Định thức

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
--------------------------------------------------------------Đại số tuyến tính

Chương 2: Định thức

•

Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)


NỘI DUNG
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Định nghĩa định thức và ví dụ.
II – Tính chất của định thức
III – Khai triển Laplace


I. Định nghĩa và ví dụ
--------------------------------------------------------------------Cho A = ( aij ) n×n là ma trận vuông cấp n.
Định thức của A là một số ký hiệu bởi det ( A) = aij n×n = A
Ký hiệu M ij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng
thứ i và cột thứ j của ma trận A;
Định nghĩa bù đại số của phần tử aij
Bù đại số của phần tử aij là đại lượng Aij = (−1)i + j M ij


I. The Determinant of Matrix

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa định thức bằng qui nạp
a) k =1: A = [ a11 ] → A = a11
 a11 a12 
→ A = a11 A11 + a12 A12 = a11a22 − a12 a21
b) k =2: A = 

 a21 a22 
 a11 a12
c) k =3: A =  a21 a22
 a31 a32

a13 
a23  → A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13

a33 

...............
 a11 a12 L
d) k =n:A = 
*


a1n 
 → A = a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n



I. The Determinant of Matrix

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

1 2 − 3
A = 2 3 0 


3 2 4 

Tính det (A), với

Giải

A = 1×A11 + 2 ×A12 + (−3) ×A13

A12 = (−1)1+ 2

1+1

A = 1⋅ (−1)

1 2 −3
2 0
1+ 2
2 3 0 = ( −1) =
= −8
3 4
3 2 4

3 0
0
3
1+ 2 2
1+3 2
+ 2 ⋅ (−1)
+ (−3) ⋅ (−1)
2 4
3 4
3 2

A = 12 − 16 + 15 = 11


II. Tính chất của định thức
--------------------------------------------------------------------Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ hàng
hoặc cột tùy ý nào đó

*
A = ai1 ai 2 L
*
a1 j
A=

* a2 j *
L
anj

ain = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + L + ain Ain

= a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj


II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Tính định thức det (A), với

 3 − 1 3
A = 5 2 2


4 0 0

Giải.
Khai triển theo hàng thứ 3
3 −1 3
3 −1 3
3+1
3+1 − 1 3
A = 5 2 2 = 4 ⋅ (−1) 5 2 2 = 4 ⋅ (−1)
= −32
2 2
4 0 0
4 0 0


II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
 2 −3 3
 3 0 1
Tính định thức det (A), với A = 
 −2 0 3
 4 0 −1


2
4÷
÷
2÷
5÷



II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giải
Khai triển theo cột thứ hai
2 −3 3
3 0 1
A=
−2 0 3
4 0 −1

2
4
= (−3) ×A12 + 0 ×A22 + 0 ×A32 + 0 ×A42 = −3 A12
2
5

3
1 4
A = −3 − 2 3 2 =  = −171
4 −1 5


II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm
trên đường chéo.

Ví dụ
2 −1
0 −3
A=0 0
0 0
0 0

3
6
5

0
0

0
7
2
4
0

4
1
8 = 2 ⋅ (−3) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅1 = −120
9
1


II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tính định thức
a. Cộng vào một hàng (cột) một hàng (cột) khác đã được
nhân với một số thì định thức không thay đổi:
det(B) = det(A).
b. Đổi chỗ hai hàng (cột) thì định thức đổi dấu:
det(B)
= -với
det(A).
c. Nhân một hàng
(cột)

một số thì định thức được nhân
lên bởi số đó: det(B) =k det(A).
Ma trận tam giác

A

các phép biến đổi sơ cấp

B


II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức
r →α r

i
i
B then
1. If A →

| B |= α | A |

ri →ri + β rj

2. If A → B then | B |=| A |
3. If

ri ↔ rj

A → B

then | B |= − | A |


II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức

 1

2

A=
3

− 2

1
3
2
1

2 −1


5 0 
6 − 2

3 1 


II. Properties of Determinant

Giải

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1
2
| A |=
3
−2
| A|

1
3
2
1

2 −1
5 0
6 −2
3 1

r2 → r2 − 2r1

r3 → r3 − 3r1
r4 → r4 + 2r1

Khai triển theo cột đầu tiên

2 −1
1 2
0 1
7 −1

1 1
0 1
0 −1
0 3
1

1

2

1 ⋅ (−1)1+1 − 1 0 1
3 7 −1

1 1 2
1
1+ 2 − 1
= −19
| A |= − 1 0 1 = 1 ⋅ (−1)
− 4 − 15
− 4 0 − 15

II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp
Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý;
Bước 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột)
ở bước 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác.
Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn.


II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ
Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức

 3

2

A=
−3

 4

2 −1 1 


3 −2 0 
1 4 − 2

1 3
1 


II. Properties of Determinant

Giải

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3
2
| A |=
−3
4
| A|

2 −1 1
3 − 2 0 r3 → r3 + 2r1
1 4 − 2 r4 → r4 − r1
1 3
1

2

Khai triển theo cột số 4

2 3 −2
| A |= 5 8 0
5 5 0

3 2 −1 1
2 3 −2 0
3 5
2 0
1 −1 4 0
3

1 ⋅ (−1)1+ 4 3 5
1 −1
1+ 3

= (−2) ⋅ (−1)

5 8
= 30
5 5

−2
2
4


II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

A cofactor expansion requires over n! multiplications.
If a supercomputer could make one trillion multiplications
per second, it would have to run for over 500.000 years to
compute a 25x25 determinant by cofactor expansion
(required 25! is approximately 1.5x1025 operations).
Most computer programs that compute det (A) using a row
operations.
The row operations requires (n3+2n-3)/3 multiplications
and divisions. Any modern microcomputer can calculate a
25x25 determinant in a fraction of a second, since less than
5300 such operations are required.


II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

det (AT) = det (A)

det(AB) = det(A) det(B)
Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0

Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0

Chú ý: det(A+B) ≠ det(A) + det(B).


II. Properties of Determinant

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý
Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) ≠ 0.
Chứng minh
Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó tồn tại ma
trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I. Suy ra
det(AA-1) = det (I)

A −1

det(A).det(A-1) = 1

Giả sử det(A) ≠ 0. Khi đó
 A11
A
1
21
= PA , với

P
=
A
A
 M
A
 n1

A12

L

A22 L
M
An 2 L

det(A) ≠ 0

A1n 
A2 n 

M
Ann 

T


II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

*




 a j1 a j 1  a j 1 

A=
*



 ai1 ai1  ai1 


*


| A |, i = j
ai1 A j1 + ai1 A j1 +  + ai1 A j1 = 
 0, i ≠ j
*




 a j1 a j1  a j1 

B=
*


 a j1 a j1  a j1 


*



II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Công thức tính ma trận nghịch đảo A-1
Cho A là ma trận khả nghịch. Khi đó

1
A = PA , với
A
−1

 A11
A
PA =  21
 M
A
 n1

A12 L
A22 L
M
An 2 L

A1n 
A2 n 

M
Ann 

T


II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 1 1 
Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của A = 2 3 1


3 4 0
Giải.

det( A) = −2 ≠ 0

A khả nghịch

Tính 9 bù đại số của các phần tử
1+1 3 1
1+ 2 2 1
1+3 2 3
A11 = (−1)
= 12; A12 = (−1)
= 3; A13 = (−1)
= −1
0 4
3 0
3 4
A21 = 4; A22 = −3; A23 = −1; A31 = −2; A32 = 1; A33 = 1

12 4 − 2
1 
−1
A =
3 −3 1 

−2
− 1 − 1 1 


II. Properties of Determinant

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính chất của ma trận nghịch đảo
1.

1
det( A ) =
det( A)
−1

n −1
2. Nếu A khả nghịch, thì det( PA ) = (det( A))

Chứng minh.


III. Laplace’s Expansion

----------------------------------------------------------------------------Cho k là số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng n; i1, i2, …, ik và j1, j2, …,
jk là những số tự nhiên thỏa

1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n;1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n

Định nghĩa định thức con cấp k
i ,...,i

The sub-determinant of order k, denoted by a j11 ,..., kjk , is determinant
of order k corresponding to the matrix formed by the elements of
matrix A lying at the intersection of k rows labeled i1, i2, …, ik and k
columns labeled j1, j2, …, jk
Definition of k-Minor
i ,...,i
i ,...,i
The k-minor M j1 ,..., kj of the sub determinant of order k a j11 ,..., kjk is
1
k
determinant of order n - k corresponding to the matrix obtained
from A by deleting k rows labeled i1, i2, …, ik and k columns
labeled j1, j2, …, jk