tiem can va cuc tri

BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP .
CHỦ ĐỀ 1: TÌM TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ .
Bài 1:Tiệm cận của đồ thò hàm số : y=
3 1
2
x
x
−
−
.
Bài giải .
• Đồ thò hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang .
• Tiệm cận đứng là : x=2 vì
2
3 1
lim
2
x
x
x
−
→
−
= +∞
−
và
2
3 1
lim
2
x

x
x
+
→
−
= −∞
−
.
• Tiệm cạn ngang là : y=3 và
3 1
lim 3
2
x
x
x
→±∞
−
=
−
.
Bài 2: Tiệm cận của đồ thò hàm số : y=
4 1
2 2
x
x
+
−
.
Bài giải .
• Đồ thò hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang .

• Tiệm cận đứng là : x=1 vì
1
4 1
lim
2 2
x
x
x
→
+
= ∞
−

• Tiệm cạn ngang là : y=2 và
4 1
lim 2
2 2
x
x
x
→∞
+
=
−
.
Bài tập luyện tập : Tòêm cận của đồ thò hàm số : a/ y=
4
2 2x −
, b/ y=
4

2
x
x −
.
Bài 3: Tìm tiệm cận của đồ thò hàm số y=
2
2 5 4
2
x x
x
+ +
+
.
• Đồ thò hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên .
• Ta viết lại hàm số dưới dạng : y=
2
2 1
2
x
x
+ +
+
.
• Tiệm cận đứng là x=-2 vì
2
2
2 5 4
lim
2
x

x x
x
→−
+ +
= ∞
+
.
• Tiệm cận xiên là y=2x+1 vì
2
lim( (2 1)) lim 0
2
x x
y x
x
→∞ →∞
− + = =
+
.
Bài 4: Tìm tiệm cận của đồ thò hàm số y=
2
6 3
3
x x
x
− +
−
.
Bài giải .
• Đồ thò hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên .
• Ta viết lại hàm số dưới dạng : y=

6
3
3
x
x
− −
−
.
• Tiệm cận đứng là x=3 vì
2
3
6 3
lim
3
x
x x
x
→
− +
= ∞
−
.
• Tiệm cận xiên là y=x-3 vì
6
lim( ( 3)) lim( ) 0
3
x x
y x
x
→∞ →∞

− − = − =
−
.
Bài 5: Tìm tiệm cận của đồ thò hàm số y=
3 2
2
3 3 1
2
x x x
x x
+ + +
+ −
.
Bài giải .
Cách 1:
• Tập xác đònh D=
{ }
\ 1; 2−R
• Chia đa thức ta được y=
2
3 4
2
2
x
x
x x
+
+ +
+ −
.

• Do
1
lim
x
y
→
= ∞
và
2
lim
x
y
→−
= ∞
nên đồ thò hàm số có hai tiệm cận đứng là x=1 và x=-2 .
• Vì
2
3 4
lim[ ( 2) lim 0
2
x x
x
y x
x x
→∞ →∞
+
− + = =
+ −
nên đồ thò hàm số có tiệm cận xiên là y=x+2 .
CHỦ ĐỀ 2: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ .

Cách 1 :
• Bước 1: Tập xác đònh .
• Bước 2: Tính đạo hàm y’ .
• Bước 3: Lập bảng biến thiên rồi dựa vào bảng biến thiên kết kết luận .
Cách 2:
• Bước 1: Tập xác đònh .
• Bước 2: Tính đạo hàm y’ . Giải pt y’=0 tìm nghiệm
0
x
của y’.
• Bước 3: Tính đạo hàm y’’ .
• Bước 4: Nếu y’’(
0
x
)<0 thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
, giá trò cực đại là y(
0
x
)=…
Nếu y’’(
0
x
)>0 thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
, giá trò cực tiểu là y(
0
x

)=…
Bài 1: Tìm cực trò của hàm số y=
4 2
2 3x x− +
.
Bài giải .
Cách 1:
1. Tập xác đònh D=R .
2. y’ =
3
4 4x x−
.
y’=0
3
0 3
4 4 0 1 2
1 2
x y
x x x y
x y
= ⇒ =


⇔ − = ⇔ = ⇒ =


= − ⇒ =

.
Bảng biến thiên :

x -
∞
-1 0 1 +
∞
y’ 0 0 0
y

Dựa vào bảng biến thiên , ta có :
Hàm số đạt cực đại tại x=0 , giá trò cực đại y(0)=3 .
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và x=-1 , giá trò cực tiểu y(
±
1)=2 .
Cách hai :
• Tập xác đònh D=R .
• y’ =
3
4 4x x−
. y’=0
3
0 3
4 4 0 1 2
1 2
x y
x x x y
x y
= ⇒ =


⇔ − = ⇔ = ⇒ =



= − ⇒ =


• y’’=
2
12 4x −
.
• y’’(0)=-4<0 ,suy ra hàm số đạt cực đại tại x=0 , giá trò cực đại y(0)=3 .
• y’’(1)=8>0 , suy ra Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 , giá trò cực tiểu y(1)=2
• y’’(-1)=8>0 , suy ra Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 , giá trò cực tiểu y(
−
1)=2 .
Bài 2: Tìm cực trò của hàm số y=
2 x
x e
.
Bài giải
• Tập xác đònh D=R .
• y’=
2 2 2 2
( ) '. .( )' 2 . . (2 )
x x x x x
x e x e x e x e e x x+ = + = +
(Chú ý : e
x
> 0 vói mọi x ) .
• y’=0
2 2
2 2

2
0 0
(2 ) 0 2 0
4
2 ( 2) .
x
x y
e x x x x
x x e
e
−
= ⇒ =


⇔ + = ⇔ + = ⇔

= − ⇒ = − =

• Bảng biến thiên :
x -
∞
-2 0 +
∞
y’ 0 0
y
CĐ
CT
Dựa vào bảng biến thiên , ta có :
• Hàm số đạt cực đại tại x=-2 , giá trò cực đại y(-2)=
2

4
e
.
• Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 , giá trò cực tiểu y(0)=0 .
Cách 2:
• Tập xác đònh D=R .
• y’=
2 2 2 2
( ) '. .( )' 2 . . (2 )
x x x x x
x e x e x e x e e x x+ = + = +
(Chú ý : e
x
> 0 vói mọi x ) .
• y’=0
2 2
2 2
2
0 0
(2 ) 0 2 0
4
2 ( 2) .
x
x y
e x x x x
x x e
e
−
= ⇒ =



⇔ + = ⇔ + = ⇔

= − ⇒ = − =

• y’’=
2 2 2 2
( ) '(2 ) (2 )' (2 ) (2 2 ) ( 4 2)
x x x x x
e x x e x x e x x e x e x x+ + + = + + + = + +
• y’’=
2
( 4 2)
x
e x x+ +
.
• y’’(0)=e
0
.2=2 > 0 . Hàm số đạt cực đại tại x=-2 , giá trò cực đại y(-2)=
2
4
e
.
• y’’(-2)=
2 2
2
1
(4 8 2) 2. 2.e e
e
− −

− + = − = −
<0 . Hàm số đạt cực tiểu tại x=0 , giá trò cực tiểu y(0)=0 .
B ài 3: Tìm cực trò của hàm số y=xlnx .
Bài giải .
• Tập xác đònh D=
(0; )+∞
.
• y’=(x’).(lnx)’+x.(lnx)’=lnx+1
• y’=0
1
1
ln 1 0 ln 1 log 1
x
e
x x x e
e
−
⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = =

• Với x=
1
e

⇒
y=-
1
e
.
• y’’=
1

x

1 1
''( )
1
y e
e
e
⇒ = =
>0 . Hàm số đạt cực tiểu tại x=
1
e
, giá trò cực tiểu y(
1
e
)=-
1
e
.
CHỦ ĐỀ 3: TÌM CÁC KHOẢNG LỒI ,LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ .
Để tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn ta tính đạo hàm cấp hai , sau đó lập bảng xét dấu rồi dựa
vào bảng xét dấu kết luận .
Bài 1: Tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn của đồ thò hàm số : y=
2
1
x
x +
.
Bài giải .
• Tập xác đònh :

{ }
\ 1D = −R
.
• Đạo hàm y’=
2
2
( 1)x +
.
• Ta viết lại y’=
2
2.( 1)x
−
+

2 3
3 4 4
4 4.( 1) 4 4
'' (2.( 1) ) ' 4.( 1)
( 1) ( 1) ( 1)
x x
y x x
x x x
− −
− − + − −
⇒ = + = − + = = =
+ + +

(Chú ý : Ta nhân tử mẫu cho x+1 , để ta xét dấu nhò thức -4x-4 )
• Do (x+1)
4

>0 với mọi x thuộc D nên dấu của y’’ là dấu của nhò thức -4x-4 .
• Bảng xét dấu y’’ :
x -
∞
-1 +
∞
y’’ + -
Đồ thò Lõm Lồi
• Kết luận : Đồ thò hàm số lõm trên khoảng (-
∞
;-1) và lồi trên khoảng (-1;+
∞
) .
• Do hàm số khồng xác đònh tại x=-1 nên đồ thò hàm số không có điểm uốn .
Bài 2 : Tìm các khoảng lồi ,lõm và điểm uốn của đồ thò hàm số : y=
2
3 6
1
x x
x
− +
−
.
Bài giải :
• Tập xác đònh
{ }
\ 1D = R
.
• Ta viết lại hàm số y=
4

2
1
x
x
− +
−
.
• y’=
2 3
2 2 3 4
4 4 8 8( 1)
1 '' (1 ) ' ( 4.( 1) ) ' 8( 1)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x
y x x
x x x x
− −
−
− ⇒ = − = − − = − = =
− − − −

• Bảng xét dấu y’’ :
x -
∞
1 +
∞
y’’ - +
Đồ thò Lồi Lõm
• Kết luận : Đồ thò hàm số Lồi trên khoảng (-
∞

;1) và lõm trên khoảng (1;+
∞
)