Sự ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình vi phân cấp 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGÂN

SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM TUẦN HOÀN
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội, 2016


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGÂN

SỰ ỔN ĐỊNH NGHIỆM TUẦN HOÀN
CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

Chuyên ngành: Toán giải tích

Khóa luận tốt nghiệp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Trần Văn Bằng

Hà Nội, 2016

LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Văn Bằng- Người
đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em hoàn thành bài khóa luận
của mình. Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong
tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán-Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành
tốt bài khóa luận này.
Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên em, động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện đề tài này
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Lê Thị Ngân


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em đạt được trong quá trình
học tập và nghiên cứu, dưới sự chỉ dẫn của TS. Trần Văn Bằng và
sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy chúng em.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này em đã tham
khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Sự ổn định nghiệm tuần
hoàn của hệ phương trình vi phân cấp một" là kết quả của việc
nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với
kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, ngày 2 tháng 05 năm 2016

Sinh viên
Lê Thị Ngân


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

2

1.1

Hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . .

1.2

Một số kết quả về nghiệm của hệ phương trình vi phân

1.3

2

cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

. . . . . . . . .

5

1.2.2

Sự thác triển nghiệm . . . . . . . . . . . . . . .

6

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân cấp một . .

7

1.3.1

Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov . . . .

7

1.3.2

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến
tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3

Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính . . . . . . .

10

1.3.4

Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp
tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Tính ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình
vi phân cấp một

14

2.1

Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số tuần hoàn 14

2.2

Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . .
i

24

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.3

Lê Thị Ngân

Tính ổn định của nghiệm tuần hoàn . . . . . . . . . . .

Tài liệu tham khảo

26
39

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

Lời mở đầu
Phương trình vi phân là một chuyên ngành thiết yếu của toán học
và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học-kĩ thuật và công
nghệ, nó được coi như cầu nối giữa lí thuyết và ứng dụng. Do vậy,
việc nghiên cứu phương trình vi phân có ý nghĩa vô cùng quan trọng.
Trong đó, nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân
là một trong những bài toán cơ bản của lí thuyết định tính các phương
trình vi phân.
Vì vậy dưới sự hướng dẫn của T.S Trần Văn Bằng, em xin chọn

đề tài “Sự ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ phương trình
vi phân cấp một”. Nội dung khóa luận được trình bày trong hai
chương:
Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản và một số kết quả về
nghiệm cũng như một số kết quả về tính ổn định nghiệm của hệ
phương trình vi phân cấp một.
Chương 2 trình bày về tính ổn định nghiệm tuần hoàn của hệ
phương trình vi phân cấp một.
Em xin chân thành cảm ơn T.S Trần Văn Bằng đã tận tình hướng
dẫn em đọc tài liệu và tập dượt nghiên cứu.
Do lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản
thân còn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý
thầy cô và bạn đọc để đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn.
1


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Hệ phương trình vi phân cấp một

Định nghĩa 1.1. Hệ n phương trình vi phân cấp một là hệ


dx1


= f1 (t, x1 , x2 , . . . , xn )



dt




 dx2 = f2 (t, x1 , x2 , . . . , xn )
dt



...





dx

 n = fn (t, x1 , x2 , . . . , xn ),
dt

(1.1)

trong đó, t ∈ R là biến số độc lập, x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), . . . , xn =
xn (t) là các hàm ẩn cần tìm. Các hàm fi với i = 1, . . . , n xác định
trong miền I ⊂ Rn+1 .
Hệ n hàm khả vi x1 = ϕ1 (t), x2 = ϕ2 (t), . . . , xn = ϕn (t) xác định
trên khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ (1.1) nếu với mọi t ∈ (a, b)

điểm (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) ∈ I và khi thay chúng vào hệ (1.1) ta
được hệ đồng nhất thức trên (a, b).
Tập hợp điểm Γ = {(t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t))} với t ∈ (a, b) được
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

gọi là đường cong tích phân ứng với nghiệm ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t).
Hiển nhiên Γ ⊂ Rn+1 .
Bây giờ ta coi (x1 , x2 , . . . , xn ) như tọa độ của mỗi điểm trong không
gian n chiều Rn mà ta gọi là không gian pha. Khi đó tập hợp điểm
γ = {(ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) , t ∈ (a, b)}
được gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha. Hiển nhiên đường cong
pha chứa trong không gian pha. Không gian Rn+1 được gọi là không
gian pha suy rộng. Đường cong tích phân chứa trong không gian pha
suy rộng.
Bài toán Côsi: Cho điểm (to , xo1 , xo2 , . . . , xon ) ∈ I.
Tìm nghiệm x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) của hệ (1.1) thỏa mãn điều
kiện ban đầu:
x1 (to ) = xo1 , x2 (to ) = xo2 , . . . , xn (to ) = xon .
Sau này ta sẽ xét với những điều kiện nào thì bài toán Côsi có
nghiệm và có nghiệm duy nhất.
Nếu ta coi t là biến độc lập, x1 , x2 , . . . , xn là tọa độ của một điểm
trong không gian pha Rn . Khi đó hệ (1.1) còn được gọi là hệ phương
trình chuyển động của một điểm trong không gian pha Rn mà
dx1 dx2
dxn

,
,...,
dt dt
dt
là vectơ vận tốc của điểm đó. Tại mỗi điểm M trong không gian pha
vectơ vận tốc thay đổi theo thời gian nên ta nói hệ (1.1) xác định một
3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

trường vận tốc không dừng. Nếu kí hiệu x là vectơ (x1 , x2 , . . . , xn ), f
là vectơ (f1 , f2 , . . . , fn ) thì hệ (1.1) viết được dưới dạng vectơ sau
x˙ = f (t, x) .
Ta xét trường hợp đặc biệt của hệ (1.1) khi các vế phải không phụ
thuộc vào t, tức là


dx1


= f1 (x1 , x2 , . . . , xn )


dt





 dx2 = f2 (x1 , x2 , . . . , xn )
dt



...





dx

 n = fn (x1 , x2 , . . . , xn ) .
dt
hay được viết dưới dạng vectơ
x˙ = f (t, x) .

(1.2)

Đối với hệ (1.2), vectơ vận tốc tại mỗi điểm M không thay đổi theo
thời gian. Ta nói rằng hệ (1.2) xác định một trường vận tốc dừng và
ta gọi là hệ ôtônôm hay hệ dừng.

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2

Lê Thị Ngân

Một số kết quả về nghiệm của hệ phương
trình vi phân cấp một

1.2.1

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Xét bài toán giá trị ban đầu


x˙ = f (t, x)

(1.3)


x (to ) = xo ,
trong đó f : D −→ Rn là hàm liên tục trên tập D ⊂ R × Rn chứa
(to , xo ) . Một hàm x : I −→ Rn xác định trên một khoảng I chứa
to gọi là một nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.3) nếu x (to ) =
xo , (t, x(t)) ∈ D, x(t) là hàm khả vi và x(t)
˙
= f (t, x(t)) , với mọi t ∈ I.
Dễ thấy x(t) là một nghiệm của bài toán (1.3) khi và chỉ khi nó là
nghiệm liên tục của phương trình tích phân
t

x(t) = xo +

f (s, x(s)) ds.
to

Trong mục này, ta sẽ đề cập tới một số kết quả cơ bản về sự tồn tại
nghiệm của bài toán (1.3).
¯ (xo , b) là hình cầu đóng tâm xo bán kính b
Dưới đây ta kí hiệu B
trong Rn
¯ (xo , b) −→
Định lý 1.1 (Picard-Lindel¨of). Giả sử f : [to −a, to +a]× B
Rn là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối với x đều theo

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

t, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho
¯ (xo , b) ,
f (t, x)−f (t, y) ≤ L x−y , ∀ (t, x) , (t, y) ∈ [to −a, to +a]×B
và giả sử
¯ (xo , b) .
f (t, x) ≤ M, ∀(t, x) ∈ [to − a, to + a] × B
Khi đó bài toán giá trị ban đầu (1.3) có duy nhất nghiệm x(t) xác định
trên đoạn [to − α, to + α], với α = min a, Mb .
1.2.2

Sự thác triển nghiệm

Giả sử f : D −→ Rn là hàm liên tục trên tập mở D ⊂ R × Rn và
x = x(t) là một nghiệm của phương trình
x˙ = f (t, x)

(1.4)

trên khoảng J = (α, β) ⊂ R. Khoảng mở J được gọi là khoảng tồn
tại cực đại về bên phải của x(t) nếu không tồn tại một khoảng mở
J = (α , β ) với α ≤ α và β < β sao cho x(t) có thể thác triển trên
J , tức là tồn tại hàm xˆ(t) xác định trên J sao cho xˆ(t) = x(t) với
mọi t ∈ J và xˆ(t) là một nghiệm của (1.4) trên J . Tương tự ta định
nghĩa khoảng tồn tại cực đại về bên trái. Khoảng tồn tại được gọi là
cực đại nếu nó là cực đại đồng thời về cả 2 phía.
Định lý 1.2. Giả sử f : D −→ Rn là hàm liên tục trên tập mở
D ⊂ R × Rn và x = x(t) là một nghiệm của phương trình (1.4). Khi
đó x(t) có thể thác triển lên khoảng tồn tại cực đại (w− , w+ ). Hơn
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

nữa, nếu khoảng hữu hạn (w− , w+ ) là khoảng tồn tại cực đại của x(t)
thì x(t) sẽ tiến tới biên ∂D của D khi t tiến tới w− hoặc w+ .
Thác triển của x(t) không nhất thiết duy nhất và do đó w±
phụ thuộc vào cách chọn thác triển. Khẳng định ”x(t) sẽ tiến tới ∂D

khi t → w+ ”.

1.3

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân cấp
một

1.3.1

Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov

Xét hệ phương trình vi phân cấp một
x˙ = f (t, x) , t ≥ 0,

(1.5)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ, f : R+ × Rn là hàm
vectơ cho trước. Giả thiết f (t, x) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao
cho nghiệm của hệ (1.5) với điều kiện ban đầu x(to ) = xo , to ≥ 0, luôn
tồn tại.
Định nghĩa 1.2. Giả sử x(t) là một nghiệm của hệ (1.5) xác định
trên khoảng [to , +∞) .
a) Nghiệm x(t) gọi là ổn định trên khoảng [to , +∞) nếu với mỗi
số ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của (1.5) trên khoảng
đó với y(to ) − x(to ) < δ ta đều có
y(t) − x(t) < ε, ∀t ≥ to .

7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

b) Nghiệm x(t) gọi là ổn định tiệm cận trên khoảng [to , +∞) nếu
nó ổn định và tồn tại β > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) với y(to ) −
x(to ) < β sẽ thỏa mãn
lim

x→+∞

y(t) − x(t) = 0.

Nếu các số δ, β trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời
điểm ban đầu to thì ta có các khái niệm ổn định đều và ổn định tiệm
cận đều. Nhận xét rằng bằng cách đặt z(t) = y(t) − x(t), ta chuyển
việc xét tính ổn định của nghiệm x(t) bất kì của hệ (1.5) về xét tính
ổn định của nghiệm 0 của hệ
z˙ = f (t, z(t) + x(t)) − f (t, x(t)) , t ≥ 0.
1.3.2

Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
cấp một

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
x˙ = A(t)x,

(1.6)

trong đó A(t) là hàm giá trị ma trận liên tục trên [to , +∞). Theo

điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình tuyến tính, mọi
nghiệm của hệ này luôn thác triển được một cách duy nhất trên toàn
khoảng [to , +∞).
Định lý 1.3. Các khẳng định sau đây là đúng:
a) Nghiệm bất kì của (1.6) ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận)
khi và chỉ khi nghiệm 0 ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận).
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

b) Nghiệm 0 của (1.6) ổn định khi và chỉ khi ma trận cơ bản X(t)
bất kì đều bị chặn trên khoảng [to , +∞).
c) Nghiệm 0 của (1.6) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi đối với ma
trận cơ bản X(t) bất kì thì
lim X(t) = 0.

t→+∞

Chú ý: Đối với hệ vi phân tuyến tính, như ta đã thấy, sự ổn định
của nghiệm bất kì tương đương với sự ổn định của nghiệm 0. Do đó
đối với hệ tuyến tính, đôi khi ta nói hệ ổn định (tương ứng ổn định
tiệm cận) thay vì nói đến ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận) của
một nghiệm cụ thể.
Đối với hệ vi phân tuyến tính có hệ số hằng
x˙ = Ax,

(1.7)

Định nghĩa 1.3. Giả sử A = (aij ) là một ma trận vuông cấp n, trong
∞

đó aij ∈ C. Ta gọi ma trận
k=0

k

(A)
k!

là ma trận mũ của ma trận A và

A

kí hiệu là e hoặc exp(A). Ma trận e

tA

∞

:=
k=0

k

(tA)
k!

được gọi là ma trận

cơ bản của hệ (1.6).
Ta có đặc trưng đại số sau đây về tính ổn định, thông qua tập phổ
σ(A) gồm tất cả các giá trị riêng của ma trận A.
Định lý 1.4. Giả sử
Re(A) := max{Reλ : λ là giá trị riêng của A}. Khi đó
a) Nếu Reσ(A) < 0 thì hệ (1.7) là ổn định tiệm cận;
b) Nếu Reσ(A) > 0 thì hệ (1.7) là không ổn định;
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

c) Nếu Reσ(A) = 0 thì hệ (1.7) không ổn định tiệm cận và nó là
ổn định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng có phần thực bằng 0 là
nửa đơn, tức là các ô Jordan tương ứng có cỡ 1 × 1.
1.3.3

Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính

Hệ tựa tuyến tính là hệ phương trình vi phân với phần chính là
tuyến tính
x˙ = Ax + g(t, x),

(1.8)

nghĩa là g(t, x) là "nhỏ" đối với x khi x "nhỏ". Khi đó tính ổn định

của nghiệm 0 của hệ (1.8) được suy ra từ tính ổn định của phần tuyến
tính.
Định lý 1.5. (Định lí ổn định). Giả sử hàm g(t,x) xác định và liên
tục với t ≥ 0, z ≤ α, (α > 0) và giả sử
lim

z →0

g(t, z)
=0
z

đều với 0 ≤ t < +∞. Chẳng hạn g(t, 0) ≡ 0 thỏa mãn. Giả sử A là
ma trận hằng và giả thiết rằng Reσ(A) < 0. Khi đó nghiệm 0 của hệ
(1.8) là ổn định tiệm cận.
Định lý 1.6. (Định lí về tính không ổn định). Giả sử g(t, z) thỏa mãn
các giả thiết của của Định lí 1.5. Hơn nữa giả sử A là ma trận hằng
và
Reσ(A) > 0.
Khi đó nghiệm 0 của hệ (1.8) là không ổn định.

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3.4

Lê Thị Ngân

Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp tuyến
tính hóa

Bây giờ xét phương trình Ôtônôm
x˙ = f (x).

(1.9)

Giả sử f ∈ C 1 (D), ở đó D ⊂ Rn là một tập mở chứa gốc tọa độ 0 và
0 là một điểm tới hạn của f , tức là f (0) = 0. Phương trình x˙ = Ax,
ở đó A là ma trận Jacobi Df (0), gọi là phương trình tuyến tính hóa
tại điểm 0, và quá trình chuyển phương trình phi tuyến (1.9) thành
phương trình x˙ = Df (0)x gọi là quá trình tuyến tính hóa. Nếu phương
trình (1.9) được viết lại dưới dạng
x˙ = Ax + g(x),

(1.10)

thì
g(x) = f (x) − Df (0)x,
và do đó
lim

x →0

g(x)
=0
x

bởi định nghĩa của tính khả vi. Do đó từ Định lí 1.5, Định lí 1.6 ta có

kết quả sau.
Định lý 1.7 (Nguyên lí tuyến tính hóa). Điểm cân bằng x = 0 của
phương trình phi tuyến (2.14) là ổn định tiệm cận nếu Reσ(Df (0)) < 0
và nó là không ổn định nếu Reσ(Df (0)) > 0.

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

Chú ý. Trong trường hợp
Reσ(Df (0)) ≤ 0 và σ(Df (0)) ∩ iR = 0,
ta không thể dùng Nguyên lí tuyến tính hóa trên để khảo sát tính ổn
định của nghiệm dừng 0. Trong trường hợp này dáng điệu ổn định
quyết định bởi bậc cao hơn.
Bây giờ, ta mô tả dáng điệu của nghiệm gần điểm cân bằng không
ổn định một cách chi tiết hơn. Không giảm tính tổng quát, ta có thể
coi điểm cân bằng x¯ là gốc tọa độ vì nếu không ta chỉ cần đặt z = x− x¯
và xét hệ mới z˙ = f (z + x¯) = F (z).
Điểm gốc tọa độ 0 được gọi là điểm tới hạn hyperbolic của f nếu
f (0) = 0 và σ(Df (0)) ∩ iR = ∅ tức là Df (0) chỉ có các giá trị riêng
λ với Reλ = 0. Điểm cân bằng hyperbolic 0 gọi là điểm hút nếu tất
cả các giá trị riêng của ma trận Df (0) có phần thực âm (tương ứng
dương). Trong trường hợp còn lại, điểm cân bằng 0 gọi là điểm yên
ngựa.
Ma trận mũ etA gọi là hyperbolic nếu ma trận vuông A không có
các giá trị riêng có phần thực bằng 0.
Với những điểm tới hạn hyperbolic chúng ta có các định lí quan

trọng dưới đây.
Định lý 1.8 (Định lí Harman-Grobman). Giả sử D là một lân cận của
gốc tọa độ và f ∈ C 1 (D). Nếu 0 là điểm tới hạn hyperbolic của f thì
tồn tại các lân cận U, V của gốc tọa độ và một đồng phôi h : U → V
biến các quỹ đạo của phương trình tuyến tính hóa x˙ = Df (0)x (khi
chúng thuộc U) thành các quỹ đạo của phương trình phi tuyến (1.10),
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

bảo toàn hướng.
Định lý 1.9 (Định lí đa tạp ổn định). Giả sử f ∈ C r (D) và giả sử
A = Df (0) có k giá trị riêng với phần thực âm λ1 , . . . , λk , và n − k giá
trị riêng với phần thực dương λk+1 , . . . , λn . Khi đó tồn tại các C r − đa
tạp W s = W s (0) và W u = W u (0) có số chiều lần lượt là k và n − k,
với W s ∩ W u = 0, xác định trong một lân cận của điểm x = 0, lần
lượt tiếp xúc với các không gian con E s = E s (0) = span{e1 , . . . , ek }
và E u = E u (0) = span{ek+1 , . . . , en }, ở đó {ei }ni=1 là cơ sở gồm các
vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng {λi }ni=1 sao cho:
i, W s và W u là bất biến, tức là nếu p ∈ W s (tương ứng với p ∈ W u )
thì x(t, p) ∈ W s (tương ứng với x(t, p) ∈ W s ).
ii, p ∈ W s khi và chỉ khi lim x(t, p) = 0.
t→+∞

u

iii, p ∈ W khi và chỉ khi lim x(t, p) = 0.

t→−∞

Đa tạp W s được gọi là đa tạp ổn định, W u gọi là đa tạp không ổn
định của hệ tại điểm x = 0, các không gian con E s và E u lần lượt gọi
là không gian con ổn định và không gian con không ổn định tại điểm
x = 0 của hệ.

13


Chương 2
Tính ổn định nghiệm tuần hoàn
của hệ phương trình vi phân cấp
một
2.1

Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số
tuần hoàn
Giả sử D là một tập mở trong Rn và f : R × D −→ Rn là hàm

liên tục theo cả hai biến và Lipschitz đối với biến thứ hai, và giả sử
u(., τ, ξ) là nghiệm tồn tại cực đại của bài toán Cauchy


x˙ = f (t, x)

x (τ ) = ξ.
Bây giờ giả sử T ∈ R. Ta định nghĩa toán tử dịch chuyển

uT : dom(uT ) ⊂ D −→ D

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

bởi
dom(uT ) = {ξ ∈ D|t− (0, ξ) < T < t+ (0, ξ)}
uT (ξ) = u(T, 0, ξ),
ở đó (t− (0, ξ), t+ (0, ξ)) là khoảng tồn tại cực đại của uT .
Ta biết rằng
D(f ) = {(t, τ, ξ) ∈ R × R × D : t− (τ, ξ) < T < t+ (τ, ξ)}
là mở trong R × R × D và do dom(uT ) là hình chiếu của
D(f ) ∩ (T × {0} × D)
trong D, dom(uT ) mở trong D và do đó uT liên tục Lipschitz từ
dom(uT ) vào D.
Định lí đơn giản nhưng quan trọng sau đây quy bài toán tồn tại
nghiệm T - tuần hoàn của hệ phương trình vi phân x˙ = f (t, x) về bài
toán tồn tại điểm bất động của toán tử dịch chuyển.
Định lý 2.1. Giả sử f (t, x) là hàm liên tục theo cả hai biến, Lipschitz
đối với biến thứ hai và T - tuần hoàn theo t, tức là
f (t + T, x) = f (t, x), ∀t ∈ R, x ∈ D.
Khi đó hệ phương trình vi phân x˙ = f (t, x) có nghiệm T tuần hoàn
khi và chỉ khi toán tử dịch chuyển u(t) có điểm bất động.
Chứng minh. Điều kiện cần.
15

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

Giả sử u(., τ, ξ) là một nghiệm T tuần hoàn của phương trình x˙ =
f (t, x). Bởi tính tuần hoàn ta có
(t− (0, ξ)), (t+ (0, ξ) = J(τ, ξ) = R.
Do đó không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử τ ≤ 0. Bây giờ đặt
ξo = u(0, τ, ξ) và chú ý rằng
u(t, 0, ξo ) = u(t, τ, ξ),
từ tính T - tuần hoàn của u(., τ, ξ) suy ra
uT (ξo ) = u(T, 0, ξo ) = u(T, τ, ξ) = u(0, τ, ξ) = ξo .
Điều kiện đủ.
Nếu ξ ∈ D là một điểm bất động của uT thì đặt
x(t) = u(t + T, 0, ξ) với t ∈ J(0, ξ) − T. Khi đó ta có x(0) =
u(T, 0, ξ) = uT (ξ) = ξ và
x(t)
˙
= u(t + T, 0, ξ) = f (t + T, x(t)) = f (t, x(t)). Do đó x là nghiệm
của bài toán giá trị ban đầu
x˙ = f (t, x), x(0) = ξ, và do tính duy nhất nghiệm ta suy ra
x(t) = u(t + T, 0, ξ) = u(t, 0, ξ), ∀t ∈ J(0, ξ) − T.
Bằng quy nạp ta nhận được u(., 0, ξ) xác định trên cả R và là một
nghiệm T - tuần hoàn của x˙ = f (t, x).

Chú ý. a) Từ chứng minh trên ta suy ra ξ ∈ D là một điểm bất
động của uT khi và chỉ khi u(., 0, ξ) là một nghiệm T - tuần hoàn của
x˙ = f (t, x).

16

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

b) Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính
x˙ = A(t)x + a(t),
toán tử dịch chuyển uT cho bởi dom(uT ) = Rn và
T

uT (ξ) = U (t, 0)ξ +

U (T, τ )a(τ )dτ,

ξ ∈ Rn .

0

Ở đây U (t, s) là toán tử tiến hóa của hệ phương trình thuần nhất
tương ứng.
Dưới đây ta xét hệ phương trình tuyến tính T - tuần hoàn
x = A(t)x + a(t),

(2.1)

với A ∈ C(R, Rn×n ) và a ∈ C(R, Rn ) thỏa mãn
A(t + T ) = A(t), a(t + T ) = a(t),

∀t ∈ R, T > 0.

Định lý 2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính T - tuần hoàn (2.1)
có một nghiệm T - tuần hoàn khi và chỉ khi nó có nghiệm bị chặn.
Chứng minh. Điều kiện cần. Hiển nhiên.
Điều kiện đủ. Từ Định lí 2.1 suy ra (2.1) có nghiệm T - tuần hoàn
khi và chỉ khi tồn tại ξ ∈ Rn sao cho
ξ = U (T )ξ + η,
ở đó
T

U (T, τ )a(τ )dτ

η=
0

17

(2.2)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

và U (T ) = U (T, 0). Do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng khi (2.2) không giải
được thì (2.1) chỉ có nghiệm không bị chặn. Từ kết quả của Đại số
tuyến tính ta biết rằng (2.2) không có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại
ζ ∈ Rn sao cho
ζ = [U (T )] ζ

và (ζ, η) = 0,

(2.3)

ở đó [U (T )] là ma trận liên hợp của ma trận U (T ). Bây giờ nếu x là
một nghiệm bất kì của (2.1) thì
t

U (T, τ )a(τ )dτ,

x(t) = U (t, 0)ξ +

ξ ∈ Rn , t ∈ R,

0

với ξ ∈ Rn nào đó. Do đó suy ra
x(T ) = U (T )ξ + η

(2.4)

và
x(t
˙ + kT ) = A(t + kT )x(t + kT ) + a(t + kT ) = A(t)x(t + kT ) + a(t),
với mọi k ∈ N và t ∈ R. Từ đây do tính duy nhất nghiệm, xk (t) =
x(t + kT ) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
y˙ = A(t)y + a(t),

y(0) = x(kT ).

Từ (2.4) suy ra
xk (T ) = x((k + 1)T ) = u(T )x(kT ) + η,

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lê Thị Ngân

và do đó bởi quy nạp
k
k+1

xk (T ) = [U (T )]

[U (T )]j η.

ξ+
j=0

Bây giờ từ (2.3) ta nhận được
k
k+1

(ζ, xk (T )) = ([U (T ) ]

([U (T ) ]j ζ, η) = (ζ, ξ)+(k +1)(ζ, η).

ζ, ξ)+

j=0

Bởi vì (ζ, η) = 0 nên (ζ, xk (T ))

=

(ζ, xk+1 (T ))

−→ +∞ khi

k −→ ∞. Do đó x không bị chặn.

Định lí dưới đây đưa ra điều kiện cần và đủ để (2.1) có duy nhất
một nghiệm bị chặn và do đó một nghiệm T - tuần hoàn duy nhất khi
A là ma trận hằng.
Định lý 2.3. (Perron). Giả sử A là ma trận hằng và g : R −→ R là
hàm liên tục bị chặn. Khi đó phương trình
x˙ = Ax + g(t)

(2.5)

có duy nhất một nghiệm liên tục bị chặn u : R −→ R khi và chỉ khi
etA là hyberbolic. Khi đó nghiệm u cho bởi
t

+∞
(t−τ )A

u(t) =

e

e(t−τ )A Pu g(τ )dτ,

Ps g(τ )dτ −

−∞

t

ở đó
Ps : Rn → E s và Pu : Rn → E u

19

(2.6)