CHƯƠNG 3 bài GIẢNG điện tử XSTK

Chương 3.Các đặc trưng của đại lượng ngẫu
nhiên và véctơ ngẫu nhiên.
§1 Kỳ vọng
1. Định nghĩa
    xi   pi        xi pi
Định nghĩa 1.1: Giả sử
i
Định nghĩa 1.2: Giả sử X liên tục và có hàm mật độ là f X  x 


    



x . f X  x  dx



Ý nghĩa: Kỳ vọng E(X) là giá trị trung bình của X
2. Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C là hằng số
(3) E(X+Y) = E(X) + E(Y)
(4) X, Y độc lập suy ra E(XY) = E(X).E(Y)
1


§2: PHƯƠNG SAI
1.Định nghĩa 2.1:Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X
2
là:

D           



Định lý 2.1 :

  

D()       
2



2

 

với  2   xi2.pi , nếu X rời rạc ;

 

 2 

i


2
x
 .f  x dx , nếu X liên tục.



2
C
.D()
2. Tính chất: (1) D(C) = 0 ; (2) D(CX) =
(3) X,Y độc lập suy ra D(X+Y) = D(X)+D(Y)
(4) D(C+ X) = D(X), với C là hằng số
3. Độ lệch:      D   

2


§3.Các đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên
1.Mod X (giá trị của X ứng với xác suất lớn nhất)
Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc và     xi   pi

 M o d   xi

0

n e áu p i  M a x p i
0

Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục và có hàm f X

 x , ta có

 Mod   x0 neáu f X  x0   Max f X  x 
2. Med X(medium – trung vị X)
Định nghĩa 3.3:
Med   m      m  1/ 2,   X  m  1/ 2

Định lý 3.1: Nếu X liên tục thì

M edX  m  F X ( m ) 



m



f X  x  dx 

1
2

3


3.Moment
Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu nhiên X
đối với số a là :
k

  X  a 



a = 0: moment gốc
a = E(X): moment trung tâm.
4. Hệ số nhọn và hệ số bất đối xứng(xem SGK)

Ví dụ 3.1:
cos x, x   0,  / 2

 ~ fX  x  
0, x   0,  / 2


   





x. f X  x  d x 



 /2
0

x . co s xd x 


2

1
4


2



D  X    x cos xdx    1     3
0


 2

 /2

2

 

 X2

Mod X =0
Med X = m





m



f X  x  dx 



m

0

cos xdx  1 / 2

 sin m  1 / 2, m  [0,  / 2]  m   / 6
Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất như sau

X 1

2 ... m 1
m2

P p qp ... q

m
m1

p q

m 1 ...
m

k

...

k 1

p q p ... q p ...
5




E(X ) 



k p .q

k 1

k 1



 p.

1

1  q 

 1 
D ( X )   k pq
 


p
k 1



 



2

k 1

2

 

2

1

p

2



 1 
1 q
 p.

 

3
(1  q )
p



2

1 q
1
q



2
2
p
p
p2

Mod X = 1

 p 1  q  ...  q m  2   1 / 2

Med X =m  
m2
m 1
p

1

q

...

q

q
 1/ 2
 
6


m1

 1 q
 m1 1
p
.

1/
2
q 
 1 q
m1


1  q  1/ 2 
2






m
m
1  q  1/ 2
 p. 1  q  1/ 2
qm  1

 1  q
2
 m ln q   ln 2 ,  m  1 ln q   ln 2
 ln 2
 ln 2

m
1
ln q
ln q

7


.Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau:

X
P

2
5
7
0, 4 0,3 0,3

    2.0,4  5.0,3  7.0,3  4,4
2

2

2

D    2
.0.4  
5 
.0,3  7 .0,3

4,4





2

 

 2

    D( X )  2,107

Mod X = 2 ; Med X = 5
8


Cách dùng máy tính bỏ túi ES
• Mở tần số(1 lần): Shift Mode
• Nhập: Mode Stat 1-var

xi

Stat On(Off)

ni

2 0,4
5 0,3
7 0,3
AC: báo kết thúc nhập dữ liệu
Cách đọc kết quả: Shift Stat Var

x       4, 4

 n  x n   x       2,107
9


Cách dùng máy tính bỏ túi MS:
Vào Mode chọn SD
Xóa dữ liệu cũ: SHIFT CLR SCL =
Cách nhập số liệu :

2; 0,4 M+
5; 0,3 M+
7; 0,3 M+
Cách đọc kết quả:
SHIFT S – VAR

x       4, 4

 n  x n   x       2,107
10


Ví dụ 3.4: Tung cùng 1 lúc 5 con xúc xắc cân
đối,đồng chất .Gọi X là tổng số điểm nhận được.
Hãy tính E(X), D(X)
Giải: Gọi Xi là số điểm của con xúc xắc thứ i

  1 2  .... 5
    1   ....  5   5 1 
Xi độc lập  D   D 1   D 2   ...  D 5   5D 1 
X1
PX

1
1
6

2 ... 6
7
   1   ,

1
1
2
...
6
6

35
D  1  
12
11


§4: Kỳ vọng của hàm Y     
1.Trường hợp rời rạc:

  xi   pi  E(Y)    xi  .pi
i

2.Trường hợp liên tục:

 ~ f X  x    Y  
Ví dụ 4.1:
Cho

  fX

x 






  x . f X  x  d x


 

c
o
s
x
,
x

0
,


2 

 
 

0 ,
x  0,

2 


Tìm kỳ vọng và phương sai của Y= sinX.
12


 Y   

 /2

0

 Y

2



sin x
sin x cos xdx 
2

 /2

0

2

3

 /2

0

sin x
sin x cos xdx 
3

1

2

 /2

2

D Y    Y    E Y  
2

2

0

1

3

1 1 1
  
3 4 12
13

§5: Kỳ vọng của hàm     ,Y 



1.Trường hợp rời rạc:    x i , Y  y j

    
Ví dụ 5.1:

 Y

 

x i y j p ij



p ij

   x , y . p
i

j

ij

i, j

i, j

2.Trường hợp liên tục: (X,Y) liên tục và có hàm mật độ
f(x,y)
Ví dụ 5.2:

         x, y . f  x, y  dxdy



2
R

Z





8xy, neáu 0  x  y  1, (hình 5.1)
f  x, y  
0 , neáu traùi laïi.
14


HÌNH 5.1

y
1





0

1

X
15


 

  
R

 Y

y. f



R



X

2



X

.Y



x, y dxdy



2

 

2

x, y dxdy

2

  
R

 Y

x. f

y2. f

x, y dxdy

x2. f

x, y dxdy




1
0
1

0

dy 
dy 

y
0
y

0

x .8 x y d x
y .8 x y d x

2

 



  
R

xy. f

x, y dxdy

2

16


§6: Các đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên
1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y))
2. Hiệp phương sai (covarian):
Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))]
Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y)
Tính chất: (1) X,Y độc lập thì cov(X,Y) = 0
(2) cov(X,X) = D(X)
n
m
n
 m

(3) cov    i ,  Y j     cov   i , Y j 
j 1
 i 1
 i 1 j 1

m
m
 m

(4) cov    i ,   k    D   i    cov   i , X k 
k 1
ik
 i 1
 i 1

17


3. Hệ số tương quan
Định nghĩa 6.2:

R XY

cov  ,Y 

    .  Y 

Tính chất: (1) X,Y độc lập  RY  0
(2) R X Y  1,   , Y
(3) R X Y  1   a , b , c : a   b Y  c
Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho sự ràng buộc tuyến tính
giữa X và Y: R X Y càng gần1, thì X,Y càng gần có quan
hệ tuyến tính.
 cov ,  ,cov ,Y  
4. Ma trận tương quan:

D ,Y   
 covY,  ,covY,Y  



18


• Ví dụ 6.1:Cho các biến ngẫu nhiên
có phương sai đều bằng 1 và

1, 2 ,..., m;Y1,Y2 ,...,Yn

cov i , j   p1;covYi ,Yj   p2;cov i ,Yj   p3
Tìm hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên:

U   1 2 ..... m  và V  Y1 Y2 .....Yn 
Giải:
n
m
 m n
cov U ,V   cov   i , Yi   .cov  i , Yj   m.n. p3
j 1
 i1
 i1 j 1
m
m
 m
D U   cov   i ,  X k    D  i   cov  i , k   m  m(m 1). p1

k 1
i k
 i1
 i1
D V   n  n(n 1). p2
cov U ,V 
m.n. p3
RUV 

 U  . V 
m  m  m 1 p1 . n  n  n 1 p2
19


5. Cách dùng máy tính bỏ túi
a)Loại ES:

MODE STAT a+bx

xi

yj

pij
AC

Cách đọc kết quả:
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT VAR

SHIFT STAT VAR
SHIFT STAT REG
SHIFT STAT SUM

x    X 
x n    X 
y   Y 

y n   Y 

r  R XY

 xy    XY 
20


b) Loại MS: MODE REG LIN
Cách xóa dữ liệu cũ :
SHIFT CLR SCL =
Cách nhập dữ liệu :
Cách đọc kết quả:
SHIFT S-VAR
SHIFT S-VAR
SHIFT S-VAR
SHIFT S-VAR
SHIFT S-VAR
SHIFT S-SUM

xi , y j ; p ij
x  

M 

X 

x n   

X 

 y    Y 
 y  n    Y 
  r   R XY




xy  

XY 
21


Ví dụ 6.2: Giả sử X,Y có bảng phân phối xác suất sau:

Y

3

5

0

0,1

0,2

2

0,3

0,4

X

22


.Bảng trên tương đương với bảng sau:
xi

yj

pij

0

3

0,1

0

5

0,2

2

3

0,3

2

5

0,4

23


Nhập bảng số liệu vào máy tính,ta có:
x    X   1, 4

x n    X   0,9165
y   Y   4, 2

y n   Y   0, 9798
r  R XY   0, 0891

 xy    XY   5,8
24