Tính chất đối xứng của các nửa nhóm số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA CÁC NỬA NHÓM SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA CÁC NỬA NHÓM SỐ

Chuyên ngành: Toán đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. ĐOÀN TRUNG CƯỜNG

Hà Nội – Năm 2016

Mục lục
Mở đầu

v

1 Nửa nhóm số và vành nửa nhóm số
1.1 Nửa nhóm số và vành nửa nhóm số
1.2 Một vài bất biến . . . . . . . . . . .
1.3 Nửa nhóm số đối xứng . . . . . . .
1.4 Nửa nhóm số giả đối xứng . . . . .
1.5 Nửa nhóm số hầu đối xứng . . . . .

1
1
3
6
7
9

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

2 Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi ba phần tử
12
2.1 Nửa nhóm số đối xứng sinh bởi ba phần tử có chiều nhúng
bằng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Đặc trưng của nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi ba phần tử 14
2.3 Cấu trúc của nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi ba phần tử 17
2.4 Nửa nhóm số đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi bốn phần tử
3.1 Nửa nhóm số bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Trường hợp H = a, b . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Trường hợp H = a, b, c . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Iđêan định nghĩa của nửa nhóm số hầu đối xứng sinh
bốn phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
. . . 23
. . . 27
. . . 29
bởi
. . . 36

4 Một số lớp nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi nhiều phần
tử
40
4.1 Nửa nhóm số sinh bởi dãy số học tổng quát . . . . . . . . . 40
4.2 Phép dán của hai nửa nhóm số . . . . . . . . . . . . . . . 45
i


4.3

Ứng dụng vào nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi ba phần tử 49

Tài liệu tham khảo

53

ii


Lời Cảm Ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của bản khoá luận, tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Đoàn Trung Cường và Thạc sĩ Đỗ Văn Kiên
đã tạo điều kiện tốt nhất, chỉ bảo tận tình để tôi có thể hoàn thành khoá
luận tốt nghiệp này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo tôi
nhiệt tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khoá
luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên.

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 4 tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Nguyễn Thị Thương

iii


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm
ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Hà Nội, ngày 4 tháng 5 năm 2016
Sinh viên

Nguyễn Thị Thương

iv


MỞ ĐẦU
Nửa nhóm số có liên quan đến các lĩnh vực khác nhau trong toán học. Mỗi
nửa nhóm số có vành tương ứng. Qua đó, tính chất của nửa nhóm số và
vành nửa nhóm số là tương ứng. Mục đích của khoá luận này là trình bày
lại những khái niệm cơ bản về nửa nhóm số và các định nghĩa, khái quát
của nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng. Nửa nhóm số là
nhóm con của tập các số tự nhiên.

Khoá luận gồm 4 chương
Chương 1: Nửa nhóm số và vành nửa nhóm số.
Chương 2: Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi ba phần tử.
Chương 3: Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi bốn phần tử.
Chương 4: Một số lớp nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi nhiều phần tử.
Trong chương 1 gồm 5 phần, tôi trình bày các khái niệm về nửa nhóm
số, vành nửa nhóm số, các bất biến số quan trọng của các nửa nhóm số,
các khái niệm cơ bản về nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đối
xứng cùng các điều kiện tương đương đi kèm. Tiếp theo trong chương 2,
tôi nghiên cứu đặc trưng, cấu trúc của nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi
ba phần tử và nửa nhóm số đơn. Trong chương 3, tôi nghiên cứu mỗi nửa
nhóm số hầu đối xứng có thể được xây dựng bằng cách loại bỏ một số
phần tử sinh tối tiểu từ nửa nhóm số bất khả quy với cùng số Frobenius.
Một vấn đề khó là khi nửa nhóm số có tập sinh tối tiểu có nhiều phần tử.
Nếu các phần tử sinh đó có mối liên hệ ta có thể xét tính chất đối xứng,
giả đối xứng cụ thể là tôi nghiên cứu nửa nhóm số sinh bởi dãy số học
tổng quát và phép dán ở trong chương 4.

v


Chương 1

Nửa nhóm số và vành nửa nhóm số
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm nửa nhóm số, vành
nửa nhóm số, các bất biến và các khái niệm cơ bản về nửa nhóm số đối
xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng cùng các điều kiện tương đương đi kèm.
Ta kí hiệu N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

1.1

Nửa nhóm số và vành nửa nhóm số

Định nghĩa 1.1. Một tập H ⊆ N được gọi là nửa nhóm số nếu thỏa mãn
các điều kiện sau
(1) 0 ∈ H;
(2) H + H ⊆ H.
Định nghĩa 1.2. Cho H là nửa nhóm số. Tập {a1 , a2 , ..., an } thuộc H
được gọi là một hệ sinh của H nếu với mọi phần tử x thuộc H đều có
biểu diễn dạng x = λ1 a1 + · · · + λn an , với λ1 , λ2 , ..., λn ∈ N. Khi đó ta kí
hiệu H = a1 , a2 , ..., an . Một hệ sinh {a1 , a2 , ..., an } là tối tiểu của H nếu
ai ∈
/ a1 , ..., ai−1 , ai+1 , ..., an với i = 1, 2, ..., n.
Bổ đề 1.3. Cho H = a1 , a2 , ..., an . Khi đó

#(N\H) < ∞ khi và chỉ khi (a1 , a2 , ..., an ) = 1.
Chứng minh. Chiều thuận nếu (a1 , a2 , ..., an ) = d với d > 1 thì mọi phần
tử thuộc H đều chia hết cho d, do đó #(N\H) vô hạn nên (a1 , a2 , ..., an ) =
1. Ta chứng minh chiều đảo bằng phương pháp quy nạp theo n.
Xét trường hợp H = a, b . Nếu a = 1 hoặc b = 1 thì

H = {λ1 a + λ2 b|λ1 , λ2 ∈ N} = N.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

Do đó N\H = ∅ nên #(N\H) < ∞.

Giả sử 1 < a < b. Trước hết nhận xét rằng với mọi m ∈ Z thì m có biểu
diễn duy nhất dạng m = ax + by, 0 ≤ y < a. Thật vậy, vì (a, b) = 1
nên au + bv = 1 với u, v ∈ Z nào đó. Suy ra m = amu + bmv . Đặt
mv = aq + y với y, q ∈ Z, 0 ≤ y < a. Ta có m = amu + baq + by =
ax + by với x = mu + bq . Để chứng minh biểu diễn là duy nhất, giả sử
m = ax + by = ax + by với 0 ≤ y, y < a suy ra a(x − x ) = b(y − y). Vì
(a, b) = 1 nên a là ước của | y − y | mà | y − y |< a nên y = y và do đó
x=x.
Vậy với mọi m ∈ Z, m viết được duy nhất dạng m = ax + by, 0 ≤ y < a.
Từ đó m ∈ H tương đương với x ≥ 0. Do đó số lớn nhất không thuộc H
phải là
a(−1) + b(a − 1) = ab − a − b.
Đặt c = (a − 1)(b − 1) thì c − 1 = ab − a − b là số lớn nhất không
thuộc H . Như vậy với mọi m ≥ c thì m > c − 1 dẫn đến m ∈ H. Vậy
#(N\H) ≤ c − 1 < ∞.
Giả sử n > 2 và khẳng định đúng với n − 1. Đặt d = (a1 , ..., an−1 ) ta có
an−1
a1
) = 1. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại m1 ∈ N sao cho với mọi
( , ...,
d
d
m ≥ m1 ,
a1
an−1
m∈
, ...,
.
d
d

Do đó md ∈ a1 , a2 , ..., an . Đặt c = dm1 + (d − 1)an + 1. Ta chứng
minh với mọi m ≥ c thì m ∈ H . Thật vậy, vì (d, an ) = 1 nên m có
biểu diễn duy nhất m = dx + an y, 0 ≤ y < d. Suy ra dx = m − an y ≥
a1
an−1
, ...,
.
(d−1)an +m1 d+1−an y ≥ dm1 dẫn đến x ≥ m1 . Do đó x ∈
d
d
Khi đó dx ∈ a1 , ..., an−1 nên m ∈ H . Vì vậy #(N\H) ≤ c − 1 < ∞.
Vậy #(N\H) < ∞ khi và chỉ khi (a1 , a2 , ..., an ) = 1.
Trong phần này ta chỉ xét nửa nhóm số mà thoả mãn điều kiện tương
đương trong Bổ đề 1.3. Quy ước từ giờ đến hết khoá luận, nửa nhóm số
luôn thoả mãn điều kiện tương đương đó.
Nhận xét 1.4. Với mỗi nửa nhóm số H , ta xét k[th |h ∈ H] = (

λi ti ∈
i∈H

k[t]}. Do H là nửa nhóm số nên tập này là vành con của vành đa thức
trong đó k là một trường, t là biến.
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

Định nghĩa 1.5. Cho H là nửa nhóm số. Vành nửa nhóm số liên kết với

H là vành k[H] = k[th |h ∈ H].
Nhận xét 1.6. Với nửa nhóm số H = a1 , ..., an . Khi đó vành nửa
nhóm số k[H] = k[ta1 , ..., tan ] là miền nguyên, đẳng cấu với vành thương
k[X1 , X2 , ..., Xn ]/IH , trong đó IH là hạt nhân của toàn cấu

φ :

1.2

k[X1 , X2 , ..., Xn ] −→ k[H]
Xi −→ tai (1 ≤ i ≤ n).

Một vài bất biến

Trong phần này ta xét một số bất biến. Các bất biến này hầu hết là bất
biến số, là công cụ chính để ta nghiên cứu các tính chất của nửa nhóm số
trong những phần sau. Trước hết ta xét tập Apéry.
Định nghĩa 1.7. Cho H là nửa nhóm số và 0 = a ∈ H . Tập Apéry của
a trong H là Ap(H, a) = {h ∈ H|h − a ∈
/ H}.
Tập Apéry có rất nhiều ứng dụng hữu ích trong các vấn đề về nửa nhóm
số. Số phần tử của Ap(H, a) luôn là a. Các phần tử được mô tả trong Bổ
đề khá hay như sau.
Bổ đề 1.8. Cho H là nửa nhóm số và 0 = a ∈ H , với mỗi 0 ≤ i ≤ a − 1
.
đặt w(i) = min{h ∈ H|h − i..a}. Khi đó

Ap(H, a) = {0 = w(0), w(1), ..., w(a − 1)}.
Chứng minh. Trước hết ta lấy h ∈ Ap(H, a). Theo định nghĩa h ∈ H ,
a ∈ H nên tồn tại k ∈ N, i = 0, a − 1 sao cho h = ka + i. Suy ra

.
h − i = (ka + i) − i = ka..a. Ngoài ra (k − 1)a + i = h − a ∈
/ H . Nếu tồn
tại h = k a + i với k < k do đó h + (k − 1 − k )a = (k − 1)a + i ∈ H
suy ra mâu thuẫn với h − a ∈
/ H ở trên nên h là số nhỏ nhất thuộc H mà
..
h − i . a. Do đó h = w(i).
.
Ngược lại ta lấy w(i) = min{h ∈ H|h − i .. a} với 0 ≤ i ≤ a − 1 thì
w(i) = ka + i (k ∈ N, i = 0, a − 1). Giả sử wi − a ∈ H thì ka + i − a =
(k − 1)a + i ∈ H . Mà w(i) là nhỏ nhất suy ra điều giả sử là sai, cho nên
w(i) − a ∈
/ H . Do đó
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

w(i) ∈ {h ∈ H|h − a ∈
/ H} với mọi i = 0, 1, ..., a − 1.
Vậy Ap(H, a) = {0 = w(0), w(1), ..., w(a − 1)}.
Định nghĩa 1.9. Cho H là một nửa nhóm số. Ta định nghĩa
(1) Số Frobenius của H : F(H) = max(Z\H).
(2) Tập các số giả Frobenius của H :

PF(H) = {x ∈ Z\H|x + h ∈ H, ∀0 = h ∈ H}.
(3) Số các phần tử của PF(H) gọi là kiểu của H : t(H) = #P F (H).

(4) Tập các khoảng trống của H : G(H) = N\H.
(5) Giống của H : g(H) = #G(H).
(6) Số bội của H : e(H) = min(H\{0}).
(7) Chiều nhúng của H : emb(H) = n, trong đó n là số phần tử của hệ
sinh tối tiểu của H .
Ví dụ 1.10. H = 5, 7, 9 là nửa nhóm số sinh bởi 5, 7, 9. Khi đó ta có
H = {0, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 16, →}.
.
.
Vì w(1) = min{h ∈ H|h − 1..5} = 16, w(2) = min{h ∈ H|h − 2..5} = 7,
.
.
w(3) = min{h ∈ H|h − 3..5} = 18, w(4) = min{h ∈ H|h − 4..5} = 9.
Mà Ap(H, 5) = {0 = w(0), w(1), w(2), w(3), w(4)}
nên Ap(H, 5) = {0, 7, 9, 16, 18}.
G(H) = N\H = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13}.
g(H) = #G(H) = 8.
PF(H) = {x ∈ Z\H|x + h ∈ H, ∀0 = h ∈ H} = {11, 13}.
t(H) = #PF(H) = 2.
F(H) = max(Z\H) = 13.
e(H) = min(H\{0}) = 5.
Do emb(H) bằng số phần tử của hệ sinh tối tiểu của H nên emb(H) = 3.
Ta có nhận xét là F(H) ∈ PF(H). Thật vậy vì F(H) = max(Z\H) nên
với mọi h = 0 thì F(H) + h ∈ H . Vậy F(H) ∈ PF(H).
Ta có thể tính toán số giả Frobenius bằng việc sử dụng tập Apéry. Trước
hết, cho H là nửa nhóm số, ta định nghĩa quan hệ ≤H trên H
4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

x≤H y nếu y − x ∈ H .
Mệnh đề 1.11. Cho H là nửa nhóm số và 0 = a ∈ H . Khi đó

P F (H) = {w − a|w ∈ max≤H Ap(H, a)},
F(H) = max Ap(H, a) − a.
Chứng minh. Giả sử x ∈ PF(H) thì theo định nghĩa x ∈
/ H, x + h ∈ H
với mọi h ∈ H, h = 0. Suy ra x+a ∈ Ap(H, a) (do x+a ∈ H, (x+a)−a =
x∈
/ H). Lấy w ∈ Ap(H, a) sao cho x+a≤H w thì w−(x+a) = w−a−x ∈
H . Khi đó tồn tại h ∈ H sao cho h = w − a − x nên w − a = h + x. Nếu
h = 0 thì x + h ∈ H , mà w − a ∈
/ H mâu thuẫn cho nên h = 0, có nghĩa
là w − a = x. Do đó x ∈ {w − a|w ∈ max≤H Ap(H, a)}.
Ngược lại, giả sử x ∈ {w − a|w ∈ max≤H Ap(H, a)} thì từ w − a ∈
/ H ta
suy ra x ∈
/ H . Nếu w − a + h ∈
/ H với mọi h ∈ H thì w + h ∈ Ap(H, a).
Điều này mâu thuẫn với w ∈ {max≤H Ap(H, a)} suy ra w − a + h ∈ H
nên w − a ∈ PF(H). Do đó x ∈ PF(H).
Vậy PF(H) = {w − a|w ∈ max≤H Ap(H, a)}.
Tiếp theo, ta chứng minh F(H) = max Ap(H, a) − a. Thật vậy, ta
thấy max Ap(H, a) − a ∈
/ H . Nếu x > max Ap(H, a) − a thì x + a >
max Ap(H, a) suy ra x + a = ka + max Ap(H, a) với k > 0. Nói riêng,
x = (k − 1)a + max Ap(H, a) ∈ H. Vậy F(H) = max Ap(H, a) − a.

Như vậy ta có một công thức khác để tính PF(H), F(H) một cách đơn
giản hơn.
Mệnh đề 1.12. Cho H là nửa nhóm số. Khi đó 2g(H) ≥ F (H) + 1.
Chứng minh. Xét tập {0, 1, 2, ..., F(H)} với m ∈ {0, 1, 2, ..., F(H)}, ta
xét cặp (m, F(H) − m). Nếu m ∈ H thì rõ ràng F(H) − m ∈
/ H do
F(H) = max(Z\H). Nếu F(H) − m ∈ H tương tự thì ta cũng có m ∈
/ H.
Vậy 2g(H) ≥ F(H) + 1.
Ví dụ 1.13. Cho H = 3, 5, 7 = {0, 3, 5, 6, 7, ...}. Ta có F (H) = 4,
Ap(H, 3) = {0, 5, 7} suy ra max≤H Ap(H, 3) = {5, 7}. Do đó PF(H) =
{2, 4}, F(H) = 7−3 = 4, t(H) = 2. Trong Mệnh đề 1.11, tập PF(H), F(H)
không phụ thuộc vào a nên ta tính thêm a=5, ta có Ap(H, 5) = {0, 6, 7, 3, 9}
suy ra max≤H Ap(H, 5) = {9, 7}. Do đó PF(H) = {2, 4}, F(H) = 9 − 5 =
4, t(H) = 2.
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

Chú ý 1.14. Cho H là nửa nhóm số. Khi đó emb(H) ≤ e(H). Thật vậy,
giả sử H = a1 , a2 , ..., an với e(H) = a1 , emb(H) = n. Ta có

Ap(H, a1 ) = {0, a2 , a3 , ..., an , ...} ≥ n.
Mà #(Ap(H, a1 )) = a1 nên a1 ≥ n, suy ra e(H) ≥ emb(H).
Ta nói rằng H có chiều nhúng tối đa nếu emb(H) = e(H).

1.3

Nửa nhóm số đối xứng

Trong phần tiếp theo chúng ta xét một số lớp nửa nhóm số được đặc trưng
thông qua tính chất đối xứng.
Định nghĩa 1.15. Một là nửa nhóm số H được gọi là đối xứng nếu với
mọi x ∈ Z thì x ∈ H hoặc F(H) − x ∈ H .
Nếu H đối xứng thì F(H) là số lẻ. Thật vậy, giả sử F(H) là số chẵn thì
F(H)
F(H)
F(H)
∈ Z. Giả sử
∈
/ H . Do H đối xứng nên F(H) −
∈H
2
2
2
F(H)
F(H)
∈ H mâu thuẫn. Suy ra
∈ H do đó F(H) ∈ H . Vô lý.
do đó
2
2
Vậy F(H) là số lẻ.
Ta có đặc trưng cho các nửa nhóm số đối xứng thông qua các bất biến của
nửa nhóm số đó trong các mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.16. Cho H là nửa nhóm số, 0 = a ∈ H và

Ap(H, a) = {0 = w1 < w2 < · · · < wa }.
Các điều kiện sau là tương đương
(1) H đối xứng;
(2) wi + wa+1−i = wa với 1 ≤ i ≤ a;
(3) t(H) = 1;
(4) PF(H) = {F(H)};
(5) 2g(H) = F(H) + 1.
Chứng minh.
(1) ⇒ (2) Ta có F(H) = max Ap(H, a) − a = wa − a. Với mỗi wi ∈
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

Ap(H, a), wi − a ∈
/ H . Do H đối xứng nên F(H) − (wi − a) ∈ H . Do đó
wa − wi = wa − a − (wi − a) ∈ H . Suy ra wa = wi + j với j ∈ H. Nếu
j∈
/ Ap(H, a) thì j − a ∈ H ta được wi + j − a ∈ H hay wa − a ∈ H vô
lý (do wa ∈ Ap(H, a)). Do đó wa = wi + wj (với j ∈ {0, ..., a − 1}). Mà
0 < w2 < · · · < wa nên
wi + wa+1−i = wa với 1 ≤ i ≤ a.
(2) ⇒ (1) Nếu wa = wi + wa+1−i thì wa−i+1 = wa − wi ∈ H . Mà F(H) −
(wi − a) = wa − wi nên

F(H) − (w − a) ∈ H;
i
wi − a ∈

/ H.
Do đó theo đúng định nghĩa ta suy ra H đối xứng.
(3) ⇒ (4) Do t(H) = 1, F(H) ∈ PF(H) nên PF(H) = {F(H)}.
(4) ⇒ (3) Do PF(H) = {F(H)} nên t(H) = 1.

(3) ⇔ (1) Lấy x ∈ PF(H), giả sử x≤H y với y ∈
/ H thì y − x ∈ H. Nếu
y − x = t với t ∈ H, t = 0 thì x + t ∈ H , mà y ∈
/ H nên t = 0 suy
ra y = x. Mà theo giả thiết PF(H) = {F(H)} thì F(H) = max≤H (Z\H)
tương đương với x ∈
/ H thì F(H) − x ∈ H . Do đó H đối xứng.
F(H) + 1
tương
(1) ⇔ (5) Đẳng thức 2g(H) = F(H) + 1 hay g(H) =
2
đương với {0, 1, ..., F(H)} có đúng một nửa số phần tử thuộc H chứng tỏ
x∈
/ H thì F(H) − x ∈ H tức là H đối xứng.
1.4

Nửa nhóm số giả đối xứng

Định nghĩa 1.17. Một nửa nhóm số H được gọi là giả đối xứng nếu F(H)
F(H)
là số chẵn và với mọi x ∈ Z\{
} thì hoặc x ∈ H hoặc F(H) − x ∈ H .
2

F(H)

+ a ∈ Ap(H, a). Thật vậy ta giả sử
2
F(H)
F(H)
F(H)
+a∈
/ H . Do H là giả đối xứng và
+a=
nên F (H) −
2
2
2
F(H)
F(H)
F(H)
(
+ a) ∈ H . Suy ra
− a ∈ H nên
− a + a ∈ H hay
2
2
2

Nếu H là giả đối xứng thì

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

F(H)
F(H)
∈ H , nói riêng F (H) ∈ H . Vô lý. Do đó
+ a ∈ H. Mặt khác
2
2
F(H) F(H)
F(H)
F(H)
∈
/ H nên
=
+a−a∈
/ H. Vậy
+ a ∈ Ap(H, a).
2
2
2
2
Mệnh đề 1.18. Cho H là nửa nhóm số với F(H) chẵn, 0 = a ∈ H và
Ap(H, a) = {0 = w1 < w2 < · · · < wa−1 = F(H) + a} ∪ {

F(H)
+ a}
2

Khi đó các điều kiện sau là tương đương
(1) H là giả đối xứng;

(2) wi + wa−i = wa−1 với 1 ≤ i ≤ a − 1;

F(H)
, F(H)};
2
(4) 2g(H) = F(H) + 2.

(3) PF(H) = {

Chứng minh.

F(H)
F(H)
+ a ∈ Ap(H, a). Ta có
+
2
2
F(H)
a < F(H) + a. Lấy wi ∈ Ap(H, a)\{
+ a} với mọi 1 ≤ i ≤ a − 1 thì
2
F(H)
F(H)
wi − a ∈
/ H và wi =
+ a. Suy ra wi − a =
. Lại do H là giả
2
2
đối xứng nên F(H) − (wi − a) ∈ H , suy ra wa−1 − a − (wi − a) ∈ H . Từ

đó

(1) ⇒ (2) Do H là giả đối xứng nên

wa−1 − wi = wj với mọi 1 ≤ i ≤ a − 1.
F(H)
F(H)
+ a (vì nếu wa−1 − wi =
+ a thì
2
2
F(H)
F(H)
F(H)
(F(H) + a) − wi =
+ a hay wi =
(vô lý)(do wi ∈ H,
∈
/
2
2
2
H ). Cho nên wi + wa−i = wa−1 với 1 ≤ i ≤ a − 1.
F(H)
(2) ⇒ (1) Lấy x ∈ Z sao cho x =
, x ∈
/ H . Ta chứng minh
2
F(H) − x ∈ H . Thật vậy, lấy w ∈ Ap(H, a) sao cho w ≡ x (mod a) suy
ra w = x + ka với k ∈ N\{0}. Xét 2 trường hợp

F(H)
Trường hợp 1: Nếu w =
+ a thì
2
F(H)
F(H)
F(H)−x = F(H)−(w−ka) = F(H)−(
−ka+a) =
+(k−1)a.
2
2

Hơn nữa wa−1 − wi =

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

F(H)
F(H)
nên k = 1 suy ra k
2. Cho nên
+ (k − 1)a =
2
2
F(H)
+ a) + λa ∈ H với λ ≥ 0 tức là F(H) − x ∈ H .

(
2
F(H)
Trường hợp 2: Nếu wi =
+ a với 1 ≤ i ≤ a − 1 thì
2
Do x =

F(H) − x = F(H) − (wi − ka) = F(H) + a − wi + (k − 1)a
= wa−1 − wi + (k − 1)a = wa−i + (k − 1)a.
Từ đó F(H) − x ∈ H .
Vậy trong cả hai trường hợp thì F(H) − x ∈ H với x ∈
/ H nên H là giả
đối xứng.
(1) ⇔ (3) Ta có H là giả đối xứng tương đương với max≤H Ap(H, a) =
F(H)
F(H)
+ a} tương đương với PF(H) = {
, F(H)}.
{F(H) + a,
2
2
F(H) + 2
(1) ⇔ (4) Đẳng thức 2g(H) = F(H) + 2 hay g(H) =
và
2
F(H)
} thì x ∈ H hoặc
F(H) là số chẵn tương đương với mọi x ∈ Z\{
2

F(H) − x ∈ H , tức H là giả đối xứng.

1.5

Nửa nhóm số hầu đối xứng

Với H là nửa nhóm số. Ta định nghĩa L(H) = {x ∈ Z\H|F(H) − x ∈
/ H.}.
Định nghĩa 1.19. Nửa nhóm số H được gọi là hầu đối xứng nếu L(H) ⊆
PF(H).
Từ định nghĩa ta thấy H đối xứng khi và chỉ khi L(H) = ∅.

F(H)
}.
2
Do đó nửa nhóm số đối xứng và giả đối xứng là hầu đối xứng. Vì vậy khái
niệm nửa nhóm số hầu đối xứng là tổng quát của khái niệm nửa nhóm số
đối xứng và giả đối xứng.
H là giả đối xứng khi và chỉ khi L(H) = {

Định lí 1.20. Cho H là nửa nhóm số, PF(H) = {f1 < f2 < · · · < ft = F(H)}.
Khi đó, các điều kiện sau là tương đương
(1) H là hầu đối xứng;
(2) fi + ft−i = F(H) với mọi 1 ≤ i ≤ t − 1;
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

(3) 2g(H) = F(H) + t(H).
Chứng minh.
(1) ⇒ (2) Giả thiết H là hầu đối xứng. Dễ thấy F(H) ∈
/ H. Giả sử
F(H) − fi ∈ H với fi = F(H), 1 ≤ i ≤ t − 1 thì F(H) − fi = h với
0 = h ∈ H . Suy ra
F(H) = fi + h.
Vì fi ∈ PF(H) nên fi + h ∈ H với mọi 0 = h ∈ H suy ra F(H) ∈ H (vô
lý) cho nên F(H) − fi ∈
/ H . Mặt khác H là hầu đối xứng nên F(H) − fi ∈
PF(H). Suy ra
F(H) − fi = fj (fj ∈ PF(H)).
Lại vì f1 < f2 < · · · < ft = F(H). Do đó fi + ft−i = F(H) với mọi
1 ≤ i ≤ t − 1.
(2) ⇒ (1) Giả thiết fi + ft−i = F(H) với mọi 1 ≤ i ≤ t − 1. Ta thấy
x ∈ PF(H) khi và chỉ khi F(H) − x ∈ PF(H). Nếu y ∈
/ PF(H) thì
F (H)−y ∈
/ PF(H). Khi đó tồn tại 0 = h ∈ H sao cho F(H)−y +h ∈
/ H.
Suy ra
F(H) − (y + h) + (h + h ) ∈
/ H.
Dẫn đến F(H) − (y + h) ∈
/ PF(H) hay y + h ∈
/ PF(H). Chứng tỏ khi
y ∈ L(H)\PF(H) thì y + h ∈ L(H)\PF(H). Do đó y + h1 + h2 + · · · ∈
L(H)\PF(H). Mà L(H) hữu hạn nên L(H) ⊆ PF(H). Vì vậy H là hầu
đối xứng.

a ∈ H, F(H) − a ∈
/ H (x)
(1) ⇔ (3) [0, F(H)] a ∈
/ H, F(H) − a ∈ H (x)
a∈
/ H, F(H) − a ∈
/H
H là hầu đối xứng tương đương với L(H) ⊆ PF(H), mà PF(H)\{F (H)} ⊂
L(H) nên #L(H) = t(H) − 1. Suy ra 2x + t(H) − 1 = F (H) + 1 hay

F(H) + t(H) = 2x + 2t − 2.
Mặt khác g(H) = x + t − 1. Từ đó 2g(H) = F(H) + t(H).
Ví dụ 1.21.
(1) H = a, b đều là nửa nhóm số đối xứng. Thật vậy, vì

H = {0, a, 2a, 3a, ..., (b − 1)a, ba, b, 2b, ..., (a − 1)b, ...},
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

nên Ap(H, a) = {0, b, 2b, ..., (a − 1)b} thỏa mãn wi + wa+1−i = wa với
1 ≤ i ≤ a.
(2) H = 3, 7, 8 có F(H) = 5 là số lẻ. Do đó H không là giả đối xứng.
(3) H1 = 4, 5, 6 có Ap(H, 4) = {0, 5, 6, 11} thỏa mãn wi + wa+1−i = wa
với 1 ≤ i ≤ a. Do đó H1 là đối xứng.
H2 = 4, 5, 7 có Ap(H, 4) = {0, 5, 7, 10} nên PF(H) = {3, 6} thoả
mãn điều kiện tương đương. Do đó H2 là giả đối xứng.

H3 = 4, 5, 6, 7 có F (H) = 3, PF(H) = {1, 2, 3} thỏa mãn fi + ft−i =
F(H) với i = 1, 2, 3. Do đó H3 là hầu đối xứng, không là đối xứng,
không là giả đối xứng.
(4) H = a, a + 1, ..., 2a − 1 = {0, a, →}
Ta có F(H) = a − 1, PF(H) = {1, ..., a − 2, a − 1} thỏa mãn điều kiện
tương đương nên H là hầu đối xứng.
Nếu a = 2 thì H = 2, 3 là đối xứng.
Nếu a = 3 thì H = 3, 4, 5 , PF(H) = {1, 2} là giả đối xứng.
Nếu a ≥ 4 thì t(H) > 2 nên không là giả đối xứng, không là đối xứng.
Vậy (H) = {0, a, →} với a ≥ 4 không là giả đối xứng hoặc đối xứng.

11


Chương 2

Nửa nhóm số hầu đối xứng sinh bởi
ba phần tử
Trong chương này ta nghiên cứu đặc trưng, cấu trúc của nửa nhóm số giả
đối xứng sinh bởi ba phần tử và nửa nhóm số đơn.

2.1

Nửa nhóm số đối xứng sinh bởi ba phần tử có chiều nhúng
bằng 3

Trước hết ta quan tâm đến nửa nhóm số H = a, b, c đối xứng. Định lý
sau rất quan trọng .
Định lí 2.1. Cho H = a, b, c là nửa nhóm số. Khi đó điều kiện sau là
tương đương

(1) H là đối xứng.
(2) a = a d, b = b d, d > 1, (a , b ) = 1, c ∈ a , b , c = a , b (Có thể thay
đổi thứ tự a, b, c)
Trong trường hợp này kí hiệu H = d a , b , c .
Ví dụ 2.2.
(1) H1 = 4, 5, 6 do (4, 6) = 2, 5 ∈ 2, 3 nên H1 đối xứng ta viết là
H1 = 2 2, 3 , 5 . H2 = 6, 10, 11 do (10, 6) = 2, 11 ∈ 5, 3 nên H2
đối xứng ta viết là H2 = 2 3, 5 , 11 .
(2) H3 = 7, 10, 12 do (10, 12) = 2, 7 ∈
/ 5, 6 và (7, 10) = 1, (12, 7) = 1
nên H3 không đối xứng. H4 = 9, 11, 13 do (11, 9) = 1, (11, 13) =
1, (13, 9) = 1 nên H4 không đối xứng.
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

(3) Nếu H = a, b, c có (a, b) = 1, (a, c) = 1, (b, c) = 1 thì H không đối
xứng.
Tiếp theo ta quan tâm đến trường hợp H = a, b, c không đối xứng.
Mệnh đề 2.3. Nếu H = a, b, c không đối xứng thì t(H) = 2.
Chứng minh.
Đặt m = max{j| − c + ja ∈
/ H}.
n = max{k| − c + ma + kb ∈
/ H}.
z = −c + ma + nb.
Theo cách đặt của n thì z = −c + ma + nb ∈

/ H.
Ta có z + c = ma + nb ∈ H .
z + a = −c + ma + nb + a = −c + (m + 1)a + nb.
z + b = −c + ma + nb + b = −c + (n + 1)b + ma.
Vì theo cách đặt của m, n nên −c+(m+1)a ∈ H, −c+(n+1)b+ma ∈ H .
Suy ra z + a ∈ H, z + b ∈ H . Do đó z ∈ PF(H).
Bây giờ lấy x ∈ PF(H). Giả sử x = −c + αa + βb với α, β ∈ N. Ta nhận
thấy do x ∈ PF(H) nên x + b ∈ H do đó x + b = ha + lb + kc, tuy nhiên
l ở đây phải là 0 vì nếu l > 0 thì x = ha + (l − 1)b + kc ∈ H vô lý. Vì
vậy ta có x = −b + ha + kc với h, k ∈ N. Giả sử −c + (β + 1)b ∈
/ H,
−b + (k + 1)c ∈
/ H . Với x = −c + αa + βb thì

−c + (β + 1)b = −c + βb + b = x − αa + b
= −b + ha + kc − αa + b = (h − α)a + kc.
Do −c+(β +1)b ∈
/ H nên h−α < 0 suy ra h < α. Tương tự −b+(k+1)c ∈
/
H suy ra α < h. Mâu thuẫn, từ đó trong 2 số −c + (β + 1)b, −b + (k + 1)c
có ít nhất một số thuộc H . Nếu −c + (β + 1)b ∈ H mà −c + βb ∈
/ H
thì ta suy ra β = max{j ∈ N| − c + jb ∈
/ H}. Mà x + a ∈ H nên
−c + βb + (α + 1)a ∈ H suy ra α = max{i ∈ N| − c + βb + ia ∈
/ H}.
Từ tất cả những điều trên suy ra t(H) = 2.
Mệnh đề 2.4. Cho H = a, b, c là nửa nhóm số không đối xứng. Khi đó
H là hầu đối xứng khi và chỉ khi H là giả đối xứng.
Chứng minh.

Dễ thấy nếu H là giả đối xứng thì H là hầu đối xứng. Ngược lại nếu H là
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

hầu đối xứng và không đối xứng, theo Mệnh đề 2.3 thì t(H) = 2. Suy ra
F(H)
2g(H) = F(H)+2 nên F(H) là số chẵn. Dẫn đến {F(H),
} ∈ PF(H).
2
F(H)
} tức là H là giả đối xứng.
Do đó PF(H) = {F(H),
2
Bây giờ ta nghiên cứu H = a, b, c là nửa nhóm số giả đối xứng.

2.2

Đặc trưng của nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi ba phần
tử

Định lí 2.5. k[H] ∼
= k[X, Y, Z]/IH là vành nửa nhóm số của H = a, b, c .
Khi đó iđêan IH sinh bởi các định thức con cấp 2 × 2 của ma trận

Xα Y β Zγ
Y β Zγ Xα

trong đó α, β, γ, α , β , γ > 0, deg(X) = a, deg(Y ) = b, deg(Z) = c. Cụ
thể
IH = Y β X α − Z γ+γ , X α+α − Y β Z γ , X α Z γ − Y β+β .
Mệnh đề 2.6. Nếu H = a, b, c là nửa nhóm số không đối xứng thì
(1) (α + α )a = β b + γc và α + α = min{n > 0|an ∈ b, c };
(2) (β + β )b = αa + γ c và β + β = min{n > 0|bn ∈ a, c };
(3) (γ + γ )c = βb + α a và γ + γ = min{n > 0|cn ∈ a, b }.
Chứng
minh. Theo Định lý


β α
γ+γ

∈ IH

Y X − Z
⇔
X α+α − Y β Z γ ∈ IH



X α Z γ − Y β+β ∈ IH .

2.5
 ta có:



(γ + γ )c = βb + α a

(α + α )a = β b + γc



(β + β )b = αa + γ c.

Giả sử tồn tại 0 < δ < α + α sao cho γa = β b + γ c. Khi đó tδa −
tβ b+γ c = 0 tức là X δ − Y β Z γ ∈ IH hay

X δ −Y β Z γ = (Y β X α −Z γ+γ )P1 +(X α+α −Y β Z γ )P2 +(X α Z γ −Y β+β )P3 .
Điều này là không thể xảy ra vì 0 < δ < α + α . Vì vậy

α + α = min{n > 0|an ∈ b, c }.
Các ý 2, 3 tương tự.
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

Vì k[H]/(ta ) ∼
= k[X, Y, Z]/(X, Y β+β , Y β Z γ , Z γ+γ )
= k[X, Y, Z]/(IH , X) ∼
nên k[H]/(ta ) ∼
= k[Y, Z]/(Y β+β , Y β Z γ , Z γ+γ ), iđêan định nghĩa của k[H]/(ta )
0 Y β Zγ
sinh bởi định thức 2 × 2 của ma trận
. Ta có
Y β Zγ 0

dimk k[Y, Z]/(Y β+β , Y β Z γ , Z γ+γ ) = (β + β )(γ + γ ) − βγ
= βγ + β γ + β γ .
Tiếp theo, ta tính dimk k[H]/(ta ) chính là số phần tử của tập H − (a + H)
nên cũng là số phần tử của tập Ap(H, a), do đó dimk k[H]/(ta ) = a. Vì
vậy ta có kết quả sau
a = βγ + β γ + β γ ,
b = γα + γ α + γ α ,
c = αβ + α β + α β .
Mệnh đề 2.7. Nếu H = a, b, c là nửa nhóm số không đối xứng thì
PF(H) = {f, f } trong đó
(1) f = αa + (γ + γ )c − (a + b + c);
(2) f = β b + (γ + γ )c − (a + b + c).
Bổ đề 2.8. Cho H = a, b, c là nửa nhóm số không đối xứng
(1) Nếu β b > αa (hay f > f ) thì
(i) Với p, q, r ∈ N, f − f + pa + qb + rc ∈
/ H khi và chỉ khi p < α, q <
β, r < γ .
(ii) #{h ∈ H|f − f + h ∈
/ H} = αβγ.
(2) Nếu β b < αa (hay f < f ) thì
(i) Với p, q, r ∈ N, f − f + pa + qb + rc ∈
/ H khi và chỉ khi p < α , q <
β ,r < γ .
(ii) #{h ∈ H|f − f + h ∈
/ H} = α β γ .
Chứng minh. Ta chứng minh 1 suy ra i đúng. Giả sử β b > αa hay f > f
với p, q, r ∈ N. Suy ra f − f + αa = β b ∈ H,
f − f + βb = (β b + βb) − αa = γ c ∈ H,
f − f + γc = (β b + γc) − αa = α a ∈ H .

Do đó
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

f − f + pa + qb + rc = β b − αa + pa + qb + rc = (p − α)a + (q + β )b + rc,
f − f + pa + qb + rc = γ c − βb + pa + qb + rc = pa + (q − β)b + (γ + r)c,
f − f + pa + qb + rc = α a − γc + pa + qb + rc = (α + p)a + qb + (r − γ)c.
Suy ra nếu f − f + pa + qb + rc ∈ H thì p ≥ α hoặc q ≥ β hoặc r ≥ γ ,
có nghĩa là nếu f − f + pa + qb + rc ∈
/ H thì p < α, q < β, r < γ .
Ngược lại, giả thiết cho p < α, q < β , r < γ , giả sử f −f +pa+qb+rc ∈
H . Khi đó tồn tại u, v, w ∈ N sao cho f −f +pa+qb+rc = ua+vb+wc ∈ H
hay (β b − αa) + pa + qb + rc = ua + vb + wc. Do đó
(β + q − v)b = (α − p + u)a + (w − r)c.
Do p < α, u ∈ N nên α − p + u > 0. Nếu β + q − v ≤ 0 thì (r − w)c =
(α − p + u)a + (v − β − q)b thỏa mãn r − w ≥ γ + γ . Mà r < γ, w ∈ N
nên r − w < γ < γ + γ mâu thuẫn nên

β + q − v > 0.
Nếu w ≥ r thì r − w ≤ 0, mâu thuẫn Mệnh đề 2.6, do đó w < r. Từ đó
(α−p+u)a = (β +q−v)b+(r−w)c. Theo Mệnh đề 2.6 thì α−p+u ≥ α+α
suy ra u − p ≥ α . Dẫn đến X α−p+u − Y β +q−v Z r−w ∈ IH mâu thuẫn (do
r − w < γ ). Vì vậy

f − f + pa + qb + rc ∈
/ H.

(ii) là hệ quả của (i).
Tương tự với (2).
Định lí 2.9. Cho H = a, b, c là nửa nhóm số không đối xứng. Khi đó
(1) Nếu β b > αa thì 2g(H) − (F(H) + 1) = αβγ ,
(2) Nếu β b < αa thì 2g(H) − (F(H) + 1) = α β γ .
Chứng minh. Giả sử β b > αa thì f > f , mà PF(H) = {f, f } nên
F(H) = f . Khi đó với mọi h ∈ H thì f − h ∈
/ f − H nếu và chỉ nếu
f − (f − h) ∈
/ H. Thật vậy, ta có f − h ∈
/ f − H , giả sử f − (f − h) ∈ H .
Suy ra tồn tại k ∈ H sao cho f − (f − h) = k thì f − h = f − k ∈ f − H
(vô lý) cho nên f − (f − h) ∈
/ H . Nếu ta có f − (f − h) ∈
/ H , giả sử
f − h ∈ f − H . Suy ra tồn tại l ∈ H thoả mãn f − h = f − l thì
f − (f − h) = l ∈ H (vô lý), cho nên f − h ∈
/ f − H . Do đó

#{h ∈ H|f − f + h ∈
/ H} = #{(f − H) ∩ N\(f − H)}.
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

Theo Bổ đề 2.8 ta có #{h ∈ H|f − f + h ∈
/ H} = αβγ nên #{(f − H) ∩

N\(f − H)} = αβγ. Vì N\H = ((f − H) ∩ N) ∪ ((f − H) ∩ N). Khi đó

g(H) = #{N\H} = #((f − H) ∩ N) + #[((f − H) ∩ N)\(f − H)].
Mà #((f − H) ∩ N) bằng số phần tử trong tập {0, ..., F(H)} mà thuộc
H nên
#{(f − H) ∩ N} = F(H) + 1 − g(H).
Do đó g(H) = F(H) + 1 − g(H) + αβγ . Vậy 2g(H) − (F(H) + 1) = αβγ.
Tương tự suy ra (2).
Mệnh đề 2.10. H = a, b, c là nửa nhóm số giả đối xứng khi và chỉ khi
(1) Nếu β b > αa thì α = β = γ = 1.
(2) Nếu β b < αa thì α = β = γ = 1.
Chứng minh. Do H là giả đối xứng tương đương với 2g(H) = F(H) + 2
(theo Mệnh đề 1.18). Nếu β b > αa thì 2g(H) − (F(H) + 1) = αβγ (theo
Mệnh đề 2.8). Suy ra αβγ = 1. Do đó α = β = γ = 1.
Mệnh đề này thể hiện đặc trưng của nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi 3
phần tử.

2.3

Cấu trúc của nửa nhóm số giả đối xứng sinh bởi ba phần
tử

Trong phần này, giả sử H = a, b, c là nửa nhóm số giả đối xứng. Với
f là số nguyên dương bất kì, ta phân loại các nửa nhóm số giả đối xứng
H = a, b, c với F(H) = f . Ví dụ không có nửa nhóm số giả đối xứng
H = a, b, c với F(H) = 12. Như được đề cập trước, IH sinh bởi các định
thức 2 × 2 của ma trận ở (2.1), ta giả sử α = β = γ = 1. Trong trường
hợp này ta có

a = β γ + β + 1,

b = γ α + γ + 1,
c = α β + α + 1.

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

Định lí 2.11. Cho H = a, b, c là nửa nhóm số giả đối xứng và IH sinh
X Y
Z
bởi các định thức 2 × 2 của ma trận
. Khi đó
Y β Zγ Xα

αβγ =

F(H)
+ 1.
2

Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.7 ta có

f = αa + (γ + γ )c − (a + b + c) = a + (1 + γ )c − (a + b + c),
f = β b + (γ + γ )c − (a + b + c) = β b + (1 + γ )c − (a + b + c).
Theo trên ta có a = β γ + β + 1,
b = γ α + γ + 1 suy ra β b = γ αβ + γ β + β .
Từ đó a < β b suy ra f < f nên F(H) = f . Ta được

F(H) = f = β b + (1 + γ )c − (a + b + c)
= β (α γ + γ + 1) + γ (α β + α + 1) − (β γ + β + 1 + γ α + γ + 1)
= 2α β γ − 2.
F(H)
Vậy α β γ =
+ 1.
2
Như vậy khi cho f là một số nguyên dương, ta có thể liệt kê tất cả các khả
F(H)
năng của tập {α , β , γ } phân tích bởi thừa số nguyên tố
+ 1.
2
Ví dụ 2.12. H = a, b, c với F(H) = f = 18.

F(H)
18
+1 =
= 10 ta nhận được
2
2
{α , β , γ } = {10, 1, 1} hoặc {5, 2, 1}. Nếu {α , β , γ } = {10, 1, 1} thì
{a, b, c} = {3, 12, 21} vô lý (do (a, b, c) = 1). Do đó không có nửa nhóm
số thỏa mãn. Còn nếu {α , β , γ } = {5, 2, 1} khi (α , β , γ ) = (5, 2, 1) thì
a = 5, b = 7, c = 16 nên H = 5, 7, 16 , khi (α , β , γ ) = (5, 1, 2) thì
a = 4, b = 11, c = 13 nên H = 4, 11, 13 .
Vậy có 2 giả đối xứng thỏa mãn F (H) = f = 18 là H = 5, 7, 16 và
H = 4, 11, 13 .
Bây giờ ta xét các trường hợp của f .
.
Trường hợp 1: Nếu f ..12 thì có một giả đối xứng H = a, b, c với

F(H) = f .
Theo Mệnh đề 2.11 ta có α β γ =

18