Một số vấn đề về lý thuyết số nguyên tố
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (259.7 KB, 27 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LƯƠNG THỊ BĂNG
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT
SỐ NGUYÊN TỐ
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI
THÁI NGUYÊN - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Công trình được hoàn thành tại
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Người hướng dẫn khoa học:GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI
Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................
Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........................................................................
Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Ngày .... tháng .... năm 2010
Có thể tìm hiểu tại
THƯ VIỆN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm
khắc của GS.TSKH. Hà Huy Khoái. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết
ơn sâu sắc tới Thầy và gia đình.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học,
Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa học đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho tôi được học tập tốt.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Kạn, Trường
Trung học phổ thông Ngân Sơn, đặc biệt là tổ Toán Tin đã giúp đỡ tôi về
tinh thần và vật chất trong suốt quá trình học tập.
Thái Nguyên, ngày 19 tháng 9 năm 2010
Tác giả
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Trong số học số nguyên tố đóng vai trò rất quan trọng. Từ xưa các nhà
toán học đã mất rất nhiều thời gian để nghiên cứu số nguyên tố nhưng cho
đến nay, còn nhiều điều bí ẩn về số nguyên tố vẫn chưa được biết. Ngày nay
nhờ vào sự tiến bộ của KHKT, nhờ vào máy tính điện tử, người ta đã tìm
ra được rất nhiều số nguyên tố lớn (có hàng chục triệu chữ số). Bên cạnh đó
những định lí về số nguyên tố luôn lôi cuốn sự chú ý của các nhà toán học,
vì thế người ta luôn cố gắng tìm những chứng minh mới. Chứng minh tính
vô hạn của các số nguyên tố có thể sử dụng các lí thuyết khác nhau của số
học, lí thuyết chuỗi, tô pô, và nhiều công cụ khác.
Luận văn gồm hai chương. Chương 1, chúng tôi trình bày những chứng
minh khác nhau của định lí Euclid. Cũng trong chương này, chúng tôi sẽ trình
bày một số bài toán tồn tại nổi tiếng trong lí thuyết số nguyên tố. Chương 2,
chúng tôi sẽ trình bày lịch sử tìm ra một số số nguyên tố lớn và ứng dụng, mà
trọng tâm của chương là nghiên cứu lịch sử tìm ra số nguyên tố Mersenne vì
từ trước cho đến nay những số nguyên tố lớn tìm được thường là số nguyên
tố Mersenne.
Nhận thức được lí thuyết số nguyên tố là nền tảng của số học, chúng ta
đã được học về số nguyên tố từ rất sớm, ngay từ bậc học phổ thông cơ sở,
nhưng rất ít tài liệu viết về số nguyên tố. Bản luận văn này sẽ cung cấp thêm
một tài liệu về lịch sử nghiên cứu lí thuyết số nguyên tố và quá trình tìm ra
các số nguyên tố lớn. Chúng tôi hy vọng luận văn này sẽ đáp ứng được phần
nào lòng yêu thích nghiên cứu số nguyên tố của các bạn đồng nghiệp, của
các em học sinh.
Sau một thời gian nghiên cứu luận văn được hoàn thành. Tuy nhiên sẽ
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
không tránh khỏi nhiều sai sót. Kính mong sự góp ý của quý thầy cô, các
bạn đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 19 tháng 9 năm 2010
Tác giả
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Chương 1. Định lí Euclid về số nguyên tố
5
1.1. Định lí: Tập hợp số nguyên tố là vô hạn . . . . . . . . . . . .
5
1.2.
Những chứng minh khác nhau của định lí Euclid . . . . . . .
5
1.2.1. Chứng minh 1 (Euclid, thế kỉ III trước công nguyên) .
5
1.2.2. Chứng minh 2 (Kummer) . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.3.
Chứng minh 3 (Silvestre) . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.4. Chứng minh 4 (Goldbach) . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.5. Chứng minh 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.6. Chứng minh 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.7.
Chứng minh 7 (Kholsinskii 1994) . . . . . . . . . . . . 10
1.2.8. Chứng minh 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.9. Chứng minh 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.10. Chứng minh 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.11. Chứng minh 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.12. Chứng minh 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.13. Chứng minh 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1.2.14. Chứng minh 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.15. Chứng minh 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.16. Chứng minh 16 (Euler) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.17. Chứng minh 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.18. Chứng minh 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.19. Chứng minh 19 (chứng minh sử dụng tô pô, Furstenberg,1955) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2. Số nguyên tố lớn và ứng dụng
20
2.1. Tại sao cần phải tìm số nguyên tố lớn? . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1. Hệ mã mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Các hệ mật mã khóa công khai . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Số nguyên tố Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1. Số hoàn hảo và số nguyên tố Mersenne . . . . . . . . . 26
2.2.2. Lịch sử tìm số nguyên tố Mersenne . . . . . . . . . . . 30
2.2.3. Danh sách các số nguyên tố Mersenne đã biết . . . . . 31
2.3. Một số số nguyên tố lớn được biết đến . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1. Các số nguyên tố sinh đôi . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2. Các số nguyên tố Sophie Germain . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3. Các số giai thừa nguyên tố, nguyên tố giai thừa . . . . 33
2.4. Lịch sử nghiên cứu số nguyên tố . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1. Các chủ đề lịch sử lí thuyết số nguyên tố . . . . . . . . 34
2.4.2. Một số vấn đề chưa được giải quyết . . . . . . . . . . . 36
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chương 1
Định lí Euclid về số nguyên tố
Những định lí tồn tại luôn luôn lôi cuốn sự chú ý của các nhà toán học, vì
thế người ta luôn luôn cố gắng tìm những chứng minh mới của các định lý
toán học cổ điển. Chẳng hạn cho đến nay người ta đã biết 350 chứng minh
khác nhau của định lí Pytago. Những chứng minh như vậy không chỉ thú vị
về mặt khoa học mà còn có ý nghĩa về mặt lịch sử. Hơn nữa nhiều chứng
minh cho thấy mối liên quan giữa những lĩnh vực và sự kiện khác nhau ở
trong toán học. Ở đây chúng tôi sẽ trình bày 19 chứng minh khác nhau của
một trong những định lí nổi tiếng nhất của toán học, đó là định lí Euclid:
1.1.
Định lí: Tập hợp số nguyên tố là vô hạn
1.2.
Những chứng minh khác nhau của định lí Euclid
1.2.1.
Chứng minh 1 (Euclid, thế kỉ III trước công nguyên)
Giả sử tập hợp số nguyên tố là hữu hạn. Gọi p là số nguyên tố lớn nhất.
Xét k là tích của tất cả các số nguyên tố cộng thêm 1:
k = 2 · 3 · 5 · · · ·p + 1.
Số k không có ước nguyên tố bởi vì khi chia cho số nguyên tố tùy ý ta được
phần dư bằng 1. Trong khi đó dễ thấy rằng ước số bé nhất m > 1 của số tự
nhiên k là số nguyên tố, mâu thuẫn này chứng minh định lí.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1.2.2.
Chứng minh 2 (Kummer)
Thực chất của chứng minh Eculid là ở chỗ, với giả thiết về tính hữu hạn
của tập hợp số nguyên tố, người ta xây dựng số nguyên k nào đó không chia
hết cho một số nguyên tố nào.
Nhà toán học Đức Kummer đã thay trong lập luận của Euclid chỉ một dấu
trong định nghĩa của k:
k = 2 · 3 · 5 · · · p − 1.
Trước khi đi đến các chứng minh khác ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.2.1. Nếu tồn tại dãy vô hạn các số nguyên, nguyên tố cùng nhau
từng cặp thì tập hợp số nguyên tố là vô hạn.
Chứng minh. Thật vậy, các số nguyên tố cùng nhau từng cặp không có ước
nguyên tố chung. Vì thế nếu lấy mỗi một ước nguyên tố của mỗi một số trong
dãy ta sẽ nhận được một tập hợp vô hạn mà các phần tử của chúng đều là
số nguyên tố.
Bây giờ để chứng minh có vô hạn số nguyên tố ta chỉ cần đi tìm những
dãy số nguyên tố cùng nhau từng cặp.
1.2.3.
Chứng minh 3 (Silvestre)
Xét dãy an xác định bởi quan hệ sau:
a1 = 2
ak+1 = (ak )2 − ak + 1, k ∈ N.
Chẳng hạn một số số hạng đầu tiên của dãy là như sau: 2, 3, 7, 43.
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi n ∈ N ta có đẳng thức sau:
an+1 = a1 · a2 · · · ·an−1 · an + 1.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Với n = 1 hiển nhiên.
Bây giờ giả sử quan hệ đúng với n tức là
an+1 = a1 · a2 · · · an−1 · an + 1.
Khi đó:
an+2 = (an+1 )2 − an+1 + 1,
a1 · a2 · · · ·an+1 + 1 = a1 · a2 · · · an [(a1 · a2 · · · an−1 · an ) + 1] + 1
=[(a1 · a2 · · · ·an )2 + a1 · a2 · an ] + 1
=[(an+1 )2 − 2an+1 + 1 + an+1 − 1 + 1
=(an+1 )2 − an+1 + 1.
Vậy (1) đã được chứng minh.
Từ (1) suy ra rằng mỗi phần tử với dãy Silvestre nguyên tố cùng nhau với
tất cả các phần tử đứng trước đó. Như vậy ta được một dãy vô hạn các số
nguyên tố cùng nhau từng cặp.
1.2.4.
Chứng minh 4 (Goldbach)
n
Giả sử an = 22 + 1
n
Ta sẽ chứng minh rằng hai số tùy ý trong dãy 3, 5, 17, ..., 22 + 1, ... là nguyên
tố cùng nhau từng cặp.
Giả sử ngược lại an và ak trong đó n > k không nguyên tố cùng nhau tức
là có ước chung nào đó d > 1.
Ta nhận thấy rằng dãy đang xét gồm toàn số lẻ, do đó d > 2.
Xét đồng nhất thức sau đây:
2
(1 + 2) · (1 + 22 ) · (1 + 22 )...(1 + 22
n−1
n
) = 22 − 1
n
Đồng nhất thức trên chứng tỏ rằng số an − 2 = 22 − 1 chia hết cho ak , và do
đó chia hết cho d. Nhưng khi đó 2 = an − (an − 2) cũng chia hết cho d (mâu
thuẫn).
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
data error !!! can't not
read....
