Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trong dạy học bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

THÂN THẾLUÂN
PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNGTRONG DẠY HỌC BẤT
ĐẲNG THỨCTRUNG BÌNH CỘNG -TRUNG BÌNH
NHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY
HỌC(BỘMÔN TOÁN)
Mã số: 60 14 01 11
Hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn
HÀ NỘI –2016
iiMỤC LỤC


Lời cảm ơn.........................................................................................................i
Mục lục .............................................................................................................ii
Danh mục các bảng...........................................................................................v
Mở đầu..............................................................................................................51
Lý do chọn đề tài.....................................................................................52
Mục đích nghiên cứu...............................................................................73
Nhiệm vụ nghiên cứu..............................................................................74
Giả thuyết nghiên cứu.............................................................................75
Phƣơng pháp nghiên cứu........................................................................86
Phạm vi nghiên cứu.................................................................................87
Cấu trúc luận văn....................................................................................8
Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn...............................................................9
1.1 Tƣ duy...................................................................................................9
1.2 Tƣ duy sáng tạo..................................................................................10

1.2.1 Khái niệm về sáng tạo...................................................................10
1.2.2 Đặc trưng của tư duy sáng tạo.......................................................12
1.3 Dạy học Bất đẳng thức trong chƣơng trình phổ thông..................15
1.3.1 Chương trình sách giáo khoa........................................................15
1.3.2 Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường Trung học phổ
thông.................................................................................................................15
1.3.3 Một số nhận xét của giáo viên khi dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình
cộng –trung bình nhân..........................................................16
1.4 Một số biện pháp phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh............17
1.4.1 Chú trọng bồi dưỡng các thao tác duy và trang bị cho học sinh những tri thức
về phương pháp của hoạt động nhận thức.......................17
1.4.2 Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh..18


1.4.3 Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học
sinh..........................................................................................................18
1.4.4 Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài cần
tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học..........20
Kết luận chƣơng 1.....................................................................................21
Chương 2Rèn luyện tư duy và sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất
đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân.............................22
2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân..........................22
2.2 Một số kĩ thuật thƣờng sử dụng.......................................................23
2.2.1 Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM..................23
2.2.2 Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.........29
iii2.2.3 Kỹ thuật nhân thêmhằng số trong đánh giá trung bình nhân sang trung bình
cộng.......................................................................................31
2.2.4 Kỹ thuật ghép đối xứng.................Error! Bookmark not defined.
2.2.5 Kỹ thuật ghép cặp nghịchđảo.......Error! Bookmark not defined.
2.2.6 Kĩ thuật đổi biến số.......................Error! Bookmark not defined.

2.2.7 Kĩ thuật Cauchy ngược dấu.......Error! Bookmark not defined.
2.3 Phát triển tƣ duy sáng tạo ở học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác tƣ
duy cơ bản..................................Error! Bookmark not defined.
2.4 Phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát triển các yếu tố
của tƣ duy sáng tạo.....................Error! Bookmark not defined.
2.4.1 Phát triển tính mềm dẻo thông qua việc giải bất đẳng thức...Error! Bookmark
not defined.
2.4.2 Phát triển tính nhuần nhuyễn thông qua việc giải bất đẳng
thức.................................................................Error! Bookmark not defined.
2.4.3 Phát triển tính độc đáo thông qua việc giải bất đẳng thức.....Error! Bookmark
not defined.
2.4.4 Phát triển tính trau chuốt thông qua việc giải bất đẳng thức.Error! Bookmark
not defined.


2.5 Phát triển tƣ duy sáng tạo ở học sinh thông qua việc vận dụng bất đẳng thức
AM-GM để giải các bài toán khácError!
Bookmark
not defined.
2.5.1 Ứng dụng bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhânđể giải phương
trình............................................Error! Bookmark not defined.
2.5.2 Ứng dụng bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhânđể giải hệ phương
trình.......................................Error! Bookmark not defined.
Kết luận chƣơng 2.........................................Error! Bookmark not defined
.Chương 3 Thực nghiệm sư phạm.....................Error! Bookmark not defined.
3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệmError!

Bookmark

not defined.

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm........Error! Bookmark not defined.
3.4 Đánh giá thực nghiệm............................Error! Bookmark not defined.
3.5 Kết luận chung về thực nghiệm sƣ phạmError!

Bookmarknot defined.

Kết luận chƣơng 3.........................................Error! Bookmark not defined.
Kết luận và kiến nghị.........................................Error! Bookmark not defined.Tài
liệu tham khảo.........................................................................................33
ivDANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Kết quả kiểm tra sau thực nghiệm...Error! Bookmark not defined.
Bảng 3.2 Xử lí số liệu.........................................Error! Bookmark not defined.
Bảng 3.3 Tỉ lệ bài kiểm tra.................................Error! Bookmark not defined.
Biểu đồ 3.1 Biểu đồ kết quả tỉ lệ bài kiểm tra...Error! Bookmark not defined.


MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống và làm việc ở thế kỷ XXI, cùng với sự phát triển như vũ bão
của khoa học và công nghệ. Có được những thành tựu đó, là sự phấn đấu học hỏi
không ngừng của mỗi cá thể cùng với sự lãnh đạo, quản lý định hướng đúng đắn
của các cấp lãnh đạo. Tri thức là thành tố quan trọng quyết định nề kinh tế của một
đất nước. Con người là yếu tố trung tâm trong xã hội tri thức, là chủ thể kiến tạo
không ngừng. Giáo dục đóng vai trò thên chốt trong việc đào tạo con người vàsự
pháttriển của xã hội. Trong hiến pháp nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
đã khẳng định: “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”.Bất đẳng thứctrong các kì thi
tuyểnsinh vào lớp 10, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, chọn Học sinh giỏiTỉnh, Học
sinh giỏiQuốc gia, Học sinh giỏikhu vực và Quốc tế có thể coi là “điểm nóng”,
thường trở thành đề tài giành được nhiều lời giải nhất và được thảo luận nhiều nhất

trên các diễn đàn cũng như các tạp chí về Toán học.Bất đẳng thức trung bình cộngtrung bình nhân (Arithmetic Means-GeometricMeans(AM-GM)), là một phần kiến
thức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bài toán đại số cũng như bất đẳng
thức. Nó thực sự là một công cụhiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán,
cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các bất đẳng thứcthông
thường.Các tài liệu viết về Bất đẳng thứchiện nay rất nhiều, tuy nhiên một số
chuyên đề viết riêng về việc vận dụng đạo hàmvào chứng minh bất đẳng thứcvà
giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có tính hệ thốngvà tính
phân loại cũng như tínhsát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh
giỏivà ôn luyện cho học sinh thi Đại học và cao đẳng là rất cần thiết. Do vậy tôi
chọn chuyên đề này nhằm phần nào đáp ứng được những yêu cầu trên cũng như
góp phần nâng cao
66chất lượng bồi dưỡng Học sinh giỏicủa tỉnh
nhà.Hiênnayvấnđề“Rènluyệnvàpháttriểnnănglựctưduysángtạo”đanglàmộtlĩnh vực
nghiêncứumớimevàmangtínhthựctiễncao. Nó nhằm tìm ra các phương án, biện
pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và để rèn luyện, tăng cường khả
năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể cộng đồng làm việc chung về một
vấn đề hay lĩnh vực. Do đó, một yêu cầu cấp thiết được đặt ra trong hoạt động giáo


dục phổ thông là phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó đổi mới phương
pháp dạy học Toán là một trong những vấn đề được quan tâm nhiều. Sư phạm học
hiện đại đề cao nguyên lý học là công việccủa từng cá thể, thực chất quá trình tiếp
nhận tri thức phải là quá trình tư duy bên trong của bản thân chủ thể. Vì thế nhiệm
vụ của người giáo viên là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng cho học
sinh chứ không phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã
có. Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy cho học sinh tự suy
nghĩ, phát huy hết khả năng, năng lực của bản thân mình để giải quyết vấn đề mà
học sinh gặp phải trong quá trình học tập và trong cuộc sống. Hơn thế nữa trong
thời đại bùng nổ công nghệ thông tin theo hướng ngày càng hiện đại hóa, con
người ngày càng sử dụng nhiều phương tiện khoa học kĩ thuật hiện đại thì năng lực

suy luận, tư duy và sáng tạo giải quyết vấn đề càng trở nên khẩn thiết hơn trước
đây. Không có một nhà giáo dục nào lại từ chối việc dạy cho học sinh chúng ta tư
duy. Nhưng làm thế nào để đạt được điều đó? Do vậy, rèn luyện và phát triển năng
lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một mục tiêu mà các nhà giáo dục phải lưu tâm
và hướngđến. Bên cạnh đó, thực tiễn còn cho thấy trong quá trình học Toán, rất
nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo:
Nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các
yếu tố toán học, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại,
quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm
đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay
77đổi, học sinh chưa có tính độc đáo khi tìm lời giải bài toán. Từ đó dẫn đến một
hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán, đặc biệt là các bài toán đòi hỏi
phải có sáng tạo trong lời giải như các bài tập bất đẳng thức. Do vậy, việc rèn
luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh nói chung và năng lực tư duy sáng
tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học toán nói riêng là một yêu cầu cấp bách.Từ
trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến vấn đề bồi
dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Nhà toán học nổi tiếng Polya đã đi sâu nghiên
cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học và cho ra mắt tác
phẩm Sáng tạo toán học. Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này
là“Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học bất
đẳngthức trung bình cộng –trung bình nhân”.2 Mục đíchnghiên cứu Đề xuất
phương án dạy và học bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhântheo định
hướng sáng tạo nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, nâng cao hiệu quả
quá trình dạy và học.3Nhiệm vụ nghiên cứu -Làm rõ cơ sở lí luận về tư duy, tư
duy sáng tạo và rèn tư duy.-Nghiên cứu nội dung dạy học vềchủ đề bất đẳng thức
trung bình cộng –trung bình nhân.-Đề xuất biện pháp dạy học giải bài tập bất đẳng


thức theo định hướngbồi dưỡng tư duysáng tạocho học sinh.-Thực nghiệm sư
phạm để tìm hiểu những khó khăn của giáo viên và học sinh trong dạy học giải bài

tập bất đẳng thức, kiểm chứng giả thuyết khoa học về dạy và học giải bài tập toán
bất đẳng thức theo định hướng sáng tạo ở trường Trung học phổ thông.4Giả thuyết
nghiên cứu
88Khi tổ chức được hoạt động dạy và hoạt động học bất đẳng thức trung bình cộng
trung bình nhân cho học sinh Trung học phổ thông theo định hướng sáng tạo của
luận văn thì sẽ rèn luyện được tính sáng tạo của học sinh, qua đó nâng cao chất
lượng dạy và học ở trường Trung học phổ thông.5 Phƣơng pháp nghiên cứu 5.1
Nghiên cứu lí luậnNghiên cứu tài liệu líluận về tư duy, tư duy sáng tạo và tưduy
toán học. Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn
kiến thức cóliên quan đến bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân.5.2
Nghiên cứu thực tiễnDự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm khi dạy theo chủ đề
này.Phỏng vấn, điều tra ý kiến của học sinh, giáo viên về việc dạy và học phần
này.5.3 Thực nghiệm sư phạmTiến hành thực nghiệm sư phạm vớicác lớp
10trường Trung học phổ thông Lạng Giang số 3-Bắc Giang.6 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài tập về bất đẳng thứctrung bình cộng –trung bình nhântrong
chương trìnhtoán Trung học phổ thôngvà các dạng toán nâng cao.7Cấu trúc luận
văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3
chươngChương 1Cơ sở lí luận và thực tiễn.Chương 2Rèn luyện tư duy sáng tạo
cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình
nhân.Chương 3Thực nghiệm sư phạm


MỞ ĐẦU1 Lý do chọn đề tài Chúng ta đang sống và làm việc ở thế kỷ XXI, cùng
với sự phát triển như vũ bão của khoa học và công nghệ. Có được những thành tựu
đó, là sự phấn đấu học hỏi không ngừng của mỗi cá thể cùng với sự lãnh đạo, quản
lý định hướng đúng đắn của các cấp lãnh đạo. Tri thức là thành tố quan trọng quyết
định nề kinh tế của một đất nước. Con người là yếu tố trung tâm trong xã hội tri
thức, là chủ thể kiến tạo không ngừng. Giáo dục đóng vai trò thên chốt trong việc
đào tạo con người vàsự pháttriển của xã hội. Trong hiến pháp nước Cộng hòa xã
hội chủ nghĩa Việt Nam đã khẳng định: “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”.Bất

đẳng thứctrong các kì thi tuyểnsinh vào lớp 10, tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, chọn
Học sinh giỏiTỉnh, Học sinh giỏiQuốc gia, Học sinh giỏikhu vực và Quốc tế có thể
coi là “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành được nhiều lời giải nhất và được
thảo luận nhiều nhất trên các diễn đàn cũng như các tạp chí về Toán học.Bất đẳng
thức trung bình cộng-trung bình nhân (Arithmetic Means-GeometricMeans(AMGM)), là một phần kiến thức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bài toán đại số
cũng như bất đẳng thức. Nó thực sự là một công cụhiệu quả và có ứng dụng rộng
rãi trong giải toán, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các
bất đẳng thứcthông thường.Các tài liệu viết về Bất đẳng thứchiện nay rất nhiều, tuy
nhiên một số chuyên đề viết riêng về việc vận dụng đạo hàmvào chứng minh bất
đẳng thứcvà giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có tính hệ
thốngvà tính phân loại cũng như tínhsát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi
dưỡng học sinh giỏivà ôn luyện cho học sinh thi Đại học và cao đẳng là rất cần
thiết. Do vậy tôi chọn chuyên đề này nhằm phần nào đáp ứng được những yêu cầu
trên cũng như góp phần nâng cao
66chất lượng bồi dưỡng Học sinh giỏicủa tỉnh
nhà.Hiênnayvấnđề“Rènluyệnvàpháttriểnnănglựctưduysángtạo”đanglàmộtlĩnh vực
nghiêncứumớimevàmangtínhthựctiễncao. Nó nhằm tìm ra các phương án, biện
pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và để rèn luyện, tăng cường khả
năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể cộng đồng làm việc chung về một
vấn đề hay lĩnh vực. Do đó, một yêu cầu cấp thiết được đặt ra trong hoạt động giáo
dục phổ thông là phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó đổi mới phương
pháp dạy học Toán là một trong những vấn đề được quan tâm nhiều. Sư phạm học
hiện đại đề cao nguyên lý học là công việccủa từng cá thể, thực chất quá trình tiếp
nhận tri thức phải là quá trình tư duy bên trong của bản thân chủ thể. Vì thế nhiệm
vụ của người giáo viên là mở rộng trí tuệ, hình thành năng lực, kỹ năng cho học
sinh chứ không phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã
có. Việc mở rộng trí tuệ đòi hỏi giáo viên phải biết cách dạy cho học sinh tự suy
nghĩ, phát huy hết khả năng, năng lực của bản thân mình để giải quyết vấn đề mà

học sinh gặp phải trong quá trình học tập và trong cuộc sống. Hơn thế nữa trong
thời đại bùng nổ công nghệ thông tin theo hướng ngày càng hiện đại hóa, con
người ngày càng sử dụng nhiều phương tiện khoa học kĩ thuật hiện đại thì năng lực
suy luận, tư duy và sáng tạo giải quyết vấn đề càng trở nên khẩn thiết hơn trước
đây. Không có một nhà giáo dục nào lại từ chối việc dạy cho học sinh chúng ta tư
duy. Nhưng làm thế nào để đạt được điều đó? Do vậy, rèn luyện và phát triển năng
lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một mục tiêu mà các nhà giáo dục phải lưu tâm
và hướngđến. Bên cạnh đó, thực tiễn còn cho thấy trong quá trình học Toán, rất
nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực tư duy sáng tạo:
Nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các
yếu tố toán học, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại,
quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm
đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay
77đổi, học sinh chưa có tính độc đáo khi tìm lời giải bài toán. Từ đó dẫn đến một
hệ quả là nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải toán, đặc biệt là các bài toán đòi hỏi
phải có sáng tạo trong lời giải như các bài tập bất đẳng thức. Do vậy, việc rèn
luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh nói chung và năng lực tư duy sáng
tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học toán nói riêng là một yêu cầu cấp bách.Từ
trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến vấn đề bồi
dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Nhà toán học nổi tiếng Polya đã đi sâu nghiên
cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học và cho ra mắt tác
phẩm Sáng tạo toán học. Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này
là“Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông trong dạy học bất
đẳngthức trung bình cộng –trung bình nhân”.2 Mục đíchnghiên cứu Đề xuất
phương án dạy và học bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhântheo định
hướng sáng tạo nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh, nâng cao hiệu quả
quá trình dạy và học.3Nhiệm vụ nghiên cứu -Làm rõ cơ sở lí luận về tư duy, tư
duy sáng tạo và rèn tư duy.-Nghiên cứu nội dung dạy học vềchủ đề bất đẳng thức
trung bình cộng –trung bình nhân.-Đề xuất biện pháp dạy học giải bài tập bất đẳng
thức theo định hướngbồi dưỡng tư duysáng tạocho học sinh.-Thực nghiệm sư

phạm để tìm hiểu những khó khăn của giáo viên và học sinh trong dạy học giải bài
tập bất đẳng thức, kiểm chứng giả thuyết khoa học về dạy và học giải bài tập toán
bất đẳng thức theo định hướng sáng tạo ở trường Trung học phổ thông.4Giả thuyết
nghiên cứu
88Khi tổ chức được hoạt động dạy và hoạt động học bất đẳng thức trung bình cộng
trung bình nhân cho học sinh Trung học phổ thông theo định hướng sáng tạo của


luận văn thì sẽ rèn luyện được tính sáng tạo của học sinh, qua đó nâng cao chất
lượng dạy và học ở trường Trung học phổ thông.5 Phƣơng pháp nghiên cứu 5.1
Nghiên cứu lí luậnNghiên cứu tài liệu líluận về tư duy, tư duy sáng tạo và tưduy
toán học. Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn
kiến thức cóliên quan đến bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhân.5.2
Nghiên cứu thực tiễnDự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm khi dạy theo chủ đề
này.Phỏng vấn, điều tra ý kiến của học sinh, giáo viên về việc dạy và học phần
này.5.3 Thực nghiệm sư phạmTiến hành thực nghiệm sư phạm vớicác lớp
10trường Trung học phổ thông Lạng Giang số 3-Bắc Giang.6 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài tập về bất đẳng thứctrung bình cộng –trung bình nhântrong
chương trìnhtoán Trung học phổ thôngvà các dạng toán nâng cao.7Cấu trúc luận
văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3
chươngChương 1Cơ sở lí luận và thực tiễn.Chương 2Rèn luyện tư duy sáng tạo
cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình
nhân.Chương 3Thực nghiệm sư phạm.
99Chƣơng 1CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN1.1 Tƣ duy Tư duy là một quá
trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ bên trong
cótính quy luậtcủa sự vật hiện tượngtrong hiện thực khách quan mà trướcđó ta
chưa biết. [29]Theo từ điển triết học“Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được
tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách
quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình
hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách

gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối
liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu
biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối
liên hệ chặt chẽ với lời nói và kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ.
Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp,
việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất
những giả thiết, những ý niệm. Kết quả cuối cùng của tư duy bao giờ cũng là một ý
nghĩ nào đó”.Từ đó chúng ta có thể rút ra những đặc điểmcủa tư duy.-Tư duy là
sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới
khách quan.-Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể
hiện qua ngôn ngữ.-Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của
đối tượng đuợc phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của
con người nhằm phản ánh đối tượng.-Tư duy là quá trình phát triển năng động và
sáng tạo.-Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều góc độ khác nhau từ
thuộc


1010tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người.Tư duy là
một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm lí thì tư duy là một quá
trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên
trong có tính chất quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khác quan mà
trước đó con người chưa biết.1.2 Tƣ duy sáng tạo 1.2.1Khái niệm về sáng tạoCác
nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo. Theo tác
giả [12]“Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán là những điều kiện cần thiết của
tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác sáng tạo của tư duy sáng
tạo. Tính sáng tạo của tưduy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện
vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có
nghĩa là coi nhẹ cái cũ” .Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng
mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thề hiện ở chỗ phát
hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý

tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất.Tùy theo mức
độ của tư duy, người ta đã chia thành ba loại hình: Tư duy tích cực, tư duy độc lập,
tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức độ tư duy đi
sau.Có thể biểu thị mối quan hệ giữa ba loại hình tư duy như sau


1111Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo .
Theo [20]“Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là nhữngđiều kiện cần thiết
cho tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của của tư duy
sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát
hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái
mớikhông có nghĩa là coi nhẹ cáicũ” .Theo [10]Tư duy sáng tạo là một kiểu tư
duy, đặc trưng bởi sự sản sinh ra sản phẩm mới và xác lập các thành phần mới của
hoạt động nhận thức nhằm tạo ra nó. Các thành phần mới này có lên quan đến
miền động cơ, mục đích, đánh giá, các ý tưởng của chủ thể sáng tạo.Tư duy sáng
tạo được phân biệt với áp dụng các tri thức và kỹ năng sẵn có.Tâm lý học người
Đức Mehlhowcho rằng “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng
thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”. Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng
bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm,
tính kế hoạch, tính chính xác. Trong khi đó, Tác giả [24]lại cho rằng “Tư duy sáng
tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ,
là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình,
một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như:
sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám
hiểm”.Trong cuốn“Sáng tạo Toán học”, G.Polya[26] cho rằng: “Một tư duy gọi là
có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là
sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này.
Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có
dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Lúc
những cố gắng của người giải vạch ra được những phương thức giải áp dụng cho

1212những bài toán khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián
tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra
cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả”.Tác giả[11] Sáng tạo là hoạt động tạo
rabất cứ cái gìcóđồng thời tính mới và tính ích lợi(trong phạm vi áp dụng cụ thể).Bất cứ cái gì: ở bất cứ lĩnh vực nào của thế giới vật chất và tinh thần.-Tính mới: là
sự khác biệt của đối tượng cho trước so với đối tượng cùng loại ra đời trước đó về
mặt thời gian.-Tính ích lợi: như tăng năng suất, tăng hiệu quả, tiết kiệm, giảm giá
thành, thuận tiện khi sử dụng, thân thiện với môi trường..., tính ích lợi có thể mang
đến cho bản thân, cho gia đình, cho cộng đồng, cho nhân loại.-Phạm vi áp dụng:
chỉ đúng trong không gian, thời gian, hoàn cảnh , điều kiện... cụ thể, nếu vượt ra
ngoài thì có thể biến lợi thành hại.Như vậy,để biếtbất cứ cái gìcó sáng tạo hay
không, bạn phải so sánh cái đó với cái trước nó, nếu cái đã thay đổi nghĩa là nómới
hơnso với cái cũ đồng thời mang lạitính ích lợicho bạn, cho cộng đồng hay cho


nhân loại trongphạm vị áp dụng cụ thểthìbất cứ cái gì đóđã là sáng tạo.Như vậy có
thể có nhiều cách định nghĩa khác nhau về về tư duy sáng tạo, nhưng đều có một
điểm chung cốt lõi đó là: Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy của cá nhân, nó phân
biệt và khác với tư duy tái tạo về bản chất, tư duy sáng tạo là sự mới mẻ của tư duy
(đồng thời đây cũng là điểm phân biệt giữa tư duy sáng tạo với tư duy tái tạo). Sự
khác biệt giữa tư duy sáng tạo với tư duytái tạo là sự sản sinh ra cái mới.1.2.2 Đặc
trưngcủa tư duy sáng tạoa)Tính mềm dẻo
1313Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức,
chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật
hiện tượng,xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ
mới hoặc chuyển đổi quan hệ, nhận ra bản chất của sự vật và nhiều phán đoán.
Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu
trong hoạt động trí tuệ của con người.Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng
nổi bật sau:-Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác,
vận dụng linh hoạt các hoạtđộng phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái
quát hoá và các phương pháp suy luận như: quy nạp, suy diễn tương tự. Dễ dàng

chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác. Điều chỉnh kịp thời hướng suynghĩ
nếu gặp trở ngại...-Suy nghĩ không dập khuôn, không máy móc áp dụng những
kinh nghiệm,kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới,điều kiện mới đã có
những yếutố thay đổi. Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng của những kinhnghiệm,
những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước.-Nhận ra vấn đề mới trong
điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.b)Tính
nhuần nhuyễnĐó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu
tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới. Là khả
năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau.
Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các
ý tưởng. Số ý tưởng càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc
đáo. Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng.Tính
nhuần nhuyễn có các đặc trưng sau:-Tính đa dạng của các cách sử lý khi giải toán,
khả năng tìm được nhiều giải
1414pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề cần
được giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được
nhiều phương án khác nhau và từ đó có thể tìm được phương án tối ưu.-Khả năng
xem xét đối tượng trên nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn sinh động từ nhiều
phía đối với các sự vật hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện,
cứng nhắc.c)Tính độc đáoLà khả năng tìm kiếm và giải quyết bằng phương thức lạ


hoặc duy nhất. Các đặc trưng của tính độc đáo:-Khả năng tìm ra những liên tưởng
và những kết hợp mới.-Khả năng tìm ra những mối quan hệ bên trong những sự
kiện bên ngoài tưởng như không có mối liên hệ với nhau.-Khả năng tìm ra những
giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.d)Tính hoàn thiệnLà khả năng lập kế
hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng
minh ý tưởng.e)Tính nhạy cảm vấn đề Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn
đề, sự mâu thuẫn, những sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu,...và từ đó đưa ra những
đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới.Ngoài ra tư duy sáng tạo còn có những

yếu tố quan trọng khác như: Tính chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định
nghĩa lại, khả năng phán đoán.Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà
trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ
dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo)tạo
điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau
(tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể
tìm được phương án lạ, đặc sắc
1515(tính độc đáo). Các yếu tố cơ bản này lại có mối quan hệ khăng khít với các
yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề... Tất cả
các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất
trong các hoạt động trí tuệ của con người.1.3 Dạy học Bất đẳng thức trong chƣơng
trình phổ thông1.3.1 Chương trình sách giáo khoa Sách chỉnh lí hợp nhất năm
2000,nội dung bất đẳng thức được dạy trong 3 tiết gồm 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài
tập.Bài tập chính trong sách gồm có 8 bài, không có bài tập ứng dụng vào thực
tiễn. Bài tập làm thêm gồm 4 bài 14,15,16,17trang 42 sách bài tập.Sách giáo khoa
nâng cao năm 2007, nội dung bất đẳng thức được dạy trong 5 tiết gồm 2 tiết lí
thuyết và 3 tiết bài tập.Bài tập trong sách gồm có 20 bài tập chính thức và 10 bài
tập làm thêm.Bài tập đã có tính ứng dụng vào thực tiễn nhưng không có nhiều.Sách
giáokhoa năm 2007 có nhiều ví dụ hơn, trình bày dễ hiểu hơn nhằm
khuyến khích học sinh tự học, tuy nhiên có vất vả hơn.1.3.2Thực trạng việc học
Bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông-Trong chương trình toán Trung học
phổ thông, bất đẳng thức là một chuyên đề khó. Tuy nhiên nội dung đưa vào giảng
dạy rất cơ bản, học sinh cơ bản mới chỉ tiếp cận với khái niệm bất đẳng thức và
những tính chất cơ bản của bất đẳng thức. Ngoài ra học sinh được giới thiệu thêm
bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Cauchy –Schwarz. Với lí thuyết như vậy
học sinh lớp 10 khó có thể vận dụng linh hoạt để giải các bài toán về bất đẳng thức.
-Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức của họcsinh trong trường
Trung học phổ thông, trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng phương pháp điều
tra bằng phiếu để biết được những thuận lợi và khó khăn từ phía học sinh từ đó

1616điều chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng. -Theo bộ sách giáo khoa
đưa vào sử dụng năm 2007 theo chương trình cải cách giáo dục, phần bất đẳng
thức được đưa vào chương IV Đại số lớp 10. Đây là phần kiến thức khó đối với
học sinh thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh và chọn học sinh giỏi. Chính
vì vậy mà dạy nội dungnày trở nên khó khăn hơn một số nội dung khác, người giáo
viên cần cố gắng giúp học sinh tìm ra hướng giải quyết mỗi bài toán một cách đơn
giản nhất, giúp học sinh hứng thúvà chủ động hơn trong học tập.-Để tìm hiểu rõ
hơn thực trạng dạy học bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông. Tôi đã tiến
hành quan sát, dự giờ và lấy ý kiến các đồng nghiệp, sau khi điều tra phân tích tôi
thu được kết quả thực tế là nhiều học sinh cho rằng bất đẳng thức là chủ đề khó,
đặc biệt là việc áp dụng trong giải toán.1.3.3Một số nhận xét củagiáo viên khi dạy
học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhânNhìn chung bất đẳng
thức là một phần rất khó đối với học sinh.Thời gian dành cho việc luyện tập bất
đẳng thức còn ít. Đối với những lớp học sinh đại trà, sức học yếu có khi giáo viên
dạy cho có chứ không hy vọng học sinh làm được loại bài này.Bất đẳng thức được
dạy cho họcsinh từ các lớp Trung học cơ sở, nhưng nó được dạy tập chung nhất
ởchươngtrình đại số lớp 10 Trung học phổ thông.Các bài tập trong sách giáo khoa
chỉ nhằm mục đích giới thiệu một số dạng toán điển hình trong việc chứng minh
bất đẳng thức vì vậy bài tập thì ít nhưng mỗi bài một dạng gây khó khăn cho học
sinh khi làm bài.Phần bài tập, học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị một ít phút
trước khi lên lớp sau đó giáo viên gọi học sinh khá lên chữa bài.Như vậy mô hình
chung giáo viên đã bỏ qua lớp học sinh có lực học trung bình
1717và yếu. Do đó học sinh yếu ngày càng sợ học hơn, ngày càng bị bỏ rơi.Một số
bài toán được phát triển theo hướng khái quát hoá và đặc biệt hoá cho đối tượng
học sinh khá và học sinh giỏi.Việc rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh chưa đầy
đủ, thường các thầy cô chú ý đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, chưa chú ý đến
khả năng quy nạp cho học sinh.Thời gian không cho phép dạy học toán nói chung
và dạy học bất đẳng thức nói riêng bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi
hỏi có dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa các ý kiến trái ngược hay các tình

huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các giải
pháp.Hình thức học nói chung còn chưa đa dạng, phong phú, cách truyền đạt đôi
lúc chưa cuốn hút học sinh vào bài học. Học sinh tiếp nhận kiến thức còn thụ
động.Vai trò của giáo viên chủ yếu vẫn là thông báo kiến thức, cao hơn nữa cũng
chỉ là dạy cách chứng minh, cách phán đoán và một số kĩ năng nhất định chứ chưa
làm được vai trò của người khơi nguồn sáng tạo, kích thích học sinh tìm tòi.Thuận
lợi cho việc dạy học bất đẳng thức là ở chỗ đây là một bài toán có mặt rấtthường
xuyên trong các đề thi đại học vì vậy một phần lớn học sinh vẫn muốn tìm hiểu và


nắm chắc kiến thức về bất đẳng thức.1.4 Một số biện pháp phát triển tƣ duy sáng
tạo cho học sinh1.4.1 Chú trọng bồi dưỡng các thao tác duy và trang bị cho học
sinh những trithức về phương pháp của hoạt động nhận thứcQuan điểm này cho
rằng để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, giáo viên cần dạy cho học
sinh thành thạo các tư duy,phân tích, tổng hợp, so sánh, quy nạp, tương tự, trừu
tượng hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa,...Trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai
trò trọng tâm. Quan điểm trên chỉ rõ trong quá trình dạy học giáo viên phải cung
cấp cho học sinh những tri thức về phương pháp để học sinh có thể tìm tòi, tự mình
phát hiện

và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài
toán, hướng chứng minh một định lý, giúp học sinh hiểu sâu sắc các khái niệm các
mệnh đề, ý nghĩa và nội dung các công thức, các chứng minh, từ đó mà nhớ lâu các
công thức toán học và nếu quên thì có thể tìm lại được.1.4.2 Bồi dưỡng từng yếu
tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinhCác nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều yếu
tố đặc trưng cho tư duy sáng tạo cho học sinh. Đối với học sinh thì các yếu tố đó là


tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính nhậy cảm vấn đề. Trên cơ sở đó để phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý

bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo. Có thể khai thác từng nội dung giảng
dạy, có thể đề xuất các câu hỏi sư phạm nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề
theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm,
các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng
tạo.Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, trong quá trình dạy học giáo viên
cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng
tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng
quát để khắc phục hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới;
những bài có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương
pháp này sang phương pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận
nghịch đi liền vớinhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng
ngược được xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận.1.4.3 Rèn
luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học sinh Về giảng dạy lí
thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu trong đó giáo viên tạo ra
các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắthọc sinh tìmtòi,khám phá kiến thức mới. Nói
cách khác là vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết
1919vấn đề qua các giờ lên lớp.Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập
trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, bài tập mở, học sinh phải tự lập, tìm tòi để
phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. Cần hướng dẫn học sinh khai thác, khám phá
những kết quả mới từ các bài toán đã giải.
20201.4.4 Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài
cần tiến hành trong tất cả các khâucủa quá trình dạy họcPhát triển nănglực tư
duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên hết các
tiết học này sang các tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu
của quá trình dạy học,trong nội khóa cũng như các hoạt động ngoại khóa. Cần tạo
điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc
toán học hóa các tình huống trong thực tế, trong việc viết báo toán với những đề
toán tương tự sáng tác, những cách giải mới khai thác từ các bài toán đã giải.
2121Kết luận chƣơng 1Luận văn đã nêu ra được các khái niệm về tư duy, tư duy
sáng tạo. Đưa ra thực trạng về việc học bất đẳng thức ở trường Trung học phổ

thông, từ đó luận văn đưa ra một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học
sinh.


2222Chƣơng 2 RÈN LUYỆN TƢ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG
TRUNG BÌNH NHÂN2.1Bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhâna) Các
đại lượng trung bình của hai số không âmVới hai số không âm ,.abKí
hiệu2abAlà trung bình cộng của hai số ,.abG ablà trung bình nhân của
hai số ,.ab222abQlà trung bình toàn phương của hai số ,.ab211Hablà
trung bình điều hòa của hai số dương ,.abTa có bất đẳng thức .Q A G H 
Chứng minh.Từ20abta suy ra 2abab,20a
ab b  , .
2ababhay .AG(1)Từ 22
2
2
20
2
0
2a b
a
ab b
a b
ab   
    hay22222222a b
a ba b
a b 
 
hay .QA(2)Mặt khác 21
1

1 1
2
2011aba
b
a babab      
2323hay.GH(3)Kết hợp (1), (2), (3) ta có .Q A G H  Dấu “=” trong
các bất đẳng thức này đều xảy ra khi .ab-Mở rộng ra cho n số không âm 1
2
3, , ,...,na a a
ata cũng có1
2
3...na a a
aAn  
là trung bình cộng của n số 1
2
3, , ,..., .na a a
a1 2 3...nnG
a a a alà trung bình nhân của n số 1
2
3, , ,..., .na a a
a2
2
2
21
2
3...na a
a
aQn  là
trung bình toàn phương của n số1
2

3, , ,..., .na a a
a1
2
31 1
1
1nnHa a a
a  là trung bình
điều hòa của n số dương 1
2
3, , ,..., .na a a
aTa cũng có bất đẳng
thức .Q A G H  Dấu “=” xảy ra khi 1
2
3...
.na a a
a   Chú ý., , ,A G Q Htheo thứ tự là viết tắt của các từ arithmetic
mean(trung bình cộng), geometric mean(trung bình nhân), quadratic mean(trung
bình toàn phương) và harmonic mean(trung bình điều hòa).b) Bất đẳng thức trung
bình cộng –trung bình nhân Cho nsố thực không âm 1
2
3, , ,..., ,
,
2na a a
a n
nta luôn có1
2
3
1
2 3...
. . . ... .nnna a a

a n a a a a   
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1
2
3...
.na a a
a  
2.2Một số kĩ thuật thƣờng sử dụng2.2.1Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng
thức AM-GMTrong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” trong bất đẳng
thức AM-GMvà các quy tắc về tính đồng thời của dấu “=”, quy tắc biên và quy tắc
đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.Ví dụ 2.2.1Cho 2.aTìm giá
trị nhỏ nhấtcủa


24241.SaaSai lầm thường gặp.112 .
2.S a
aaa  
Dấu“=” xảy rakhi1aahay 1a, nhưng điều nàyvô lí vì giả thiết là 2.aPhân
tích. Chọn điểm rơi, ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1ađểsao cho khi áp dụng
bất đẳng thứcCauchy dấu“=” xảy ra khi 2.aCó các hình thức tách sau1
1
1
1
1,
; ,
; , ;
, ;
.a
a
a
a

aa
a
a
a
a     
              
Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi 11;.aa1
2 1
1,.2aaHay212, suy ra4.Lời giải.Ta có1 3
1 3
3.2 5214
4
4
4
4
2a
a
a
aSaa  
    .Dấu “=” xảy ra khi 2.aBình luận. Ta sử dụng điều kiện dấu
“=”và điểm rơi là 2adựa trên quy tắc biên để tìm ra 4.Ởđây ta thấy tính
đồng thời của dấu“=” trongviệc áp dụng bất đẳng thức AM-GMcho 2 số
1,4aavà34ađạt giá trị lớn nhất khi 2,atức là chúng có điểm rơi 2.aVí dụ 2.2.2
Cho 2.aTìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức21.SaaPhân tích.Sơ đồ chọn điểm
rơi2a,ta có22 1 1,.4aaSuyra8.Sai lầm thường gặp



và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài
toán, hướng chứng minh một định lý, giúp học sinh hiểu sâu sắc các khái niệm các

mệnh đề, ý nghĩa và nội dung các công thức, các chứng minh, từ đó mà nhớ lâu các
công thức toán học và nếu quên thì có thể tìm lại được.1.4.2 Bồi dưỡng từng yếu
tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinhCác nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều yếu
tố đặc trưng cho tư duy sáng tạo cho học sinh. Đối với học sinh thì các yếu tố đó là
tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính nhậy cảm vấn đề. Trên cơ sở đó để phát
triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý
bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo. Có thể khai thác từng nội dung giảng
dạy, có thể đề xuất các câu hỏi sư phạm nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề
theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm,
các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng
tạo.Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, trong quá trình dạy học giáo viên
cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng
tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng
quát để khắc phục hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới;
những bài có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương
pháp này sang phương pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận
nghịch đi liền vớinhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng
ngược được xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận.1.4.3 Rèn
luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học sinh Về giảng dạy lí
thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu trong đó giáo viên tạo ra
các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắthọc sinh tìmtòi,khám phá kiến thức mới. Nói
cách khác là vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết
1919vấn đề qua các giờ lên lớp.Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập
trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, bài tập mở, học sinh phải tự lập, tìm tòi để
phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. Cần hướng dẫn học sinh khai thác, khám phá
những kết quả mới từ các bài toán đã giải.
20201.4.4 Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài
cần tiến hành trong tất cả các khâucủa quá trình dạy họcPhát triển nănglực tư

duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên hết các
tiết học này sang các tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu
của quá trình dạy học,trong nội khóa cũng như các hoạt động ngoại khóa. Cần tạo
điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc
toán học hóa các tình huống trong thực tế, trong việc viết báo toán với những đề
toán tương tự sáng tác, những cách giải mới khai thác từ các bài toán đã giải.
2121Kết luận chƣơng 1Luận văn đã nêu ra được các khái niệm về tư duy, tư duy
sáng tạo. Đưa ra thực trạng về việc học bất đẳng thức ở trường Trung học phổ
thông, từ đó luận văn đưa ra một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học
sinh.
2222Chƣơng 2 RÈN LUYỆN TƢ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG
TRUNG BÌNH NHÂN2.1Bất đẳng thức trung bình cộng –trung bình nhâna) Các
đại lượng trung bình của hai số không âmVới hai số không âm ,.abKí
hiệu2abAlà trung bình cộng của hai số ,.abG ablà trung bình nhân của
hai số ,.ab222abQlà trung bình toàn phương của hai số ,.ab211Hablà
trung bình điều hòa của hai số dương ,.abTa có bất đẳng thức .Q A G H 
Chứng minh.Từ20abta suy ra 2abab,20a
ab b  , .
2ababhay .AG(1)Từ 22
2
2
20
2
0
2a b
a
ab b
a b
ab   

    hay22222222a b
a ba b
a b 
 
hay .QA(2)Mặt khác 21
1
1 1
2
2011aba
b
a babab      
2323hay.GH(3)Kết hợp (1), (2), (3) ta có .Q A G H  Dấu “=” trong
các bất đẳng thức này đều xảy ra khi .ab-Mở rộng ra cho n số không âm 1
2
3, , ,...,na a a
ata cũng có1
2
3...na a a
aAn  
là trung bình cộng của n số 1
2
3, , ,..., .na a a
a1 2 3...nnG
a a a alà trung bình nhân của n số 1
2
3, , ,..., .na a a
a2
2
2
21

2
3...na a
a
aQn  là
trung bình toàn phương của n số1
2
3, , ,..., .na a a
a1
2
31 1
1
1nnHa a a
a  là trung bình
điều hòa của n số dương 1
2
3, , ,..., .na a a
aTa cũng có bất đẳng
thức .Q A G H  Dấu “=” xảy ra khi 1
2
3...
.na a a
a   Chú ý., , ,A G Q Htheo thứ tự là viết tắt của các từ arithmetic
mean(trung bình cộng), geometric mean(trung bình nhân), quadratic mean(trung
bình toàn phương) và harmonic mean(trung bình điều hòa).b) Bất đẳng thức trung


bình cộng –trung bình nhân Cho nsố thực không âm 1
2
3, , ,..., ,
,

2na a a
a n
nta luôn có1
2
3
1
2 3...
. . . ... .nnna a a
a n a a a a   
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1
2
3...
.na a a
a  
2.2Một số kĩ thuật thƣờng sử dụng2.2.1Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng
thức AM-GMTrong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” trong bất đẳng
thức AM-GMvà các quy tắc về tính đồng thời của dấu “=”, quy tắc biên và quy tắc
đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến.Ví dụ 2.2.1Cho 2.aTìm giá
trị nhỏ nhấtcủa
24241.SaaSai lầm thường gặp.112 .
2.S a
aaa  
Dấu“=” xảy rakhi1aahay 1a, nhưng điều nàyvô lí vì giả thiết là 2.aPhân
tích. Chọn điểm rơi, ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1ađểsao cho khi áp dụng
bất đẳng thứcCauchy dấu“=” xảy ra khi 2.aCó các hình thức tách sau1
1
1
1
1,
; ,

; , ;
, ;
.a
a
a
a
aa
a
a
a
a     
              
Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi 11;.aa1
2 1
1,.2aaHay212, suy ra4.Lời giải.Ta có1 3
1 3
3.2 5214
4
4
4
4
2a
a
a
aSaa  
    .Dấu “=” xảy ra khi 2.aBình luận. Ta sử dụng điều kiện dấu
“=”và điểm rơi là 2adựa trên quy tắc biên để tìm ra 4.Ởđây ta thấy tính
đồng thời của dấu“=” trongviệc áp dụng bất đẳng thức AM-GMcho 2 số
1,4aavà34ađạt giá trị lớn nhất khi 2,atức là chúng có điểm rơi 2.aVí dụ 2.2.2
Cho 2.aTìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức21.SaaPhân tích.Sơ đồ chọn điểm

rơi2a,ta có22 1 1,.4aaSuyra8.Sai lầm thường gặp