Phát triển tư duy logic qua một số bài toán suy luận logic

1. Tên đề tài :
“Phát triển tư duy logic qua một số bài toán suy luận logic”.
2. Lý do chọn đề tài
Một trong những mục tiêu quan trọng cuả môn toán ở trường THCS là
rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và logic , bồi dưỡng các phẩm chất của tư
duy linh hoạt độc lập và sáng tạo .
Là giáo viên được phân công giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá , giỏi
lớp 6 môn toán nên đề tài năm nay tôi chọn viết về chuyên đề “Phát triển tư duy
logic qua một số bài toán suy luận logic”.
Những bài toán suy luận logic là những bài toán đòi hỏi suy luận đúng
đắn, hợp lý , chặt chẽ . Các bài toán này có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú
và phát huy năng lực sáng tạo của người giải nhưng nó không có một khuôn mẫu
giaiả mà tuỳ thuộc vào nội dung bài toán để lập luận tìm ra cách giải thích hợp .
Nếu học sinh không được làm quen và luyện tập nhiều các bài toán dạng này rất
lúng túng và khó biết cách giải . Chính vì vậy nên tôi chọn để tài : “Phát triển tư
duy logic qua một số bài toán suy luận logic”. Giúp các em luyện tập được nhiều
bài bài toán dạng này và trở thành quen thuộc đối với các em học sinh .
3 . Phạm vi thời gian thực hiện đề tài
Phạm vi : Học sinh khá , giỏi lớp 6
Thời gian : 12 tiết (Trong đó có 2 tiết kiểm tra )

1


III QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỂ TÀI
1 Khảo sát thực tế
Trước khi thực hiện đề tài này các em học sinh đã được trang bị một số kiến
thức về số học và hoàn thành tốt các bài tập bắt buộc trong sách giáo khoa . Mặc
dù vậy khi đứng trước các bài toán suy luận logic thì việc tìm đường lối giải rất
lúng túng
2 Nội dung chủ yếu của đề tài

A- Kiến thức cần nắm vững
Loại toán suy luận logic không đòi hỏi phảI biết nhiều các khái niệm qui tắc toán
học mà điều chủ yêú là biết suy luận một cách logic , thấy được cách đặt vấn đề ,
cách giải quyết vấn đề , những đIều ảnh hưởng đến kết quả phân biệt được đúng
sai

2


1. Dựa vào yêu cầu của đề bàI để căn cứ vào các dữ liệu mà tìm ra mối liên hệ
nhằm làm cho lập luận không vấp phải mâu thuẫn .
2. Cách lập luận một mặt phải phù hợp với thực tế , mặt khác phải phù hợp với
logic , các bước chuẩn bị cho cái sau , cái sau do cái trước mà có
Khi giải ta thường sử dụng các lập luận ngắn ngọn chặt chẽ , có thể minh hoạ lời
giải bằng các bảng , các sơ đồ , hìmh vẽ . . .
Ta sẽ tìm hiểu một số bài toán và phương pháp giải chúng qua các ví dụ sau đây.
B .Một số bài toán suy luận logic
Bài toán 1: Làm thế nào để đem 6 lít nước từ sông về nếu trong tay chỉ có 2 cái
thùng, một thùng dung tích 4 lít , một thùng dung tích 9 lít và không thùng nào
có vạch chia dung tích ?
Giải : Kí hiệu (a,b) là trạng thái thùng 4 lít có a lít . 0 ≤ a ≤ 4và thùng 9 lít có b
lít 0 ≤ b ≤ 9 .
Khi đó việc lấy 6 lít nước từ sông về được diễn tả qua các trạng thái sau :
(0;0) => (0;9)=>(4;5) => (0;5) => (4;1 ) => (0;1) => (1;9) =>(4;6)
Cuối cùng thùng có dung tích 9 lít đựng 6 lít .
Bài toán 2 : Trong một can có 16 lít xăng . Làm thế nào để chia số xăng đó
thành 2 phần bằng nhau , mỗi phần 8 lít , nếu chỉ thêm một can 11 lít và một can
6 lít để không ?
Giải :
Kí hiệu (a,b,c) là trạng thái can 16 lít có a lít xăng , can 11 lít có b lít xăng , can 6

lít có c lít xăng .
3


Việc chia 16 lít xăng thành 2 phần bắng nhau được diễn tả qua các trạng thái sau:
(16;0;0) => (10;0;6) =>(10;6;0) => (4;6;6) => (4;11;1)=> (15;0;1)=> (15;1;0) =>
(9;1;6) =>(9;7;0) =>(3;7;6)=>(3;11;2) =>(14;0;2) =>(14;2;0)=>(8;2;6)=>(8;8;0)
Vậy cuối cùng can 16 lít và can 11 lít chứa 8 lít xăng.
Bài toán 3 : Một hiệu bán sữa tươi có 2 thùng A và B bằng nhau , mỗi thùng
chứa đầy 40 lít sữa . Hai khách hàng , mỗi người mang can 5 lít , một người
mang can 4 lít đến mua 2 lít sữa , người bán sữa không có dụng cụ đo lường nào
khác . Hỏi phải san sẻ làm sao để bán cho khách hàng ? ( không thùng nào có
vạch chia dung tích) .
Giải : Gọi (a,b ) là trạng thái bình dung tích 5 lít có a lít sữa và bình 4 lít có b lít
sữa Ta có (5;0) =>(1;4) =>(1;0) =>(0;1)=>(5;1) =>(2;4) =>(2;0)
Lúc này bình A có 38 lít , bình B có 40 lít , người thứ nhất đã nhận được 2
lít sữa còn người thứ 2 còn bình 4 lít sữa
Gọi (a,b,c ) là trạng thấi bình A có a lít sữa , bình B có b lít sữa , bình 4lít
có c lít sữa . Ta có
(38;40;0)=>(38;36;4) =>(40;36;2)
Vậy người thứ 2 nhận được 2 lít sữa .
Bài toán 4: Có 3 rổ táo . Rổ thứ nhất có 11 trái , rổ thứ 2 có 7 trái , rổ thứ 3 có 6
trái . Cần phải chuyển các trái táo sao cho số táo trong 3 rổ bằng nhau , với điều
kiện việc chuyển số táo từ rổ này sang rổ kia thoả mãn số táo chuyển vào rổ đó
phải đúng bằng số táo đã có trong 3 rổ đó.

4


Giải : Kí hiệu (a,b,c) là trạng thái rổ thứ nhất có a quả táo , rổ thứ 2 có b quả táo,

rổ thứ 3 có c quả táo.
Việc chuyển số táo từ rổ này sang rổ kia sao cho số táo trong 3 rổ bằng nhau và
thoả mãn số táo chuyển vào rổ đó phải đúng bằng số táo đã có trong rổ được diễn
tả qua trạng thái sau
(11;7;6) => (4;14;6) => (4;8;12) => (8;8;8)
Cuối cùng số táo trong 3 rổ đã bằng nhau và có 8 trái .
Bài toán 5: Có 7 can bia đầy , 7 can đầy một nửa , 7 can không . Làm thế nào để
chia số can bia thành 3 phần bằng nhau , để phần nào cũng có số can đầy , số can
đầy một nửa , số can không như nhau ?
Giải : Vấn đề là phải làm thế nào để chia được số can đầy bia , số can đầy một
nửa , số can không làm ba.
Cách 1: Từ 4 can đầy bia một nửa ta có thể được 2 can bia đầy và 2 can không .
Thế thì ta được 9 can bia đầy , 3 can đầy một nửa , 9 can không .
Vậy mỗi phần gồm 3 can bia đầy , 1 can đầy một nửa , 3 can không
Cách 2 : Từ một can đầy và một can không ta được 2 can đầy một nửa . Thế thì
ta có 6 can bia đầy , 9 can đầy một nửa , và 6 can không .
Vậy mỗi phần gồm 2 can đầy , 3 can đầy một nửa , 2 can không
Cách 3 : Mỗi phần gồm 1 can đầy , 5 can đầy một nửa , 1 can không
Bài toán 6: Trong 4 đồng tiền có 3 đồng tiền thật có khối lượng như nhau , 1
đồng tiền giả có khối lượng khác . Làm thế nào để tìm được đồng tiền giả bằng 2
lần cân? ( Cân đĩa không có quả cân )
5


Giải : Đặt nên mỗi quả cân một đồng tiền : Xảy ra 1 trong 2 trường hợp
a) Cân thăng bằng
b) Cân không thăng bằng
- Nếu cân thăng bằng theo trường hợp (a) thì 2 đồng tiền đó là thật , thay một
đồng tiền đã cân bằng 1 trong 2 đồng tiền còn lại . Nếu cân vẫn thăng bằng thì
đồng tiền thứ 4 là giả . Nếu cân không thăng bằng thì đồng tiền vừa thay là giả

- Nếu cân jkhông thăng bằng trường hợp (b) thì một trong 2 đồng tiền trên đĩa là
giả . Trong lần cân thứ 2 chỉ việc thay một đồng tiền đã cân bằng một trong hai
đồng tiền còn lại ( Cả 2 đồng tiền này đều là thật ) Xác định được đồng tiền giả.
Bài toán 7: Có 16 chai rượu trong đó có một chai nhẹ hơn tất cả các chai còn
lại . Làm thế nào chỉ 3 lần cân xác định được chai nào nhẹ ?
Giải : Chia 16 chai rượu thành 3 nhóm : 2 nhóm 6 , 1 nhóm 4
* Lần 1 đặt nên mỗi đĩa cân 6 chai , xảy ra 1 trong 2 trường hợp
a) Cân bằng (1)
b) Cân không thăng bằng (2)
* Lần cân 2:
a) Nếu cân thăng bằng (1) thì lấy 2 chai ở nhóm 4 chai đặt nên cân
- Nếu cân thăng bằng thì đặt 2 chai còn lại nên cân , lần 3 xác định được chai nhẹ
- Nếu cân không thăng bằng xác định ngay được chai nhẹ
b) Nếu cân không thăng bằng (2) thì lấy 6 chai ở bên nhẹ đặt nên mỗi đĩa cân 3
chai, xác định được nhóm 3 chai bên nhẹ để cân lần 3
* Lần cân 3 : Với 3 chai bên nhẹ đặt nên mỗi đĩa cân một chai
6


- Nếu cân thăng bằng thì chai nhẹ là chai thứ 3
- Néu cân không thăng bằng thì xác định ngay chai nhẹ
Bài toán 8: Có 10 gói kẹo hình thức giồng hệt nhau , số lượng kẹo trong mỗi gói
bằng nhau (>10 cái) . Trong đó có 9 gói kẹo thật và 1 gói kẹo giả . Mỗi cái kẹo
thật nặng 6g , mỗi cái kẹo giả nặng 5g . Làm thế nào chỉ một lần cân em hãy xác
định được gói kẹo giả ?
Giải : Đánh số thứ tự từ 1 đến 10 vào 10 gói kẹo . Lấy số kẹo trong mối gói ra
bằng đúng số thứ tự của gói đó . Như vậy tổng số kẹo lấy ra là : 1+2+3+…+10 =
55 cái
- Cho 55 cái kẹo nên cân thì sẽ xảy ra các trường hợp : 320g,321g,322g, . . .
329g ( Nếu 55 cái kẹo là thật thì có khối lượng là 330g)

Như vậy : Khối lượng cân được là 329g thì có 1 cái kẹo giả và gói đánh số thứ tự
1 sẽ là gói kẹo giả
Khối lượng 328 g thì có 2 cái kẹo giả và gói kẹo giả là gói thứ 2 . . .
Khối lượng 320 g thì gói kẹo giả là gói đánh số 10 .
Vậy chỉ dùng 1 lần cân ta đã xác định được gói kẹo giả.
Bài toán 9 : Cân đĩa không chính xác vì khi 2 đĩa cân không chứa vật gì thì cân
không thăng bằng . Dùng quả cân làm thế nào để cân một vật mà xác định được
khối lượng chính xác vật đó ?
Giải : Trước hết bỏ thêm một vật gì đó vào một đĩa cân để cân thăng bằng . Bây
giờ chỉ việc đặt vật phải cân vào một đĩa cân và cho quả cân vào đĩa cân kia cho
tới khi cân thăng bằng
7


Từ đó ta xác định được ngay khối lượng chính xác của vật .
Bài toán 10: Có 3 hộp : Hộp thứ nhất đựng 2 quả cam, hộp thứ 2 đựng 2 quả
quít hộp thứ 3 đựng 1 quả cam và 1 quả quít. Nhưng khi đóng hộp kín người ta
dán nhầm các nhãn CC, QQ, CQ, cho nên các nhãn dán ở bên ngoài hộp không
đúng với các quả đựng trong hộp . Làm thế nào để chỉo cần lấy ra 1 quả trong 1
hộp ( không nhìn vào trong hộp ) mà biết được chính xác các quả đựng trong 3
hộp ?
Giải : Lấy 1 quả trong hộp dán nhãn CQ ( không nhìn vào trong hộp )
- Nếu quả lấy ra là quả cam thì do nhãn dán nhầm nên hộp đó đựng 2 trái cam,
hộp dán nhãn CC đựng 2 trái quítvà hộp dánh nhãn QQ đựng 1 cam 1 quít.
-Nếu quả lấy ra là quả quít thì hộp đó đựng 2 trái quít , hộp dán nhãn QQ đựng 2
trái camvà hộp dán nhãn CC đựng 1 cam , 1 quít.
Bài toán 11: Trong giỏ đựng 3 loại cam . Hỏi không nhìn vào giỏ phải lấy ra ít
nhất bao nhiêu quả để có 2 quả cùng loại ?
Giải : Vì có 3 loại cam nên lấy ra 3 quả thỉ có thể 3 quả đó mỗi quả thuộc một
loại . Nếu lấy ra ít nhất 4 quả thì sẽ được 2 quả cùng loại .

Bài toán 12: Một hộp đựng 52 viên bi , trong đó có 13 viên màu xanh , 13 viên
màu đỏ , 13 viên màu vàng, 13 viên màu trắng. Cần phải lấy ít nhất bao nhiêu
viên bi

( không nhìn vào hộp) để chắc chắn trong số đó không có ít hơn 7 viên

bi cùng màu
Giải : Vì có 4 loại bi nên lấy : 6.4 +1 =25 viên bi thì chắc chắn có 7 viên bi cùng
màu
8


Bài toán 13:Bạn An uống 1/6 cốc ca cao rồi pha thêm sữa cho đầy cốc sau đó lại
uồng 1/3 cốc ca cao sữa rồi thêm sữa cho đaày cốc , lại uồng tiếp 1/2 cốc ca cao
sữa rồi lại pha sữa cho đầy cốc . Cuối cùng uồng hết ca cao sữa này . Hỏi bạn An
đã uỗng nhiều Ca Cao hơn hay nhiều sữa hơn ?
Giải : Lúc đầu bạn An có đầy cốc Ca Cao rồi cứ uống dần cho tới khi hết nên
lượng Ca Cao bạn An uống bằng nhiều lần đúng bằng lượng Ca Cao có từ đầu ,
tức là 1 cốc đầy Ca Cao
Bây giờ đến lượt sữa . lần đầu khi uống 1/6 cốc Ca Cao rồi pha thêm cho
đầy cốc thì rõ ràng lượng sữa pha thêm đúng bằng 1/6 cốc để bù lượng Ca Cao
đã uống, lần thứ 2 lượng sữa pha thêm đúng bằng 1/3 cốc và lần thứ 3 lượng sữa
pha them đúng bằng 1/2 cốc . Như vậy lượng sữa bạn An đã uống trong 3 lần là :
1 1 1
+ + = 1 Tức là bạn An đã uống 1 cốc sữa đầy.
6 3 2

Vậy bạn An đã uỗng một lượng sữa lượng Ca Cao bằng nhau.
Bài toán 14: Ba bà chung nhau mua mộy sọt xoài : Bà thứ nhất mua 1/3 số xoài
cộng thêm 8 quả , bà thứ 2 mua 1/3 số xoài còn lại và cộng thêm 8 quả , bà thứ 3

mua 1/3 số xoài còn lại lần thứ 2 cộng thêm 8 quả cuối cùng . Hỏi mỗi bà đã mua
bao nhiêu quả xoài ?
Giải : Hãy tính ngược từ dưới nên bằng cách tìm số xoài còn lại sau lần thứ 2 là

8.

3
= 12 (quả ) . Sau đó tìm số xoài còn lại sau lần mua thứ nhất , rồi số xoài lúc
2

9


đầu khi chưa mua bán . Bà thứ nhất mua 27 quả , bà thứ 2 mua 18 quả , bà thứ 3
mua 12 quả .
Bài toán 15: Chuyện xưa kể rằng : Một người đàn ông giàu có chết trong lúc vợ
đang có thai , đã để lại bài chúc thư về chia gia tài , dặn vợ nếu sinh con trai thì
2/3 gia tài cho con trai và 1/3 cho người mẹ ; Còn nếu sinh con gái thì 1/3 gia tài
cho con gái và 2/3 cho người mẹ
Oái oăm thay , người vợ lại đẻ sinh đôi , một trai và một gái ! Người vợ phải chia
như thế nào để thực hiện được bài chúc thư của chồng ?
Giải : Qua bức chúc thư ta thấy ý muốn của người chồng là :
Nếu đẻ con trai thì phần gia tài con trai được chia gấp đôi của người mẹ ; nếu đẻ
con gái thì phần gia tài của người mẹ lại gấp đôi của con gái.
Như vậy gia tài phải được chia thành 7 phần bằng nhau . Với 2 đứa con
sinh đôi thì con trai hưởng 4/7 gia tài , con gái hưởng 1/7 còn người mẹ hưởng
2/7 gia tài . Rõ ràng phần của con trai gấp đôi phần của người mẹ , phần của
người mẹ gấp đôi phần của con gái.
Bài toán 16: Trong 3 thúng cam có 200 quả . Ta lấy 1/3 số cam của thúng thứ
nhất, 2/5 số cam của thúng thứ 2 , và 13/15 số cam của thúng thứ 3 thì được 70

quả . Hỏi nếu lấy 1/10 số cam của thúng thứ 2 và 4/5 số cam của thúng thứ 3 thì
được bao nhiêu quả ?
Giải : Theo đề bài ra ta có(

1
2
13
số cam thúng 1) + ( số cam thúng 2) +( số
3
5
15

cam thúng 3) thì được 70 quả . Như vậy nếu lấy gấp 3 lần số cam của cả 3 thúng
10


thì ta được 70 . 3 = 210 ( quả) số cam này bằng tất cả số cam của thúng 1 cộng

với

6
39
số cam của thúng 2 rồi cộng với
số cam của thúng 3 .
5
15

Ta có

6

1 39
13
8
=1+ ;
=
= 1+
5
5 15
5
5

Theo bài ra ta có số cam của cả 3 thúng là 200 quả . Vậy 210 - 200 = 10 chính là
1/5 số cam của thúng 2 và 8/5 số cam của thúng 3 . Đối chiếu với câu hỏi ta thấy
1/10 số cam của thúng 2 ( tức là 1/2 của 1/5 ) và 4/5 số cam của thúng 3 ( tức là
1/2 của 8/5) sẽ bằng 1/2 của 10 quả cam tức là 5 quả cam.
Vậy nếu lấy 1/10 số cam của thúng thứ 2 và 4/5 số cam của thúng thứ 3 thì
được 5 quả.
Bài toán 17:
Sau khi trả bài kiểm tra bốn bạn Ánh, Bình, Cường, Dũng nhận được 4
điểm 7 ; 8 ; 9 ; 10 (không nhất thiết theo thứ tự đó)
Trả lời câu hỏi ai được điểm mấy các bạn ấy trả lời như sau:
Ánh: Tôi được 9, Bình được 10
Bình: Tôi được 9, Dũng được 8
Cường: Tôi được 9, Dũng được 7
Dũng: Ba bạn tôi đều hay nói đùa. Trong câu trả lời của mỗi bạn có 1 phần
đúng, 1 phần sai. Theo câu trả lời thành thật của Dũng hãy tìm số điểm của mỗi
bạn.

11

Giải: Để tiện suy luận ta lập 1 bảng trong đó I, II, III theo thứ tự là câu trả
lời của Ánh, Bình, Cường

Điểm
7
Tên HS
Ánh
Bình
Cường
Dũng

III

8

9

10

I
II
III

I

II

Trong câu trả lời của Ánh có phần đúng, có phần sai. Giả sử “Ánh được 9
là đúng”. Như vậy ta thấy qua bảng Bình và Cường được 9 là sai. (các câu II và

III). Do đó Dũng được 8 (câu II) và được 7 (câu III) là đúng. Vậy mâu thuẫn
Dũng vừa được 8 lại vừa được 7. Như vậy điều giả sử “Ánh được 9 ” là sai. Do
đó câu trả lời của Ánh (câu I) “Bình được 10” là đúng (in đậm trên bảng). Ta
thấy qua bảng “Ánh và Bình được 9 ” là sai (câu I và câu II) và “Dũng được 8”
(câu II) là đúng “Cường được 9” (câu III) là đúng còn “Ánh được 7”.
Vậy số điểm của Ánh, Bình, Cường, Dũng theo thứ tự là 7;10;9;8.
Bài toán 18:
Trong cuộc đua xe đạp, 3 vận động viên Minh, Quang, Phương đã chiếm 3
giải đầu có các thông tin sau:
a) Vận động viên Phương không về nhất
b) Vận động viên Quang không về nhì
c) Vận động viên Minh về nhì.
12


Biết rằng 3 câu trên chỉ có 1 câu là đúng còn 2 câu sai. Hỏi vận động viên
nào về thứ mấy ?
Giải:
Ta ký hiệu chẳng hạn M1 là Minh về nhất M2 là Minh về nhì...Tất cả có
các khả năng sau:
P2(đ)Q2
M1(s)

P1(s)Q1(đ)
M2(đ)

P3(đ)Q2(s)

P1(s)Q2(s)
M3(s)

P3(đ)Q1(đ)

P2(đ)Q1(đ)

Trong các trường hợp trên chỉ có M1P3Q2 là thoả mãn điều kiện của đề bài
(trong 3 câu trên chỉ có 1 câu đúng)
Vậy Minh về nhất, Quang về nhì và Phương về ba.
Bài toán 19: cho 2 số nguyên dương a và b. Biết rằng trong 4 mệnh đề P,
Q, R, S dưới đây chỉ có duy nhất 1 mệnh đề sai:
P = “a = 2b +5”

Q = “a + 1 chia hết cho b”

R = “a + b chia hết cho 3”

S = “a + 3b là số nguyên tố”

1. Hãy chỉ ra mệnh đề nào sai trong 4 mệnh đề trên (có giải thích)
2. Hãy tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b thoả mãn 3 mệnh đề đúng
còn lại.
Giải:
1. Nhận xét: a + b = 3b +5 và a + 7b = (a + b) +6b. Do đó nếu mệnh đề R
đúng thì cả hai mệnh đề P và S đều sai (vô lý)
Vậy mệnh đề R sai còn mệnh đề P,Q,S đúng.
13


2. a + 1 chia hết cho b ⇔ a + 1 = nb với n ∈ z * mà a = 2b +5 ⇒ b (n-2) = 6
⇒ b ∈ {1;2;3;6} . Để S đúng thì b ∈ { 2;6}

Đáp số: (a,b) = (9;2 ) và (17;6)
Bài toán 20: Cho A là số nguyên dương. Biết rằng trong 3 mệnh đề sau
đây P, Q, R chỉ có duy nhất 1 mệnh đề sai. Tìm A ?
P = “A + 51 là bình phương của 1 số tự nhiên”.
Q = “A có chữ số tận cùng là 1”
R = “A – 38 là bình phương của một số tự nhiên”
Giải:
Nếu mệnh đề Q đúng ⇒ A + 51 có tận cùng là 2 ⇒ P không thể là số
chính phương ⇒ P là mệnh đề sai.
Khi đó A – 38 tận cùng là 3 ⇒ R không thể là số chính phương ⇒ R là
mệnh đề sai.
Vậy Q là mệnh đề sai và P , R là mệnh đề đúng.
Ta có A +51 = x2 ( x ∈ N )
A – 38 = y2 (y ∈ N )
89 = x2 – y2 ⇔ (x-y) (x+y) = 1.89
x − y = 1
⇒
⇒ x = 45 ⇒ A = 1974
x
+
y
=
89


Bài toán 21: Tìm số A có hai chữ số sao cho 4 mệnh đề sau đây có 2
mệnh đề đúng và 2 mệnh đề sai.
1. A chia hết cho 5
14

2. A chia hết cho 23
3. A + 7 là số chính phương
4. A – 10 là số chính phương
Giải: Dễ dàng nhận thấy rằng các cặp (1 ; 2 ) ; (1 ; 3) ; (2 ; 3 ) không
thể cùng đúng. Do vậy chỉ cần xác định A sao cho các cặp sau (1 ; 4);
(2 ; 4); (3 ; 4) cùng đúng.
Ta có:

Cặp (1 ; 4 ) đúng nếu A = 10 hoặc 35
Cặp (2 ; 4 ) đúng nếu A = 46
Cặp (3 ; 4) đúng nếu A = 74
Đáp số: Có 4 số A = 10; 35 ; 46 ; 74 thoả mãn.

Bài toán 22: Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng hiệu
giữa số đó và số viết theo thứ tự ngược lại.
Giải: Gọi số đó là ab = 10 a + b. Số viết theo thứ tự ngược lại là ba = 10b + a
Theo bài ra ta có: a = 10a + b – (10b + a) = 9a – 9 b ⇒ 8a = 9b do đó a = 9; b =
8
Vậy số đó là 98.
Bài toán 23: Một hội thảo được tổ chức trong một căn phòng có ghế 4 chân và
ghế đẩu 3 chân. Biết rằng số người dự ngồi vừa hết chỗ và đếm được cả thảy 39
chân. Hỏi có bao nhiêu ghế 4 chân và ghế đẩu 3 chân ? Số người dự là bao
nhiêu?
Giải: Số chân đếm được trong đó có cả chân người. Nếu số ghế 4 chân là a, số
ghế đẩu là b thì số chân người ngồi dự là 2 (a+b).
15

Cả thảy có 39 chân tức là : 4a + 3b +2(a+b) = 39 ⇒ 6a +5b = 39
Tức là a +5 (a+b) = 39. Thoả mãn với a = 4 ; b = 3 vậy có 4 ghế 4 chân, 3 ghế
đẩu 3 chân và 14 người ngồi dự.
Bài toán 24: Có 8 bạn đi chơi với nhau .Biết rằng trong bất cứ nhóm 3 người
nào của 8 bạn ấy cũng có 1 người quen với 2 người kia. Chứng minh rằng có
cách sắp xếp sao cho 8 bạn ấy đi chơi trên 4 xe mà mỗi xe đều có 2 người quen
nhau.
Giải : Lấy 3 bạn bất kỳ, xếp 2 bạn ấy quen nhau đi cùng 1 xe. Lại lấy 3 bạn bất
kỳ trong 6 người còn lại xếp 2 bạn quen đi xe thứ 2 . Còn lại 4 bạn chẳng hạn 4
bạn là A, B, C,D . Nếu như có 2 bạn không quen nhau, ví dụ A và B không quen
nhau thì xét nhóm 3 bạn (A,B,C). Từ giả thiết ⇒ C quen cả A và B. Xét nhóm
( A,B,D ) tương tự ta có D quen cả A và B. Như vậy ta xếp A và C đi xe thứ 3
còn B và D đi xe thứ 4.
Bài toán 25: Có 10 người dự họp. Mỗi người quen với ít nhất là 5 người khác.
Chứng tỏ rằng, nếu cần sắp xếp 4 người vào 1 bàn tròn 4 chỗ ngồi thì có thể sắp
xếp sao cho người nào cũng ngồi giữa 2 người quen của mình.
Giải: Nếu cả 10 người quen nhau thì sắp xếp thế nào cũng đạt yêu cầu.
Giả sử có 2 người A và B không quen nhau. Trong số 8 người còn lại A quen ít
nhất 5 người, B quen ít nhất 5 người, do đó A và B phải quen chung với 2 người,
chẳng hạn là C và D. Khi đó ta sắp xếp như sau:
A và B đối diện với nhau

C và D đối diện với nhau.

16


Bài toán 26: Trong 40 người tham dự hội thảo quốc tế có 9 người biết 3 thứ
tiếng Anh, Pháp, Nga, 23 người biết tiếng Anh, 12 người biết 2 thứ tiếng Anh,
Nga, 7 người chỉ biết tiếng Anh, 8 người chỉ biết tiếng Nga, 14 người biết 2 thứ

tiếng Pháp và Nga. Hỏi có bao nhiêu người chỉ biết tiếng Pháp.
Giải: Ta vẽ ba hình tròn (A), (P), (N) biểu diễn số người biết tiếng Anh, Pháp,
Nga. Giao của 2 hoặc 3 hình tròn biểu diễn số người biết 2 hoặc 3 thứ tiếng. Các
hình tròn này chia nhau thành các phần a,b,c,d,m,n,p ký hiệu như trong hình vẽ.
Theo đề bài ta lần lượt có:
m=9

(1)

m +n+p+c = 23

(2)

m+p = 12

(3)

c =7

(4)

b=8

(5)

d+m=14

(6)

a+b+c+d+m+n+p = 40

(7)

Từ (1) & (3) ⇒ p = 3 ; từ (1) & (6) ⇒ d = 5 . Do p = 3 ; c = 7 ; m = 9 nên từ (2)
⇒ n = 4. Từ (7) ta có: a = 40 – (b+c+d+m+n+p ) = 40 – (8+7+5+9+4+3) = 4.

Vậy có 4 người biết tiếng Pháp.
(A)

(N)
c

b

(P)

17


C. Một số bài tập luyện tập:
Bài 1: Dùng 3 can 16 lít , 8 lít, 5 lít làm thế nào để chia 14 lít sữa tươi thành 2
phần bằng nhau đựng vào 2 can 16 lít và 8 lít.
Bài 2 : Có 1 can 12 lít đựng đầy xăng làm thế nào để chia số xăng đó thành 2
phần bằng nhau, nếu chỉ thêm 1 can 5 lít và 1 can 8 lít.
Bài 3: Trong 80 vỉ thuốc chỉ có 1 vỉ nhẹ hơn tất cả các vỉ còn lại. Làm thế nào
với 4 lần cân xác định được vỉ nào nhẹ ?
Bài 4: Số “Xinh đẹp” là số có 3 chữ số trong đó chỉ có đúng 1 chữ số 5. Hỏi có
bao nhiêu số “Xinh đẹp” như vậy ?
Bài 5: Cho tích a.b .c .... tận cùng bằng 9. Biết rằng a,b,c... là những số tự nhiên
liên tiếp. Hỏi tích trên phải có bao nhiêu thừa số ?

Bài 6: Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng
đơn vị ?
Bài 7: Tìm số nguyên dương B ; cho biết trong 3 mệnh đề P, Q, R dưới đây chỉ
có duy nhất 1 mệnh đề sai.
P = “B +45 là bình phương của 1 số tự nhiên”
Q = “B tận cùng là chữ số 7”.
R = “B – 44 là bình phương của một số tự nhiên”

18


Bài 8: Trong 1 hộp có 70 viên bi chỉ khác nhau về màu gồm 20 viên đỏ, 20 xanh,
20 vàng còn lại là bi nâu và đen. Không nhìn vào hộp , hỏi phải lấy ra ít nhất bao
nhiêu viên bi để chắc chắn có 10 viên bi cùng màu.
Bài 9: Có tất cả bao nhiêu số có 6 chữ số mà tổng các chữ số thì bằng 3 ?
Bài 10: Một vận động viên thi bắn súng. Vận động viên đã bắn hơn 11 viên và
đều bắn trúng vào các vòng 8, 9 , 10 điểm. Tổng số điểm là 100. Hỏi vận động
viên bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao ?

IV. KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH ĐỐI CHỨNG
Đã tiến hành kiểm tra với 2 đối tượng học sinh trước khi thực hiện đề tài này là
học sinh khá giỏi lớp 6.
Trước khi thực hiện đề tài:
Giỏi : 20% ;

Khá: 30%

TB: 35%;

Không đạt yêu cầu : 15%

TB: 10%;

Không đạt yêu cầu : 0%

Sau khi thực hiện đề tài:
Giỏi : 60% ;

Khá: 30%

19


V. NHỮNG KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ NGHỊ SAU QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN
ĐỀ TÀI:
Đề tài do điều kiện thời gian và kiến thức kinh nghiệm còn hạn chế nên khi làm
đề tài này còn nhiều khiếm khuyết. Mong Hội đồng xét duyệt giúp đỡ cho đề tài
của tôi được hoàn chỉnh hơn.
Ngày 20 tháng 4 năm 2003
Tác giả

20


Nguyễn Thị Bích Huệ
Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA
HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ

21