.3. Đối tƣợng đánh giá ........................................................................ 64
2.6.4. Phƣơng pháp đánh giá ................................................................... 64
2.6.5. Kết quả đánh giá............................................................................ 65
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2........................................................................ 65
KẾT LUẬN ............................................................................................. 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 68
PHỤ LỤC 1 ............................................................................................. 69
PHỤ LỤC 2 ............................................................................................. 70


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Bƣớc sang thế kỉ XXI, thế kỉ của nền văn minh trí tuệ với xu thế
toàn cầu hóa đã tác động và ảnh hƣởng đến nhiều quốc gia trên thế giới –
trong đó có Việt Nam. Sự phát triển mạnh mẽ của khoa học – công nghệ,
tính chất phức tạp của kinh tế thị trƣờng và xu thế phát triển của thời đại
đã ảnh hƣởng sâu sắc, toàn diện đến sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đặc
biệt là giáo dục phổ thông. Trong điều kiện đó, đặt ra yêu cầu đối với
ngành giáo dục Việt Nam là phải đào tạo ra những con ngƣời có tri thức
khoa học, bản lĩnh chính trị, có phẩm chất đạo đức và kĩ năng sống.
Chính vì thế Đảng đã chỉ rõ: “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”.
Trong Nghị quyết 29-NQ/TW của Ban Chấp hành Trung ƣơng về
“Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo” đã nêu: “Tiếp tục đổi
mới mạnh mẽ phƣơng pháp dạy và học theo hƣớng hiện đại; phát huy
tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của
ngƣời học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc.
Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để ngƣời
học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng và phát triển năng lực.”
Những nội dung trên phản ánh nhu cầu đổi mới phƣơng pháp giáo
dục, để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngƣời mới và
thực trạng lạc hậu chung của phƣơng pháp dạy học ở nƣớc ta hiện nay.
Do đó, môn Toán nói chung và môn Toán ở trƣờng trung học phổ thông
nói riêng cũng đứng trƣớc một yêu cầu cấp bách, đó là đổi mới về nội
dung, mục tiêu và phƣơng pháp dạy học.
Trong chƣơng trình Toán ở trung học phổ thông, chủ đề nguyên
hàm,tích phân là một trong những kiến thức rất cơ bản và quan trọng.
Chủ đề này học sinh đƣợc học vào nửa cuối năm lớp 12. Phép tính tích
phân không những là một đối tƣợng nghiên cứu trọng tâm của Giải tích
1

mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phƣơng trình, lý
thuyết về hàm số. Ngoài ra phép tính vi phân còn đƣợc sử dụng trong các
ngành khoa học khác nhƣ Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, Hóa học,…
Các bài toán này rất phong phú và đa dạng, phạm vi rộng và đặc biệt
chúng xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông quốc gia hàng năm. Để
giải đƣợc các bài toán về chủ đề nguyên hàm, tích phân, đòi hỏi học sinh
phải nắm chắc kiến thức cơ bản, vận dụng linh hoạt và liên hệ các kiến
thức với nhau. Khi giải các bài toán về chủ đề này, học sinh thƣờng gặp
những khó khăn trong việc nhớ bảng nguyên hàm cơ bản hay không biết
áp dụng các phƣơng pháp đổi biến số hoặc lấy nguyên hàm, tích phân
từng phần. Đối với các giáo viên trẻ trong việc hƣớng dẫn học sinh giải
bài tập còn gặp khó khăn trong việc xây dựng hệ thống câu hỏi giúp học
sinh nhanh chóng tìm ra lời giải của bài toán; hay chỉ dừng lại ở một lời
giải mà không khai thác đƣợc các hƣớng giải khác của bài toán.
Để cải thiện việc dạy học đồng thời giúp học sinh lớp 12 có kĩ
năng giải các bài toán thuộc chủ đề này cùng với sở thích, đam mê của
bản thân, em xin lựa chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài
toán nguyên hàm, tích phân bằng nhiều cách”.
2. Mục đích nghiên cứu
Xây dựng và sử dụng một số cách hƣớng dẫn học sinh giải bài tập
cơ bản thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân nhằm nâng cao chất lƣợng,
hiệu quả của việc dạy và học thuộc chủ đề này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc giải toán.
- Hệ thống các kiến thức cơ bản của chủ đề nguyên hàm, tích phân.
- Xây dựng các tình huống hƣớng dẫn học sinh giải bài tập thuộc
chủ đề nguyên hàm, tích phân.

2

- Xin ý kiến chuyên gia về chất lƣợng của những cách hƣớng dẫn
giải khác nhau cho cùng một bài toán nguyên hàm, tích phân.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Bài tập toán thuộc chủ đề nguyên hàm,
tích phân.
- Phạm vi nghiên cứu: Chƣơng trình Toán lớp 12 bậc trung học
phổ thông.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận
- Quan sát điều tra
- Tổng kết kinh nghiệm
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng và sử dụng đƣợc các cách hƣớng dẫn học sinh giải
các bài tập thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân phù hợp với trình độ học
sinh thì sẽ nâng cao chất lƣợng dạy và học chủ đề này, góp phần phát
triển năng lực giải bài tập cho học sinh.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm 2 chƣơng.
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận
Chƣơng 2. Hƣớng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán nguyên hàm,
tích phân bằng nhiều cách.

3


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Khái niệm bài toán và lời giải bài toán

1.1.1. Khái niệm bài toán
Theo G.Polya: bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một
cách có ý thức các phƣơng tiện thích hợp để đến một mục đích nhất định
trông thấy rõ ràng nhƣng không thể đạt đƣợc ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.Polya cho ta thấy rằng: bài
toán là sự đòi hỏi phải đạt tới đích nào đó. Nhƣ vậy bài toán có thể đồng
nhất với một số quan niệm khác nhau nhƣ: đề tài, bài tập…[2]
1.1.2. Khái niệm lời giải của bài toán
Lời giải của bài toán đƣợc hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần
thực hiện để đạt đƣợc mục đích đặt ra. Nhƣ vậy, ta thống nhất lời giải,
bài giải, cách giải, đáp án của bài toán.
Một bài toán có thể: có một lời giải; không có lời giải hoặc có
nhiều lời giải.
Giải một bài toán đƣợc hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một
lời giải của bài toán trong trƣờng hợp bài toán có lời giải, hoặc lí giải
đƣợc bài toán là không giải đƣợc trong trƣờng hợp nó không có lời
giải.[2]
1.2. Vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Điều căn
bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải
bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả
nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp,
những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến
trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ.
4


Vai trò của bài tập toán học đƣợc thể hiện trên ba bình diện: Mục tiêu,
nội dung và phƣơng pháp dạy học.[4]
1.2.1. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện mục tiêu dạy học

Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học là giá mang
những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ
đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng
khác nhau hƣớng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ
thể là:
- Hình thành củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả những kĩ năng ứng dụng Toán học vào
thực tiễn.
- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tƣ duy,
hình thành những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những
phẩm chất đạo đức của ngƣời lao động mới.[4]
Ví dụ: Khi giải phƣơng trình “ x4  2 x 2  3 ”, đây là phƣơng trình
bậc 4 trùng phƣơng, học sinh đƣợc ôn tập lại kiến thức về giải phƣơng
trình bậc 2. Vậy để xuất hiện bậc 2, ta sẽ đặt u  x 2 . Việc đặt u  x 2 sẽ
giúp ta giải quyết vấn đề. Qua hoạt động tìm tòi trên đã giúp rèn cho học
sinh thao tác tƣ duy, quy lạ về quen, linh hoạt vận dụng tri thức sẵn có.
1.2.2. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện nội dung dạy học
Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá
mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện
cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã
đƣợc trình bày trong phần lí thuyết.[4]
Ví dụ: Trong Đại số 10, khi giảng dạy về bài “ Công thức lƣợng
giác”, giáo viên đƣa bài tập “ Hãy biểu diễn sin 3a và cos3a qua

5


sin a;cos a ?” Để giải đƣợc bài toán này, học sinh phải sử dụng đến công
thức cộng và tách góc 3a = 2a + a. Từ đó ta thu đƣợc kết quả:

sin3a  3sin a  4sin 3 a và cos3a  4cos3 a  3cos a . Kết quả này cho ta

công thức về góc nhân ba. Về sau ta chỉ việc áp dụng công thức trên mà
không cần xây dựng lại nữa. Nhƣ vậy bài toán trên đã bổ sung thêm kiến
thức về phần lí thuyết công thức nhân đôi.
1.2.3. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện phƣơng pháp dạy học
Trên bình diện phƣơng pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang
hoạt động để ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở
đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập nhƣ
vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng
hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập
hoặc trong giao lƣu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý
khác nhau về phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi
động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,.... [4]
Ví dụ 1: Bài tập trong đề kiểm tra 15 phút hay 45 phút nhằm đánh
giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ
phát triển của học sinh sau một quá trình học tập.
Ví dụ 2: Hình học lớp 11, khi học bài “Đƣờng thẳng vuông góc
với mặt phẳng”, ngƣời ta đƣa ra bài toán làm gợi động cơ, làm việc với
nội dung mới nhƣ sau: “Cho hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm
trong mặt phẳng (P). Chứng minh rằng nếu đường thẳng a vuông góc
với cả b và c thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P)”.
1.3. Phân loại bài toán
1.3.1. Phân loại theo hình thức bài toán
Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã đƣợc đƣa
ra một cách rõ ràng trong đề bài toán.

6

Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chƣa có sẵn
trong đề bài toán. [2]
1.3.2. Phân loại theo phƣơng pháp giải toán.
Ngƣời ta căn cứ vào phƣơng pháp giải bài toán: Bài toán này có
angorit giải hay chƣa để chia các bài toán thành 2 loại:
Bài toán có angorit giải: Là bài toán mà phƣơng pháp giải của nó
theo một angorit nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó.
Bài toán không có angorit giải: Là bài toán mà phƣơng pháp giải
của nó không theo một angorit nào hoặc không mang tính chất angorit
nào. [2]
1.3.3. Phân loại theo nội dung bài toán.
[2] Ngƣời ta căn cứ vào nội dung của bài toán đƣợc phát biểu theo
thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài
toán thành các loại khác nhau nhƣ sau:
Bài toán số học
Bài toán đại số
Bài toán hình học
1.3.4. Phân loại theo ý nghĩa toán học.
Ngƣời ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài
toán: bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ
năng nào đó hay là bài toán nhằm phát triển tƣ duy. Ta có hai loại bài
toán nhƣ sau:
Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay
sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng nhƣ kĩ năng nào đó.
Bài toán phát triển tƣ duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống
các kiến thức cũng nhƣ kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một kĩ năng
tƣ duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo. [2]

7

1.4. Phƣơng pháp chung để giải bài toán
[4] Dựa trên những tƣ duy tổng quát cùng những gợi ý chi tiết của
Polya về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn
dạy học, có thể nêu lên phƣơng pháp chung để giải bài toán nhƣ sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
 Phát biểu đề bài dƣới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ
nội dung bài toán.
 Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ trong việc
diễn tả đề bài.
Bƣớc 2: Tìm cách giải
 Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất
tìm đoán: Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải
chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những
tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với bài toán cũ
tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn
hay một bài toán nào đó liên quan, sử dụng các phƣơng
pháp đặc thù với từng dạng toán nhƣ chứng minh phản
chứng, quy nạp bài toán, toán dựng hình, toán quỹ tích…
 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại từng bƣớc thực hiện
hoặc đặc bệ hóa kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả
với một tri thức liên quan…
 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc
cách giải hợp lí nhất.
Bƣớc 3: Trình bảy lời giải
Từ cách giải đã phát hiên, sắp xếp các việc phải làm thành một
chƣơng trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hện các
bƣớc đó.

8


Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
 Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật
ngƣợc vấn đề.
Ví dụ: Hƣớng dẫn học sinh giải bài toán sau
3

“Tính tích phân I  
0

1
dx ”
x 2  3x  2

Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Đây là tích phân hàm phân thức hữu tỷ. Mẫu thức có thể phân
tích thành nhân tử: x 2 3x  2  ( x  1)( x  2)
Bƣớc 2: Tìm cách giải
Đối với dạng toán có mẫu có thể phân tích đƣợc thành nhân tử thì ta
có thể tách chúng thành các thành phần nhỏ để tính tích phân dễ dàng hơn.
Sử dụng đồng nhất thức để tìm ra hệ số A, B

1
A
B



( x  1)( x  2) x  1 x  2
 1  A( x  2)  B( x  1)

Đến đây, ta có thể sử dụng 3 cách để tìm ra A, B
Cách 1: Thêm, bớt tử số.
Cách 2: Đồng nhất hệ số 2 vế rồi tìm ra A, B.
Cách 3: Cho 1 số giá trị riêng của x rồi từ đó tìm ra đƣợc giá trị A, B.
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
3

3

1
1
I  2
dx  
dx
x

3
x

2
(
x

1)(
x


2)
0
0
( x  1)  ( x  2)
1
1

dx  
dx  
dx
(
x

1)(
x

2)
x

2
x

1
0
0
0
3

3

3

9


d ( x  2)
d ( x  1)


 ln x  2
x

2
x

1
0
0
3

3

3
0

 ln x  1 0  2ln 2
3

Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Từ bài toán trong ví dụ này có thể phát biểu và giải những bài toán

tƣơng tự sau đây:
1

a) Tính I  
0

b) Tính I 

1
dx
x 1
3

1 5
2


1

x2  1
dx
x4  x2  1

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Chƣơng 1 đã thực hiện đƣợc nhiệm vụ 1 đề ra trong khóa luận.
Trong chƣơng này, khóa luận đã hệ thống những vấn đề lí luận về bài
toán, lời giải và phƣơng pháp chung để giải một bài toán. Đó là tiền đề
mang tính lí luận cho việc xây dựng các cách hƣớng dẫn học sinh giải
bài tập trong chƣơng 2. Vai trò của lời giải trong quá trình dạy học là cực
kì quan trọng. Chính vì vậy, việc xây dựng nhiều lời giải cho một bài

toán sẽ giúp cho học sinh có đƣợc tƣ duy linh hoạt, cách nhìn đa chiều
trong giải bài tập.

10


CHƢƠNG 2
HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI BÀI TOÁN
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH
2.1. Mục tiêu dạy học nguyên hàm, tích phân
* Kiến thức
- Nắm vững khái niệm nguyên hàm.
- Nhớ bảng các nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp.
- Nhớ và hiểu đƣợc các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
- Nhớ định nghĩa tích phân.
- Nắm vững phƣơng pháp tính nguyên hàm, tích phân nhờ đổi biến
số và tích phân từng phần.
- Bƣớc đầu thấy đƣợc ý nghĩa thực tiễn và một số ứng dụng của
tích phân trong hình học.
* Kĩ năng
- Biết vận dụng các tính chất cơ bản của nguyên hàm, cách đổi
biến số và cách tìm nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm của một
số hàm số không quá phức tạp.
- Biết vận dụng các tính chất cơ bản của tích phân, phƣơng pháp
đổi biến số và phƣơng pháp tích phân từng phần để tính tích phân một số
hàm số không quá phức tạp.
- Biết ứng dụng tích phân trong một số bài toán tính diện tích các
hình phẳng và tính thể tích các vật thể.
* Tư duy
- Học sinh phát triển đƣợc tƣ duy thuật giải thông qua việc giải các

bài toán thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân, đƣợc rèn luyện tƣ duy linh
hoạt, sáng tạo khi giải các dạng bài tập khác nhau.
- Rèn luyện cho học sinh tính quy củ, tính kế hoạch, cẩn thận, thói
quen tự kiểm tra, đánh giá.
11


- Thái độ tự giác, tích cực, chủ động trong học tập chủ đề. [8]
2.2. Những kiến thức cơ bản về nguyên hàm, tích phân trong chƣơng
trình Toán lớp 12 bậc THPT.
2.2.1. Một số kiến thức cơ bản về nguyên hàm
2.2.1.1. Khái niệm nguyên hàm
[7] Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đƣợc gọi là nguyên
hàm của f trên K nếu F '( x)  f ( x) với mọi x thuộc K.
2.2.1.2. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
* Định lí 1
[7] Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đó
a) Với mỗi hằng số C, hàm số y  F ( x)  C cũng là một nguyên
hàm của f trên K.
b) Ngƣợc lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một
hằng số C sao cho G( x)  F ( x)  C với mọi x thuộc K.
* Định lí 2
[7] Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì
a)  [f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
b) Với mọi số thực k  0 ta có

 k. f ( x)dx  k. f ( x)dx
2.2.1.3. Bảng nguyên hàm của 1 số hàm số thƣờng gặp
1  0dx  C ,

 dx 1dx  x  C

x 1
2)  x dx 
 C (   -1)
 1


3)

1
 x dx  lnx  C

b)  coskxdx 

sin kx
C
k

ekx
c)  e dx 
C
k
kx

d)  a x dx 

12

ax

 C (0 < a  1)
ln a


4) Với k là hằng số khác 0
a)  sin kxdx  

coskx
C
k

5) a)
b)

1
 cos2 x dx  tan x  C

1
 sin 2 x dx   cotx  C [7]

2.2.1.4. Một số phƣơng pháp tìm nguyên hàm
- Phương pháp dùng bảng nguyên hàm cơ bản
- Phương pháp đổi biến số
* Định lí
[7] Cho hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số
y  f (u ) liên tục sao cho f [u( x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một

nguyên hàm của f, tức là

 f (u )du  F (u )  C thì

 f [u( x)].u '( x)dx  F[u( x)]+C .
- Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
* Định lí
[7] Nếu u , v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì

 u( x).v '( x)dx  u ( x).v( x)  v( x).u'(x)dx
- Kết hợp các phương pháp
2.2.2. Một số kiến thức cơ bản về tích phân
2.2.2.1. Khái niệm tích phân
[7] Cho hàm số f liên tục trên K và a,b là hai số bất kì thuộc K.
Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F(b) – F(a) đƣợc gọi là
b

tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

 f ( x)dx .
a

13


2.2.2.2. Một số tính chất cơ bản của tích phân
[7] Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là 3 số bất kì
thuộc K. Khi đó ta có
a

1)

 f ( x)dx  0

a

2)

3)

b

a

a

b

 f ( x)dx    f ( x)dx
b

c

c

a

b

a

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b

b

b

a

a

a

4)  [f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
b

b

a

a

5)  k . f ( x)dx  k . f ( x)dx với k  R

2.2.2.3. Một số phƣơng pháp tính tích phân
- Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.
- Phương pháp đổi biến số
[7] Cho hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số
y  f (u ) liên tục sao cho f [u( x)] xác định trên K; a và b là hai số thuộc
b

K thì

u (b )

 f [u(x)].u '( x)dx  
a

f (u )du

u (a)

Phƣơng pháp đổi biến số thƣờng đƣợc áp dụng theo 2 cách sau đây:
b

Cách 1 Giả sử ta cần tính

 g ( x)dx . Nếu ta viết đƣợc

g ( x) dƣới dạng

a

b

f[u(x)].u’(x), thì theo công thức (1) ta có  g ( x)dx 
a

14

u (b )



u (a)

f (u )du


u (b )

Bài toán qui về tính



f (u )du

u(a)



Cách 2 Giả sử ta cần tính

 f ( x)dx . Đặt

x  x(t ) ( t  K) và a, b  K

thỏa mãn

  x(a) ,   x(b) thì công thức (1) cho ta



b

 f ( x)dx   f [ x(t )].x '(t )dt
a

b

Bài toán qui về tính  g (t )dt
a

- Phương pháp tích phân từng phần
[7] Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai
số thuộc K. Ta có
b

b

 u ( x).v '( x)dx  (u( x).v( x)) a   v( x).u '( x)dx
b

a

a

- Phương pháp sử dụng tích phân liên kết
b

Trong một số bài toán tính tích phân I   f ( x)dx , ta tìm đến tích
a

b

phân K   g ( x)dx và tính I trong các mối ràng buộc với K. Khi đó đƣợc
a

gọi là tích phân liên kết với tích phân I.
mI  nK  a
Ta đi xác định các đẳng thức liên hệ giữa I và K, đó là 
 pI  qK  b

Giải hệ phƣơng trình 2 ẩn I, K ta tính đƣợc I và K.
Ta thƣờng gặp trƣờng hợp:
* I = K khi đó tính I + K từ đó suy ra I
* K là một tích phân đƣợc tính đơn giản. Khi đó từ đẳng thức
mI  nK  a ta suy ra I và K.

15


Thƣờng sử dụng tích phân liên kết khi các biểu thức f ( x); g ( x) có
tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau mà việc tính trực tiếp tích phân I
gặp khó khăn.
- Kết hợp các phương pháp
2.2.2.4. Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích
a) Tính diện tích hình phẳng
* Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] thì diện tích S của
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đƣờng
thẳng x = a, x = b là
b

S   f ( x ) dx
a

* Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm sô y =
f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và hai đƣờng thẳng x = a, x = b ta
có công thức sau:
b

S   f ( x)  g ( x) dx
a

b) Tính thể tích vật thể
* Gọi B là phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc
với trục Ox tại các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox tại điểm có hoành độ x (a  x  b) . Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a ;
b] thì thể tích của B là
b

V   S ( x )dx
a

16


* Thể tích của khối tròn xoay
- Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đƣờng y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh
trục Ox là
b

V    f 2 ( x)dx
a

- Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đƣờng x = f(y), trục tung, y = c và y = d (c < d) sinh ra khi quay quanh
trục Oy là
d

V    g 2 ( y )dy
c

2.3. Một số sai lầm thường gặp khi giải bài toán nguyên hàm, tích phân
a) Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm
Ví dụ 1 Chứng minh rằng F ( x)  (1  x)e x là một nguyên hàm
của hàm f ( x)  xe x trên R. Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm
g ( x)  ( x  1)e x .

* Lời giải có sai lầm:
F '( x)  e x  (1  x)e x  f ( x) với mọi x  F(x) là một nguyên

hàm của hàm f(x) trên R.

 g  x  dx    x  1 e

x

dx   xe  x dx   e  x dx    1  x  e  x  C    e  x  C 

 (1  x)e  x  e  x   xe  x .

* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính

nguyên hàm
* Lời giải đúng:

 g  x  dx    x  1 e

x

dx   xe  x dx   e  x dx    1  x  e  x  C1    e  x  C2 

17


  xe x  C với C = C1 – C2.
b) Sai lầm khi sử dụng phương pháp đổi biến nhưng không đổi về biến
ban đầu
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm I    2x  1 dx
5

* Lời giải có sai lầm: Đặt t  2 x  1
 dt  2dx  dx 

dt
dt t 6
5
   2x  1 dx   t 5   C
2
2 12

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Học sinh đổi biến nhƣng không đổi về biến ban đầu.
* Lời giải đúng:
dt
dt t 6
 2x  1  C
5
 dt  2dx  dx     2x  1 dx   t 5   C 
2
2 12
12
6

c) Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân
1

Ví dụ 3. Tính tích phân I  

3

1

* Lời giải có sai lầm : I  

3

dx

 x  1

1
1 1


  1
x  1 3 2 2
1

dx

 x  1

2

2

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: y 

1

 x  1

2

không xác định tại

x  1  3;1

* Lời giải đúng: Hàm số y 

1

 x  1

2

không xác định tại

x  1  3;1 suy ra hàm không liên tục trên  3;1 , nên không sử dụng

đƣợc công thức Newton – Leibnitz nhƣ cách giải trên.
* Cách khắc phục: Yêu cầu các học sinh nhớ định nghĩa tích phân.
b

Giúp các em tạo thói quen: Khi tính  f (x)dx cần chú ý kiểm tra xem hàm
a

18


số y = f(x) có liên tục trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các
phƣơng pháp đƣợc học để tính tích phân đã cho, còn nếu không thì kết
luận ngay tích phân đó không tồn tại.
d) Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân
1

Ví dụ 4. Tính tích phân I   x.e  x dx
0

* Lời giải có sai lầm:

x2 1
1 1
e 1
x 1
I   x.e dx   xdx. e dx 
(  1) 
0 .( e ) 0 
2
2 e
2e
0
0
0
1

x

1

1

x

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc
nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần.
1

1
* Lời giải đúng: I  ( x.e )   e  x dx    e  x
e

0
x

1
0

1
0



e 1
2

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của
nguyên hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử
dụng phƣơng pháp tích phân từng phần.
e) Sai lầm khi đổi biến số
1

dx
(2 x  1)5
0

Ví dụ 5 Tính tích phân I  

* Lời giải có sai lầm: Đặt t  2 x  1
 x  0 t  1

Đổi cận: 

x

1

t  3
dt t 4 3 20
I  5 
1 
t

4
81
1
3

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi thực hiện đổi biến số học
sinh đã quên không tính vi phân dt.
* Lời giải đúng: Đặt t  2 x  1  dt  2dx
19