Định lý Rolle và một số áp dụng

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❉×❒◆● ❑■➋❯

✣➚◆❍ ▲Þ ❘❖▲▲❊
❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ⑩P ❉Ö◆●
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❉×❒◆● ❑■➋❯

✣➚◆❍ ▲Þ ❘❖▲▲❊
❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ⑩P ❉Ö◆●
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚❖⑩◆ ❙❒ ❈❻P
▼❶ ❙➮✿ ✻✵✳✹✻✳✹✵

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿
●❙✳❚❙❑❍✳ ◆●❯❨➍◆ ❱❿◆ ▼❾❯

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✐

▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉
✶ ✣à♥❤ ❧þ ❘♦❧❧❡ ✈➔ ♠ët sè ♠ð rë♥❣

✶✳✶ ✣à♥❤ ❧þ ❘♦❧❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷ ✣à♥❤ ❧þ ▲❛❣r❛♥❣❡ ✈➔ ✣à♥❤ ❧þ ❈❛✉❝❤② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸ ✣à♥❤ ❧þ ❘♦❧❧❡ tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ ✈æ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ❑❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè

✷✳✶ ❍➔♠ ✤ç♥❣ ❜✐➳♥✱ ♥❣❤à❝❤ ❜✐➳♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷ ❍➔♠ ❧ç✐✱ ❧ã♠ ❦❤↔ ✈✐ ❜➟❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ❧ç✐✱ ❤➔♠ ❧ã♠ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷ ✣ë ❣➛♥ ✤➲✉ ✈➔ s➢♣ t❤ù tü ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝

✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✸ ▼ët sè ù♥❣ ❞ö♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ❘♦❧❧❡ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✸✳✶ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü tç♥ t↕✐ ✈➔ ❜✐➺♥ ❧✉➟♥ sè ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣
tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷ ●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ ❜➜t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✸ ❙ü ♣❤➙♥ ❜è ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ✈➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✹ ▼ët ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❚❛②❧♦r✲●♦♥t❝❤❛r♦✈✳

✸✳✺ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹ ❇➔✐ t➟♣ ❜ê s✉♥❣
❑➳t ❧✉➟♥
❉❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



✶
✹

✹
✼
✶✵

✶✶
✶✶
✶✸
✶✸
✶✽

✷✸
✷✸
✸✺
✹✷
✹✽
✺✵

✻✶
✻✺
✻✼
✻✽





ỵ ởt số rở ừ ỵ ỵ r
ỵ ỵ tr ởt ổ
ỵ q trồ tr tr tr ữỡ tr t ờ
ử ừ ỵ tr ữỡ tr t r ồ
ờ tổ rt ú t t
ữỡ tr số ừ ữỡ tr tr ởt
ự t tự t ỹ tr ừ số tr
t s ồ s ờ tổ t ự ử
ừ ỵ ữ ữủ tr ởt tố ừ
ợ s t ỵ tữ õ ử t ừ
t ồ s t ồ
s ọ õ t ổ t ởt t
ỳ tự ỡ ỏ õ t ởt tố t
q õ s t ró ỡ t ự ử rt ú ừ
ỵ ỵ r ởt số ỵ rở t
ụ ữợ ử ỵ t
t tỏ ỳ ớ ở tũ tứ t ử
t tứ õ t ỵ tự s t ỳ t ợ r
ụ ỳ t q t t s t tử t tr
q tr ự t t t trữớ ờ tổ
ử ử ớ õ t t t

ỗ ố ữỡ
ữỡ ỵ ởt số rở

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn





ở ữỡ tr ởt ỡ t
ỵ tr tr ũ ởt số q q trồ ỵ
tt ỡ s ử t ự ử ỳ ữỡ
s
ữỡ st t t ỡ ừ số
ữỡ tr ởt số ự ử trỹ t ừ ỵ
ỵ r tr st t t rt ỡ q
trồ ừ số tr ữỡ tr t P õ t ỗ
t t ỗ ó ừ số
ữỡ ởt số ự ử ỵ tr số
ở trồ t ừ ú tổ ự ử
ừ ỵ ỵ rở tr t ữỡ
tr số ừ ữỡ tr ự t tự
sỹ ố ừ tự t ồ ữủ
ỹ ồ tứ t ừ t ồ s ọ ố t
ỹ ố t ởt số t t tỹ s t ố
ợ ộ t ữỡ ử t õ ữ r ỳ
t ợ ớ ở t s t t ớ
ữỡ t ờ s
ữỡ ợ t ởt số t t ữủ s
ỹ ồ ữù ộ õ ữợ ử

ỳ tự t ữủ tứ ữỡ trữợ
t t ử t
ữủ t ữợ sỹ ữợ ồ ừ
t ữủ tọ ỏ t ỡ
t s s tợ ữớ rt t t
tr ổ tr tử tự qỵ ụ ữ
ự ồ t tr sốt q tr ồ t
ự t
ữủ tọ ỏ t ỡ t
Pỏ t s ồ ừ trữớ ồ
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn




✸
❤å❝ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❝ò♥❣ q✉þ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✤➣ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣
❞↕② ✈➔ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝❤♦ ❧î♣ ❈❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✷✳
❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❯❇◆❉ ❚➾♥❤✱ ❙ð ●✐→♦ ❞ö❝ ✈➔ ✣➔♦
t↕♦ ❚➾♥❤ ❈❛♦ ❇➡♥❣✱ ❇❛♥ ❣✐→♠ ❤✐➺✉ ✈➔ t➟♣ t❤➸ ❝→♥ ❜ë ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❚r÷í♥❣
❚❍P❚ ❉➙♥ të❝ ◆ë✐ tró ❚➾♥❤ ❈❛♦ ❇➡♥❣ ✤➣ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ ❝â
❝ì ❤ë✐ ✤÷ñ❝ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
❚→❝ ❣✐↔ ❝ô♥❣ ①✐♥ ✤÷ñ❝ ❝↔♠ ì♥ sü q✉❛♥ t➙♠✱ ❣✐ó♣ ✤ï ♥❤✐➺t t➻♥❤ ❝õ❛
❝→❝ ❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ❈❛♦ ❤å❝ ❚♦→♥ ❑✶✱ ❑✷✱ ❑✸ tr÷í♥❣ ✣❍❑❍ ✲ ✣❍❚◆ ✤è✐
✈î✐ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳
✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ t➟♣ tr✉♥❣ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♠ët ❝→❝❤ ♥❣❤✐➯♠ tó❝ tr♦♥❣ s✉èt ❦❤â❛ ❤å❝✱ ❝ô♥❣ ♥❤÷ r➜t
❝➞♥ t❤➟♥ tr♦♥❣ ❦❤➙✉ ❝❤➳ ❜↔♥ ▲❛❚❡①✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❞♦ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ✈➲ t❤í✐
❣✐❛♥✱ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ✈➔ ❤♦➔♥ ❝↔♥❤ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ♥➯♥ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥
❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✱ t→❝ ❣✐↔ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü ❝❤➾

❜↔♦ ❝õ❛ q✉þ t❤➛② ❝æ ✈➔ ♥❤ú♥❣ ❣â♣ þ ❝õ❛ ❜↕♥ ✤å❝ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥
t❤✐➺♥ ❤ì♥✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✵✾ ♥➠♠ ✷✵✶✵✳
◆❣÷í✐ t❤ü❝ ❤✐➺♥
◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❉÷ì♥❣ ❑✐➲✉

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên






ữỡ
ỵ ởt số rở
r ữỡ ú tổ ợ t ở ỵ ởt
số rở ừ ỵ ởt số q
q trồ ụ ữủ tr t ủ ử
t ữủ tr tr ữỡ t t

ỵ
ỡ s ừ ỵ ỹ ỵ ỡ t ừ r
strss ố ợ tử r f tử tr
[a, b] t õ t tr ợ t tr ọ t tr õ
ỵ rt ỹ tr ừ r
g(x) tr (a, b) t ỹ tr ỹ ỹ t t ởt
tr õ t t õ

ỵ ỵ sỷ f tử tr [a; b]

õ t ồ x (a; b) f (a) = f (b) t tỗ t t t
ởt c (a; b) s f (c) = 0

ự

f tử tr [a; b] t ỵ rstrss
f t tr ỹ tr ỹ t tr [a; b] tự

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn





tỗ t x1 , x2 (a; b) s
f (x1 ) = min f (x) = m, f (x2 ) = max f (x) = M.
[a;b]

[a;b]

õ
a) m = M. f (x) = const tr [a; b] õ f (x) = 0 ợ
ồ x (a; b) c t tr õ
b) m < M õ f (a) = f (b) t t ởt tr
x1 , x2 s ổ trũ ợ út ừ [a; b] sỷ
x1 (a; b) t ỵ rt t 0 t
ỵ ữủ ự

t

ỵ õ s ổ ỏ ú tr
(a; b) õ c t õ f (c) ổ tỗ t t

3
f (x) = 2 x2 , x [1; 1] t f (x) tọ f (x)
2

tử tr (1; 1) f (1) = f (1) t f (x) =
33x
ró r t x0 = 0 (1; 1) ổ tỗ t số ổ
t ừ ừ ỵ
tử tr [a; b] ố ợ f (x) ụ ổ
t t f (x) tử tr (a; b) t


1, x = 0,
f (x) =
x, 0 < x 1.
é x = 0 õ ró r ổ tỗ t x0 (0, 1)
f (x0 ) = 0.
ị ồ ừ ỵ ữủ t
t tr ỗ t ừ số y = f (x), x [a; b] tỗ t
M (c; f (c)), c (a; b) t t t õ s s ợ trử Ox

q số f (x) õ tr (a; b) ữỡ
tr f (x) = 0 õ n t tở (a; b) t ữỡ
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn

tr f (x) = 0 õ t t n 1 t tở (a; b).
Pữỡ tr f (k) (x) = 0 õ t t n k t tở
(a; b) ợ k = 1, 2, . . . , n

ự

sỷ ữỡ tr f (x) = 0 õ n t
tở (a; b) ữủ s tự tỹ x1 < x2 < ã ã ã < xn õ
ử ỵ n 1 [x1 ; x2 ], [x2 ; x3 ], . . . , [xn1 ; xn ] t
ữỡ tr f (x) = 0 õ t t n 1 tở n 1
(x1 ; x2 ), (x2 ; x3 ), . . . , (xn1 ; xn ) ồ n 1 õ 1 , 2 , . . . , n1
t t õ
f (1 ) = f (2 ) = ã ã ã = f (n1 ) = 0.
tử ử ỵ n 2 (1 ; 2 ), . . . , (n2 ; n1 )
t ữỡ tr f (x) = 0 õ t t n 2 tr (a; b).
tử ỵ tr s k ữợ ữỡ tr f (k) (x) = 0 õ t t
n k t tr (a; b).

q sỷ số f (x) tử tr [a; b] õ
tr (a; b) õ ữỡ tr f (x) = 0 õ ổ q
n 1 t tr (a; b) t ữỡ tr f (x) = 0 õ
ổ q n t tr õ

ự

sỷ ữỡ tr f (x) = 0 õ ỡ n
t tr (a; b) n + 1 t t t

q 1.1 ữỡ tr f (x) = 0 õ t t n tở (a; b)
tr ợ tt ữỡ tr f (x) = 0 õ ổ q n
tr (a; b)
t t t ởt rở ừ ỵ

q số f (x) t ỗ tớ t t s


f (x) õ n (n 1) tử tr
[a; b].

f (x) õ n + 1 tr (a; b).
S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn





f (a) = f (a) = ã ã ã = f (n) (a) = 0, f (b) = 0.
õ tỗ t b1 , b2 , . . . , bn+1 t tở (a; b)s

f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, . . . , n + 1.

ự

ứ tt f (a) = f (b) = 0, t ỵ tỗ
t b1 (a; b) s f (b1 ) = 0, t ủ ợ f (a) = 0, s
r tỗ t b2 (a; b1 ) (a; b) s f (b2 ) = 0. t ủ ợ
f (a) = 0 t tử ử ỵ t õ f (b3 ) = 0 ợ
b3 (a; b2 ) (a; b).

tử ữ ữợ tự n tỗ t bn (a; bn1 ) (a; b)
s f (n) (bn ) = 0, t ủ ợ f (n) (a) = 0, s r tỗ t
bn+1 (a; bn ) (a; b) s f (n+1) (bn+1 ) = 0.
ữ tỗ t t b1 , b2 , . . . , bn+1 tr (a; b)
s
f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, . . . , n + 1.
ớ ỳ q ỵ tr t ởt ổ
ử rt t t ố ợ t ữỡ
tr ự số ừ ữỡ tr tr ởt
õ ự ử s ữủ tr tt tr ữỡ s

ỵ r ỵ
t t t ởt số ỵ q t tt ợ ỵ

ỵ ỵ r sỷ f tử tr
õ t ồ tr (a; b). õ tỗ t t
t ởt c (a; b) s

[a; b]

f (b) f (a) = f (c)(b a).

ự



t ử


F (x) = f (x) x,

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....