Sáng kiến kinh nghiệm phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc hình học 7

“Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7”

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1/. Lí do chọn đề tài:
Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm lí thì tư duy là một
quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có
tính quy luật của sự vật hịên tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó con người chưa biết.
Tư duy thể hiện sự phát triển của con người trong xã hội. Tư duy không tự nhiên mà có
mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn tư duy phát triển cần được rèn luyện thường xuyên, học
các môn các môn khoa học tự nhiên đặ00
c biệt là môn Toán sẽ phát triển tư duy rất tốt. Lứa tuổi THCS đang phát triển mạnh về tư
duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn đề này.
Mỗi dạng bài toán Hình có những phương pháp giải bài tập khác nhau, tuy nhiên khi làm
bài tập Hình, nếu học sinh có được cái nhìn ở các góc cạnh khác nhau thì sẽ hiểu sâu sắc bài tập
Hình và hơn nữa tìm được cái đẹp của môn Toán. Cái nhìn ở các phương diện khác nhau chính
là cách thay đổi bài toán có thể trở thành bài dễ hơn nhưng cũng có thể thành bài toán khó hơn.
Khi làm được như vậy thì ý thức tự học của học sinh sẽ cao hơn, những bài tập khó sẽ trở nên dễ
hơn, và quan trọng nhất là học sinh có được sự tự tin khi làm bài tập.
Trong định hướng đổi mới phương pháp bậc THCS thì tự học là một yêu cầu quan trọng đối với
học sinh. Tự học giúp cho HS say mê học tập, hiểu sâu kiến thức và quan trọng hơn là phát triển
óc sáng tạo. Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp HS tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy
niềm vui khi học toán. Để làm được như vậy thì GV phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập
từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy những bài toán khó đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản.
HS cảm thấy bản thân cũng có thể tạo ra các bài toán có dạng tương tự như vậy.
Đối với học sinh lớp 7, các em mới thật sự tiếp xúc với chương trình hình học cho nên
khi đứng trước một bài tập hình, để có một hướng giải phù hợp cho việc tìm tòi ra lời giải thật sự
là một việc quá khó. Thông thưòng đối với một bài toán chứng minh thì mệnh đề cần chứng
minh đã được nêu rõ ràng trong kết luận của bài toán, học sinh chỉ phân tích, tìm tòi các mối liên
quan giữa các dữ kiện của bài toán để suy luận đi từ giả thiết và những điều kiện đã biết để
khẳng định kết luận. Đây là việc thật chẳng dễ dàng đối với học sinh. Còn đối với bài tính số đo
góc, nó thuộc loại phải tìm tòi, cái giá trị cần tìm là chưa biết, chứng minh các dự đoán... mới

xác định được số đo cần tìm, cho nên loại này càng khó hơn đối với các em.
Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài: “phát triển tư duy của học sinh qua bài toán tính số đo góc
Hình học 7”, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài toán, thay đổi phong cách học tập và tư
duy cho phù hợp với lứa tuổi, bằng cách nêu một hệ thống bài tập để học sinh phân loại được tốt
các dạng bài tập. Làm được như vậy học sinh sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán lạ có khả năng
tự tìm lời giải cho bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống hiện đại.

1


“Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7”
2/. Mục đích nghiên cứu:
Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn Hình học và
đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này tiếp tục được khai thác
hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý
dành cho việc dạy học sinh khá giỏi. Vì đây là đề tài khó nên trong kinh nghiệm này tôi chỉ trình
bày một vài chương của môn Hình lớp 7, phần này thường chỉ xuất hiện trong các bài thi của kì
thi học sinh giỏi
Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy, những bài
toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng do chưa nắm được những
bài toán cơ bản. Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấy không những học sinh nắm sâu kiến
thức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Hình. Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác
nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở môn Hình mới có, làm được
như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Hình. Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cần
khêu gợi được niềm vui, sự yêu thích của học sinh ở môn học đó. Nhưng mục đích lớn nhất
trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho học sinh.Qua
mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập
Hình đó là phẩm chất của con người mới.
3/. Kết quả cần đạt:
Các bài tập tính số đo góc trong bài tập Hình 7 đều là các bài toán khó, yêu cầu học sinh

phải có sự tư duy trừu tượng cao, sự phân loại tốt các dạng toán. Vì vậy GV phải giúp cho số
học sinh đó hiểu được một số bài toán phát triển từ bài toán cơ bản đó nhưng quan trọng hơn GV
cần giúp cho học sinh hiểu được hướng phát triển một bài toán. Tại sao phải làm như vậy? Làm
như thế đạt được mục đích gì? Qua đó giúp các em say mê môn Toán, số học sinh làm được điều
này không nhiều vì đây là vấn đề khó cần sự kiên trì và cố gắng của cả HS và GV mặc dù vậy tôi
hướng đến 1/5 số học sinh đạt được điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra những dạng mà
thầy đã làm vì vốn kinh nghiệm của học sinh còn rất hạn chế nên GV cần phải động viên giúp
các em tự tin hơn. Việc sáng tạo đó không những cần có kiến thức vô cùng chắc chắn học sinh
cần có sự nhạy cảm của toán học. Điều này chỉ phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng
yêu cầu này trong quá trình dạy học sinh giỏi. Cho dù là học sinh giỏi hay học sinh khá khi nhìn
một bài toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố
đó rất quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho học
sinh tốt hơn.
4/. Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu:
Đề tài này được viết trong quá trình dạy và học, được rút ra từ một số kinh nghiệm nhỏ
trong quá trình dạy học ở trường THCS nên đương nhiên đối tượng là học sinh của các trường
đại trà không có nhiều học sinh khá giỏi. Đối tượng chính là học sinh lớp 7 trường THCS với X
học sinh nhưng chủ yếu là học sinh trung bình và khá, số lượng học sinh giỏi rất ít nên việc đào
tạo bồi dưỡng học sinh giỏi luôn là việc rất khó khăn của nhà trường. Chính đối tượng học sinh
chiếm chủ yếu là học sinh trung bình và khá cộng thêm với phạm vi nhỏ hẹp nên vấn đề được
nghiên cứu rất đơn giản, nâng cao từng cấp độ để phù hợp với từng đối tượng học sinh.

2


“Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7”

PHẦN II : Gi¶I quyÕt vÊn ®Ò
1/. Cơ sở lí luận:
Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo từng giai đoạn

trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt phát triển mạnh ở giai đoạn thanh,
thiếu niên. Vì vậy giáo viên cần phải quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư
duy cho học sinh một cách tốt nhất. Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học sinh
nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ
năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy.
Các bài tập tính số đo góc của hình 7 rất khó và phức tạp vì các em chưa có nhiều kiến
thức về môn hình. Do đặc điểm của môn Hình khó, phải tư duy trừu tượng và kèm thêm việc vẽ
hình phức tạp nên GV phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình và hướng dẫn học sinh tư duy dựa
trên những bài toán cơ bản.
2. Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu:
Trường THCS Liên Sơn là một trường nhỏ không có lớp chọn. Phần lớn học sinh học khá và
trung bình, kĩ năng cơ bản không có.. Việc dạy ôn thi học sinh giỏi là trách nhiệm quan trọng
của nhà trường. Các năm học này tôi được phân công dạy lớp 7 của trường. Mỗi lớp có 35 học
sinh trong đó quá nửa là học sinh trung bình và khá . Mục tiêu chính của trường chúng tôi là
nâng cao chất lượng đại trà, củng cố thêm cho học sinh giỏi, bên cạnh việc hình thành cho học
sinh ý thức của con người mới: sáng tạo và năng động.
Được phân công dạy đội tuyển toán 7 trong những năm học (2006-2007, 2007-2008,
2008-2009) tôi đã lựa chọn cho một hướng đi cụ thể: từ đơn giản đến phức tạp nhằm nâng cao
chất lượng học sinh giỏi của trường.. Sau đây là nội dung tôi trình bày:
3/. Giải pháp thực hiện:
I. NHẬN XÉT CHUNG:
- Hiện trạng khi chưa thực hiện đề tài:
* Về học sinh: Một số em còn ngán ngại và sợ học môn hình học, trong giờ học chỉ chờ
có bài giải mẫu để chép, ít chịu suy nghĩ, tìm tòi lời giải, thường giải bài tập xong là xong, khi
đưa bài toán “khai thác” thì ít học sinh làm được.
* Đối với giáo viên cũng khó khăn như bài tập quá đa dạng, phong phú, nếu không có thời
gian và phương pháp lựa chọn thích hợp thì dễ bị phiến diện, bài tập dễ quá hoặc khó quá, không
đủ thời gian làm dễ gây cho học sinh tâm lý “sợ toán” chán nản và từ đó chỉ chú ý vào thủ thuât
giải mà quên đi luyện phương thức tư duy.
- Kết quả khi thực hiện đề tài : Học sinh yêu thích môn hình học, vẽ hình chuẩn hơn và

chính xác hơn, thích suy nghĩ và tìm tòi lời giải hơn. Trong quá trình giải toán đưa ra bài tập
tương tự bài đã làm, nhưng thay đổi cấu trúc bài toán thì học sinh làm tốt hơn.

3


“Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7”
- Những biện pháp tác động giáo dục :
* Học sinh có kiến thức cơ bản tổng hợp.
* Hướng dẫn học sinh “nhìn thấy” cấu trúc logic của bài toán, đặc biệt nhìn thấy sự “
tương đương” của các mệnh đề toán học.
* Tổ chức cho học sinh hoạt động ngôn ngữ thông qua sử dụng các hệ thống khái niệm
khác nhau.
* Hướng dẫn học sinh “nhận ra” sự thống nhất về cấu trúc logic của bài toán có biểu
tượng trực quan hình học ứng với các hệ thống khái niệm khác nhau đó.
- Những giải pháp khoa học tiến hành :
* Rèn luyện kỹ năng vẽ hình.
* Từ một bài toán điển hình hướng dẫn học sinh phân tích giả thiết và kết luận.
* Từ một bài toán điển hình hướng dẫn học sinh vẽ thêm đường phụ, điểm phụ.
* Từ một bài toán điển hình hướng dẫn học sinh phân tích để quy từ lạ về quen.
PHẦN 1
NHỮNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VÀ HƯỚNG GIẢI QUYẾT
1. Trong tam giác, tổng số đo 3 góc bằng 1800 .
Như vậy:
a. Trong một tam giác , biết 2 góc thì tính được góc còn lại.
b. Trong một tam giác cân, biết một góc thì tính được 2 góc kia .
2. Trong tam giác vuông, 2 góc nhọn phụ nhau.
Như vậy:
a. Trong tam giác vuông, biết một góc nhọn thì tính được góc nhọn kia.
b. Trong tam giác vuông cân mỗi góc nhọn bằng 450 .

3. Trong tam giác đều, mỗi góc luôn bằng 600 .
4. Nửa tam giác đều:
Ta có thể hiểu “Nửa tam giác đều” là tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nủa cạnh
huyền .
Trong nửa tam giác đều các góc đối diện với cạnh góc vuông bé, cạnh góc vuông lớn và
cạnh huyền theo thứ tự là 300; 600 và 900.
5. Hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành góc vuông.
Hai tia phân giác của hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo bằng 45 0

4


“Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7”
Thông thường khi gặp bài toán tính số đo góc ta nghĩ đến việc xét số đo góc đó trong mối liên
hệ với các góc của một trong các hình nêu trên để thông qua đó xác định số đo góc cần tìm hoặc
nhiều khi phải chứng minh tam giác bằng nhau để từ đó rút ra các góc tương ứng bằng nhau .
Nhưng trong thực tế khi giải toán, không phải lúc nào đề bài cũng cho sẳn những yếu tố như
tam giác cân, tam giác đều, nửa tam giác đều.... để ta vận dụng. Như vậy vấn đề đặt ra là có
cách nào để tạo ra một trong các hình đó một cách thích hợp để vận dụng. Nghĩ như vậy sẽ giúp
ta có hướng vẽ thêm đường phụ thích hợp để tìm ra lời giải bài toán.
PHẦN II

CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
DẠNG I : TÍNH SỐ ĐO GÓC THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN
“NỬA TAM GIÁC ĐỀU”
A

BÀI TOÁN 1: Tính số đo các góc của D ABC biết đường
cao AH, trung tuyến AD chia góc BAC thành 3góc băng
nhau

*Tìm tòi: sau khi vẽ hình tương đối chính xác . Ta thấy
V ABC có dạng giống “nửa tam giác đều” từ đó gợi ý ta có

K

H

B

D

C

BD CD
=
cần làm xuất hiện đoạn thẳng bằng HD
2
2
và tạo với CD thành một tam giác vuông, từ đó

thể vận dụng điều này . Xét thấy HD = HB =

ta nghĩ đến việc kẻ DK ^ AC tại K. Lúc này chứng minh D CDK là nửa D đều và bài toán
được giải quyết.
Giải tóm tắt:
Vẽ DK ^ AC tại k.
Dễ thấy AH cũng là trung tuyến của D ABD Þ HD = 1/2 BD = 1/2 DC . D thuộc phân giác của
góc HAC Þ DH = DK.
Þ DK =

1
DC.
2

D CDK là nửa D đều

Þ

µ = 300
C

A

µ = 600
µ = 900 và B
Từ đó tính được: A
D

BÀI TOÁN 2: Cho D ABC có góc ACB = 300.
Đường cao AH bằng nửa cạnh BC. D là trung

?
B

điểm của AB. Tính góc BCD.

5

H

C


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7
*Tỡm tũi: Theo gi thit AH =

1
BC hay BC = 2 AH.
2

Ta tỡm xem cú on no cng bng 2 AH. ý n gi
à = 300 ,
thit C

ta thy ngay D AHC l na D u

ị AC = 2AH. Nh vy

D ACB cõn ti C. trung tuyn CD

ã
cng l phõn giỏc. T ú tớnh c BCD
.

Gii túm tt:
Theo gi thit: AH =

1
BC
2

D AHC l na D u

ị BC = 2 AH
ị AC = 2 AH

ị BC = AC ị D ABC cõn ti C, trung tuyn CD

ã
cng l phõn giỏc. Vy BCD
= 150.
BI TON 3:
Cho D ABC cú gúc C = 300 v BC = 2AB .

A
H

Tớnh cỏc gúc A,B
* Tỡm tũi:
V hỡnh chớnh xỏc, ta d oỏn D ABC l na D u.
Chng minh c iu ny l xong. ó cú Cà = 30

30
B

0

C

nờn nu v BH ^ AC ti K thỡ D HBC l na D u,

ch cn chng minh H A l xong.
Gii túm tt:
à = 300 ị BH = 1 BC = AB
H BC ^ AC ti H D HBC l na D u , C
2

Nh vy: H A vỡ nu khụng thỡ D ABH cõn ti
B ị H A
Vy D ABC l na D u

ị

à = 900 ; B
à = 600.
A

BI TON 4:

F
A

E
H

Cho D ABC min ngoi D v cỏc D u ABE
v ACF. Gi H l trc tõm D ABE. I l trung im
ca BC. Tớnh cỏc gúc ca D FIH.
*Tỡm tũi: Nhỡn hỡnh v ta d oỏn D FIH l
na D u t ú ta ngh n vic v D u cnh
FH. cng t ú ta ngh n vic ly K trờn tia i

6

B

I

C

K


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7
ca tia IH sao cho: IK = IH. Nh vy ch cn chng minh D FHK u. Mun vy ta xột 2 D
tng ng cha FH v FK. Chng minh 2 D nybng nhau, ta gii quyt c bi toỏn .
Gii túm tt:
Trờn tia i ca tia IH ly im K sao cho
IK=IH. Ni KF d thy D BHI= D CKI ( cgc)
ị CK = BH. Xột D HAF v D KCF cú :

AH = CK ( vỡ cựng bng BH)
AF = CF ( cnh tam giỏc u)
ã
ã
à + 900
V chng minh c HAF
= KCF
=A
ị D AHF = D KCF (cgc) ị HF = KF (1)
ã

,
ã
ã
ã
ã
ã
ã
v AFH
m AFH
= CFK
+ HFC
= 60 0 ị CFK
+ HFC
= 60 0 hay HFH
= 60 0 (2)

(1) v (2) ị D HFK u ị FI cng l phõn giỏc v l ng cao.
à = 60 0 ; F
à = 30 0
Vy cỏc gúc ca D FIH l : $
I = 90 0 ; H

B1

BI TON 5:
Cho D nhn ABC, min ngoi D

C1

A

K

ta v cỏc D u ACB1 v ABC1 .

L

I

Gi K v L, th t l trung im
ca AC1 v CB1, im M thuc cnh

N

BC sao cho BM = 3MC . Tớnh cỏc

B

gúc ca D KLM.

M

C

*tỡm tũi:
V hỡnh tng i chớnh xỏc, ta thy D KLM cú dng na D u .
P d xột ta v D KLP
vi P l im trờn tia i ca tia ML sao cho MP = ML v tỡm cỏch chng minh tam giỏc ny
u .
V cnh, ta cú KL l mt cnh ca D AKL trc ht ta xột KP v LP. Chỳng khụng l cnh

ca D no tng ng bng D AKL c. Ta tỡm D cha cnh bng cnh LP m D ny cú th
bng D AKL.
Gi N l trung im ca BC, I l trung im ca AC.
Nh vy cn chng minh D AKL = D NIB1 v NB1 = LP. D KLP cõn ti L ch cn chng
minh 1 gúc 600.
ã
ã
ã
ã
ã
ã
Xột D KLP . Mun cú KLI
= MLC
, MLC
= MPN
+ ILM
= 60 0 Cn chng minh KLI

7


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7
Cn chng minh D IKL = D NPL v th l bi toỏn c gii quyt.
* Gii túm tt:
Gi N l trung im ca BC , gi I l trung im AC. Ta cú MN = NC. Trờn tia i ca tia
ML ly im P sao cho MP = ML ị D NMP = D CML (cgc)

ị

ã

ã
MPN
= MLC
ị NP // CB1 v NP = CL = LB1

Chng minh: D NLP = D LNB1 (cgc)

ị LP = NB1 (1)

ã
ã
Chng minh : D AKL = D INB1 (cgc) ( Vỡ AK = IN, AL = IB1 , KAL
= NIB
1 )

ị LK = NB1 (2)
T (1) v (2)

ị LK = LP ị

D LKP cõn ti L (3)

D thy D AC1 C = D ABB1 (cgc)

ị CC1 = BB1

D IKL v NPL cú IK = NL ( vỡ cựng bng

CC1 BB1
=

)
2
2

IL = NP ( cựng bng LC) ; KL = LP (cmt)

ị

D IKL = D NPL (ccc)

ị

ã
ã
ã
ã
ã
ã
ã
m MLC
KLI
= MLC
+ ILM
= 60 0 ị KLI
+ ILM
= 60 0 ị KLP
= 60 0 (4)

T (3) v (4)

ị

D KLP u

ị Trung tuyn KM cng l ng cao.
ả = 90 0 ; L
à = 60 0 ; K
à = 30 0
Vy cỏc gúc ca D KLM l : M

DNG II: TNH S
TAM GIC VUễNG CN.

O

GểC

THễNG

QUA

VIC

PHT

HIN

BI TON 1:
Cho D ABC vuụng cõn nh A. ly im M tu ý trờn cnh AC,
k tia Ax vuụng gúc vi BM. Gi H l giao im ca Ax vi BC

v K l im thuc tia i ca tia HC sao cho HK = HC. k tia
Ky vuụng gúc vi BM. Gi I l giao im ca Ky vi AB. Tớnh
gúc AIM.

B

K
I

*Tỡm tũi:
Theo hỡnh v ta ngh ngay n AML vuụng cõn ti A. Cha cú
th chng minh AM = AI c. Ta cn tỡm on th ba lm
trung gian. Trờn tia i ca tia AB ly L sao cho AL = AM.

A

L

Ch cn chng minh AI = AL
Gii túm tt:

8

H

M

C

“Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7”
Trên tia đối của tia AB lấy điểm L sao cho AL = AM (1)
Nối LC. D ABM = D ACL (cgc)

Þ

·
·
·
·
mà ACL
= 1v
ACL
= ABM
+ ALC

Þ

·
·
ABM
+ ALC
= 1v Þ BM ^ CL

Þ LC // AH // IK , có CH = HK Þ AI = AL (2)
Từ (1) và (2)

Þ AM = AI Þ

D AMI vuông cân tại A

·
Vậy AIM
= 450

A

BÀI TOÁN 2:
Cho D ABC có góc B = 450; Góc C = 1200. Trên
tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2 CB.
·
Tính ADB
.
*Tìm

tòi:

Với

giả

thiết

H

cho

¶ = 1200 Þ C
¶ = 600 .
C

1
2

450

Khi có góc bằng 600, ta nghĩ đến việc vận dụng
nửa D đều ( hoặc D đều). Từ đó gợi ý cho ta hạ

B

1 2
C

1

2
D

¶ = 30 0 . Chỉ cần tìm D
¶ , D
¶ là góc nhọn của D vuông Phải chăng D
DH ^ AC. Có ngay D
1
2
2

ADH vuông cân ? Muốn khẳng định điểu này , ta cần so sánh HA và HD. Dựa vào các góc đã
biết, ta dễ dàng xác định được 2 D HAB và HBD cân tại H và cuối cùng HA = HD .
Giải tóm tắt:
Hạ DH ^ AC. D CHD là nửa tam giác đều cạnh CD

2BC, ta có CH = CB.
¶ = 120 0
D BCH cân tại C, có C
1

Þ

Þ CD = 2 CH. Kết hợp với giả thiết CD =

¶ = 30 0 Þ D BHD cân tại H
·
HBC
= 30 0 cũng có D
1

Þ HD = HB (1)
0
0
0
·
·
·
Dễ thấy ABH
= 150
= 150 mà BAC = 180 - ( 120 + 45 ) hay BAC

Þ D ABH cân tại H Þ HB = HA (2)
Từ (1) và (2)

Þ HD = HA Þ D AHD vuông cân tại H Þ

·
Vậy ADB
= 30 0 + 450 = 750

BÀI TOÁN 3:

9

¶ = 450
D
2


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7
à = 900. AC = 3AB. Trờn cnh AC ly 1 im D sao cho DA = 2 DC. Tớnh
Cho D ABC , cú A
ã
ã
ADB
+ ACB
K

*tỡm tũi:

x

ã
ã
ã

D tớnh tng ADB
, ta t ACx
=
+ ACB
ả v tớnh gúc BCx. Da vo hỡnh v ta d
D
1

A

F
1
3

2
E

D

C

0

oỏn gúc BCx bng 45 , ú l gúc nhn ca D
vuụng cõn. Ta cn tỡm D vuụng cõn cha gúc
ny. ngh vy, t trung im E ca AD V B
ng thng vuụng gúc AC ct Cx ti F. li
dng D bng nhau, chng minh D BEC vuụng cõn l xong.
Gii túm tt: Trờn na mt phng i ca na mt phng b AC cú cha B v tia Cx sao cho
ã

ã
. T trung im E ca AD v ng vuụng gúc vi AC ct Cx ti F, ni BF. D
ACx
= ADB
thy D FEC = D BAD (gcg)

ị EF = AB =

AC
3

H FK ^ AB chng minh c D FKB = D FEC (cgc)

ị FB = FC v

à =F
à ị F
à +F
à =F
à +F
à = 900 ị BFC
ã
F
= 90 0
1
3
2
3
2
1

Vy D BFC vuụng cõn ti F

ị

ã
ã
ã
= 450
BCF
= 450 vy ADB
+ ACB

BI TON 4:
Cho D ABC, v phớa ngoi D dng cỏc D vuụng cõn nh
A. ADB v ACE. Gi P, Q, M th t l trung im ca BD,
CE v BC. Tớnh cỏc gúc ca D PQM.
Tỡm tũi: Trc ht ta nhn xột D PQM cú th vuụng cõn ti
M, t ú ta ngh n chng minh MP = MQ (*). Thng
trong bi toỏn cú nhiu trung im ta ngh ngay n vic
vn dng ng trung bỡnh tam giỏc d thy d cú (*) cn
chng minh BE = CD. ú chớnhl hai cnh tng ng ca
hai tam giỏc bng nhau ADC v ABE. Cui cựng mun
cú MP ^ MQ cn chng minh CD ^ BE l xong.

E
D
A
Q
P

B

M

Gii túm tt:
Ta cú D ABE = D ADC (cgc) ị BE = CD. Gi I l giao im ca BE v DC. D dng
ã
ã
chng minh c IDB
+ IBD
= 90 0 ị BE ^ CD
M MP =

1
1
DC; MQ = BE (theo t/c ng trung bỡnh D )
2
2

10

C


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7

ị MP = MQ v MP

^ MQ

ị

D PMQ vuụng cõn ti M. Vy cỏc gúc ca D PMQ ln lt l

à =Q
à = 450 ; M
ả = 90 0
P

BI TON 5:

A

Cho D ABC , bit cỏc ng cao h t A v B ,xung cỏc
cnh i din khụng nh hn cỏc cnh i din y . Hóy tớnh
cỏc gúc ca D ABC
*Tỡm tũi: Gi 2 ng cao l AH v BK cú AH
BC; BK AC. Ta phi tớnh gúc A ,B,C Xột vi trng
hp hỡnh v, nu mt chiu cao ln hn cnh tng ng thỡ
chiu cao kia bộ hn cnh tng ng t ú ta ngh n
B
trng hp c hai chiu cao u bng cnh i din tng
ng ca D vuụng cõn v i chng minh D ABC vuụng cõn ti C.

K

H

C

Gii túm tt:
Cú AH BC ( gi thit) Li cú BC BK ( tớnh cht ng xiờn)

ị AH BC BK (1)
T (1) v (2)

Tng t : BK AC AH (2)

ị AH BC BK AC AH
ị AH = BC = BK = AC
ị

à =B
à = 450 ; C
à = 900
D ABC vuụng cõn ti C . Vy A

BI TON 6 :
Cho D ABC ng cao AH, ng phõn giỏc BD v
gúc AHD = 450. Tớnh gúc ADB.
*Tỡm tũi: V hỡnh tng i chớnh xỏc, ta d
oỏn gúc ADB = 450, t ú ngh n vic to ra tam
giỏc vuụng cõn bng cỏch h BK ^ AC. Ta cn
chng minh D KBD vuụng cõn ti K. ý tớnh cht:
Trong D ng phõn giỏc trong ca mt gúc v hai
phõn giỏc ngoi ca hai gúc cũn li ng qui ta cú

K
3

A 2
1

2

1

1

D

3
B

H

à =A
ả li dng gúc ngoi ca D v gúc cú cnh tng ng vuụng gúc ta s chng minh c
A
1
2
ả = KDB
ã
D
1

Gii túm tt: V BK ^ AC ti K. Xột D ABH cú BD l phõn giỏc trong. HD l phõn
giỏc ngoi nh H ị AD l phõn giỏc ngoi nh A

ị

à =A
ả
A
1
2

à = KBH
ã
ả = KBH
ã
ả =D
ả +B
à
M A
ị A
. Trong D ABD gúc ngoi A
1
2
2
1
1

11

C


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7

ả =A
ả - B
à
ị D
1
2
1
ả
ã
à = KBH
ã
ả = KBD
ã
ị D1 = KBH - B
- B
1
3
ã
Vy D KBD vuụng cõn ti K v do ú ADB
= 450

DNG III : TNH S O GểC THễNG QUA VIC PHT HIN RA TAM GIC U
BI TON 1:
H

Cho D ABC vuụng A , cú gúc B = 75 0. Trờn tia i ca tia AB
ly im H sao cho BH = 2 AC. Tớnh gúc BHC .
*Tỡm tũi:
T gi thit BH = 2 AC. Mun vn dng gi thit ny ta gi E
l trung im ca BH v BE=EH=AC. Cú BC l cnh ca D ABC

à =150 v ý 750 -150 = 600 ta ngh n vic dng D u
cú C
à = 1V
BDC. Lỳc ny cú ngay D ABC = D EBD (cgc) ị E

E

D

A

ã
ã
ã
ã
v DHB
= DBH
= 150 . chng minh DHB
= DHC

Giải túm tt:Gi E l trung im ca BH. Dng D u
BDC (D v A thuc cựng mt na mt phng b BC) D EDB = D

C

B

ả = 1V ị D BDH cõn ti D ị DHB
ã
ã

ã
ABC (cgc) ị E
= DBH
= 150 v HDB
= 1500
1
ả =H
ả = 150 . Vy BHC
ã
D HDB = D HDC (cgc) ị H
= 300
2
1

BI TON 2:
A

Cho D ABC cõn ti A. Cú gúc A = 400. Trờn na mt
phng b BC khụng cha A v tia Bx sao cho gúc CBx
= 100. Trờn Bx ly im E sao cho BE = BA. Tớnh gúc
BEC .

D

*Tỡm tũi: Ta thy gúc BEC l mt gúc ca D BCE. Ta
ã
ã
cn tỡm D bng D ny. ý CBE
=
= 10 0 v ABC

700 = 100 + 600. Ta v D u BDC lỳc ny AD l trung
ã
ã
ị BAD
trc ca BC cng chớnh l phõn giỏc ca BAC
=
ã
ã
200. Ch cn chng minh CEB
nh 2 D bng
= BAD

B

nhau.
Gii túm tt: V D u BDC ( D v A cựng na mp b BC) .

12

C
x
E


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7
ã
ã
Chng minh c D CEB= D DAB (cgc) ị BEC
= BAD
. D thy AD l trung trc ca BC nờn

ã
ã
trong D ABC, AD cng l phõn giỏc ị BAD
=200. Vy BEC
= 200.

BI TON 3:

B

Cho D ABC vuụng cõn A. im E nm trong D sao
ã
ã
ã
cho EAC
= 150. Tớnh AEB
.
= ECA
0
ã
ã
*tỡm tũi: Cú EAC
= 150 ị EAB
= 750 , ý 75 =
ã
150 + 600 nờn v D u ADE . Ch cn tỡm DEB
. Mun

D

ã
ã
vy ta chng minh DEB
nh hai tam bng nhau.
= DAB
E

Gii túm tt:
V tam giỏc u AED ( D v B trờn cựng na mp b
AE) . ta cú D ADB = D AEC (cgc) ị D ADB cõn ti
ã
ã
ã
D ị DAB
= DBA
= 150 ị ADB
= 150 0

A

C

ã
ã
ã
= 3600 - (1500 + 600) = 1500, D ADB = D EDB (cgc) ị DAB
= DEB
= 150
EDB
ã

Vy AEB
= 750
A

BI TON 4:
Cho D cõn ABC cú gúc nh A bng 20 0.Cỏc im
ã
M,N theo th t trờn AB. AC sao cho BCM
= 500;
ã
= 600. Tớnh gúc BNM.
CBN
ã
*Tỡm tũi: bi cho cú CBN
= 600, ta tỡm cỏch
vn dng D u.

thc hin ý ú, ta ly im P trờn AB sao cho
ã
= 600 v cú 2 D BQC, D NQP u. T hỡnh v,
BCP

P
M
1

0

ta d oỏn gúc MNB bng 30 . Ngh vy ta chng
minh NM l phõn giỏc ca gúc BNP. T ú tớnh c

gúc BNM.
Gii túm tt: Qua N v ng thng song song
BC ct AB P. Gi Q l giao im ca PC v BN

N

1

2
B 1

Q

1

C

à = 500 ị M
à = 800, C
ả = 500 ị
Chng minh c D BCQ v PNQ u. Trong D MBC cú B
ả = 200 ị
D BMC cõn ti B ị BM = BQ ( cựng bng BC) ị D MBQ cõn ti B, cú gúc B
2
ã
BQM
= 80 0 .
ã
ã
ã

MQP
= 1800 - ( 800 + 600) = 400 ị D PMQ cõn ti M ( vỡ MQP
= MPQ
= 400 )

13


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7

ị MP = MQ
Theo chng minh NP = NQ ị MN l trung trc ca PQ nờn MN cng chớnh l phõn giỏc ca
ã
gúc PNQ. Vy MNB
= 300
BI TON 5:

A

à = 20 0 trờn cnh AB ly im
Cho D ABC cõn ti A , cú A
ã
D sao cho AD = BC . Tớnh ACD

12

ã
ã
à =
Tỡm tũi: Cn tỡm ACD

. ACD
thuc D ACD cú A
200 v 1 cnh bng AC ta cn tỡm D bng D núi trờn . ý
à = 800 v 800 - 600 = 200 ta ngh n vic v D u BCE
B

D

( E v A cựng phớa i vi BC ) Ni AE lỳc ny D ACD =
à1
D BAE (c.g.c ) .Ch cn tớnh A
E

Gii túm tt :

?

à =
V D u BCE ( E v A cựng na mp b BC ). Cú B
1
ả =A
à
200 D thy : D ACD= D BAE (cgc ) => C
?
1

1
B

à =A

ả = 10 0 . Vy ACD
ã
= 100
D ABE = D AE (cgc ) => A
1
2

C

BI TON 6:

E

à = 800. Gi D l
Cho D cõn ABC ( AB =AC ) cú A
ã
ã
im trong D sao cho: DBC
=100 , DCB
=300 . Tớnh
gúc BAD.

A

à = 800 => B
à = Cà
*Tỡm tũi : D ABC cõn ti A , A
=500. D oỏn D ABD cõn ti B nờn ta ngh

n vic chng minh BA = BD. ý 60 0 - 500 = 100,

to ra D bng D BCD ta v D u BEC v nh vy
ch cn chng minh D BCD = D BEA l xong.

?

Gii túm tt: V D u BEC ( E v A
cựng na mp b BC) do AB = AC v EB = EC ị
AE l ng trung trc ca on BC. Tam giỏc
BEC u nờn trung trc EA cng l phõn giỏc ị
ã
AEB
= 300 v d dng chng minh c D BCD =
ABEA (cgc) ị BA = BD ị D ABD cõn ti B,
à = 400 . Vy BDC
ã
cú B
= 70 0
BI TON 7:

14

D

10
A

B

30

C

50
1 2
E

B

3

60
20

1
C

30

D


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7
Cho D ABD v D CBD ( A v C thuc 2 na mt phng i nhau b BD) Bit gúc BAC = 50 0,
gúc ABD = 600, gúc CBD = 200, gúc CDB = 300. Tớnh gúc DAC v gúc ADB.
*tỡm tũi: Nhn xột trong 2 gúc DAC v gúc ADB ch cn tớnh mt gúc thỡ s suy ra c gúc

à = 200, D
à = 300 nờn ly E sao cho EBD
ã
ã

kia. D BCD cú B
= 200, EDB
= 300 ta s cú D BED=
D BCD v D CDE u d dng tớnh c gúc C 1 nờn ch cn chng minh D ACE cõn s c
tớnh gúc A1 .T ú tớnh c A2.
Gii túm tt:

ã
ã
Trờn na mt phng b BD cú cha A ly im E sao cho EBD
= 200, EDB
= 300. Ni EA.
ã
ã
EC. D ECD cõn cú gúc 600 nờn l tam giỏc u. D dng tớnh c BCE
= 70 0 , BCA
= 500 ị
ả = 20 0
C
1
ả =A
à = 20 0 ị AEC
ã
= 140 0
D ABE = D CBE (cgc) ị EA = EC v C
1
1
0
0
0

ả =D
ả = 10 0
ã
D AED cõn ti E cú AED
= 3600 -(140 +60 ) = 160 ị A
2
3
0
0
0
0
ã
ã
Vy DAC
= 20 0 + 10 = 30 V ADB
= 30 0 + 10 = 40

DNG IV :

TNH S O GểC THễNG QUA VIC PHT HIN
TAM GIC CN BIT MT GểC

BI TON 1:
Cho D ABC cú gúc A = 600, cỏc phõn giỏc BD v CE
ct nhau I . Tớnh cỏc gúc ca D DIE.

A
60

*Tỡm tũi:

ã
Theo ta d dng tỡm c gúc BIC
=1200. Theo hỡnh
v ta d oỏn D DIE cõn ti I, nờn tỡm 2 gúc cũn li
ta cn chng minh d oỏn ny. Mun vy ta so sỏnh ID
v IE vi on th ba. li dng D bng nhau ta v
phõn giỏc IK ca D BIC v gii quyt c bi toỏn.

D
E
3

I

4
1 2

1
B

1
K

Gii túm tt:
à +C
à
à
B
1800 - A
0

0
ãDIE = BIC
ã
= 180 = 180 = 120 0
2
2

V phõn giỏc IK ca D BIC ta s cú : Ià1 = Ià2 = Ià3 = Ià4 = 60 0 ị D BIE = D BIK (gcg)

ị IE = IK

15

C


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7
chng minh tng t cú : ID = IK ị IE = ID ị D ADI cõn ti I, cú $
I = 1200
à = 30 0
ị Eà = D

A

BI TON 2:

D

E

D ABC cú gúc B = 600, gúc C = 300. Ly D trờn
cnh AC, E trờn cnh AB sao cho gúc ABD = 20 0,
gúc ACE = 100. Gi I l giao im ca BD v CE.
Tớnh cỏc gúc ca D IDE .

3

I
1 2

4

K
C

B

*Tỡm tũi:
ã
ã
D thy EID
= BIC
= 1800 - (40 0 + 200 ) = 120 0 .

D oỏn ID = IE. Ta cn tỡm on trung gian. xut hin D bng nhau, ta v 3 phõn giỏc ca
D IBC ct nhau K cn chng minh: ID = IE = IK l xong.
Gii túm tt:
ã
ã
à = 200. ị EID

à = 400, C
Trong D IBC, tớnh c B
= BIC
= 1800 - (40 0 + 20 0 ) = 120 0

V 3 phõn giỏc ca D BIC ct nhau K. Tớnh c Ià1 = Ià2 = Ià3 = Ià4 = 60 0

D BIE = D BIK (gcg) ị IE = IK.
Chng minh tng t cú : ID = IK.

ị IE = ID ị D DIE cõn ti I. Vy cỏc gúc ca
à =E
à = 30 0
D IDE l : $
I = 1200 ; D

C
?

BI TON 3:
Cho D ABC cú gúc A = 50 , gúc B = 20 . Trờn
ng phõn giỏc BE ca D ly trung im F sao
ã
cho FAB
= 20 0 . Gi I l trung im ca AE. EI
0

0

30

A

E 3
1 2
I

M

F

20

10
10

K

ct AB ti K. Tớnh gúc KCB.
*Tỡm tũi: V chớnh xỏc ta ngh ngay n D CBK cõn ti B. chng minh d oỏn ny ta gii
quyt c bi toỏn.
Gii túm tt:
ã
ã
Gi M l giao im ca CK v BE .Chng minh c EAF
= EFA
= 30 0

ị D AEF cõn ti E ị trung tuyn IE cng l phõn giỏc. Nh vy Eả 1 = Eả 2 = Eả 3 = 600
à = 200 ị BCK
ã

D CEB = D KEB (gcg) ị BC = BK ị D BCK cõn ti B, cú B
= 80 0

16

B


“Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7”
BÀI TOÁN 4:

D

µ = 100 0 . Điểm M nằm trong
D ABC cân tại A, có A
·
·
D sao cho MBC
= 100 ; MCB
= 200 . Tính góc

A

AMB.
*Tìm tòi:
Với ý tưởng tìm góc bằng góc AMB và có thể tính
được số đo của no. Trên tia CA lấy D sao cho : CD
·
= CB. D BCD cân tại C, biết ACB
= 40 0 Þ biết

? M
30

20
20

10

B

C

góc ADB. Như vậy chỉ cần chứng minh góc AMB
bằng góc ADB là xong.
Giải tóm tắt:
Trên tia CA lấy điểm D sao cho CD = CB.
·
·
D BCD cân tại C, có ACB
= 40 0 Þ CDB
= 700
·
·
Chứng minh được D MCB = D MCD (cgc) Þ MB = MD và CDM
= CBM
= 10 0
0
0
·

MDB
= 70 0 - 10 = 60 Þ D MBD đều

·
Chứng minh D ABM = D ABD (cgc) Þ ·AMB = ADB
= 70 0

BÀI TOÁN 5:

A

Cho D ABC cân tại A có góc A = 800, I
là một điểm thuộc miền trong D ABC
·
·
sao cho : IBC
= 10 0 , ICB
= 200 . Tính góc AIB

N

*Tìm tòi:
Rõ ràng không thể tính ngay số đo góc AIB,
ta nghĩ đến việc tìm một D cân chứa góc

J

O
B

10

I
K

H

20
C

này và tìm cách xác định số đo một góc nào đó của tam giác đó. Kẻ đường cao AH của D ABC
cắt BI tại O và dự đoán D AOI cân tại A. Nghĩ vậy kẻ đường cao AK của D AOI cắt đường
thẳng CI tại J và chứng minh AK là đường trung trực của đoạn OI.
Giải tóm tắt: Kẻ đường cao AH của D ABC cắt BI tại O. Kẻ đường cao AK của D AOI cắt
đường thẳng CI tại J. Đường cao AH của D ABC cũng là trung trực của BC
·
·
·
Þ OB = OC Þ D BOC cân tại O Þ OCB
= 100 D AOC có OAC
= OCA
= 40 0 nên cân tại O
Þ OA = OC (1)
·
·
Lại có HAK
= IBC
= 10 0 ( cặp góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

17

Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7
ã
ã
Xột D AJC tớnh c JAC
= JCA
= 30 0 nờn l D cõn ti J ị JA = JC (2)
T (1) v (2) ị OJ l trung trc ca AC, cng chớnh l phõn giỏc ca gúc AOC. Trong D cõn
ã
ã
AOC tớnh c AOC
= 1000 ị JOC
= 50 0
ã
Gúc IOC l gúc ngoi ca D OBC ị IOC
= 100 +10 0 = 20 0
ã
Tớnh c JOI
= 500 - 20 0 = 30 0 (3)
ã
Gúc JIO l gúc ngoi ca D IOC ị JIO
= 200 + 100 = 300 (4)

T (3) v (4) ị D OJI cõn ti J ị JK cng l trung trc ca OI.
Do im A ẻ JK ị AO = AI ị D AOI cõn ti A
ã
ã
ã
ã

Trong ú AOI
= AOC
- IOC
= 1000 - 200 = 800 . Vy AIB
= 80 0

BI TON 6:
C

Trong D cõn ABC cú gúc nh C bng 100 0,
ta k tia Ax to vi AB mt gúc 300, tia ny ct
tia phõn giỏc ca gúc B M. Tớnh gúc ACM

x

1
1 I

*Tỡm tũi:

M

Gúc ACB = 1000 nờn nu bit gúc BCM ta cng
suy ra c gúc ACM. Gúc BCM trong D
ã
BCM ó bit gúc CBM
= 200 nờn cn chng

30
A

20
B

minh D ny cõn. Ta cn tỡm 2 tam giỏc bng nhau tng ng cha BC v BM. Ngh vy ta v
ng phõn giỏc ca gúc CBM ct Ax ti I. Ta cn chng minh D BIC = D BIM gii quyt
bi toỏn.
Gii túm tt:
V phõn giỏc gúc CBM ct Ax ti I.
Chng minh c D AIB cõn ti I ị IA = IB
Li cú CA = CB (gt) ị CI l trung trc ca AB ,
ả = 50 0
D ACB cõn ti C nờn trung trc CI cng l phõn giỏc ca gúc ACB ị C
1
ả l gúc ngoi ca D AMB nờn M
ả = 300 + 200 = 500
M
1
1
à =B
ả = 10 0 , BIM
ã
ã
=1800 ( 100 + 500) = 1200 )
D BIC = D BIM ( IB chung; B
= BIC
1
2

ị BC = BM ị D BCM cõn ti B

ã
ã
ã
ã
ã
Li cú CBM
= 200 ị MCB
= 80 0 . Vy ACM
= ACB
- MCB
= 100 0 - 80 0 = 200

18


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7
BI TON 7:
à = 80 , AB < AC. Trờn AC ly
Cho D ABC, cú A
mt im D sao cho CD = AB. Qua cỏc trung im K
ca AD v N ca BC ta k ng thng ct AB kộo
di ti M. Tớnh gúc BMN .

E

0

M
A 1
K

D

*Tỡm tũi:
Bi toỏn cho cú nhiu trung im on thng nờn ta
ngh n vic vn dng ng trung bỡnh D . T
suy ngh ny trờn tia i ca tia AC ly im E sao

1
B

C

N

ả =B
à . Tớnh gúc B1
cho AE = DC. Lỳc ny KN l ng trung bỡnh D CBE ị MN// BE ị M
1
1

trong D ABE l xong.
Gii túm tt:
Trờn tia i ca tia AC ly im E sao cho
AE = DC. D thy KN l ng trung bỡnh D CBE ị MN// BE ị

ả =B
à
M
1
1

D ABE cú AB = AE ( vỡ cựng bng DC) nờn l D cõn ti A
à = 180 0 - 80 0 = 1000 ị B
à = 400 . Vy M
ả = 400
Ta cú A
1
1

DNG V : TNH S O GểC THễNG QUA CC MI LIấN H KHC GIA CC GểC
BI TON 1:
Cho D AOB vuụng cõn O. Qua A v ng thng
vuụng gúc vi OA, qua B v ng thng vuụng gúc vi
OB, hai ng thng ny ct nhau C, t im M trờn
on AC v ng thng ct on BC N sao cho
ã
ã
. Tớnh gúc MON .
AMD
= OMN

M

A

C
K

N

*Tỡm tũi:
ã
V hỡnh chớnh xỏc ta d oỏn MON
= 450. ý tớnh cht
phõn giỏc ca 2 gúc k ph to thnh gúc cú s o bng
450 , ta tỡm 2 gúc k ph ú. Vi suy ngh ny gi ý ta k
ả =O
ả ;O
ả =O
ả
OK ^ MN v cn chng minh: gúc O
1
2
3
4

12
O

3
4

Gii túm tt:
ả =O
ả ị OK = OA = OB.
H OK ^ MN ti K. Cú D AOM = D KOM ị O
1
2

19

B


“Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài toán tính số đo góc Hình học 7”
Có D KON = D BON Þ

¶ =O
¶ , OM và ON là phân giác của 2 góc kề phụ . Vậy
O
3
4

·
MON
= 450

BÀI TOÁN 2:
Cho D ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH.
Qua C vẽ tia Cx song song với tia AB (Tia Cx
và tia AB cùng thuộc nửa mp bờ AC). Trên tia

x
B

1
Ox lấy điểm K sao cho: CK = AB. Gọi M là
2
trung điểm của BH. Tính góc AMK.

M
H

1
K

N

*Tìm tòi:

1

·
Theo hình vẽ ta dự đoán góc AMK
= 900 . Từ

A

C

1
giả thiết CK//AB và CK = AB , để vận dụng
2
giả thiết này ta nghĩ đến việc vẽ đường trung bình MN của D ABH. Lúc đó MN// CK và MN=
CK .Dễ thấy MK// NC. Như vậy chỉ cần chứng minh CN ^ AM.

Giải tóm tắt:
Vẽ đường trung bình MN của D ABM
1
MN//AB và MN= AB

2

Þ MN// CK và MN=CK

¶ =M
¶
D MNC = D CMK (cgc) Þ C
1
1

Þ MK// NC

Trong D AMC ta có AH ^ MC và MN ^ AC ( vì MN// AB và AC ^ AB)
·
Nên N chính là giao điểm 3 đường cao Þ CN ^ AM. Vậy AMK
= 900

BÀI TOÁN 3:
Cho D nhọn ABC có 2 đường cao AD và CE cắt nhau tại H, các phân giác của góc BAD và góc
BCE cắt nhau tại O. Tính góc AOC
A
*Tìm tòi:

E
0

Dự đoán góc AOC bằng 90 , AO đã là phân giác của góc
BAD. Gọi M, N thứ tự là giao điểm của OC với AB và
AD, ta nghĩ đến việc chứng minh D AMN cân tại A.

H

O

1

M

N1
2

Giải tóm tắt:
Gọi M,N thứ tự là giao điểm của OC với AB và AD

20

C

D

B


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7
ã
ã
ả = 1v - ECB ; N
ả =N
ả = 1v - ECB ị M
ả =N

ả ị D AMN cõn ti A ị Phõn giỏc AO cng l
M
1
1
2
1
1
2
2
ã
ng cao . Vy AOC
= 900

BI TON 4:
A

à . Phõn giỏc ngoi cựa
à >C
Cho D ABC cú B
à- C
à
gúc A hp vi BC mt gúc 300.Tớnh B

12

Tỡm tũi:
bi cho phõn giỏc ngoi ca gúc A v gúc
DAB bng 300 cho d xột ta ngh n vic
v phõn giỏc trong AD ca D ABC. T ú
à- C

à .
tớnh c gúc B, gúc C v t ú suy ra B

D

120
D1

1

30
B

1
C

Gii túm tt:
ã C = 1200 ị AD
ã B = 60 0
V phõn giỏc trong ca A ct BC ti D1 . Tớnh c AD
1
1
ã C = 1200 l gúc ngoi D ACD1 Nờn B
à = 1200 - A
à
AD
1
1
1
ã A = 600 l gúc ngoi D ACD1 nờn C

ả = 60 0 - A
ả m A
à =A
ả ị B
à- C
ả = 60 0
Li cú BD
1
1
2
1
2
1
1

BI TON 5:
Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc cõn bit rng phõn giỏc
ng vi ỏy bng na phõn giỏc ng vi cnh bờn.
( D ABC cõn ti A. AD v BE l phõn giỏc AD =

A
1 2

1
2

E
1

à ,B

à ,C
à ).
BE. Tớnh A
B

*Tỡm tũi:

1
2

F

1
D

1
vn dng gi thit AD = BE. ó cú D l trung im ca BC. Gi cho ta v ng trung
2
bỡnh DF ca D BCE. Lỳc ny tam giỏc ADF cõn. Li dng liờn h gia cỏc gúc ta s tỡm c
cỏc gúc A,B,C

Gii túm tt:
V ng trung bỡnh DF ca D BCE ta cú D ADF cõn ti D.
à =B
ả = a Ta cú B
à =C
à = 2a , D
ả =B
ả =a
t B

1
2
1
2
à =A
ả =F
à = 2a + a = 3a ị A
à = 6a . Trong D ABC: A
à +B
à +C
à = 6a + 2a + 2a = 10a
A
1
2
1

21

C


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7
10a = 1800 ị a = 180 .
à = 1080 ; B
à =C
à = 36 0
Vy A

BI TON 6:

A

Cho D ABC cú AB < AC. Cỏc phõn giỏc BD v CE
ct nhau G tho món iu kin GD = GE. Tớnh gúc
BAC.
*Tỡm tũi:
ã
ã
D oỏn BAC
= 60 0 , BGC
= 120 0 . ý cỏc gúc

ngoi

1

E 1

ca

D EBC,

D ABD

1

D

G
2

(

à
à
B
ả = EGB
ã
ả = A + B ) Nờn chng minh gúc
E
+
;
D
1
1
2
2
0
A bng 60 ta

F

1

B

2
1
C

phi chng minh gúc E1 bng gúc D1. Nhn xột rng AE < AD . chng minh gúc E 1 bng gúc
D1 ta cn tỡm gúc trung gian thuc tam giỏc bng D AGE bng cỏch ly F trờn tia AD sao cho:
AE = AF. Chng minh D AFG = D AEG v D DGF cõn thỡ cú gúc D1= E1 (cựng bng gúc F1)
Gii túm tt:
à >C
à
Ta cú AB < AC ị B

Hai D AGD v AGE cú AG chung. GD = GE (1)
à B
à
àA C
à
A
ã
Li cú : ãAGD = + ( Vỡ l gúc ngoi ca D AGB ) v AGE
= + ( Vỡ l gúc ngoi ca
2 2
2 2
ã
(2)
D AGC ) ị ãAGD > AGE

T (1) va (2) ị AD > AE
Trờn on AD ly im F sao cho AF = AE
ả =F
à (3) v GE = GF = GD
Ta cú D AGE = D AGF (ccc) ị E
1
1

ả =F
à (4)
ị D DGF cõn ti G ị D
1
1
ả =E
ả
T (3) v (4) Suy ra D
1
1
0
à
à
à à
à
à +B =B
à +C ị A
à = B + C = 180 - A ị 2 A
à = 1800 - A
àị A
à = 600
hay A
2
2
2
2

ã
Vy BAC
= 60 0

BI TON 7:

22


Phỏt trin t duy ca hc sinh qua mt s bi toỏn tớnh s o gúc Hỡnh hc 7
Cho D nhn ABC, v phia ngoi D dng cỏc D u ABD, BCE,ACF. Gi I,K,L th t l tõm
3 D u ny. Tớnh cỏc gúc ca D IKL.
*Tỡm tũi:
D oỏn rng D IKL u . phõn tớch, gi s ta
cú iu ny. V AH, BP,CQ theo th t vuụng
gúc xung IL,IK,KL ta thy chỳng ng qui ti
O.

F
A
L

D

D oỏn IL, IK, KL th t l trung trc ca OA,
OB,OC. T ú gi ý cho ta v thờm tỡm li
gii.
H AH ^ IL. Trờn tia i ca tia AH ly O sao
cho HO = AH. D thy IB = IO, suy ra I thuc
trung trc ca BO.V trung trc IP ca D cõn
ã
BIO. S cú HIP
= 60 0

Tng t v trung trc LQ ca D cõn CLO cng
ã
cú HLQ
= 600

I

1
2
43

H
O
P

B

Q
12 3 4

C

K K1

E

Gi K1 l giao im ca IP v LQ. Suy ra c D ILK1 u.
Cui cựng ch cn chng minh K1 K l xong.
Gii túm tt:
Qua A v ng thng vuụng gúc vi IL ti H, trờn tia i ca tia HA ly im O sao cho HO =

AH Ni OI, OL, ta co : IO = IB ( cựng bng IA)v LO = LC ( cựng bng LA)
V trung trc IP ca D cõn OIB v trung trc LQ ca D cõn OLC. Hai trung trc ny ct nhau
ti K1
Xột cỏc gúc nh I cú Ià1 = Ià2 ; Ià3 = Ià4
0
ã
ã
V do AIB
= 120 0 nờn d chng minh c LIK
1 = 60 (1)
0
ã
Xột cỏc gúc nh L, cng chng minh c ILK
1 = 60 (2)

ã L = 600
T (1) v (2) ị D ILK1 u ị IK
1

Xột cỏc gúc nh K1 cú
0
ả =K
ã ;K
ả =K
ã
ã
ả
ã C = 1200
ị BK
K

11
12
13
14 m K12 + K13 = 60
1

Trong tam giỏc cõn CK1B ị

0
ã
ã
ị BK1 v CK1 l phõn giỏc ca D u
CBK
1 = BCK1 = 30

BCE . ị K1 cng chớnh l trng tõm ca D BCE ị K1 K

23


“Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài tốn tính số đo góc Hình học 7”
µ =L
µ = 60 0
Vậy D IKL là D đều do đó các góc cần tìm là $
I =K

4/. Kết quả thực hiện:
Trong suốt q trình ơn thi HS lớp 7 tơi nhận thấy: Sau khi làm các bài tập trong hệ thống
bài tập trong chun đề “phát triển tư duy của học sinh qua bài tập tính số đo góc hình học 7”
học sinh tự tin hơn với các bài tốn khó, với bài tốn phức tạp, với những bài tốn có ít sự liên

hệ các yếu tố với nhau. Ngay cả việc vẽ hình học sinh cũng có kĩ năng tốt hơn, nhanh và chính
xác hơn.
Các em đã tự tin hơn, khơng còn sợ những bài tốn lạ, phức tạp, bước đầu biết tìm tòi mò
mẫm. Kết quả khả quan hơn cả là chun đề này giúp học sinh u tốn hơn, các em đã có ý
thức tự đọc sách, tự tìm tòi và làm bài tập trong các quyển sách “Tốn nâng cao và các chun
đề Đại số và Hình 7- của tác giả Vũ Dương Thụy và Nguyễn Ngọc Đạm” “Tốn bồi dưỡng của
tác giả Vũ Hữu Bình”
Chính vì sự cố gắng đó điểm kiểm tra của một số em tốt hơn các bạn ở trên lớp, nhiều lần đạt
điểm tuyệt đối.

Thành tích các em học sinh đạt học sinh Giỏi các cấp đật kết quả khả quan, tiến
bộ qua từng năm học .
Xếp thứ

Năm học

Số lượng HS đi thi

Kết quả đạt
được

(toàn huyện)

2006-2007

12

5

7

2007-2008

16

7

4

2008-2009

21

11

2

PhÇn iii: kÕt ln vµ ý kiÕn cđa tỉ chuyªn m«n vµ ®ång nghiƯp I.
1). BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Qua việc vận dụng những kinh nghiệm trên vào công tác giảng dạy và kết quả đạt được, tôi
rút ra một số bài học kinh nghiệm như sau:
Một là: Điều đầu tiên, bản thân giáo viên phải tâm huyết, trăn trở với bài dạy, tìm hiểu kiến
thức, tìm ra phương pháp và hình thức phù hợp trong giảng dạy tạo ra môi trường giúp học sinh
hứng thú, tích cực, chủ động tìm tòi kiến thức.
Hai là: Trong quá trình giảng dạy, người giáo viên ngoài năng lực, khả năng sư phạm còn
cần phải tích luỹ, rút kinh nghiệm dù rất nhỏ. Phải tìm tòi học tập kinh nghiệm ở sách báo, tài
liệu tham khảo và chính trong quá trình giảng dạy trên lớp của bản thân sau mỗi tiết dạy.

24

“Phát triển tư duy của học sinh qua một số bài tốn tính số đo góc Hình học 7”
Ba là: Từ cách áp dụng các kinh nghiệm trên vào giảng dạy hướng dẫn học sinh giải bài tập
Hình, đã phát huy được ở các em óc tư duy linh hoạt và sáng tạo, tìm tòi. Và điều quan trọng là
đã gây được cho các em sự hứng thú yêu thích ham học hơn.
Bốn là: Bồi dưỡng cho học sinh biết cách tư duy hình học, đứng trước một bài toán phải biết
phân tích đầu bài, kết hợp với vẽ yếu tố phụ thích hợp để tìm được mối liên hệ giữa các dữ kiện
của giả thiết, từ đó xác đònh được hướng giải quyết và từ một dạng toán đã làm có thể mở rộng
được ra các dạng toán khác.
Do khuôn khổ và trình độ có hạn, mong rằng những kinh nghiệm giảng dạy đúc kết được
qua đề tài này phần nào tháo gỡ những khó khăn trong công tác bồi dưỡng học sinh Giỏi ở
trường THCS. Kính mong đồng nghiệp: bổ sung, góp ý để đề tài tiếp tục hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn. !
2). Ý KIẾN CỦA ĐỒNG NGHIỆP TỔ CHUYÊN MÔN, BAN GIÁM HIỆU
a) . Ý kiến của đồng nghiệp tổ chun mơn.
................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...............................
b) . Ý kiến của Ban giám hiệu nhà trường.
................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...............................................
Liên Sơn, tháng 6 năm 2010

Người viết

Đinh Thị Nga

25