Ma trận xác định dương và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH TRỌNG SỸ

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




Header Page 1 of 1.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH TRỌNG SỸ

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Tạ Duy Phượng

THÁI NGUYÊN – NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




1

Mục lục
Trang
Lời nói đầu…………………………..…………….…………………………… 3

Chương I Ma trận xác định dương…….………………………………………5
1 Ma trận…………………………….………………………………..…………5
1.1 Số phức và không gian vectơ ….………………………………….…………5
1.2 Định nghĩa ma trận ………………………………….………… ……………8
1.3 Ma trận không ………….……………………………………...……………9
1.4 Ma trận đường chéo .……………………………………………………...…9
1.5 Ma trận đơn vị …………….…………………………………………………9
1.6 Các phép toán trên ma trận .…………………………………………………9
1.7 Ma trận nghịch đảo ………………………………………...……………….10
1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp ………………….………11
1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita …………………………………………12
1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng ……………………………………………….13
1.11 Ma trận đối xứng ma trận Hermite

…………………………..………13

2 Ma trận xác định dương…………………………………………….………24
2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương………………………………………...24
2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương….………………………………27
Kết luận Chương……………………………………………………………..…44
Chương 2 Một số ứng dụng của ma trận xác định dương………………….45
1 Lý thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân…………………......45

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




2

1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính với
hệ số hằng...……………………………………………….......………………...45
1.2 Phương pháp Lyapunov…………………….………………………………47
1.3 Điều kiện cần và đủ để ma trận là ma trận ổn định ………...………………48
1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng…………...………………50
2 Bài toán tối ưu hàm toàn phương………………………………………......52
2.1 Tối ưu hàm một biến…………………….………….………………………52
2.2 Tối ưu hàm hai biến ………...…………………………………...…………52
2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế………….……54
Kết luận chương ……………………………………………………………….55
Kết luận……………………………………………………………....………...56
Tài liệu tham khảo……………………………………….................................57

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




3

LỜI NÓI ĐẦU
Lớp ma trận xác định dương là một lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo
thành một đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) và có nhiều ứng dụng
trong lý thuyết đa thức, trong lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…
Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích trình
bày các kiến thức cơ bản của ma trận xác định dương: các định nghĩa, tính chất
của ma trận và ma trận xác định dương cũng như các tiêu chuẩn để nhận biết về
ma trận xác định dương. Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương có
thể giúp ta giải quyết được khá nhiều các bài toán liên quan đến đa thức, và đặc
biệt là trong lý thuyết ổn định, trong toán kinh tế và tối ưu,…
Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng trình bày theo một logic chặt chẽ
về mặt toán học, các chứng minh định lí được trình bày với mức độ chi tiết. Nội
dung trong luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Ma trận xác định dương
Phần đầu của Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất về ma trận:
ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ
yếu của Chương 1 là trình bày khái niệm và các tính chất của ma trận xác định
dương cũng như các dấu hiệu để nhận biết về ma trận xác định dương.
Chương 2. Một số ứng dụng của ma trận xác định dương
Chương hai đề cập tới một số ứng dụng của ma trận xác định dương đối
với lý thuyết đa thức và lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

4

Luận văn được hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của PGS-TS Tạ Duy
Phượng, Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ
Việt Nam; Khoa Toán Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên; Khoa công nghệ
thông tin, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong quá trình học tập tại trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh
Thái Nguyên, Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THPT Phổ Yên đã tạo
điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010
Tác giả

Đinh Trọng Sỹ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




5

CHƯƠNG I

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
Chương này nhắc lại một số những kiến thức cơ bản về ma trận có liên quan đến
ma trận xác định dương, các tiêu chuẩn để kiểm tra một ma trận là xác định
dương và các tính chất của ma trận xác định dương. Nội dung chương này chủ
yếu được tổng hợp dựa trên các trên tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [8] và [9].
Chúng tôi cố gắng chứng minh chi tiết các tính chất và các định lí, trình bày có
hệ thống, độc lập và đầy đủ về ma trận xác định dương.
1 MA TRẬN
1.1 Số phức và không gian vectơ phức
Cho z  a  bi là một số phức.
Ký hiệu z là liên hợp phức của z , tức là z  a  bi .
Nhận xét rằng, z  z khi và chỉ khi b  0 , hay z là số thực.
Số phức z  a  bi  0 khi và chỉ khi z  a  bi  0 , tức là a  0 hoặc b  0 .
Ta luôn có zz   a  bi  a  bi   a 2  b2  0 với mọi số phức z ; zz  0 khi và
chỉ khi z  0 .
Giả sử H là không gian Hilbert với các phần tử là các vectơ cột x số chiều n có
các thành phần là các số phức.
Định nghĩa ([3], trang 1) Tích vô hướng giữa hai vectơ x và y trong H là một
số  ( x, y) : x, y : x y  x1 y1  x2 y2  ...  xn yn , trong đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




6

 x1 
 y1 

 
 
x   ....   H , y   ...   H , xk  ak  bk i , xk  ak  bk i , k  1, 2,..., n và
x 
y 
 n
 n

 x1   a1  ib1 
  

x  x   ...    ....    a1  ib1,..., an  ibn  .
 x   a  ib 
n
 n  n
Khi H là không gian Euclid với các phần tử là các vectơ cột số chiều n có các
thành phần là các số thực, thì tích vô hướng giữa hai vectơ được định nghĩa là

 ( x, y) : x, y : xy  x1 y1  x2 y2  ...  xn yn .
Ánh xạ f : H   được gọi là tuyến tính trên H nếu với mọi t1 , t2  , mọi

x1, x2  H ta có f  t1x1  t2 x2   t1 f  x1   t2 f  x2  .
Ánh xạ f : H   được gọi là tuyến tính liên hợp trên H nếu với mọi t1 , t2  ,
mọi x1, x2  H ta có f  t1x1  t2 x2   t1 f  x1   t2 f  x2  .
Tính chất Tích vô hướng .,. tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến
tính theo biến thứ hai, tức là khi cố định biến thứ hai thì tích vô hướng là ánh xạ
tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và khi cố định biến thứ nhất thì tích vô
hướng là ánh xạ tuyến tính theo biến thứ hai.

 x1 

 x1 


Chứng minh Thật vậy, vì x   ...  nên x   ...  , x*   x    x1 ,..., xn  ;
x 
x 
 n
 n
 y11 
 y12 
 y11 
 y12   t1 y11  t2 y12 
 
 
 
  

y1   ...  , y 2   ...  nên t1 y1  t2 y 2  t1  ...   t2  ...   
....

 y1 
 y2 
 y1 
 y 2   t y1  t y 2 
 n
 n
 n
 n 1 n 2 n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

7

Do đó

 t1 y11  t2 y12 

 n
1
2
*
1
2
 ( x, t1 y  t2 y )  x (t1 y  t2 y )   x1,..., xn   .........    xi t1 y1i  t2 yi2 
 t y1  t y 2  i 1
1 n 2 n



n

 t1 

xi yi1

n











 t2  xi yi1  t1x* y1  t2 x* y 2  t1 x, y1  t2 x, y 2 .

i 1

i 1

Vậy theo định nghĩa, tích vô hướng .,. tuyến tính theo biến thứ hai.
Bây giờ cố định biến thứ hai, vì z1 z2  z1z2 và z1  z2  z1  z 2 nên



 t1 x11  t2 x12 


 
t1x1  t2 x 2  t1x1  t2 x 2   ..........   t1x11  t2 x12 ,..., t1xn1  t2 xn2 .
 t x1  t x 2 
1 n 2 n











Do đó

t x

1

1

n

 t2 x

2 





y



t1x11





t2 x12 ,..., t1 xn1



n

n

t2 xn2



 y1 
 
 .... 
y 
 n
*

 

i 1

i 1

*

 

  t1xi1  t2 xi2 yi  t1  xi1 yi  t2  xi2 yi  t1 x1 y  t2 x 2

y.

i 1

tức là



  t (x ) y  t (x ) y   t



 t1x1  t2 x 2 , y  t1x1  t2 x 2 , y  t1x1  t2 x 2
1 *

1

2 *

2

1









y  t1 ( x1 )*  t2 ( x 2 )* y

x1 , y  t2 x 2 , y  t1 ( x1, y )  t2 ( x 2 , y ).

Vậy  là tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất.
Nếu H là không gian Euclid hữu hạn chiều  n với các phần tử là các vectơ có
các thành phần là các số thực thì  là tuyến tính theo từng biến.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




8

Nhận xét Trong một số tài liệu, Ví dụ, [6, trang 197], định nghĩa tích vô hướng
của hai vectơ x và y là f ( x, y ) : x, y : x1 y1  ...  xn yn . Khi ấy tích vô hướng
tuyến tính theo biến thứ nhất và tuyến tính liên hợp theo biến thứ hai.
1.2 Định nghĩa ma trận
Cho m, n là hai số tự nhiên. Một m  n -ma trận (ma trận cấp m  n ) là một bảng

 a11 a12 ......a1n 


a21 a22 .....a2 n 

số hình chữ nhật gồm m dòng và n cột
.
 ......................... 


 am1 am 2 ....amn 
Các số (thực hoặc phức) a được gọi là phần tử ở dòng i cột j ( i  1, m ; j  1, n )
ij
của ma trận.
Ma trận được viết dưới dạng rút gọn A   a  .
 ij 
Khi cần chỉ rõ cụ thể cấp của ma trận thì ta viết A   a  .
 ij  mn
Khi m  n thì ta có ma trận vuông cấp n . Kí hiệu ma trận vuông cấp n là An .

 x1 
 
x
Khi n  1 ma trận A có cấp m  1 được gọi là vectơ cột x   2  số chiều m .
 ... 
 
 xm 
Khi m  1 ma trận có cấp 1  n được gọi là vectơ hàng x   x1 , x2 ,..., xn  cấp n .
Không gian vectơ (thực hoặc phức) là tập hợp các phần tử gồm tất cả các vectơ
cột với các tọa độ là các số (thực hoặc số phức) thỏa mãn các tiên đề của không

gian vectơ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....