Không gian d

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

BÙI NGỌC DIỆP

KHÔNG GIAN D(Ω)

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

BÙI NGỌC DIỆP

KHÔNG GIAN D(Ω)

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội – Năm 2016

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ

5

1.1

1.2

1.3

Không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Cơ sở lân cận . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4

Phiếm hàm Minkowski . . . . . . . . . . . .

8

Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3

Tôpô cho bởi họ nửa chuẩn . . . . . . . . .

11

Giới hạn xạ ảnh và giới hạn qui nạp . . . . . . . .

16

1.3.1

Giới hạn xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.2

Giới hạn qui nạp . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2 KHÔNG GIAN D(Ω)
2.1

21

Không gian D(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2

Các bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

2.1.3

Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . .

28

2.1.4

Một số không gian hàm khác . . . . . . . .

30

2.2

Các định lý về xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3

Phân hoạch đơn vị bởi các hàm trong D(Ω) . . .

42

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

Lời mở đầu
1, Lý do chọn đề tài
Lý thuyết hàm suy rộng và xây dựng các không gian hàm có nhiều
ứng dụng lớn trong vật lý và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng,
nó phục vụ cho việc nghiên cứu tính kì dị của hàm và hàm suy rộng
trong giải tích vi địa phương. Chính vì thế, việc nghiên cứu các không
gian hàm là cần thiết đối với mỗi sinh viên.
Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải
tích hiện đại, nó là công cụ để xây dựng nhiều khái niệm mới và mở
rộng các khái niệm đã có. Chính những điều đó đã tạo động lực thôi
thúc em tìm hiểu và quyết định chọn đề tài: "Không gian D(Ω)".
2, Mục đích nghiên cứu
- Rèn luyện tính nghiêm túc, tư duy logic từ đó có phương pháp
nghiên cứu khoa học thích hợp và đúng đắn.
- Khắc sâu và tìm hiểu những kiến thức về không gian D(Ω) với
các tính chất và ứng dụng của nó.
3, Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu và tìm hiểu về một số kiến thức cơ bản của không
gian vectơ tôpô.
- Nghiên cứu về định nghĩa, tính chất và các ứng dụng của không
gian D(Ω).
4, Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp đánh giá tổng hợp.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

5, Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm hai chương:
Chương I: Không gian vectơ tôpô.
Chương II: Không gian D(Ω).

2


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ BÙI KIÊN CƯỜNG đã tận tình hướng
dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy
cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy
bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá
trình học tập và thực hiện đề tài thực tập này.
Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Bùi Ngọc Diệp


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa
luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi
cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận
này đã được cảm ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận

đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, 04 tháng 05 năm 2015
Sinh viên
Bùi Ngọc Diệp


Chương 1
KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ
1.1

Không gian vectơ tôpô

1.1.1

Định nghĩa

Ta nói một tôpô τ trên không gian vectơ X tương hợp với cấu
trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô đó,
tức là nếu:
1) x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y; nói rõ hơn, với mọi
lân cận V của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận
Uy của y sao cho nếu x ∈ Ux , y ∈ Uy thì x + y ∈ V.
2) αx là một hàm liên tục của hai biến α, x; nói rõ hơn, với mọi lân
cận V của αx đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho
|α − α| < ε, x ∈ U thì α x ∈ V.
Một không gian vectơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu
trúc đại số gọi là một không gian vectơ tôpô (hay không gian tuyến
tính tôpô).

5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

BÙI NGỌC DIỆP

Cơ sở lân cận

Một tập A gọi là hấp thu nếu với mọi x ∈ X tồn tại một số λ > 0
sao cho nếu |α| ≥ λ thì x ∈ αA.
A gọi là cân đối nếu với mọi x ∈ A ta có αx ∈ A khi |α| ≤ 1.

Bổ đề 1.1. Trong không gian vectơ tôpô, mỗi lân cận V là một tập
hấp thu và bao hàm một lân cận cân đối W sao cho W + W ⊂ V.
Định lý 1.1. Trong mỗi không gian vectơ tôpô X bao giờ cũng có một
cơ sở lân cận B của gốc sao cho:
(i) Mỗi V ∈ B đều cân đối và hấp thu;
(ii) Nếu V ∈ B thì αV ∈ B với mọi α = 0;
(iii) Mỗi V ∈ B bao hàm một W ∈ B sao cho W + W ⊂ V ;
(iv) Với mỗi cặp V1 , V2 ∈ B tồn tại W ∈ B sao cho W ⊂ V1 ∩ V2 .
Ngược lại, nếu trong một không gian vectơ X lấy một họ B(= ∅)
các tập con của X thỏa mãn các điều kiện trên thì có một tôpô duy
nhất trên X tương hợp với cấu trúc đại số, nhận B làm cơ sở lân cận
của gốc.
Định lý 1.2. Cho B là một cơ sở lân cận trong không gian vectơ tôpô
X. Không gian X là Hausdorff khi và chỉ khi với mỗi x = 0 đều có
một V ∈ B không chứa x tức là:
V = {0}

V ∈B

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.3

BÙI NGỌC DIỆP

Một số ví dụ

Ví dụ 1.1.1. Không gian định chuẩn là không gian vectơ tôpô.
Vì phép cộng vectơ và phép nhân vectơ với số ở đây liên tục đối với
tôpô xác định bởi chuẩn. Họ tất cả các hình cầu mở (hoặc tất cả các
hình cầu đóng) tâm ở gốc làm thành một cơ sở lân cận cân và hấp
thu của gốc.
Ví dụ 1.1.2. Cho K[a,b] là không gian các hàm số khả vi vô hạn (nghĩa
là có đạo hàm mọi cấp) trên đoạn [a, b]. Với các phép toán đại số như
thường lệ, đó là một không gian vectơ. Ta gọi Vm, là tập tất cả các
hàm ϕ(x) sao cho
sup ϕ(k) (x) <

(k = 0, 1, 2, . . . , m),

a≤x≤b

trong đó ϕ(k) là đạo hàm cấp k của ϕ ( ϕ(0) là chính ϕ).
Họ Vm, xác định trên K[a,b] một tôpô tương hợp với cấu trúc đại

số.
Ví dụ 1.1.3. Cho R∞ là không gian các dãy số x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn , . . .)
với các phép toán đại số: x+y = (ξ1 +µ1 , ξ2 +µ2 , . . .), αx = (αξ1 , αξ2 , . . .).
Với mỗi bộ m số tự nhiên k1 , k2 , . . . , km và một số

> 0, ta ký hiệu

V (k1 , k2 , . . . , km ; ) là tập tất cả các dãy x ∈ R∞ sao cho
|ξki | <

(i = 1, 2, . . . , m).

Họ tất cả các V (k1 , k2 , . . . , km ; ) là một họ cơ sở lân cận của gốc,
biến R∞ thành một không gian vectơ tôpô.
7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ví dụ 1.1.4. Cho X =

BÙI NGỌC DIỆP
λ∈Λ Xλ

là tập các hàm x = x(λ) trên Λ sao

cho x(λ) ∈ Xλ . Nếu mỗi không gian Xλ là vectơ tôpô thì với tôpô tích
trên X và các phép toán tuyến tính xác định bởi
(x + y)(λ) = x(λ) + y(λ), (αx)(λ) = αx(λ).
Khi đó X thành một không gian vectơ tôpô.

1.1.4

Phiếm hàm Minkowski

Một tập con A của một không gian vectơ được gọi là lồi nếu
∀x, y ∈ A, ∀α ∈ [0, 1] thì
αx + (1 − α)y ∈ A.
Định nghĩa 1.1. Cho C ⊆ Rn là một tập lồi và 0 ∈ intC.
Hàm pC : Rn → R cho bởi
pC (x) := inf {λ > 0|x ∈ λC} ,
được gọi là phiếm hàm cỡ hoặc phiếm hàm Minkowski của C.
Về mặt hình học ta có thể hình dung tập C "nở ra" hoặc "co lại"
thành tập λC và pC (x) là số λ > 0 "nhỏ nhất" để x ∈ λC. Theo định
nghĩa và do điểm 0 ∈ intC có lân cận lồi, cân đối, hấp thụ nên
• pC (x) ≥ 0 với mọi x = 0.
• Nếu x ∈ C thì pC (x) ≤ 1 vì x ∈ 1C.
• Nếu x ∈
/ C thì pC (x) ≥ 1.
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

Phiếm hàm Minkowski của một tập lồi C chứa gốc làm điểm trong
có các tính chất sau:
1. pC (αx) = αpC (x) ∀x, ∀α ≥ 0 (thuần nhất dương bậc 1).
2. pC (x + y) ≤ pC (x) + pC (y) ∀x, y (dưới cộng tính).
3. pC là hàm liên tục trên toàn không gian.

4. intC = {x|pC (x) < 1} ⊆ C ⊆ C = {x|pC (x) ≤ 1}.
Chứng minh. 1. Do 0 ∈ intC có lân cận lồi, hấp thu nên với mọi
x = 0 đều tồn tại λ > 0 sao cho x ∈ λC. Vậy pC (x) được xác định và
pC (x) ≥ 0 với mọi x (hiển nhiên pC (0) = 0).
Với mọi α > 0, theo định nghĩa ta có
pC (αx) = inf {λ > 0|αx ∈ λC}
= inf

λ > 0|x ∈

λ
C
a

= αinf {λ > 0|x ∈ λC} = αpC (x).
2. Nếu x ∈ λC, y ∈ µC với λ > 0, µ > 0 thì x = λx , y = µy với
x , y ∈ C. Khi đó
x + y = (λ + µ)

λ
µ
x +
y
λ+µ
λ+µ

∈ (λ + µ)C.

Vậy pC (x+y) ≤ λ+µ với mọi λ > 0, µ > 0 sao cho x ∈ λC, y ∈ µC.
Do đó

pC (x + y) ≤ pC (x) + pC (y).

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

3. Do 0 ∈ intC nên với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
Bδ := {u| ||u|| < δ} ⊂ C.
Với mọi x0 , tồn tại x − x0 ∈ Bδ ⊂ C. Vậy pC (x − x0 ) ≤ . Theo
tính chất dưới cộng tính ta có:
pC (x) = pC (x0 + x − x0 ) ≤ pC (x0 ) + pC (x − x0 ) ≤ pC (x0 ) + .
Do x0 − x ∈ Bδ ⊂ C nên tương tự ta có pC (x0 ) ≤ pC (x) + . Kết
hợp lại ta được pC (x) − pC (x0 ) ≤

khi ||x − x0 || < δ. Vậy pC liên

tục tại x0 .
4. Ta có được từ định nghĩa và từ tính liên tục của hàm pC .

1.2
1.2.1

Không gian lồi địa phương
Định nghĩa

Định nghĩa 1.2. Một không gian vectơ tôpô X được gọi là không
gian lồi địa phương (và tôpô của nó gọi là tôpô lồi địa phương) nếu

trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi.
Do khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không
gian lồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi.
Định nghĩa 1.3. Một không gian lồi địa phương được gọi là một
không gian Fréchet nếu nó là một không gian metric đủ với metric

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

cảm sinh d thỏa mãn
d(x + z, y + z) = d(x, y) (d bất biến với phép tịnh tiến)
1.2.2

Một số ví dụ

Ví dụ 1.2.1. Không gian định chuẩn là không gian lồi địa phương.
Cơ sở lân cận lồi trong đó là tập các hình cầu tâm ở gốc.
Ví dụ 1.2.2. Các không gian K[a,b] , R∞ là lồi địa phương.
Cơ sở lân cận lồi trong K[a,b] là các lân cận Vm,ε , trong R∞ là các
lân cận V (k1 , ..., km ; ε). Chẳng hạn: Vm,ε lồi là vì với ϕ, ψ ∈ Vm,ε ta có:
sup φ(k) (x) < ε,

sup ψ (k) (x) < ε

a≤x≤b

a≤x≤b

(k = 0, 1, . . . , m) cho nên, nếu 0 ≤ α ≤ 1 thì
sup αϕ(k) (x) + (1 − α)Ψ(k) (x) ≤ α. sup ϕ(k) (x) +(1−α) sup ψ (k) (x)
a≤x≤b

a≤x≤b

a≤x≤b

< αε + (1 − α)ε = ε
với mọi k = 0, 1, . . . , m. Do đó αϕ + (1 − α)ψ ∈ Vm,ε .
1.2.3

Tôpô cho bởi họ nửa chuẩn

Định nghĩa 1.4. Cho X là một không gian vectơ trên trường K. Một
hàm số p : X → R được gọi là một nửa chuẩn trên X nếu
1) p(x + y) ≤ p(x) + p(y),
2) p(αx) = |α|p(x), với mọi x, y ∈ X và mọi α ∈ K
Tính chất 1) của nửa chuẩn p được gọi là dưới cộng tính. Một họ P
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

các nửa chuẩn trên X được gọi là họ tách tập X nếu với mỗi x ∈ X,
tồn tại p ∈ P sao cho p(x) = 0.

Định lý 1.3. Giả sử p là một nửa chuẩn trên không gian vectơ X.
Khi đó:
(a) p(0) = 0,
(b) |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y),
(c) p(x) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X,
(d) p là một chuẩn trên X nếu p(x) = 0 với mọi x = 0.
Chứng minh. (a) Vì p(αx) = |α|p(x), với mọi x, y ∈ X và mọi α ∈ K
nên với α = 0 ta nhận được p(0) = 0.
(b) Từ tính dưới cộng tính của p ta có
p(x) = p(x − y + y) ≤ p(x − y) + p(y).
cho nên
p(x) − p(y) ≤ p(x − y).
Thay đổi vai trò của x và y cho nhau ta được
p(y) − p(x) ≤ p(y − x).
Vì p(x − y) = p(y − x) nên ta suy ra
|p(x) − p(y)| ≤ p(x − y).
(c) Thay y = 0 trong (b) ta được p(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X.
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

(d) Dễ dàng suy ra từ định nghĩa nửa chuẩn và các tính chất (a), (c).

Định lý 1.4. Cho p là một nửa chuẩn trên không gian vectơ X. Đặt
A = {x ∈ X|p(x) < 1} và B = {x ∈ X|p(x) ≤ 1} .
Khi đó A, B là các tập lồi, cân đối, hấp thu và pA = pB = p, trong đó
pA , pB lần lượt là phiếm hàm Minkowski của A và B.

Chứng minh. Từ tính chất của p ta có ngay A là tập cân đối. Lấy tùy
ý x ∈ X và t > p(x). Khi đó, với mọi s, |s| > t ta có
p(s−1 x) = |s|−1 p(x) ≤ t−1 p(x) < 1,
nên s−1 x ∈ A, hay x ∈ sA. Vậy A là một tập hút.
Lấy tùy ý x, y ∈ A và t ∈ [0, 1] ta có
p(tx + (1 − t)y) ≤ tp(x) + (1 − t)p(y) < 1.
Vậy A là một tập lồi. Tóm lại, A là một tập lồi, cân đối, hấp thu. Lập
luận tương tự ta cũng có B là một tập lồi, cân đối, hấp thu.
Với mỗi x ∈ X ta thấy rằng với t > 0,
t−1 x ∈ A ⇔ p(t−1 x) < 1 ⇔ t > p(x).
t−1 x ∈ B ⇔ p(t−1 x) ≤ 1 ⇔ t ≥ p(x).
Do đó
t > 0|t−1 x ∈ A = (p(x), +∞),
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

t > 0|t−1 x ∈ B = [p(x), +∞) nếu p(x) > 0
và
t > 0|t−1 x ∈ B = (0, +∞) nếu p(x) = 0.
Từ đó suy ra pA (x) = pB (x) = p(x). Vậy pA = pB = p.
Nhận xét 1.1. Giả sử p là nửa chuẩn trên không gian vectơ X và
r > 0. Từ định lý trên ta suy ra các tập
A = {x ∈ X|p(x) < r} và B = {x ∈ X|p(x) ≤ r}
là các tập lồi, cân đối, hấp thu.
Định lý 1.5. Cho V là một tập lồi, cân đối, hấp thu trong không gian
vectơ tôpô X. Khi đó pV là một nửa chuẩn trên X.

Chứng minh. Trước hết, do V cân đối nên với mọi α ∈ K, α = 0 và
mọi x ∈ X ta có
pV (αx) = inf t > 0 : t−1 αx ∈ V
= inf t > 0 : t−1 |α|x ∈ V
= |α|inf

t
>0:
|α|

t
|α|

= |α|inf s > 0 : s−1 x ∈ V
= |α|pV (x),

14

−1

x∈V


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

tức là pV (αx) = |α|pV (x). Điều đó hiển nhiên đúng với α = 0. Vậy
pV (αx) = |α|pV (x) với mọi α ∈ K.
Lấy tùy ý x, y ∈ X, ta sẽ chứng minh

pV (x + y) ≤ pV (x) + pV (y).
Lấy ε > 0 bé tùy ý. Đặt t = pV (x)+ε, s = pV (y)+ε thì t−1 x, s−1 y ∈ V.
Vì V là tập lồi và
x+y
t
s
=
(t−1 x) +
(s−1 y)
s+t
s+t
s+t
là tổ hợp lồi của hai phần tử trong V nên

x+y
∈ V. Do đó
s+t

pV (x + y) ≤ t + s = pV (x) + pV (y) + 2ε.
Vì điều đó đúng với ε > 0 tùy ý nên ta suy ra pV (x+y) ≤ pV (x)+pV (y).
Vậy pV là một nửa chuẩn trên X.
Định lý 1.6. Giả sử B là một cơ sở lân cận lồi, cân đối, hấp thu
trong không gian vectơ tôpô X. Với mỗi V ∈ B, gọi pV là phiếm hàm
Minkowski của V . Khi đó P = {pV |V ∈ B} là một họ tách các nửa
chuẩn liên tục trên X.
Định lý 1.7. Giả sử P là một họ tách các nửa chuẩn trên một không
gian vectơ X. Với mỗi p ∈ P và mỗi n ∈ N, đặt
V (p, n) =

x ∈ X|p(x) <

15

1
.
n


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

Gọi B là họ tất cả các giao hữu hạn của các tập có dạng V (n, p). Khi
đó B là cơ sở lân cận lồi, cân tại 0 cho một tôpô trên X. Với tôpô đó,
X trở thành một không gian lồi địa phương thỏa mãn :
(a) Với mỗi p ∈ P là liên tục,
(b) Tập E ⊂ X là bị chặn khi và chỉ khi mỗi p ∈ P là bị chặn trên
E.

1.3

Giới hạn xạ ảnh và giới hạn qui nạp

1.3.1

Giới hạn xạ ảnh

Giả sử cho trước:
1) Một không gian vectơ X;
2) Một họ không gian lồi địa phương Xλ (λ ∈ Λ);

3) Với mỗi λ ∈ Λ, một ánh xạ tuyến tính uλ : X → Xλ .
Trong nhiều trường hợp, ta muốn có trên X một tôpô lồi địa phương
sao cho trong đó tất cả các ánh xạ uλ đều liên tục. Gọi Φ là họ tất cả
các tôpô có tính chất ấy. Nếu G ∈ Φ và G là một tôpô lồi địa phương
trên X mạnh hơn G thì dĩ nhiên G ∈ Φ. Vì vậy ta quan tâm đến tôpô
yếu nhất trong họ Λ: tôpô ấy được gọi là tôpô lồi địa phương khởi
đầu của họ các tôpô của các Xλ , đối với họ các ánh xạ tuyến tính uλ .
Không gian X với tôpô ấy còn gọi là giới hạn xạ ảnh của các không
gian lồi địa phương Xλ đối với họ ánh xạ uλ . Sự tồn tại của tôpô khởi
đầu được xác lập bởi:

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

Định lý 1.8. Cho B là họ các tập V ⊂ X có dạng
u−1
λ (Vλ ),

V =

I ⊂ Λ,

I hữu hạn , Vλ ∈ Vλ

λ∈I

trong đó Vλ là một cơ sở lân cận lồi cân đối của Xλ . Tôpô lồi địa
phương khởi đầu chính là tôpô lồi địa phương nhận B làm cơ sở lân
cận.
Chứng minh. Ta có điều kiện cần và đủ để cho một ánh xạ tuyến tính
u : X → Y liên tục là: nghịch ảnh bởi u của mỗi lân cận (của gốc)
trong Y phải là một lân cận (của gốc) trong X. Từ đó suy ra: điều
kiện cần và đủ để cho một tôpô lồi địa phương G thuộc họ Φ là họ các
lân cận (của gốc) trong G phải chứa tất cả các tập có dạng u−1
λ (Vλ ),
với Vλ ∈ Vλ (λ ∈ Λ). Nhưng mặt khác các tập có dạng này đều là lồi,
cân đối và hấp thu (vì các Vλ đều như thế) cho nên có một tôpô lồi
địa phương trên X nhận họ B làm cơ sở lân cận. Vậy tôpô này là tôpô
yếu nhất thuộc họ Φ.
Hệ quả 1.1. Nếu

−1
λ∈Λ uλ (0)

= 0 và mỗi không gian Xλ đều là không

gian Hausdorff thì giới hạn xạ ảnh cũng là không gian Hausdorff.
Chứng minh. Thật vậy,
u−1
λ (Vλ ) =

V =
V ∈B

λ∈Λ Vλ ∈Vλ

u−1
λ (0) = 0
λ∈Λ

Định lý 1.9. Cho X là giới hạn xạ ảnh của các không gian lồi địa
phương Xλ đối với các ánh xạ uλ , Y là một không gian lồi địa phương
17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

và f là một ánh xạ tuyến tính từ Y vào X. Ánh xạ f liên tục khi và
chỉ khi mỗi ánh xạ phức hợp uλ ◦ f là liên tục.
Chứng minh. Ánh xạ f liên tục khi và chỉ khi với mỗi V ∈ B tập
f −1 (V ) là một lân cận (của gốc) trong Y , hay nói cách khác, với mỗi
−1
λ ∈ Λ và mỗi Vλ ∈ Vλ tập f −1 (u−1
λ (Vλ )) = (uλ ◦ f ) (Vλ ) là một lân

cận trong Y . Nhưng điều này có nghĩa là uλ ◦ f liên tục.
Định lý 1.10. Mỗi không gian lồi địa phương là giới hạn xạ ảnh của
một họ không gian định chuẩn.
Chứng minh. Cho X là một không gian lồi địa phương bất kì, Γ là
họ nửa chuẩn ứng với một cơ sở lân cận B của X. Ta thấy rằng với
mỗi p ∈ Γ tập p−1 (0) là một không gian con của X và p xác định một
chuẩn trên không gian thương Xp = X/p−1 (0). Khi ấy, gọi up là ánh
xạ cho tương ứng với x ∈ X phần tử x ∈ Xp (x là lớp các x ∈ X với
p(x − x) = 0) ta thấy ngay rằng X chính là giới hạn xạ ảnh của các

Xp đối với các up .
Định lý 1.11. Cho X là giới hạn xạ ảnh của các không gian lồi địa
phương Xλ đối với các ánh xạ uλ . Một tập M ⊂ X bị chặn khi và chỉ
khi mỗi tập uλ (M ) cũng bị chặn.
Chứng minh. Nếu M bị chặn thì mỗi tập uλ (M ) cũng bị chặn, vì các
uλ đều là ánh xạ liên tục. Ngược lại, giả sử mỗi uλ (M ) đều bị chặn và
cho Vλ là một lân cận lồi cân đối trong Xλ . Vì uλ (M ) bị chặn nên nó
được hấp thu bởi Vλ , do đó M được hấp thu bởi u−1
λ (Vλ ). Vậy M sẽ
được hấp thu bởi mọi lân cận trong X nghĩa là M bị chặn.

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3.2

BÙI NGỌC DIỆP

Giới hạn qui nạp

Giả sử cho trước:
1) Một không gian vectơ X;
2) Một họ không gian lồi địa phương Xλ (λ ∈ Λ);
3) Với mỗi λ ∈ Λ, một ánh xạ tuyến tính υλ : Xλ → X.
Gọi Ψ là tập tất cả các tôpô lồi địa phương trên X sao cho trong
mỗi tôpô ấy, tất cả các ánh xạ υλ đều trở thành liên tục. Nếu G ∈ Ψ
và là một tôpô lồi địa phương yếu hơn G thì rõ ràng G cũng thuộc Ψ.
Vì vậy, ta quan tâm đến tôpô mạnh nhất trong họ Ψ: tôpô đó được

gọi là tôpô lồi địa phương tận cùng của họ các tôpô của các Xλ , đối
với họ các ánh xạ tuyến tính υλ . Không gian X với tôpô đó còn được
là giới hạn qui nạp của các không gian lồi địa phương Xλ , đối với các
ánh xạ υλ .
Định lý 1.12. Cho B là họ các tập V ⊂ X lồi, cân đối và hấp thu
sao cho mỗi υλ−1 (V ) là lân cận trong Xlam . Tôpô lồi địa phương tận
cùng chính là tôpô nhận B làm cơ sở lân cận.
Chứng minh. Ta có một tôpô lồi địa phương J trên X nhận B làm
cơ sở lân cận. Vì nghịch ảnh υλ−1 (V ) của mọi lân cận V ∈ B đều là
lân cận trong Xλ nên mỗi υλ đều liên tục trong tôpô J , vậy J ∈ Ψ.
Mặt khác, nếu G ∈ ψ thì với mỗi lân cận V lồi, cân đối, trong G và
với mỗi λ ∈ Λ tập υλ−1 (V ) đều là lân cận trong Xλ nghĩa là V ∈ B, do
đó G ⊂ J . Vậy J là tôpô mạnh nhất trong họ Ψ.
Định lý 1.13. Cho X là giới hạn qui nạp của các không gian lồi địa
phương Xλ đối với các ánh xạ υλ , Y là một không gian lồi địa phương,
19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

BÙI NGỌC DIỆP

và f là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y . Ánh xạ f liên tục khi và
chỉ khi mỗi ánh xạ phức hợp f ◦ υλ là liên tục.
Chứng minh. Ánh xạ f liên tục khi và chỉ khi với mỗi lân cận lồi cân
đối W trong Y , tập f −1 (W ) là một lân cận trong X, tức là mỗi tập
υλ−1 (f −1 (W )) = (f ◦ υλ )−1 (W ) là một lân cận trong Xλ . Nghĩa là f ◦ υλ
liên tục.

20

Chương 2
KHÔNG GIAN D(Ω)
Không gian D(Ω)

2.1
2.1.1

Định nghĩa

Cho Ω là một tập con mở của Rn .
Định nghĩa 2.1. Không gian C0∞ (Ω) bao gồm các hàm khả vi vô hạn
trên Ω với giá compact trên Ω được gọi là không gian các hàm thử
(trên Ω). Mỗi hàm thuộc C0∞ (Ω) được gọi là một hàm thử.
Ở đây, giá của một hàm được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.2. Giá supp u của một hàm u ∈ L1,loc (Ω) được định
nghĩa là phần bù của một tập mở lớn nhất mà làm u triệt tiêu. Chúng
ta có thể viết như sau:
supp u = Ω \

w mở trong Ω| u|w = 0

21

.

(2.1)