Bài toán tựa cân bằng tổng loại I và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
==========

TRẦN THỊ HƯƠNG

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG
LOẠI I VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
==========

TRẦN THỊ HƯƠNG

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG
LOẠI I VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

✷

✶

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ➤❛ trÞ

✺

✶✳✶ ❚❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✷ ◆ã♥ ✈➭ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✸

✽

➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✹ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ❧✐➟♥ tô❝ t❤❡♦ ♥ã♥ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷
✶✳✺ ❚Ý♥❤ ❧å✐ t❤❡♦ ♥ã♥ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

✶✳✻ ❈➳❝ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾
✷

❇➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■

✷✷

✷✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✷✳✷ ▼ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✷✳✸ ❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ tù❛ ❝➞♥ ❜➺♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ ■ ✈➭
♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺
✸

ø♥❣ ❞ô♥❣ ✈➭♦ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ tè✐ ➢✉ ➤❛ trÞ

✸✽

✸✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ tù❛ tè✐ ➢✉ ❧♦➵✐ ■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽
✸✳✷ ❇➭✐ t♦➳♥ q✉❛♥ ❤Ö tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧♦➵✐ ■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸
✸✳✸ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜❛♦ ❤➭♠ t❤ø❝ tù❛ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧ý t➢ë♥❣ tr➟♥ ❧♦➵✐ ■ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✶






ờ ó
t ể ợ ì t từ ệ ể ữ ệ
rt Prt ề ớ từ ố tế ỷ ó ó ợ ề
t ọ r s sử ụ ể ự ữ ì
tế tr ữ ố tế ỷ ề tế tr tế ớ q
t t ể ứ sự tồ t ể ủ ì
tế t ờ t tờ sử ụ ị ý t ộ ể rr
tt rr ờ t ỉ r r
ị ý ể t ộ rr t ớ ị ý ề sự t
ữ ủ t t ị ý t tí ủ ụ
ị ý ờ t tì r ề
ể ứ sự tồ t ệ ủ t
rrt t ể t ột tổ qt

ứ sự tồ t ệ ủ ó ớ ữ tết ết q
ủ ề tí ử tụ tr ò ết q ủ rrt
ề tí ệ ủ số tt t
ể t tổ qt tì ết t ủ
rrt ớ t t
ứ sự tồ t ệ ủ t ự tr ý
t ể ồ t tố t tứ ế
ể t ộ t ù t ể ự t
s t ợ P t ĩ
ở rộ trờ ợ ét trị ữ ó ò ở rộ
t tứ tự ế t tự t q
ệ ế r t trì sự ở rộ ủ t tr
ớ t tự tổ qt ứ ụ ủ ó
ề ố ụ ở ết t ệ t
ồ
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn





rì ột số ệ tí t ủ ó
ệ tí t ủ trị é tí ề trị tí
tụ tụ t ó ủ trị tí ồ t ó ủ
trị ột số ị ý ể t ộ ủ trị ù tớ tr

rì ề t tự tổ qt ột
số t q t tự ớ t tự
ý tở tr t tự ế ét tổ qt ét sự
tồ t ệ ủ ú

rì ề t tự tố t q ệ tự ế
t tự ế ý tở tr sự tồ t ệ ủ
ú ũ ố q ệ ủ t tự tổ qt ớ
t
ợ t ớ sự ớ ỉ t tì
ủ ễ t ử ờ s s
ế t ề sự ú ỡ ệt tì ủ t tr sốt q trì t tự ệ

t ệ rờ tế ỹ
tt ù t tể ồ ệ tr trờ t ề ệ t
ợ t tr sốt q trì ọ t
ũ ợ ử ờ t tớ trờ P
t tr trờ t ề ệ t ợ
t tự ệ tốt ế ọ t ủ ì
ố ù t ợ tỏ sự ết tớ ì t
ủ ộ ộ t ề ệ tốt t t ợ ọ t
t

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✹
❉♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ✈➭ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ❜➯♥ t❤➞♥ ♥➟♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❦❤➠♥❣ t❤Ó tr➳♥❤
❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ t❤✐Õ✉ sãt✳ ❱× ✈❐② t➠✐ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ sù ➤ã♥❣ ❣ã♣ ý ❦✐Õ♥ ❝ñ❛
❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤Ó ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ö♥ ❤➡♥✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

❈❤➢➡♥❣ ✶
❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ➤❛ trÞ
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ t❛ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së ✈Ò ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ ♥❤➢
t❐♣ ❧å✐✱ ♥ã♥ ❧å✐✱ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✱ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝
t❤❡♦ ♥ã♥ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ✱ tÝ♥❤ ❧å✐ t❤❡♦ ♥ã♥ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤❛ trÞ ✈➭ ♠ét sè ➤Þ♥❤
❧ý ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✳ ◆❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ♥➭② ♣❤ô❝ ✈ô ❝❤♦ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜➭✐
t♦➳♥ ë ❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳

✶✳✶

❚❐♣ ❧å✐ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳

●✐➯ sö

❧➭ ❧å✐ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

x1 , x2 ∈ A, t ∈ [0, 1] t❤× tx1 + (1 − t)x2 ∈ A✳

❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✷✳

X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❚❐♣ A ⊂ X ➤➢î❝ ❣ä✐

❈➳❝ ❤×♥❤ t❛♠ ❣✐➳❝✱ ❝➳❝ ❤×♥❤ trß♥ tr♦♥❣ ♠➷t ♣❤➻♥❣ ✈➭ ❤×♥❤ ❝➬✉

➤➡♥ ✈Þ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✸✳ ❈➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ ➤ó♥❣✿
✭✐✮ ●✐❛♦ ❝ñ❛ ♠ét ❤ä ❜✃t ❦ú ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ❧➭ t❐♣ ❧å✐❀
✭✐✐✮ ❚Ý❝❤ ➤Ò ❝➳❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ❧➭ t❐♣ ❧å✐❀
✭✐✐✐✮ ❚❐♣ ➯♥❤ ✈➭ ➯♥❤ ♥❣➢î❝ ❝ñ❛ ♠ét t❐♣ ❧å✐ q✉❛ ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧➭ t❐♣
❧å✐❀
✭✐✈✮ ❱í✐

A, B

❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ✈➭

t ∈ R t❤× tA, A + B

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

✺

❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐✱ ✈í✐






tA = {c = ta | a A};
A + B = {c = a + b | a A, b B}.


A t rỗ tr tế tí X í ệ

intA, A tr ó ủ A
ệ ề

AX

t ồ ớ

intA =

ó

ị s ú

intA, A t ồ



ớ

x intA, y A t ó
[x, y) = {tx + (1 t)y | 0 < 1 1} intA;



A = intA;



int(A) = intA.

n

ị ĩ



A X n ể x1 , ..., xn A. ể x =
n

ớ ti

0(i = 1, 2, ..., n) tỏ

ti xi ,
i=1

ti = 1, ợ ọ ột tổ ợ ồ ủ
i=1

ể

x1 , ..., xn

ị ĩ

t ồ ứ

ồ ủ t

A í ệ ở coA ủ tt

A ồ ó ủ t A ý ệ ở coA ủ tt

t ồ ó ứ

A

ừ ị ĩ tr t t

coA t ồ ó t ồ ỏ t ứ A

coA t ồ ó ó t ồ ó ỏ t ứ A
ệ ề ị s ú



coA trù ớ tt tổ ợ ồ tr
coA = coA

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✼
✶✳✷

◆ã♥ ✈➭ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❧✐➟♥ q✉❛♥

●✐➯ sö

Y ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❚❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ♥ã♥ ♥❤➢

s❛✉✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✶✳

❚❐♣

C ⊂ Y ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ❝ã ➤Ø♥❤ t➵✐ ❣è❝ tr♦♥❣ Y ♥Õ✉

tc ∈ C ✈í✐ ♠ä✐ c ∈ C, t ≥ 0✳ ❚❐♣ C ⊂ Y ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ❝ã ➤Ø♥❤ t➵✐ y0 ♥Õ✉
t❐♣

C − {y0 } ❧➭ ♥ã♥ ❝ã ➤Ø♥❤ t➵✐ ❣è❝✳
❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ t❛ ❝❤Ø q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥ ♥ã♥ ❝ã ➤Ø♥❤ t➵✐ ❣è❝ ✈➭ ❣ä✐ ♥❣➽♥

❣ä♥ ❧➭ ♥ã♥✳ ◆ã♥
♥ã♥ ➤ã♥❣ ♥Õ✉
tÝ♥❤ ✈➭

C ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ ♥Õ✉ C ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ ♥ã♥ C ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

C ❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ Y ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠ t✉②Õ♥

C ❧➭ ♥ã♥ tr♦♥❣ Y ✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ clC, intC, convC ❧➬♥ ❧➢ît ❧➭ ❜❛♦ ➤ã♥❣✱

♣❤➬♥ tr♦♥❣ ✈➭ ❜❛♦ ❧å✐ ❝ñ❛ ♥ã♥
◆Õ✉

C ✳ ❑Ý ❤✐Ö✉ l(C) = C ∩ (−C)✱ t❛ t❤✃② r➺♥❣✿

C ❧➭ ♥ã♥ ❧å✐ t❤× l(C) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ♥❤á ♥❤✃t ♥➺♠ tr♦♥❣

C ✈➭ ♥ã ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♣❤➬♥ tr♦♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ñ❛ ♥ã♥ C ✳ ❚❛ ❝ã ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠
s❛✉ ✈Ò ♥ã♥
✭✐✮ ◆ã♥

C ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ♥❤ä♥ ♥Õ✉ l(C) = {0}❀

✭✐✐✮ ◆ã♥
✭✐✐✐✮ ◆ã♥

C ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ s➽❝ ♥Õ✉ ❜❛♦ ➤ã♥❣ ❝ñ❛ ♥ã ❧➭ ♥ã♥ ♥❤ä♥❀
C ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ã♥ ➤ó♥❣ ♥Õ✉ cl(C) + C \ l(C) ⊂ C ✳

❚❛ t❤✃② r➺♥❣ ♥Õ✉

C ❧➭ ♥ã♥ ➤ã♥❣ t❤× C ❧➭ ♥ã♥ ➤ó♥❣✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳✷✳ ❈➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣
✭✐✮
✭✐✐✮

C

❧➭ ♥ã♥ ❧å✐❀

C +C ⊂C

❱í✐ ♥ã♥

s❛✉✿

✈➭

tC ⊂ C ✱ ✈í✐ ♠ä✐ t ≥ 0.

C ❝❤♦ tr➢í❝ tr♦♥❣ Y ✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ q✉❛♥ ❤Ö t❤ø tù tr➟♥ Y ♥❤➢

x, y ∈ Y, x ≥C y ♥Õ✉ x − y ∈ C. ◆Õ✉ ❦❤➠♥❣ ❝ã sù ♥❤➬♠ ❧➱♥✱ t❛ ❝ã t❤Ó

✈✐Õt ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❧➭
❈❤♦

x ≥ y.

x, y ∈ Y ✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ x > y ♥Õ✉ x − y ∈ C \ l(C) ✈➭ x >> y ♥Õ✉

x − y ∈ int(C).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....