Đề thi học sinh giỏi môn toán 6 huyện thạch thanh năm học 2016 2017(có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6

HUYỆN THẠCH THÀNH

MÔN: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

NĂM HỌC: 2016 – 2017

(Đề thi gồm 01 trang)

Ngày thi: 03/04/2017
Thời gian: 120 phút không tính thời gian ghi đề

Câu 1: (4,0 điểm).
1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 68.74 + 27.68 – 68
b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]}
 151515 179   1500 1616 
+ 10 ÷− 
−
c) C = 
÷
 161616 17   1600 1717 
 1
 1
 1
  1


− 1÷
d) D =  2 − 1÷ 2 − 1÷ 2 − 1÷..... 
2
2
 3
 4
  100

Câu 2: (2,0 điểm). Tìm số nguyên x, biết:
a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7
b)

x x x x x
x
x
x
x
x 220
+ + + + + + + + +
=
6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39

Câu 3: (3,0 điểm)
a) Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390. Chứng minh rằng A chia hết cho 11 và 13
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: xy – 2x + y + 1 = 0
Câu 4: (4,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư
28 .
b) Tìm số nguyên n để phân số

4n + 5
có giá trị là một số nguyên
2n − 1

Câu 5: (5,0 điểm). Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của
các góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om.
a) Tính số đo góc mOn
· 'Oz = 300
b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết m
c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình
để tạo thành tất cả 300 góc.
Câu 6: (2,0 điểm)
a) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225
b) Cho A =

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017

Chứng minh A <

3
4

ĐÁP ÁN
Câu 1: (4,0 điểm).
1.
a) A = 68.74 + 27.68 – 68 = 68.(74 + 27 – 1) = 68.100 = 6800
b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]}
B = 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(72 + 1)]}
B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]}
B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]}
B = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]}
B = 1000 – 3.{539 – 239}
B = 1000 – 3.300
B = 1000 – 900
B = 100
 151515 179   1500 1616 
+ 10 ÷− 
−
c) C = 
÷
 161616 17   1600 1717 
 15.10101 1   15 16.101 
+ ÷−  −
C= 
÷
 16.10101 17   16 17.101 
C=

15 1 15 16
+ − +

16 17 16 17

 15 15   1 16 
C =  − ÷+  + ÷
 16 16   17 17 
C=0+1
C=1
 1
 1
 1
  1

− 1÷
d) D =  2 − 1÷ 2 − 1÷ 2 − 1÷..... 
2
2
 3
 4
  100

 1 − 4  1 − 9  1 − 16   1 − 1000 
D =  2 ÷ 2 ÷ 2 ÷..... 
÷
2
 2  3  4   100 
D=

Câu 2:

−3 −8 −15

−9999
. 2 . 2 .....
2
2 3 4
1002

D= −

1.3 2.4 3.5 99.101
.
. .....
22 32 42
1002

D= −

(1.2.3.....99)(3.4.5.....101)
(2.3.4.....100).(2.3.4.....100)

D= −

1.101
100.2

D= −

101
200

a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7
2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7
2016 : [25 – (3x + 2)] = 63
25 – (3x + 2) = 2016 : 63
25 – (3x + 2) = 32

b)

3x + 2

= 25 – 32

3x + 2

=–7

3x

=–9

x

=–3

x x x x x
x
x
x
x
x 220

+ + + + + + + + +
=
6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39

1
1
1
1
1  220
1 1 1 1 1
⇔ x  + + + + + + + + + ÷=
 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78  39
1
1
1
1
1
1
1
1  220
1 1
⇔ 2x  + + +
+ + + +
+
+
÷=
 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156  39
1
1
1

1
1
1
1
1
1  220
 1
⇔ 2x 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
÷=
 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13  39
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  220
⇔ 2x  − + − + − + − + − + − + − + − + − + − ÷ =
 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13  39
 1 1  220
⇔ 2x  − ÷ =
 3 13  39
⇔ 2x.

10 220
=
39 39

⇔ 2x =

220 10
:
39 39

⇔ 2x = 22
⇔ x = 11
Câu 3:
a) A có 90 số hạng mà 90 M5 nên:
A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390
A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39 + 310) + … + (386 + 387 + 388 + 389 + 390)
A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + 36.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + … + 386.(1 + 3 + 32 + 33 + 34)
A = 3.121 + 36.121 + … + 386.121
A = 121(3 + 36 + … + 386)
A = 11.11(3 + 36 + … + 386) M11
⇒ A M11
A có 90 số hạng mà 90 M3 nên:
A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390


A = (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) + … + (388 + 389 + 390)
A = 3.(1 + 3 + 32) + 34.(1 + 3 + 32) + … + 388.(1 + 3 + 32)
A = 3.13 + 34.13 + … + 388.13
A = 13(3 + 34 + … + 388) M11
⇒ A M13
b) Ta có: xy – 2x + y + 1 = 0
⇔ x(y – 2) + (y – 2) + 1 = – 2
⇔ (x + 1)(y – 2) = – 3 = 1. (– 3) = ( – 3).1

Ta có bảng sau:
x+1
y–2
x
y

1
–3
0
–1

–3
1
–4
3

Câu 4: a) Gọi số cần tìm là a ( a ∈ N,100 ≤ a ≤ 999 )
Vì a chia cho 8 thì dư 7 và chia cho 31 thì dư 28 nên:
8
8
8
8
8
a − 7 M
 a − 7 + 8M
a + 1M
a + 1 + 64M
a + 65M
⇔
⇔

⇔
⇔

a − 28M31 a − 28 + 31M31 a + 3M31 a + 3 + 62M31 a + 65M31
Vì (8, 31) = 1 nên a + 65 M(8.31) hay a + 65 M248 ⇔ a = 248k – 65 (k ∈ N*). Vì a là số có 3
chữ số lớn nhất nên k = 4, khi đó a = 248.4 – 65 = 927.
Vậy số cần tìm là 927
b) Ta có:

4n + 5 4n − 2 + 7 n(2n − 1) + 7
7
=
=n+
=
2n − 1
2n − 1
2n − 1
2n − 1

Vì n nguyên nên để

4n + 5
7
nguyên thì
nguyên hay 2n – 1 ∈ Ư(7) = {–7; –1; 1; 7}
2n − 1
2n − 1

⇔ 2n ∈ {– 6; 0; 2; 8} ⇔ n ∈ {– 3; 0; 1; 4}
Vậy với n ∈ {– 3; 0; 1; 4} thì

4n + 5
có giá trị là một số nguyên
2n − 1

Câu 5: (5,0 điểm).
·
·
·
·
a) Vì xOy
kề bù với zOy
nên: xOy
+ zOy
= 1800
·
Vì tia Om là tia phân giác của xOy
nên:
1·
·
mOy
= xOy
2
·
Vì tia On là tia phân giác của zOy
nên:
1·
·
nOy
= zOy

2
·
·
Vì xOy
kề bù với zOy
nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân giác của
·
·
và tia On là tia phân giác của zOy
nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, khi đó:
xOy


·
·
·
+ yOn
= mOn
mOy
⇔

1·
1·
·
xOy + zOy
= mOn
2
2

⇔

1 ·
·
·
xOy + zOy
= mOn
2

⇔

1
·
.1800 = mOn
2

(

)

·
⇔ mOn
= 900
· 'Oz kề bù với zOm
·
b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó m
· 'Oz + zOm
·
⇒ m
= 1800
⇔ 300

·
+ zOm
= 1800
·
= 1500
zOm

⇔

·
·
Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó zOm
kề bù với mOx
·
·
⇒ zOm
+ mOx
= 1800
·
⇔ 1500 + mOx
= 1800
⇔

·
= 300
mOx

·
·

·
Vì tia Om là tia phân giác của xOy
nên: mOy
= 300
= mOx
·
·
Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó yOm
kề bù với yOm
'
·
·
⇒ yOm
+ yOm
' = 1800
·
⇔ 300 + yOm
' = 1800
⇔

·
yOm
' = 1500

c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình
để tạo thành tất cả 300 góc.
Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6
Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo
thành:
(n + 5)(n + 6) góc

Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi góc được tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là:

(n

+ 5) ( n + 6 )
góc
2

Vì có 300 góc được tạo thành nên:
⇔ n + 5 = 24 ⇔ n = 19
Câu 6:

(n

+ 5) ( n + 6 )
= 300 ⇔ (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25
2


100a + 3b + 1
a) Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) vì 225 lẻ nên  a
cùng lẻ (2)
 2 + 10a + b
*) Với a = 0:
(1) ⇔ (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225
⇔ (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52
3b + 1 = 25
⇔ b=8
Vì 3b + 1 chia cho 3 dư 1 và 3b + 1 > 1 + b nên: (3b + 1)(1 + b) = 25.9 
1 + b = 9

*) Với a là số tự nhiên khác 0:
Khi đó 100a chẵn, từ (2) ⇒ 3b + 1 lẻ ⇒ b chẵn ⇒ 2a + 10a + b chẵn, trái với (2) nên b ∈∅
Vậy: a = 0 ; b = 8
b) Ta có:

A=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017

1
1
1
1
+
+
+ ... +
(1 + 2017).1009
A = (1 + 3).2 (1 + 5).3 (1 + 7).4
2
2
2
2

A=

2
2
2
2
+
+
+ ... +
2.4 3.6 4.8
1009.2018

A=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
2.2 3.3 4.4
1009.1009

A<

1  1
1
1


+
+
+ ... +
÷
2.2  2.3 3.4
1008.1009 

A<

1 1 1 1 1
1
1 
+  − + − + ... +
−
÷
4 2 3 3 4
1008 1009 

A<

1 1
1 
+ −
÷
4  2 1009 

A<

1 1
+

4 2

A<

3
4