de thi chon doi tuyen hsg toan 7 vong 2 2016 2017

TRƯỜNG T.H.C.S SƠN TÂY
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN : TOÁN LỚP 7 ( Vòng 02))
Thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian giao đề )
C©u1: a ) TÝnh tæng. S = (-3)0 + (-3)1+ (-3)2 + .....+ (-3)2017.
b) so s¸nh A vµ B, biÕt:
Câu 2: a) Cho

a
b

=

7a + 5b

A=

102016 + 1
;
102017 + 1

B=

102017 + 1
.
102018 + 1

c
5a + 3b
. Chứng minh rằng:

d
5c + 3d

7c + 5d

a

=

5a − 3b
5c − 3d

c

b) Cho 3a − 7b = 3c − 7d chứng minh rằng =
b d
Câu 3 : Tìm x,y,z biết :
a) x : y : z = 3 : 5 (- 2) và 5x – y + 3z = 124
b) = =
Câu 4 : Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách. Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ thứ
nhất sang tủ thứ 3 thì số sách ở tủ thứ 1, thứ 2, thứ 3 tỉ lệ với 16;15;14. Hỏi trước khi
chuyển thì mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách ?
Câu 5 : a) Chứng minh: 72017- 47 M 10
6

b) Tìm GTNN của C = x − 3 với x là số nguyên
Câu 6 : Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm
E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng

minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
·
·
c) Từ E kẻ EH ⊥ BC ( H ∈ BC ) . Biết HBE
= 50o ; MEB
=25o .
·
·
Tính HEM
và BME


ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu
Câu 1
4,0 điểm

Đáp án vắn tắt
0

1

2

3

2017

a) S=(-3) +(-3) + (-3) +(-3) +...+ (-3) .
-3S= (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + ....+(-3)2017] =

= (-3)1+ (-3)2+ ....+(-3)2018]
-3S - S=[(-3)1 + (-3)2+...+(-3)2018]-(3)0-(-3)1-...-(-3)2017.
-4S = (-3)2018 -1.

S =

102017 + 1
102018 + 10
9
B
=
= 1 + 2018
Tương tự : 10
= 2018
(2)
2018
10 + 1
10 + 1
10 + 1
9
10

2017

điểm
2,0 đ

(−3) 2018 − 1 32018 + 1
=
−4

4

102016 + 1
102017 + 10
9
=
= 1 + 2017
b) Ta có : 10 A = 2017
(1)
2017
10 + 1
10 + 1
10 + 1

Từ (1) và (2) ta thấy :

Thang

>

+ 1 10

2,0 đ

9
2018

+1

⇒ 10A > 10B ⇒ A > B

Câu 2
4,0 điểm

a)
a c
a b
5a 3b
= ⇔ = ⇒
=
b d
c d
5c 3d
5a + 3b
5a − 3b
=
Vậy:
5c + 3d
5c − 3d

Ta có :

7a + 5b

=

5a + 3b 5a − 3b
=
5c + 3d 5c − 3d

2,0 đ

(Đpcm).

7c + 5d

b) Đặt 3a − 7b = 3c − 7d = k
=> 7a +5b = k ( 3a – 7b ) => 7a + 5 b = 3ak – 7bk

2,0 đ

=> 3ak – 7a = 5b + 7bk  ( 3k – 7 ) a = ( 7k +5) b
a

7k + 5

=> b = 3k – 7 ( 1)
Tương tự : 7c + 5 d = k ( 3c – 7d )
c

7k + 5

=> ( 3k – 7 ) c = ( 7k +5) d => d = 3k – 7 ( 2 )
Từ (1) và ( 2) ta được :

Câu 3
4,0 điểm

a c
=

b d

a): Có x : y : z = 3 :5 : (- 2) ⇔ = =
Do đó, ta có: = = = = = = = 31

2,0 đ


Hay: +) = 31 ⇔ x = 31.3 = 93
+) = 31 ⇔ y = 31.5 = 155
+) = 31 ⇔ z = 31.(-2) = -62
Vậy: x = 93 ; y = 155 ; z = -62.
b) = = (1)
= = = (2)
Từ (1), (2) nếu 2x +3y – 1 ≠ 0 thì ta có: 6x = 12 ⇔ x = 2 thay
vào (1) thì y = 3.Vậy: x = 2 và y = 3.
Nếu : 2x +3y – 1 =0 thì 2x +1 = 0 và 3y – 2 = 0 => x= -1/2 và y
= 2/3
2,0 đ
Câu 4
3,0 điểm

Gọi số quyển
(quyển) (a, b, c
có:
Tủ 1: a –100
Tủ 2: b
Tủ 3: c + 100

sách của tủ 1, tủ 2, tủ 3 lúc đầu là: a, b, c

∈ N * và a, b, c < 2250). Thì sau khi chuyển ,ta
(quyển)
(quyển)
(quyển)

Theo đề bài ta có :

a − 100 b c + 100
= =
16
15
14

và a + b + c = 2250.

2250
a − 100 b c + 100 a − 100 + b + c + 100
→
= =
=
= 45 =50
16
15
14
16 + 15 + 14

+)

a − 100
=50

16

→ a –100 = 50.16

⇔ a = 800 + 100 = 900

(t/m)
b
=50 → b = 50.15 = 750
(t/m)
15
c + 100
+)
=50 → c + 100 = 50.14 ⇔ c = 700 – 100 = 600
14

+)

Câu 5
2,0 điểm

(t/m)
Vậy: Trước khi chuyển thì: Tủ 1 có : 900 quyển sách
Tủ 2 có : 750 quyển sách
Tủ 3 có : 600 quyển sách.
2017
a) Chứng minh: 7 - 47M 100

1,0đ

Ta có : 74 = 2401 nên : 72017 = ( 74 )504 .7 = ( 2401)504.7 có tận
cùng là 7 . 72017 - 47 có tận cùng là 0
nên : 72017- 47 M 10
b) - Xét x > 3 => C > 0
- Xét x < 3 => x = 0;1 hoặc 2
=> C = - 2 ; - 3 hoặc - 6

1,0 đ


Vậy GTNN của C = - 6 <=> x = 2 ; -2 .
Câu 6

1,0 đ

A

a/ (1điểm) Xét ∆AMC và
∆EMB có :
I
AM = EM
(gt )
M
·AMC = EMB
·
B
(đối đỉnh )
H
BM = MC
(gt )

Nên : ∆AMC = ∆EMB (c.g.c )
K
0,5 điểm
⇒ AC = EB
E
Vì ∆AMC = ∆EMB
·
·
·
= MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi
⇒ MAC
MEB
đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE
Xét b) C Xét hai tam giác : ∆AMI và ∆EMK có :
AM = EM (gt )
·
·
= MEK
( vì ∆AMC = ∆EMB )
MAI
AI = EK (gt ) .
·
Nên ∆AMI = ∆EMK ( c.g.c ) Suy ra ·AMI = EMK
·
Mà ·AMI + IME
= 180o ( tính chất hai góc kề bù )
·
·
⇒ EMK

+ IME
= 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng
µ = 90o ) có HBE
·
c) Trong tam giác vuông BHE ( H
= 50o
·
·
= 90o - HBE
= 90o - 50o =40o
⇒ HEB
·
·
·
= HEB
- MEB
= 40o - 25o = 15o
⇒ HEM
·
là góc ngoài tại đỉnh M của ∆HEM
BME
·
·
·
Nên BME
= HEM
+ MHE
= 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngoài của tam giác )

3,0 điểm

C

1,0 đ

1,0 đ