DE THI HSG TOAN 11 THPT

ĐỀ THI THỬ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
NĂM HỌC 2016 – 2017
Môn thi: TOÁN HỌC
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1(6,0 điểm). Giải các phương trình sau:
a)

( 2cosx − 1) ( sinx + cosx ) = 1 .

2
2
3
b) 2 ( 5 x + 2 ) + 3 ( x − 2 x ) 3 x − 1 = 2 ( x + 7 x ) .

Câu 2(5,0 điểm).
a) Thầy X có 14 cuốn sách gồm 6 cuốn sách Toán, 5 cuốn sách Lý, 3 cuốn sách Hóa. Các
cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên 9 cuốn sách để tặng cho học
sinh. Tính xác suất để trong số cuốn sách còn lại có đủ cả ba môn.
b) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1; un+1 =

2n
n+2
un +
, ∀n ∈ N * . Tìm công
2
n +1
n ( n + 1)

thức số hạng tổng quát un theo n .
Câu 3(5,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm
của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại B', D' khác S. Chứng

minh rằng:
a) Mặt phẳng (P) luôn chứa một đường thẳng cố định.
b)

4 SB′ SD′ 3
≤
+
≤ .
3 SB SD 2

Câu 4(2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AD và
trực tâm H. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của điểm D trên các cạnh HB và HC. Tìm tọa độ
điểm H, biết phương trình các đường thẳng AB, AC, EF lần lượt là 4 x − 3 y + 8 = 0 , y = 0 và
2 x + y − 12 = 0 .
Câu 5(2,0 điểm). Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
1
1
1
+
+
thức : P =
.
2+a 2+b 2+c
……………Hết……………
Họ và tên thí sinh……………………………………

Số báo danh……………………