Sang kien kinh nghiem mon toan thpt

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng,
nhưng mô hình ứng dụng của nó rất gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã
hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một học giữ vai
trò quan trọng trong suốt bậc học trung học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một
môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có sự nỗ lực rất lớn để
chiếm lĩnh những tri thức cho mình.
Trong những vấn đề về hình học không gian trong hệ toạ độ Oxyz, bài
toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng là một trở
ngại không nhỏ khiến cho học sinh không ít ngỡ ngàng, bối rối. Là một giáo
viên dạy toán bậc trung học phổ thông, được phân công giảng dạy môn toán 12
tôi thấy trăn trở vấn đề này. Vấn đề đặt ra là làm thế nào giúp học sinh giải
thành thạo các bài tập vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường
thẳng.
Bài toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng
đã được đưa nhiều vào trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Khi gặp
phải dạng toán này học sinh thường gặp khó khăn trong việc liên hệ các giả thiết
cùng tính chất trong từng trường hợp về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt
phẳng, đường thẳng với nhau để đưa ra lời giải. Hơn nữa, hệ thống bài tập về
phần này trong sách giáo khoa không nhiều.
Quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi đã hệ thống được một số bài toán
theo từng dạng giả thiết và yêu cầu để học sinh được rèn luyện nhiều hơn và có
hệ thống giúp các em có thể giải được một cách dễ dàng hơn khi gặp phải những
bài toán khó.
Từ lý do trên, tôi xin trình bày sáng kiến trong dạy học với đề tài: “Giải
một số bài toán về vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu, giữa đường thẳng
và mặt cầu”.

1

Giúp các em học sinh lớp 12 nắm vững các kiến thức cơ bản và nâng cao
về phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu, vị
trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu, vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt
cầu. Từ đó giúp các em có thể giải các bài tập từ dễ đến khó về phương trình
đường thẳng, phương trình mặt phẳng, phương trình mặt cầu, vị trí tương đối
của đường thẳng và mặt cầu, vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu.

2


II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng vấn đề
Qua quá trình giảng dạy môn toán lớp 12 tôi thấy đa số các em ngại tư duy,
chưa biết cách xác định bài toán, mặc dù những kiến thức đó đã được học trong
chương trình lớp 11. Chỉ có một số em là còn nhớ được mang máng cách làm
nhưng hiệu quả chưa cao.
Với kiến thức vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng,
học sinh thường gặp khó khăn về xác định điều kiện để mặt phẳng tiếp xúc với
mặt cầu, mặt phẳng cắt mặt cầu, mặt phẳng không cắt mặt cầu,đường thẳng tiếp
xúc với mặt cầu, đường thẳng cắt mặt cầu và đường thẳng không cắt mặt cầu.
Vì vậy việc hướng dẫn các em giải các bài toán về vị trí tương đối giữa mặt
cầu với mặt phẳng và đường thẳng là việc làm rất cần thiết.
2.Các biện pháp giải quyết vấn đề
2.1 Một số kiến thức cơ bản
a)Mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R có phương trình là
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c ) 2 = R 2
r

b) Mặt phẳng (P) có VTPT n = ( A; B; C ) và đi qua điểm A( x0 ; y0 ; z0 ) . Khi đó (P)
có phương trình là

A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
r

c) Đường thẳng ∆ có VTCP u = (a; b; c) và đi qua điểm. Khi đó ∆ có PTTS là
 x = at + x0

 y = bt + y0
 z = ct + z
0


Nếu abc ≠ 0 thì ∆ có PTCT:

t∈¡

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
a
b
c

d)Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.

3


Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P). Kí hiệu d = d ( I ,( P)) . Khi
đó ta có:

- Nếu d>R thì (S) và (P) không có điểm chung. Ta nói mp(P) không cắt mặt cầu
(S)
- Nếu d=R thì (S) và (P) có điểm chung duy nhất. Ta nói mp(P) và mặt cầu (S)
tiếp xúc với nhau. Điểm chung gọi là tiếp điểm.
- Nếu dđường tròn. Ta nói (P) cắt mc(S).
Tính chất:
- Nếu (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A thì IA ⊥ ( P ) .
- Nếu (P) cắt mặt cầu (S) thì giao tuyến là đường tròn có tâm là hình chiếu của I
lên (P) và bán kính đường tròn giao tuyến r = R 2 − d 2
- Nếu (P) không cắt mặt cầu (S) thì với hai điểm M ∈ ( S ), N ∈ ( P ) mà MN có độ
dài nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của I lên (P) và M là giao điểm của
đoạn IN với (S).
e) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng.
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆ , kí hiệu d = d ( I ; ∆) . Khi
đó
- Nếu d>R thì ∆ và (S) không có điểm chung. Ta nói ∆ không cắt mặt cầu (S)
- Nếu d=R thì ∆ và (S) có một điểm chung duy nhất. Ta nói đường thẳng tiếp
xúc với mặt cầu.
- Nếu dTính chất:
- Nếu ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A thì IA ⊥ ∆ .
- Nếu ∆ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A và B thì AB = 2 R 2 − d 2

4


- Nếu ∆ không cắt mặt cầu (S) thì với hai điểm M ∈ ( S ), N ∈ (∆) mà MN có độ
dài nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của I lên ( ∆ ) và M là giao điểm của
đoạn IN với (S).

2.2Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu.
Ví dụ 1:
x
2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : =

y −1 z − 2
=
và
2
4

mặt phẳng (P): 2x-y-2z+2=0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên ∆ ,
tiếp xúc với (P) và có bán kính là 2.
Phân tích: Do mặt cầu đã có bán kính nên chỉ cần tìm tọa độ tâm. Tâm I thuộc
∆ nên I phụ thuộc 1 biến tham số. Dựa vào khoảng điều kiện tiếp xúc ta tìm

được I.
Giải:
 x = 2t

PTTS của ∆ :  y = 2t + 1
 z = 4t + 2


Gọi I là tâm mặt cầu, do I ∈ ∆ , gọi I(2t; 2t+1; 4t+2).
Có mặt cầu tiếp xúc với (P) và có bán kính là 2
| 4t − 2t − 1 − 8t − 4 + 2 |
= 2 ⇔| 2t + 1|= 2

3
 1
t = 2
⇔
t = −3

2

⇔ d ( I ,( P )) = 2 ⇔

Với

t=

1
2

,

I(1;

2;

4),

phương

trình

( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 4) 2 = 4

Với t =

−3
, I(-3; -2; -4), phương trình mặt cầu (S):
2

5

mặt

cầu

(S)

là:


Ví dụ 2
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
∆:

x y +1 z − 2
=
=
và mặt phẳng (P): 2 x − y − 2 z − 6 = 0 . Viết phương trình
4
1
−1

mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng tại A(0; -1; 2) và tiếp xúc với mặt
phẳng (P) tại điểm B(1; 0; -2).
Phân tích: Nếu gọi I là tâm mặt cầu thì ta có
uur r uur r
 IA ⊥ u , IB // n

 IA = IB
r

r

với u là VTCP của ∆ và n là VTPT của (P).
Giải:
r

r

Đường thẳng ∆ có VTCP u = (4;1; −1) . Mp(P) có VTPT là n = (2; −1; −2) . Gọi
I là tâm mặt cầu (S).
Gọi d là đường thẳng qua B và vuông góc với (P). d có VTCP là
ur r
u ' = n = (2; −1; −2) .

PTTS của d là x = 2t + 1; y = −t ; z = −2t − 2 .
(S) tiếp xúc với (P) tại B suy ra I thuộc d. Gọi I (2t + 1; −t; −2t − 2) .
uur

uur

Có AI (2t + 1; −t + 1; −2t − 4) , BI (2t ; −t ; −2t )

(S) tiếp xúc với ∆ tại A và tiếp xúc với (P) tại B, nên
uur r
 AI ⊥ u
4(2t + 1) − t + 1 + 2t + 4 = 0
⇔

2
2
2
2
2
2
(2t + 1) + (t − 1) + (2t + 4) = (2t ) + t + (2t )
 AI = BI
t = −1
⇔
⇔ t = −1
1
+
4
+
4
=
4
+
1
+
4


Suy ra tâm I(-1; 1; 0), bán kính (S) là R=3. Phương trình (S) là
( x + 1) 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = 9

6


( x + 3)2 + ( y + 2) 2 + ( z + 4) 2 = 4

Ví dụ 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x=-2t; y=t; z=1-2t và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y = 0 . Viết phương trình các đường tiếp
tuyến của (S) biết tiếp tuyến song song với d và nằm trong mặt phẳng chứa d
và đi qua tâm mặt cầu.
Phân tích: - Tiếp tuyến song song với d nên tiếp tuyến đã có phương. Vậy
để có phương trình của tiếp tuyến chỉ cần tìm thêm tiếp điểm.
M ∈ (S )

- Nếu gọi M là tiếp điểm thì điều kiện của M là  M ∈ ( I , d )
 MI ⊥ d


Giải:
mc(S) có tâm I(1; 1; 0), bán kính R = 2 . Đường thẳng d có VTCP
r
u = (−2;1; − 2)

Gọi H là hình chiếu của I lên d. H(-2t; t; -1-2t)
uur

Ta có HI = (1 + 2t;1 − t ;1 + 2t ) . Do H là hình chiếu của I lên d nên
uur r

1
HI ⊥ u ⇔ -2(1+2t)+1-t-2(1+2t) = 0 <=> t = −
3
2 1 1
⇒ H ( ; − ; − ) ⇒ IH = 2 ⇒ H ∈ ( S ) , suy ra d là tiếp tuyến của (S)
3 3 3

Gọi d’ là đường thẳng qua I và H.
uur

1 4 1
3 3 3

r

Ta có d’ có VTCP HI = ( ; ; ) ⇒ v = (1; 4; 1) cũng là VTCP của d’.
PTTS của d’ là x=t+1; y=4t+1; z=t.
Gọi M là giao điểm của d’ và (S). M(t+1; 4t+1; t)

7


1
1
18t 2 = 2 ⇔ t = − ; t =
3
3

Do M thuộc (S) ta có

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm. Ta có M là tiếp điểm của ∆ và (S). Do ∆ // d nên
véctơ chỉ phương của d cũng là véctơ chỉ phương của ∆
1
3

4 7 1
3 3 3

Với t = ⇒ M ( ; ; ) , phương trình tham số của ∆
4
7
1
x = −2t + ; y = t + ; z = −2t +
3
3
3
1
3

2
3

1
3

1
3

Với t = − ⇒ M ( ; − ; − ) ≡ H (loại)
2.3 Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng cắt mặt cầu.

Ví dụ 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 4 z − 19 = 0 , mặt phẳng (P): x − 2 y + 2 z + 1 = 0 và điểm

A(5; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm A, vuông góc với
mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi là
8π .

Phân tích :
- Mặt phẳng (α ) để có phương trình thì cần có VTPT.
- Giao tuyến có chu vi nên tính được khoảng cách từ tâm I của mặt
cầu tới (α )
- Dựa điều kiện vuông góc với (P) và khoảng cách từ I đến (α ) ta tìm
được VTPT của (α ) từ đó suy ra phương trình cần tìm.
Giải
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -1; 2) và bán kính R=5. mặt phẳng (P) có VTPT
r
n1 = (1; −2; 2) .
r

Gọi n = ( A; B; C ), A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 là VTPT của mp ( α ) .
8


r

ur

Ta có n ⊥ n1 ⇔ A − 2 B + 2C = 0 ⇔ A = 2( B − C ) (1)
Mp ( α ) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 8π , suy ra đường tròn

giao tuyến có bán kính r=4.
Suy ra khoảng cách từ I đến ( α ) là d = R 2 − r 2 = 3 (*)
mp ( α ) qua A nên phương trình có dạng
A( x − 5) + By + C ( z − 1) = 0
(*) ⇔

−4 A − B + C
A + B +C
2

2

2

= 3 ⇔ −4 A − B + C = 3 A2 + B 2 + C 2

(2)

Thế A từ (1) vào (2) ta biến đổi thành phương trình
1
2 B 2 − 5 BC + 2C 2 = 0 ⇔ B = 2C hoặc B = C
2
r

Với B=2C, chọn C=1, ta có n = (2;2;1) , phương trình mp ( α )
2x+2y+z-11=0
r

Với C=2B, chọn B=1, ta có n = (−2;1;2) , phương trình mp ( α )
2x-y-2z-8=0

Ví dụ 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương
trình x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z − 11 = 0 và mặt phẳng (P): 2 x + 2 y − z − 1 = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt mặt cầu theo giao
tuyến là đường tròn có diện tích là 9π .
Phân tích: Mặt phẳng (Q) đã có VTPT nên để có phương trình (Q) cần tọa
độ một điểm hoặc hệ số D trong phương trình.
Do đường tròn giao tuyến có diện tích nên ta tính được khoảng
cách từ tâm mặt cầu đến (Q). Do vậy ta tìm được hệ số D trong phương trình
của (Q).

9


Giải:
Đường tròn có diện tích là 9π , suy ra bán kính đường tròn giao tuyến là r=3.
Mặt cầu (S) có tâm là I (1; −2;3) , bán kính R=5.
Gọi mp(Q) là mặt phẳng cần tìm. Do (Q)//(P) nên mp(Q) có phương trình
dạng
2 x + 2 y − z + m = 0 (m ≠ −1)

Gọi d = d ( I ,(Q ) , ta có d = R 2 − r 2 = 4
Theo công thức tính khoảng cách d ( I ;(Q)) =

2− 4−3+ m
4 + 4 +1

=

m−5

3

 m = 17
| m − 5 |= 12 ⇔ 
(thỏa mãn)
 m = −7

Suy ra

Phương trình mặt phẳng (Q) là
2 x + 2 y − z + 17 = 0; 2 x + 2 y − z − 7 = 0

Ví dụ 3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 0; -2) và đường
thẳng ∆ :

x+2 y−2 z +3
=
=
. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆ .
2
3
2

Viết phương trình mặt cầu tâm A và cắt ∆ tại hai điểm B, C sao cho BC=8.
Phân tích: Mặt cầu (S) cần có bán kính nữa thì viết được phương trình.
Biết độ dài BC ta tính được bán kính theo công thức
2

BC

 BC 
R −d =
⇔ R = d2 + 
÷
2
 2 
2

2

Giải:
r

Đường thẳng ∆ có VTCP là u = (2;3;2) và qua điểm M(-2; 2; -3).

10


Ta có

uuur
MA = (2; −2;1) ,

uuur r
 MA, u  = (−7; −2;10) .



uuur r
 MA, u 



= 3.
r
Ta có khoảng cách từ A đến ∆ là d = d ( A; ∆) =
u

Mặt cầu (S) cắt tại hai điểm B, C và BC=8. Khi đó bán kính mặt cầu là (S)
2

 BC 
2
R= 
÷ + d = 16 + 9 = 5
 2 

Phương trình mặt cầu (S) là

x 2 + y 2 + ( z + 2) 2 = 25

2.3 Bài toán về đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung với mặt
cầu.
Ví dụ 1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x=-2t; y=t-3;
z=-1-2t và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y = 0 . Tìm điểm M ∈ ( S ), N ∈ d sao
cho độ dài đoạn thẳng MN là nhỏ nhất.

Phân tích: Để tìm được M, N ta dựa vào tính chất của đường thẳng không
cắt mặt cầu.
Giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 1; 0), bán kính R = 2 . Đường thẳng d có VTCP
r
u = (−2;1; − 2)

Gọi H là hình chiếu của I lên d. H(-2t; t-3; -1-2t)
uur

Ta có HI = (1 + 2t;4 − t ;1 + 2t ) . Do H là hình chiếu của I lên d nên
uur r
HI ⊥ u ⇔ -2(1+2t)+4-t-2(1+2t) = 0 <=> t = 0 ⇒ H (0; −3; −1) ⇒ IH = 3 2 > R ,

suy ra d và (S) không có điểm chung.
Gọi d’ là đường thẳng qua I và H.

11


uur

r

Ta có d’ có VTCP HI = (1;4;1) ⇒ v = (1; 4; 1) cũng là VTCP của d’.
PTTS của d’ là x=t+1; y=4t+1; z=t.
Gọi M là giao điểm của d’ và (S). M(t+1; 4t+1; t)
1
3

Do M thuộc (S) ta có 18t 2 = 2 ⇔ t = − ; t =

1

3

4 7 1
3 3 3

2
3

1
3

1
3

Suy ra ( S ) ∩ d ' = {M1;M 2 } với M 1 ( ; ; ) M 2 ( ; − ; − ) .
Có HM1= 4 2 , HM2= 2 2 suy ra M2 nằm giữa H và M1.
Với M ∈ ( S ), N ∈ d , ta có H là hình chiếu của N lên d’, gọi M’ là hình chiếu
của M lên d’ ta có M’ nằm trên đoạn M1M2.
Ta có HM’ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng HN và MM’. Suy
ra MN ≥ M ' H ≥ HM 2 = 2 2 . Suy ra N, M thỏa mãn để độ dài đoạn NM nhỏ
nhất là N ≡ H , M ≡ M 2 .
2
3

1
3

1
3

Vậy tọa độ hai điểm M, N cần tìm là: M ( ; − ; − ) , N (0; −3; −1)
Ví dụ 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-3=0 và
mặt

cầu

(S):

x2 + y 2 + z 2 + 2x − 4 y − 2z + 5 = 0 .

Tìm

những

điểm

M ∈ ( S ), N ∈ ( P ) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.

Phân tích: Để tìm M, N ta dựa vào tính chất của mặt phẳng không cắt mặt
cầu.
Giải:
Ta có (S) có tâm I(-1; 2; 1) bán kính R=1. d ( I ,( P)) = 2 > 1 = R , suy ra (P) và
(S) không có điểm chung.
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(P). ∆ có VTCP là
r
u = (1; −2;2) .

12

x = t −1

Ta có PTTS của ∆ là  y = −2t + 2
 z = 2t + 1


Gọi N0, M1, M2 lần lượt là giao của ∆ với mp(P), và mặt cầu (S) với M1 nằm
giữa N0 và M2.
Với M ∈ ( S ), N ∈ ( P ) , ta có N0 là hình chiếu của N lên ∆ và gọi M’ là hình
chiếu của M lên ∆ .
Ta có M’ nằm trên đoạn M1 M2. Ta có N 0 M ' là đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng NN0 và MM’. Suy ra MN ≥ M ' N 0 ≥ M 1 N 0 . Vậy điểm
M ∈ ( S ), N ∈ ( P )

sao cho MN có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi

N ≡ N0 ; M ≡ M1 .

Gọi N0( t-1; -2t+2; 2t+1). N 0 ∈ ( P) ⇒ t − 1 − 2(−2t + 2) + 2(2t + 1) − 3 = 0 ⇔ t =

2
3

 1 2 7
N0  − ; ; ÷
 3 3 3
vậy

Gọi M ∈ ( S ) ∩ ∆ , gọi M(t-1; -2t+2; 2t+1).

1
3

1
3

Do M ∈ ( S ) ⇒ t 2 + 4t 2 + 4t 2 = 1 ⇔ t = ∨ t = − .




Suy ra ( S ) ∩ ∆ = {M1 ;M 2 } với M 1  − ; ; ÷; M 2  − ; ; ÷
 3 3 3
 3 3 3
2 4 5

4 8 1

Có M 1 N 0 = 1 ; M 2 N 0 = 3 suy ra M1 nằm giữa N0 và M2. Vậy hai điểm M, N cần
 1 2 7
 2 4 5
N − ; ; ÷
M − ; ; ÷
tìm là  3 3 3  và  3 3 3  .

Bài tập tự luyện
Bài số 1.

13

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆1 :

x −1 y +1 z −1
=
=
.
2
1
2

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I(1; 0; 3) và cắt đường thẳng ∆1 tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB là tam giác vuông cân.
Bài số 2.
x
4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ∆ : =

y +1 z − 2
=
và
1
−1

mặt phẳng (P): 2x-y-2z-6=0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với đường
thẳng ∆ tại A(0; -1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại B(1; 0; -2).
Bài số 3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x+y+z-3=0 và điểm
A(2; 2; 2). Lập phương trình mặt cầu (S) qua A và cắt mặt (P) theo giao tuyến là

đường tròn sao cho tứ diện ABCD là tứ diện đều và tam giác BCD là tam giác
đều nội tiếp đường tròn giao tuyến.
Bài số 4
Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng
(P1): x-2y+2z-3=0, (P2): 2x+y-2z-4=0 và đường thẳng d :

x+2 y z−4
=
=
.
−1
−2
3

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và cùng tiếp xúc với hai mặt
phẳng (P1) và (P2).
Bài số 5.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1 :

x − 2 y −1 z
=
=
1
−1 2

 x = 2 − 2t

và d 2 :  y = 3
. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d 1 tại A(2; 1; 0) và
z = t



tiếp xúc với d2 tại B(2; 3; 1).
Bài số 6.
14


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ ABC.A 1B1C1 với A(0;
-3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp
xúc với mặt phẳng (BCC1B1).
Bài số 7.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-y+2z-14=0 và mặt
cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S)
sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất.
Bài số 8.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt
cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z − 11 = 0 . Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt
cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
Bài số 9
Trong không gian Oxyz cho A(1;-2;3) và đường thẳng d

x − 2 y −1 z
=
=
1
−1 2

a)Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A và vuông góc với d.
b)Tính khoảng cách từ A đến d.Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc
với d

Bài số 10
Trong không gian Oxyz ,cho mặt phẳng (P):2x+y-2z+10=0 và điểm I(2;1;3).
Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính
bằng 4.
Bài số 11
Trong không gian Oxyz,cho A(1,-2,3),B(-1,0,1) và (P):x+y+z+4=0.Tìm toạ độ
hình chiếu vuông góc của A trên (P).Viết phương trình mặt cầu (S) bán kính
bằng 2,có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với (P)

15


3. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sau khi các em làm theo các bước mà giáo viên đưa ra thì đa số các em hiểu
được bài.Tự mình nắm bắt được cách giải bài toán.Biết cách sử dụng giả thiết
linh hoạt.Và các em hứng thú với môn toán hơn.

16


III. KẾT LUẬN
1. Kết luận
Tài liệu phần nào đã hệ thống được phương pháp giải quyết một số bài
toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng. Sau khi
biên soạn xong tôi đã thực nghiệm giảng dạy cho 1 lớp 12 với thời lượng là 4
tiết và có kiểm tra. Kết quả tốt hơn nhiều so với lớp học sinh không được học.
2. Kiến nghị
Do thời lượng phân bố cho dạng bài tập này không nhiều nên các giáo
viên có thể đưa phần này vào tiết dạy tự chọn để cho học sinh có thể giải quyết
tốt hơn vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng.

Tài liệu này là ý kiến cá nhân, chắc hẳn không tránh khỏi những thiếu sót,
tác giả kính mong được sự góp ý của các đồng nghiệp để tài liệu có giá trị hơn.

17