tổng ôn hình học lớp 11 rất hay

ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 1)
I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1. Mặt phẳng
Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.
Ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc () để ghi tên mặt
phẳng.
Cách biểu diễn trong không gian: Dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên
mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn.

2. Điểm thuộc mặt phẳng
Điểm A thuộc mặt phẳng    được kí hiệu: A     .
Điểm B không thuộc mặt phẳng    được kí hiệu: B     .

3. Một số quy tắc cơ bản biểu diễn hình học trong không gian
Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng.
Hình biểu diễn của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng cắt nhau.
Hình biểu diễn của 2 đường thẳng song song là 2 đường thẳng song song.
Hình biểu diễn của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
Đường nhìn thấy được vẽ bằng nét liền.
Đường bị che khuất được vẽ bằng nét đứt.
II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN
Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi
điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng    thì ta nói đường thẳng d
nằm trong    hay    chứa d. Kí hiệu d     .
Tính chất 4. Tồn tại 4 điểm không thuộc cùng một mặt phẳng.
Những điểm cùng thuộc một mặt phẳng là những điểm đồng phẳng.

Những điểm không cùng thuộc một mặt phẳng là những điểm không đồng phẳng.


Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một
điểm chung khác nữa.
Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến
của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Tính chất 6. Trên một mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

III. CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG
3 điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng.
Kí hiệu mp(ABC).

1 điểm và 1 đường thẳng không chứa nó xác định một
mặt phẳng. Kí hiệu mp(A, d).

2 đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng.
Kí hiệu mp(d’, d).

Ví dụ 1: Trong mp () lấy bốn điểm A, B, C, D sao cho
ABCD là tứ giác lồi có các cặp cạnh đối không
song song. Gọi S là điểm nằm ngoài mp().
Tìm giao tuyến của các mặt phẳng
a) (SAD) và (SCD)
b) (SBD) và (SAC)

Ví dụ 2: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D
không đồng phẳng. Gọi O là một điểm
ở miền trong của tam giác BCD; M, N
lần lượt là hai điểm trên các cạnh AD, AC

sao cho MN không song song với CD.
a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của BC và (OMN).


IV. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN

1. Hình chóp
Hình gồm đa giác A1 A2 ...An và n tam giác
SA1 A2 , SA2 A3 ,..., SAn A1 được gọi là hình chóp SA1 A2 ...An

Đỉnh S, mặt đáy là A1 A2 ...An .
Các cạnh của đa giác đáy là cạnh đáy.
n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 ,..., SAn A1 là các mặt bên.
Các đoạn thẳng SA1 , SA2 ,...,SAn là các cạnh bên.

2. Hình tứ diện
Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện (tứ diện).
Tứ diện có các cạnh bằng nhau được gọi là tứ diện đều.


ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 2)
I. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG

1. Phƣơng pháp
Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng.
Đường thẳng đi qua 2 điểm đó là giao tuyến cần tìm.

2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song.

M là điểm trên đoạn SD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:
a) (SAB) và (SCD).
b) (MBC) và (SAD).

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của (IBC) và (KAD).
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC.
Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN).
(Bài 7/54 – SGK Hình học 11)


Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm trên BC, CD và SO.
a) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC).
b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD).

II. XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1. Phƣơng pháp
Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta làm như sau:
Chọn mặt phẳng (Q) chứa d (giao tuyến của (Q) và (P) có sẵn
hoặc dễ tìm).

d’
d

Tìm giao tuyến d’ của 2 mặt phẳng (P) và (Q) (nếu chưa có
sẵn giao tuyến).
Giao điểm của d và d’ là giao điểm của d và (P).

P

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD có các cặp cạnh đối không song song. Gọi M, N
lần lượt là hai điểm trên SD và SB sao cho MN không song song với BD. Tìm
giao điểm của:
a) MN và (ABCD).
b) MN và (SAC).

Q


Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn AC và BC.
Trên đoạn BD, lấy P sao cho NP và CD cắt nhau. Tìm giao điểm của:
a) CD và (MNP).
b) AD và (MNP).

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm trên AB và SC.
a) Tìm giao điểm I của AN và (SBD).
b) Tìm giao điểm K của MN và (SBD).


ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 3)
III. XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VÀ HÌNH CHÓP

1. Phƣơng pháp
Để xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp, ta làm như sau:
Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt bên hoặc mặt đáy của hình chóp.
Khi các giao tuyến khép kín tạo thành một đa giác thì đa giác đó là thiết diện
cần tìm

2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC.
Trên đoạn thẳng CD, lấy điểm M sao cho KM không song song với BD.
Tìm thiết diện của mặt phẳng (HKM) và tứ diện ABCD.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của BC, CD. P là một điểm bất kì trên đoạn SA. Tìm thiết diện của
hình chóp S.ABCD và mp(PMN).


Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy,
vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh hình bình hành,
d cắt BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm M của CD và (C’AE).
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE).

(Bài 9/54 – SGK Hình học 11)

IV. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

1. Phƣơng pháp
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng là điểm chung của 2
mặt phẳng phân biệt.

2. Ví dụ
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại
A’, B’, C’. Giả sử AB cắt A’B’ tại I , BC cắt B’C’ tại J , AC cắt A’C’ tại K.
Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi I là
trung điểm của SC. Một mặt phẳng (Q) qua AI cắt SB, SD lần lượt tại M, N. IM
cắt BC tại P, IN cắt CD tại K. Chứng minh rằng PK qua một điểm cố định.


V. CHỨNG MINH BA ĐƢỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

1. Phƣơng pháp
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm của hai đường
này thuộc đường thẳng thứ ba.

2. Ví dụ
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD
sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H.
Chứng minh rằng CD, IG, HF đồng quy.

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song
song. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,
SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Giả sử AB cắt CD tại E, A’B’ cắt C’D’ tại E’.
a) Chứng minh S, E, E’ thẳng hàng.
b) Chứng minh A’C’, B’D’, SO đồng quy.


HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG (PHẦN 1)

I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa
Cho a, b là hai đường thẳng trong không gian.
Trường hợp 1:

Có một mặt phẳng chứa a và b (a và b đồng phẳng).
 a và b cắt nhau tại M. Kí hiệu a  b  M .

 a và b không có điểm chung hay a và b song song.
Kí hiệu a // b.

 a trùng b. Kí hiệu a  b .
Trường hợp 2:
Không có mặt phẳng nào chứa a và b.
Ta nói a và b chéo nhau.

II. TÍNH CHẤT
Định lí 1
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và
chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Nhận xét: a // b xác định một mặt phẳng. Kí hiệu: mp (a, b) hay (a, b).


Định lí 2
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến
ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S lần lượt
là bốn điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA.
Chứng minh rằng nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì:
a) PQ, RS, AC hoặc song song hoặc đồng quy.
b) PS, RQ, BD hoặc song song hoặc đồng quy.
Hệ quả
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến

của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong
hai đường thẳng đó.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành.
Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC).

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
BC và BD, (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC, AD lần
lượt tại M, N.
a) Chứng minh IJNM là hình thang.
b) Nếu M là trung điểm AC thì IJNM là hình gì ?


Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang,
đáy lớn AB. Gọi M là một điểm bất kì trên SC.
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABM).
Hỏi thiết diện là hình gì ?
Định lí 3
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với
nhau.
Kí hiệu a, b, c song song với nhau: a // b // c.

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là
trung điểm của AC, BD, AB, CD, AD và BC.
Chứng minh MN, PQ, RS đồng quy tại
trung điểm mỗi đoạn.

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang,
đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB.
a) Chứng minh MN // CD.

b) Tìm giao điểm P của SC với (ADN).
c) I là giao điểm của AN và DP.
Chứng minh SI // AB // CD.


HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG (PHẦN 2)

I. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG (TRƯỜNG HỢP 2)

1. Phương pháp
Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt chứa hai
đường thẳng song song a và b, ta làm như sau:
Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng (Giả sử là I).

a

Giao tuyến cần tìm là đường thẳng d đi qua I và
song song với a, b.



d

b


2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD và các điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC.
Tìm giao tuyến của (PQR) và (ACD) trong các trường hợp:
a) PR cắt AC.

b) PR song song với AC.
E

A
P

D

B
R

Q
C

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang có
đáy lớn là AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm
của AD, BC và G là trọng tâm SAB.
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).
b) Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) là hình gì? Tìm điều kiện của
AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
S

N

G

M

A

B
E
I

J


II. CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG HOẶC ĐỒNG QUY

1. Phương pháp
Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt.
Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến
ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

2. Các ví dụ

S

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành
tâm O. Gọi H, I, J, K lần lượt là trung điểm các
cạnh SA, SB, SC, SD.

I

H
J

K

a) Chứng minh HIJK là hình bình hành.

B

A

b) Chứng minh HJ, KI, SO đồng quy.

O
D

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình chữ nhật.
a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC), (SAB) và (SCD).
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB và E là điểm tùy ý trên SC.
Tìm giao điểm F của SD và (MNE).
c) Chứng minh rằng khi E di động trên SC thì giao điểm I của ME và NF
di động trên đường thẳng cố định.
S

N
M

F

I

D

E

A
O
B

C

C


Ví dụ 5: Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC.
Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD.
Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK).
Chứng minh thiết diện là hình thang cân.


ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 1)
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Trường hợp 1. d và (P) không có điểm chung.

Ta nói d song song (P). Kí hiệu d // (P).
Trường hợp 2. d và (P) có một điểm chung duy nhất.

Ta nói d cắt (P) tại I. Kí hiệu d  P   I .
Trường hợp 3. d và (P) có nhiều hơn hai điểm chung.

Ta nói d chứa trong (P) hay (P) chứa d. Kí hiệu d  P  .
II. ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT

1. Định lí 1
Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng

b nằm trong (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).
Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Phương pháp
Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), ta thường làm như sau:
Tìm b  (P) sao cho b // a
Khẳng định a  (P)
Kết luận a // (P)


Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Chứng minh MN // (BCD).

2. Định lí 2
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt
(P) theo giao tuyến d thì d song song với a.

3. Hệ quả 3
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) song song với BC lần lượt cắt các
cạnh SB, SC, AC, AB tại M, N, I, K. Chứng minh MN // IK.

4. Định lí 3
Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này
và song song với đường thẳng kia.

Phương pháp
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (Trường hợp 3)

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) chứa đường thẳng a
song song với (P):
Tìm điểm chung I của (P) và (Q).
d = (P)  (Q) (d qua I và d // a).


Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, M là một điểm bất kì
trên cạnh SA (M khác S và A).
a) Biết () chứa MB song song với SD. Tìm giao tuyến của () và (SAD), từ đó
tìm thiết diện tạo bởi mp() và hình chóp S.ABCD.
b) Biết () qua M đồng thời song song với SB và AD. Tìm giao tuyến của ()
với các mặt (SAB), (SAD), (ABCD), từ đó tìm thiết diện tạo bởi mp () và
hình chóp S.ABCD. Thiết diện tìm được là hình gì? Vì sao?


ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 2)
I. VẤN ĐỀ 1
Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), ta thường làm như sau:

a // b

b  P   a // P 

a  P 

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N là
trung điểm của các cạnh AB, CD.
a) Chứng minh rằng MN // (SBC).
b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SC // (MNP).

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm CD, G và H lần lượt là trọng tâm
của tam giác ACD và tam giác BCD. Chứng minh rằng GH // (ABD).


II. VẤN ĐỀ 1
Phần A: xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) chứa đường thẳng a
song song với (P):

I  P    Q 

 P    Q   d  I  d, d // a 
a   Q 

a // P 

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm
của BC. Gọi () là mặt phẳng chứa SM và song song với CD.
Xác định giao tuyến của () với đáy (ABCD).

Phần B: xác định thiết diện của mặt phẳng và hình chóp.

Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD và M là
một điểm nằm trên cạnh SA. Mặt phẳng () qua M và song song với SD,
AC. Xác định thiết diện của () và hình chóp S.ABCD.


HAI MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 1)
I. ĐỊNH NGHĨA

Hai mặt phẳng (P), (Q) được gọi là song song với nhau
nếu chúng không có điểm chung.
Kí hiệu: (P) // (Q) hay (Q) // (P).
II. TÍNH CHẤT
Định lí 1.
Nếu (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với (Q) thì (P)
song song với (Q).

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, AD.
Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (BCD).

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD,
ABD. Chứng minh rằng mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (BCD).
Định lí 2.
Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng
song song với mặt phẳng đã cho.
Hệ quả 1
Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì trong (P) có một đường thẳng
song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (P).
Hệ quả 2
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với
nhau.
Hệ quả 3
Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (P). Mọi đường thẳng đi qua A và song song
với (P) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (P).

Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC. Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là phân giác ngoài
của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB. Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (Sx, Sy) song song với mặt phẳng (ABC).
b) Sx, Sy, Sz cùng nằm trên một mặt phẳng.

Định lí 3.
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt
mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là điểm bất kì
trên đoạn OC. (P) là mặt phẳng qua I và song song với (SBD).Xác định thiết
diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (P)?
Hệ quả
Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng
nhau.
III. ĐỊNH LÍ TA-LÉT
Định lí 4
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn tương ứng
tỉ lệ.


HAI MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 2)
IV. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP
Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Trên (P) cho đa giác lồi A1A2 ...An .
Qua các đỉnh A1 , A2 , ..., A n ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (Q)
lần lượt tại A '1 , A '2 , ..., A 'n
Hình gồm hai đa giác A1 A2 ...An , A '1 A '2 ...A 'n và các hình bình
hành A1A '1 A '2 A2 , A 2A '2 A '3 A 3 ,..., A nA ' n A '1 A 1 được gọi là
hình lăng trụ. Kí hiệu: A1A2...An.A '1 A '2 ...A 'n .
Hai đa giác A1 A2 ...An , A '1 A '2 ...A 'n : mặt đáy của lăng trụ.
A1 A '1 , A2 A '2 ,..., An A 'n : cạnh bên của lăng trụ.

A1 A '1 A '2 A2 , A2 A '2 A '3 A 3 ,..., AnA 'n A '1 A1 : mặt bên của lăng trụ.

Nhận xét:
Các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành.
Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau.
Hai đáy của hình lăng trụ bằng nhau.
V. HÌNH CHÓP CỤT
Cho hình chóp SA1A2…An. Một mặt phẳng song song với A1A2…An và không qua S cắt
SA1A2…An theo thiết diện A’1A’2…A’n. Hình gồm A1A2…An, A’1A’2…A’n và A1 A’1A’2A2, …,
An A’n A’1 A1 là hình chóp cụt.
Hình chóp cụt A1A2…AnA’1A’2…A’n có:
Mặt đáy: A1A2…An và A’1A’2…A’n.
Mặt bên: A1 A’1A’2A2, …, An A’n A’1 A1.
Cạnh bên: A1 A’1, A2A’2,…, An A’n. .


VI. LUYỆN TẬP

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD. Dựng các nửa đường thẳng
song song nhau ở cùng một phía với mặt phẳng (P) lần lượt đi qua các điểm
A, B, C, D. Mặt phẳng (Q) cắt 4 nửa đường thẳng trên tại A1, B1, C1, D1.
Chứng minh rằng:
a) (AA1, BB1) // (CC1, DD1).
b) A1B1C1D1 là hình bình hành.
c) AA1 + CC1 = BB1 + DD1.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’.
a) Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (BA’C’).
b) Gọi M, N là hai điểm bất kì trên AA’ và BC.
Tìm giao điểm của B’C’ và (AA’N).
c) Tìm giao điểm của MN và (AB’C’).

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’.
a) Chứng minh rằng (BDA’) // (B’D’C).
b) Chứng minh rằng AC’ đi qua trọng tâm G1, G2 của ∆BDA’ và ∆B’D’C.
c) Chứng minh rằng G1, G2 chia AC’ thành 3 đoạn bằng nhau.


PHÉP CHIẾU SONG SONG. HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN
I. PHÉP CHIẾU SONG SONG
Cho (P) và d cắt (P). M là một điểm trong không gian,
d’ qua M và song song hoặc trùng d, cắt (P) tại M’.
M’ là hình chiếu song song của M trên (P) theo phương d.
(P) là mặt phẳng chiếu.
Phương d là phương chiếu.
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu M’ của nó trên (P) được
gọi là phép chiếu song song lên (P) theo phương d.
Cho (P) và phương chiếu d. H là một hình trong không gian.
Tập hợp các hình chiếu M’ của tất cả các điểm M thuộc H
sẽ tạo thành hình H’. H’ là hình chiếu của H qua
phép chiếu song song nói trên.

Chú ý: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của
đường thẳng đó là một điểm.
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG
Định lí 1a. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

Định lí 1b. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Định lí 1c. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng

song song hoặc trùng nhau.
Định lí 1d. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm
trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng.