Đề và đáp án thi học sinh giỏi môn toán tỉnh bắc giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP
TỈNH
NĂM HỌC 2016-2017
MÔN THI: TOÁN - LỚP 12
Ngày thi: 21/ 3/ 2017
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 ( 4,5 điểm)
1) Tìm m để hàm số y = cos 3x + 6m cos 2 x − 21cos x + 2m − 8 đồng biến
trên khoảng ( 0; π) .
2) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số
f (x) = x + ( m - 3) x + m + m - 2 có hai điểm cực trị đối xứng nhau
1
y
=
qua đường thẳng 2x - 2.
3

2

2

Câu 2 ( 4,5 điểm)
1) Giải phương trình tan x − tan x + 4 tan x + cot x − cot x + 4 cot x = 8.
2)
Giải phương trình log ( x + 7 x − 3) = log ( x + 7 x − 4 ) ,

( x∈¡ ) .
3) Một nhóm học sinh gồm có 9 bạn nam, trong đó có
bạn Hải và 4 bạn nữ trong đó có bạn Minh xếp vào 13 cái
ghế trên một hàng ngang. Tính xác suất để giữa hai bạn
nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn Hải
và bạn Minh nêu ở trên không ngồi cạnh nhau.
3

2

3

2

2

4

Câu 3 ( 4,0 điểm)
1) Giải phương trình
( x∈¡ ) .
2) Tính tích phân

π
4

I=

∫
0

3

2

5

2

3

2

3

2

x + 3 + 3 x + 2 = 2 x + 4 x + 3 + 2 x + 4 x + 2,

log 2 ( 2sin x + cos x )
1 + cos 2 x

dx

.


Câu 4 ( 6,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có
phương trình x − y + 3 2 − 3 = 0 và hai đường tròn

( C ) : x + y + 2 x − 6 y + 6 = 0 ; ( C ) : x + ( y + 3) = 1. Viết phương trình đường
tròn ( C ) tiếp xúc với đường thẳng d , tiếp xúc ngoài với
đường tròn ( C ) , đồng thời ( C ) cắt ( C ) tại hai điểm A, B phân
biệt mà AB ⊥ d .
2) Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi,
·ABC > 90
. Góc giữa A ' C và mặt đáy ( ABCD ) bằng 30 ; góc giữa
hai mặt phẳng ( A ' BC ) và ( ABCD ) bằng 45 ; khoảng cách từ
điểm C ' đến mặt phẳng ( A ' CD ) bằng a. Gọi E là trung điểm
cạnh CD . Tính thể tích khối hộp đã cho và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện AA ' DE .
3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương
trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;9;0) , M (4;3;25) và cắt hai tia
Ox,Oz
lần lượt tại hai điểm B,C khác O sao cho OB +OC nhỏ
nhất.
2

2

2

1

2

2

1

2

o

o

o

Câu 5 ( 1,0 điểm) Cho các số thực x, y, z không âm đôi một
phân biệt . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 1
1
1 
P = x2 + y 2 + z 2 
+
+

2
2
2
 ( x − y )
( y − z ) ( z − x ) 

(

)

.

------ HẾT -----Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: .............................................................Số báo
danh:..................................
Giám thị 1 (Họ tên và
ký)..........................................................................................................


Giám thị 2 (Họ tên và
ký).........................................................................................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
BẮC GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH
NGÀY THI 21/3/2017
MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG
HDC ĐỀ CHÍNH THỨC
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

Câ
Hướng dẫn giải
u
Câ
u1
1.1. y = cos 3x + 6m cos 2 x − 21cos x + 2m − 8
(2. = 4cos x - 3cosx + 6m( 2cos x - 1) - 21cosx + 2m - 8
5 = 4( cos x + 3m cos x - 6cosx - m - 2)
điể Đặt t = cosx , hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
m) ( 0; π) khi và chỉ khi hàm số f ( t) = t + 3mt - 6t - m - 2

nghịch biến trên ( - 1;1)
3

3

2

Điể
m
4.5
đ
0. 5

2

3

(

2

)

f '( t ) = 3t 2 + 6mt - 6 = 3 t 2 + 2mt - 2

Hàm số f ( t) = t

3

+ 3mt2 - 6t - m - 2

Û t 2 + 2mt - 2 £ 0, " t Î ( - 1;1)

0.5
0.5

nghịch biến trên ( - 1;1)


ìï V' = m2 + 2 > 0
ïï
Û ïí f '( - 1) £ 0
ïï
ïï f '( 1) £ 0
îï
ìï - 1- 2m £ 0
1
1
Û ïí
Û - £ m£ .
ïï - 1 + 2m £ 0
2
2
î

0.5
0.5

Kết luận.
Ta có y ' = 3x + m − 3. Để hàm số có cực đại và cực

tiểu thì m − 3 < 0 ⇔ m < 3.
Giả sử A( x ; y ), B( x ; y ) là hai điểm cực trị.
1.2 Tính được hệ số góc của đường thẳng AB là
(2.
f (x ) − f (x ) 2
k=
= ( m − 3) .
x
−
x
3
0
điể Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng
m) y = 21x - 2 suy ra
1
1
k . = −1 ⇔ ( m − 3) = −1 ⇔ m = 0.
2
3
Thử lại m = 0 thỏa mãn.
2

2

2

1

1

1

2

2

0.5

2

2

1

0.5

2

0.5

2

Câ
u2

0.5
4.5
đ

3

2

3

2

tan x − tan x + 4 tan x + cot x − cot x + 4 cot x = 8

π

Điều kiện: sin x.cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ k 2 , k ∈ ¢
Phương trình tương đương

2.1 (tan x + cot x) − (tan x + cot x) + (tan x + cot x) − 6 = 0 (1)
(1.
Đặt t = tan x + cot x, | t |≥ 2 , phương tình (1) trở thành
5
t −t +t −6=0
điể
Giải được t = 2
m)
π
Suy ra tan x + cot x = 2 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ x = 4 + kπ (thỏa mãn).
π
Vậy x = 4 + kπ , k ∈ ¢ là nghiệm của phương trình đã
cho.
3

3

2

0.5

2

0.5

0.5


(

)

log 4 5 x 2 + 7 x − 3 = log

2

(x

2

+ 7x − 4

).

 x 2 + 7 x − 3 > 0
 2

 x + 7 x − 4 > 0

Điều kiện:
.
Viết lại phương trình dưới dạng
(

)

(

⇔ log 5 x 2 + 7 x − 3 = log 4 x 2 + 7 x − 4

)

0. 5

(1)

2.2
Đặt y = log ( x + 7 x − 4) . Từ phương trình (1) ta có hệ:
(1.  x + 7 x − 4 = 4
4 1
⇒ 4 + 1 = 5 ⇔  ÷ +  ÷ = 1 (2)

5
5 5
 x + 7 x − 3 = 5
điể Hàm số f ( y ) =  4 ÷ +  1 ÷ là hàm nghịch biến
 5 5

m
Do đó phương trình (2) có nghiệm thì nghiệm đó
là duy nhất. Nhận thấy y=1 là một nghiệm.
x = 1
Với y = 1 ⇒ x + 7 x − 4 = 4 ⇔ x + 7 x − 8 = 0 ⇔  x = −8
Vậy phương trình có nghiệm x = −8 và x = 1.
2.3 W = 13!
(1. Đánh số ghế trên hàng ngang theo thứ tự từ 1
5 đến 13. Các bạn nữ phải ngồi vào các ghế số
điể 1,5,9,13.
m) Gọi A là biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần
nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn Hải và
bạn Minh không ngồi cạnh nhau”.
Xét các trường hợp
- Bạn Minh ngồi ở ghế 1
+ Số cách xếp 3 bạn nữ còn lại là 3!.
+ Có 8 cách xếp vị trí của Hải .
+ Có 8! cách xếp tám bạn nam vào các vị trí còn
lại.
Suy ra số cách xếp là 3!.8.8!
- Bạn Minh ngồi ghế 13 cũng có số cách xếp là
3!.8.8!
2

4

2

y

y

y

2

y

y

0.5

y

y

2

y

0.5

2

0.2
5

0.5

- Bạn Minh ngồi ghế 5 (ghế 9 làm tương tự)
Có 3! cách xếp 3 bạn nữ, có 7 cách xếp vị trí của
0.5
Hải, có 8! cách xếp 8 bạn nam còn lại
Suy ra số cách xếp là 3!.7.8!
W = 2.3!.7.8!+ 2.3!.8.8! = 2.15.3!8!
0.2
2.15.3!8!
1
P ( A) =
=
×
5
13!
858
A

Câ
u3

4đ
3

x + 3 + 3 x + 2 = 3 2x2 + 4x + 3 + 3 2x2 + 4x + 2

Đặt u = x + 2; v = 2 x + 4 x + 2
3.1 Phương trình đã cho trở thành u + 1 + u = v + 1 + v.
(2. Xát hàm số f (t ) = t + 1 + t. Có f '(t ) = t + 1 > 0, ∀t ≠ −1.
( t + 1)
0

f (t ) luôn đồng biến. Nên
điể Suy ra hàm số
f (u ) = f (v ) ⇔ u = v.
m)
−3
Ta có x + 2 = 2 x + 4 x + 2 ⇔ 2 x + 3x = 0 ⇔ x = 0; x = 2 .
−3
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 0; x = 2 .
3.2
log ( 2sin x + cos x )
ln ( 2sin x + cos x )
1
I=
dx =
dx
∫ 1 + cos 2 x
2 ln 2 ∫
cos x
(2.
ìï u = ln( 2sin x + cosx)
0
ïï
í
điể Đặt ïïïïî dv = cos1 x dx
m) ïìï du = 2cosx - sin x dx ïìï du = 2cosx - sin x dx
3

3

2

3

3

3

0. 5

3

2

3

3

3

3

3

π
4

2

2

0. 5
0.5

2

π
4

2

2

0

3

0.5
0.5

0

2

ï
2sin x + cosx
Þ ïí
ïï
1
ïï v = tan x +
2

ïî

ï
2sin x + cosx
Þ ïí
ïï
2sin x + cosx
ïï v =
2cosx
ïî

0.5


π


π
4
4
1 
1
2 cos x − sin x 2sin x + cosx 
I=
×
dx 
 tan x + ÷×ln ( 2sin x + cos x ) −
2 ln 2 
2
2sin

x
+
cos
x
2
cos
x
0

0


π


4
1 3 3 2
sin
x

 
=
− 1 −
 ln
÷dx 
2 ln 2  2
2
2 cos x  

0



π


1 3 3 2 
1
4
=
ln
−  x + ln ( cos x ) ÷
2 ln 2  2
2
2

0 



∫

0.5

∫

=

1  27 π 
− ÷
 ln

4 ln 2  2 2 

Câ
u4

0.5

6đ

có tâm I ( - 1;3) , bán kính R = 2 ; ( C ) có tâm
I ( 0;- 3) , bán kính R = 1
Khẳng định tâm I của đường tròn ( C ) nằm trên
0.5
đường thẳng l qua I và song song với d , l có
4.1 phương trình x - y - 3 = 0.
(2. Tính được đường tròn ( C ) có bán kính R = 3.
0.5
0 Gọi I ( t + 3;t) Î l . Sử dụng II = R + R = 5 được t = 0 hoặc
điể t = - 1.
0.5
m) I ( 3;0) hoặc I ( 2;- 1) .
Kiểm tra ( C ) cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt, ta có
I ( 2;- 1) .
0.5
KL: Đường tròn ( C ) :( x − 2) + ( y + 1) = 9.
( C1 )
2

1

2

1

2

2

1

1

2

2

2


4.2
(2.
0
điể
m)

suy ra góc ( ( A 'BC ) ;( ABCD ) ) = góc ( A 'I , AI ) =
· 'IA = 45
A
(1) .
Góc ( A 'C ;( ABCD ) ) = A· 'CA = 30 (2).

Hạ AJ ^ CD , AH ^ A 'J .
Khẳng định khoảng cách từ điểm C ' đến mặt
phẳng ( A ' CD ) bằng AH = a.
Hạ

AI ^ BC
o

o

0.5
Từ (1) suy ra

AI = AA '.

Đáy

là hình thoi nên

ABCD

AJ = AI .

Xét tam giác vuông A 'AJ , từ AH = a được AJ
Đặt AB = x, ( x > 0) Þ BC = x. Từ (2) suy ra AC = a
Xét tam giác vuông AIC : IC = AC - AI = 2a.
2

= a 2.

0.2
5

6.

2

IB = IC - BC = 2a - x.

Xét tam giác vuông
2

Û x2 = ( a 2) + ( 2a - x) Û x =
2

AC Ç BD = {O } Þ BO =

AIB : AB 2 = AI 2 + IB 2

0.5

3a
×
2

a 3
2

;

SABCD =

3a2 2
Þ VABCD .A 'B 'C 'D ' = 3a3.
2

Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
và đường thẳng d qua F vuông góc với ( ABCD ) .
Mặt phẳng trung trực của AA ' cắt d tại G thì G là

0.2
5
0.2
5


tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA ' DE .
Bán kính cầu ngoại tiếp tứ diện AA ' DE là
a
×
GA = GF + FA với GF =
2
2

2

Tính được

AE =

a 57
4

3a 3a a 57
× ×
AD.DE .AE
4 = 3a 114 ×
FA =
= 2 4
4SADE
32
3a2 2
2

;

0.2
5

2

Vậy

2
2
æ
ö
a
a
a 1538

ç3a 114 ÷
2
÷
GA =
+ FA =
+ç
=
÷
ç
÷
ç
2
2
32
÷
ç
è 32 ø

Giả sử B(a;0;0), C (0;0; b) ( a, b > 0 ).
Phương trình mặt phằng (P) qua các điểm
A(0;9;0), B( a;0;0), C (0;0; b) có dạng

4.3 x + y + z = 1.
(2. a 9 b
4 25 2
M(4;3;25) Î (P) nên +
= .
Điểm
Ta có OB + OC = a + b.
a b 3

0
3
147
 4 25  87 3  4b 25a  87
điể Mà a + b = 2 ( a + b )  a + b ÷ = 2 + 2  a + b ÷ ≥ 2 + 30 = 2 .
m) Dấu ‘=’ đạt được khi a = 21; b = 105 .
2
Vậy phương trình mặt phẳng cần lập là
x y 2z
+ +
= 1.
21 9 105

Câ
u5
(1. Không mất tính tổng quát, giả sử
0 Đặt a = y - x; b = z - y thì a > 0,b > 0.
điể P = éêëx + ( x + a) + ( x + a + b) ùúûéêê1 + 1 + 1 ùúú
b
( a + b) û
ëa
m)
( a + ab + b )
2

2

³ ( 2a + 2ab + b ) ×
2

2

a2b2 ( a + b)

Đẳng thức xảy ra
a2b2 ( a + b)

2

0.5

0.2
5

2

(1)

2

Û x = 0.

( a2 + ab + b2)

( 2a2 + 2ab + b2) ×

0.5

0 £ x < y < z.

2 2

2

2

0.5

1đ

2

2

0.5

³

2

é a2
ùéa 2 a
ù
a
ê2
+ 2 + 1úê
+ + 1ú
ê
ú
ú

b
b
ë b
ûê
ëb
û
2
2
a a
+1
b b

()

()
( )( )

.

0.2
5


t

2

ổử
a
a

ữ
t =ỗ
+ ,t>0
ỗ ữ
ữ
ữ b
ỗ
ốbứ

Xột hm s f ( t) =
f '( t ) =

(

3

);

2 t - 2t - 1
t

3

thỡ

P

( 2t + 1) ( t + 1)
t2

( 2t + 1) ( t + 1)
t

2

f '( t ) = 0 t =

P

.

2

= 2t+ 5 +

4t + 1
, t ẻ ( 0; +Ơ ) .
t2

1+ 5
ì
2

Lp bng bin thiờn ta c
Do ú

2

ổ
ử 11 + 5 5

1 + 5ữ
ỗ
ữ
ỗ
f ( t) f ỗ
=
ì
ữ
ữ
ỗ
2
2
ữ
ỗ
ố
ứ

0.2
5

11 + 5 5
ì
2

ng thc xy ra khi t = 1+2 5 ì Suy ra
a - 1+ 3 + 2 5
=
ì
b
2

Kt hp vi (1), P nh nht khi

ỡù x = 0
ùù
ùớ
ùù y = - 1+ 3 + 2 5
ùù z - y
2
ợ

0.2
5

Vy giỏ tr nh nht ca P l 11+25 5 ì
20 im
Lu ý khi chm bi:
- Trờn õy ch l s lc cỏc bc gii, li gii ca
hc sinh cn lp lun cht ch, hp logic. Nu hc
sinh trỡnh by cỏch lm khỏc m ỳng thỡ vn c
im theo thang im tng ng.
- Vi bi toỏn hỡnh hc nu hc sinh v hỡnh sai hoc
khụng v hỡnh thỡ khụng cho im phn tng ng.