Kiểm tra Toán 11 học kỳ II (nâng cao)

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II TOÁN 11 NÂNG CAO
Đề số 1
Phần I. Trắc nghiệm khách quan (3 điểm)
Câu 1. Cho dãy số (u
n
), biết u
n
= 2
n
– n. Khi đó u
n-1
bằng:
A.
1
2 1
n
n
−
− +
; B.
1
2 1
n
n
+
− +
; C.
1
2
n
n

−
−
; D.
1
2 1
n
n
−
− −
.
Câu 2. Cho
2
2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
L
x
→
− +
=
−
. Khi đó:
A.
1
4
L = −

; B.
1
4
L =
; C.
1
2
L = −
; D.
1
2
L =
.
Câu 3. Cho
2 2
3
( 2)( 1)
lim
( 1)(2 3)
n n
L
n n
+ −
=
+ +
. Khi đó:
A.
1
2
L =

; B.
1
2
L = −
; C.
L = +∞
; D.
1
8
L =
.
Câu 4. Đạo hàm của hàm số
tan 3y x=
bằng :
A.
2
1
cos 3x
; B.
2
3
cos 3x
; C.
2
3
cos 3x
−
; D.
2
3

sin 3x
−
.
Câu 5. Một hình hộp chữ nhật có các kích thước là 3, 4, 12. Đường chéo của hình hộp có độ dài
là :
A. 19 ; B. 169 ; C. 13 ; D.
13 2
2
.
Câu 6. Một hình tứ diện MNPQ có ba cạnh MN, NP, PQ đôi một vuông góc với nhau và có độ
dài lần lượt là 3, 4, 5. Khi đó độ dài cạnh MQ là :
A. 12 ; B.
5 2
; C.
2 5
; D.
4 3
.
Câu 7. Cho cấp số cộng (u
n
) với
25 16
36u u− = −
. Khi đó công sai của cấp số đó là :
A. -3,6 ; B. 4 ; C. -4 ; D.
12
13
−
.
Câu 8. Cho

2
2
3 1
lim
4 1
x
x x
L
x x
→+∞
− −
=
− +
. Khi đó :
A.
1
3
L = −
; B.
1
3
L =
; C.
1
2
L = −
; D.
1
2
L =

.
Câu 9. Cho hàm số
4
( ) 2
5
x
f x x
x
−
= +
+
. Khi đó
'(1)f
bằng :
A.
5
4
; B.
1
2
; C.
9
4
; D. 2.
Câu 10. Cho hàm số
4 2
( ) 2 3f x x x= + −
. Với giá trị nào của x thì
'( ) 0f x >
?

A. x > 0 ; B. x < 0 ; C. x < -1 ; D. -1 < x < 0.
Câu 11. Trong không gian, mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường
thẳng cho trước ;
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng cho trước và vuông góc với một
đường thẳng cho trước ;
C. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt
phẳng cho trước ;
1
D. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt
phẳng cho trước.
Câu 12. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?
A. Hình hộp có các cạnh bằng nhau là hình lập phương ;
B. Hình hộp đứng có các cạnh bằng nhau là hình lập phương ;
C. Hình hộp có các đường chéo bằng nhau là hình lập phương ;
D. Hình hộp chữ nhật có các cạnh bằng nhau là hình lập phương.
Phần II. Tự luận (7 điểm)
Câu 13.(1 điểm) Cho hàm số
1
1
( )
8 3
6 1
x
khi x
y f x
x
khi x
−


≠

= =
+ −


− =

Chứng minh rằng hàm số
( )f x
liên tục tại x = 1.
Câu 14.(1 điểm) cho cấp số nhân gồm 6 số hạng, biết số hạng đầu bằng -5, số hạng cuối bằng
160. Tìm số hạng còn lại và tính tổng các số hạng của cấp số nhân đó.
Câu 15.(2,5 điểm) Cho hàm số
3 2
( ) 2 4 1f x x x= − +
(1)
a) Tìm x sao cho
'( ) 0f x <
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến đó song song với
đường thẳng y = 2x + 3.
c) Chứng minh rằng phương trình
( ) 0f x =
có ba nghiệm phân biệt.
Câu 16.(2,5 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là điểm
nằm trên các cạnh AB và AD sao cho AM = AN = x (với 0 < x < a ) và I là trung điểm của đoạn
thẳng MN. Chứng minh rằng :
a) Hai đường thẳng MN và AC’ vuông góc với nhau.
b) Hai mặt phẳng (A’MN) và (A’AI) vuông góc với nhau. Xác định góc giữa đưòng

thẳng AA’ và mp(A’MN). Tính tan góc đó theo x và a.
c) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A’MN). Tính AH theo a và x.
2
Đề số 2
Phần I. Trắc nghiệm khách quan (3 điểm)
Câu 1. Cho dãy số (u
n
) xác định bởi u
1
= 1 và u
n+1
= u
n
+ n với mọi
1n
≥
.
Ta có u
11
bằng
A. 36 ; B. 60 ; C. 56 ; D. 44.
Câu 2. Nếu cấp số cộng (u
n
) với công sai d có u
2
= 2 và u
50
= 74 thì
A. u
1

= 0 và d = 2 ; B. u
1
= -1 và d = 3 ;
C. u
1
= 0,5 và d = 1,5 ; D. u
1
= -0,5 và d = 2,5.
Câu 3.
2
lim ( 100 )
x
x x
→−∞
+ +
là
A. 0 ; B.
+∞
; C.
−∞
; D. 100.
Câu 4.
3
3 2
2 5 3
lim
3
n n
n n
− +

−
là
A. 3 ; B.
+∞
; C.
3
2
−
; D.
2
3
.
Câu 5. Cho
3 2
( ) sinf x x x= +
thì
''
2
f
π
 
−
 ÷
 
bằng :
A. 0 ; B. 1 ; C. -2 ; D. 5.

Câu 6. Cho hàm số
( ) cos2f x x=
. Khi đó

A.
sin 2
( )
cos2
x
df x
x
−
=
; B.
sin 2
( )
2 cos 2
x
df x dx
x
=
;
C.
sin 2
( )
2 cos 2
x
df x
x
−
=
; D.
sin 2
( )

cos2
x
df x dx
x
−
=
.
Câu 7. Cho hàm số
3 2
( ) 1
3 2
x x
f x x= − − +
. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có hoành độ
bằng 1 có phương trình là
A.
1
6
y = −
; B.
5
6
y x= − +
; C.
1
6
y x= − −
; D.
7
6

y x= − −
.
Câu 8. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :
Hàm số
2
1, 0
( ) 0 0
1
x
khi x x
x
f x khi x
x khi x

< ≠



= =


≥



A. Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x thuộc đoạn [0; 1] ;
B. Liên tục tại mọi điểm thuộc R ;
C. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0 ;
D. Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1.
Câu 9. Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng (P), trong đó

( )a P⊥
.
Mệnh đề nào sau đây là sai ?
A. Nếu b // (P) thì b
⊥
a ; B. Nếu b
⊥
(P) thì b // a ;
C. Nếu b // a thì b
⊥
(P) ; D. Nếu b
⊥
a thì b // (P).
Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Nếu hình hộp có hai mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật ;
3
B. Nếu hình hộp có ba mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật ;
C. Nếu hình hộp có bốn mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật ;
D. Nếu hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật ;
Câu 11. Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây là sai /
A.
1
( )
4
OG OA OB OC OD= + + +
uuur uuur uuur uuur uuur
; B.
0GA GB GC GD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
;

C.
2
( )
3
AG AB AC AD= + +
uuur uuur uuur uuur
; D.
1
( )
4
AG AB AC AD= + +
uuur uuur uuur uuur
.
Câu 12. Hình tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = AC = AD = 3. Diện
tích tam giác BCD bằng
A.
9 3
2
; B.
9 3
3
; C. 27 ; D.
27
2
.
Phần II. Tự luận (7 điểm)
Câu 13. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10, tổng của năm số hạng đầu tiên của cấp số
nhân đó là
155
16

. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đã cho.
Câu 14. Cho hàm số
2
( ) sin 2f x x x= − +
. Chứng minh rằng phương trình
'( ) 0f x =
có nghiệm.
Câu 15. Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
−
=
+
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết :
1) Hoành độ tiếp điểm là x
0
= 0 ;
2) Tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 2).
Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB = a, BC =
3a
. Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA = a.
1) Tìm điểm O cách đều các điểm S, A, B, C, D và tính khoảng cách từ O đến các điểm
đó.
2) Gọi B
1
, C

1
, D
1
lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB, SC, SD.
Chứng minh các điểm A, B
1
, C
1
, D
1
cùng thuộc một mặt phẳng.
3) Tính góc giữa các mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
4