Phép chia đa thức nhiều biến và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------

NGUYỄN NGỌC BIÊN

PHÉP CHIA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số

: 60 46 40

Thái Nguyên, năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

✶

P❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣

✺

✶✳✶ P❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✷ ❚❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ➢í❝ ❝❤✉♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t

✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✸ ❱➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

P❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥

✷✶

✷✳✶

■➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✷✳✷

▼ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ✈Ò ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✷✳✸

❚❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✼

✷✳✹ ❈➡ së ●r♦❡❜♥❡r ✈➭ ♠ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✵

✷✳✺ ❚❤✉❐t t♦➳♥ ❇✉❝❤❜❡r❣❡r
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✶

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên






ờ
ột tờ ứ t sĩ ủ t ợ
t ớ t ề t Pé tứ ề ế ột số ứ ụ
ữ ết q t t ợ ó ờ sự ớ t tì
ủ P ị tỏ ò ết
s s ế
t ệ ò t
ủ rờ ọ ọ ọ t ề
ệ t t ề t tr tờ q ộ ũ ộ
tộ ò t ết ò ủ ộ ú ỡ ớ
ọ ú t ớ ột t ộ ệt tì t tệ t ề sẽ
tợ rt tốt ẹ tr ò ỗ ú t ố ớ trờ
ở ộ ụ ở ụ t tỉ

trờ P ố tổ trờ P ố t ề ệ
t t ó ọ
ì ữ ờ q t t ề
ệ ộ ổ ũ ể t ó tể t ệ ụ ủ ì

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✸

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉
❈❤ó♥❣ t❛ ❜✐Õt r➺♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ➤➲ ❝ã tõ r✃t ❧➞✉ ✈➭ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ø♥❣
❞ô♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ t♦➳♥ ❤ä❝✳ ➜➷❝ ❜✐Öt✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣
❝ô r✃t ♠➵♥❤ ✈➭ r✃t ❤÷✉ ❤✐Ö✉ tr♦♥❣ ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥
tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥ tr➟♥ ♠ét tr➢ê♥❣✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣
♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❦❤➠♥❣ ❝ã t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ ✈× ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥
❦❤➠♥❣ ❝ß♥ ❧➭ ✈➭♥❤ ❊✉❝❧✐❞ ♥÷❛✱ t❤❐♠ ❝❤Ý ♥ã ❝ò♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧➭ ✈➭♥❤ ❝❤Ý♥❤✱ ✈➭
❞♦ ➤ã ❝❤➢❛ ❝ã ➤➢î❝ ❵❵♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢✬✬✳ ❱× t❤Õ✱ r✃t tù ♥❤✐➟♥✱ ♥❣➢ê✐ t❛ ❝➬♥
t×♠ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ô ➤Ó ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥
❤÷✉ ❤✐Ö✉ ♥❤➢ t❤✉❐t t♦➳♥ ❊✉❝❧✐❞ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♠ét ❜✐Õ♥✳ ▲ý t❤✉②Õt ❝➡
së ●r♦❡❜♥❡r r❛ ➤ê✐ ♠ét ♣❤➬♥ ♥❤➺♠ ➤➳♣ ø♥❣ ♥❤÷♥❣ ♥❤✉ ❝➬✉ ❝➬♥ t❤✐Õt ➤ã✳
❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ➤➢î❝ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❧➬♥ ➤➬✉ t✐➟♥ ❜ë✐ ❍✳ ❍✐r♦♥❛❦❛
✈➭♦ ❣✐÷❛ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠ ✶✾✻✵ ✈í✐ t➟♥ ❵❵❝➡ së ❝❤✉➮♥✧✱ ✈➭ s❛✉ ➤ã ♠ét t❤ê✐ ❣✐❛♥
♥❣➽♥✱ ➤é❝ ❧❐♣ ✈í✐ ❍✐r♦♥❛❦❛✱ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥➭② ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥
t✐Õ♥ sÜ ❝ñ❛ ❇✳ ❇✉❝❤❜❡r❣❡r✳ ❇✉❝❤❜❡r❣❡r ➤➲ ➤➷t t➟♥ ❧➭ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ➤Ó tá
❧ß♥❣ ❦Ý♥❤ trä♥❣ ❲✳ ●r♦❡❜♥❡r✱ t❤➬② ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❧✉❐♥ ➳♥ ❝ñ❛ ♠×♥❤✳ ❈➡ së
●r♦❡❜♥❡r ❝ã ø♥❣ ❞ô♥❣ ré♥❣ r➲✐ tr♦♥❣ ♥❤✐Ò✉ ♥❣➭♥❤ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ t♦➳♥ ❤ä❝✳
➜➷❝ ❜✐Öt✱ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ô r✃t ♠➵♥❤ tr♦♥❣ ✈✐Ö❝ ❣✐➯✐ q✉②Õt

♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ✈Ò ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ✐➤➟❛♥ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ tr➟♥ ♠ét
tr➢ê♥❣✳
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ò ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét
❜✐Õ♥ tr➟♥ tr➢ê♥❣✱ tõ ➤ã ①➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝
♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ ✈➭ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ♠ét ♣❤➬♥ ❧Ý t❤✉②Õt ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ❣å♠ ✷ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ❝➳❝ ➤❛
t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥ ✈➭ ♥❤÷♥❣ ➳♣ ❞ô♥❣ ♥❤➢✿ t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ ➢í❝ ❝❤✉♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t
❝ñ❛ ❤❛✐ ➤❛ t❤ø❝✱ t❤✉❐t t♦➳♥ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ➢í❝ ❝❤ó♥❣ ❧í♥ ♥❤✃t t❤➭♥❤ tæ ❤î♣ t✉②Õ♥

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✹
tÝ♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ➤➲ ❝❤♦✱ ❜➭✐ t♦➳♥ trô❝ ❝➝♥ t❤ø❝ ë ♠➱✉ sè✱ ❜➭✐ t♦➳♥ t×♠
♣❤➬♥ tö s✐♥❤ ❝ñ❛ tæ♥❣ ✈➭ ❣✐❛♦ ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥✳✳✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥✳
P❤➬♥ ➤➬✉ ❝ñ❛ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ①Ðt ❝➳❝ ✐➤➟❛♥ ➤➡♥ t❤ø❝ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉
❜✐Õ♥✱ tõ ➤ã ①➞② ❞ù♥❣ t❤✉❐t t♦➳♥ ❝❤✐❛ tr♦♥❣ ✈➭♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥✳ P❤➬♥
t✐Õ♣ t❤❡♦ tr×♥❤ ❜➭② ✈Ò ✐➤➟❛♥ ❞✃✉✱ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r ✈➭ t❤✉❐t t♦➳♥ ❇✉❝❤❜❡r❣❡r
➤Ó t×♠ ❝➡ së ●r♦❡❜♥❡r✳ ❚õ ➤ã ø♥❣ ❞ô♥❣ ➤Ó tr➯ ❧ê✐ ❝➳❝ ❝➞✉ ❤á✐ ❦❤✐ ♥➭♦ t❤×
➤❛ t❤ø❝ ❞➢ ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✱ ❣✐➯✐ q✉②Õt ❜➭✐ t♦➳♥ t❤➭♥❤ ✈✐➟♥ ♥❤➢ t❤Õ ♥➭♦✳✳✳
❍➬✉ ❤Õt ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤Ò✉ ➤➢î❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦
tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝✉è♥ s➳❝❤ ■❞❡❛❧s✱ ❱❛r✐❡t✐❡s ❛♥❞ ❆❧❣♦r✐t❤♠s✱ ❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦

❝♦♠♣✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❧r❛ ❝ñ❛ ❜❛ t➳❝ ❣✐➯ ❉✳ ❈♦①✱ ❏✳ ▲✐tt❧❡ ✈➭ ❉✳ ❖✬ ❙❤❡❛ ❬❈▲❖❪
✈➭ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❈♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❆❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ ❆❧❣❡❜r❛✐❝ ●❡♦♠❡tr② ❝ñ❛ ❊✳
❑✉♥③ ❬❑✉❪✳ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ së tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tõ ❝➳❝
❣✐➳♦ tr×♥❤ t✐Õ♥❣ ❱✐Öt ✈Ò ➜➵✐ sè ➤➵✐ ❝➢➡♥❣ ❬❈❪✱ ❬❍❚❪✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





Pé ớ tứ ột ế
tr trờ
trì ữ ết q q trọ ề é ớ
tứ ột ế tr ột trờ tt t tì ớ ớ t
ể ễ ớ ớ t t tổ ợ tế tí ủ tứ
t trụ tứ ở t t tt t tì tử s
ủ tổ tr tứ ết q
tr t ú tứ ớ số tr ột trờ
t ì ể t tệ ú t ỉ trì tr trờ ợ ệ
số ủ tứ số ứ



Pé ớ

ị ĩ



K C. ọ K ột trờ ế 1 K K

ó í ớ é t ộ trừ tử

0



Q R C trờ Q[ p] = {a + b p | a, b Q}

ột trờ ế

p số tố

ừ ề s tết

K C ột trờ ột ể tứ

f (x) = an xn + an1 xn1 + ... + a0 , ai K, an = 0 ợ ọ ột
tứ ủ x ế x ớ ệ số tr K ệ số an ợ ọ ệ số


S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn




✻

❝❛♦ ♥❤✃t ❝ñ❛ f (x)✱ sè tù ♥❤✐➟♥ n ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜❐❝ ❝ñ❛ f (x) ✈➭ ➤➢î❝ ❦Ý ❤✐Ö✉
❧➭

deg f (x)✳ ❑❤✐ an = 1 t❤× f (x) ❣ä✐ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❞➵♥❣ ❝❤✉➮♥ ✳ ❚❛ ❝❤Ø ➤Þ♥❤

♥❣❤Ü❛ ❜❐❝ ❝❤♦ ♥❤÷♥❣ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➳❝
❑Ý ❤✐Ö✉

0 ✈➭ q✉② ➢í❝ ➤❛ t❤ø❝ 0 ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ❜❐❝✳

K[x] ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ➮♥ x ✈í✐ ❤Ö sè tr♦♥❣ K ✳ ●✐➯ sö f (x) =

ai xi ✈➭ g(x) =

bi xi ✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ f (x) + g(x) =

ck xk ✱ tr♦♥❣ ➤ã ck =

f (x)g(x) =

(ai + bi )xi ✈➭

ai bj .
i+j=k

✶✳✶✳✷ ❈❤ó ý✳

❱í✐

f (x), g(x) ∈ K[x] t❛ ❧✉➠♥ ❝ã

deg(f (x) + g(x))

max{deg f (x), deg g(x)}

deg(f (x).g(x)) = deg f (x) + deg g(x).
❚✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ➤Þ♥❤ ❧Ý ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ ✈í✐ ❞➢ ❝❤♦ ➤❛ t❤ø❝ ♠ét ❜✐Õ♥✳
✶✳✶✳✸ ➜Þ♥❤ ❧ý✳

❈❤♦ f (x), g(x) ∈ K[x] ✈í✐ g(x) = 0✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ❞✉②

♥❤✃t ♠ét ❝➷♣ ➤❛ t❤ø❝ q(x), r(x) ∈ K[x] s❛♦ ❝❤♦

f (x) = g(x)q(x) + r(x), ✈í✐ r(x) = 0 ❤♦➷❝ deg r(x) < deg g(x).
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t✳ ●✐➯ sö

f (x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q1 (x) + r1 (x),
tr♦♥❣ ➤ã

r(x), r1 (x) ❜➺♥❣ 0 ❤♦➷❝ ❝ã ❜❐❝ ♥❤á ❤➡♥ ❜❐❝ ❝ñ❛ g(x)✳ ❑❤✐ ➤ã
g(x)(q(x) − q1 (x)) = r1 (x) − r(x).

◆Õ✉ r1 (x)
♥➟♥

= r(x) t❤× g(x)(q(x) − q1 (x)) = 0✳ ❱× g(x) = 0 ✈➭ K ❧➭ tr➢ê♥❣

q(x) − q1 (x) = 0✱ tø❝ ❧➭ q(x) = q1 (x)✳ ◆Õ✉ r(x) = r1 (x) t❤×
deg(r − r1 ) = deg g(q − q1 ) = deg g + deg(q − q1 ).

❈❤ó ý r➺♥❣

deg(r − r1 )

max{deg r, deg r1 } < deg g

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

deg g + deg(q − q1 ).




✼
➜✐Ò✉ ♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥✳
❙ù tå♥ t➵✐ ❝ñ❛ ❝➷♣ ➤❛ t❤ø❝
➤➞②✿ ◆Õ✉
sö

q(x) ✈➭ r(x) ➤ù➡❝ s✉② r❛ tõ t❤✉❐t t♦➳♥ ❞➢í✐

deg f (x) < deg g(x) t❤× t❛ ❝❤ä♥ q(x) = 0 ✈➭ r(x) = f (x). ●✐➯

deg f (x) ≥ deg g(x)✳ ◆❤❐♥ ①Ðt r➺♥❣ ♥Õ✉ ❝ã ➤❛ t❤ø❝ h(x) ∈ K[x] s❛♦

❝❤♦

f1 (x) = f (x) − g(x)h(x) ❝ã ❜❐❝ ❜Ð ❤➡♥ ❜❐❝ ❝ñ❛ f (x) t❤× ❜➭✐ t♦➳♥

➤➢î❝ q✉② ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ❤➡♥✱ ➤ã ❧➭ t×♠ t❤➢➡♥❣ ✈➭ ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛

f1 (x) ❝❤♦ g(x)✳ ❚õ ♥❤❐♥ ①Ðt ♥➭②✱ t❛ ❝ã t❤✉❐t t♦➳♥ t×♠ q ✈➭ r ♥❤➢ s❛✉✿
f (x) = am xm + . . . + a0 ✈➭ g(x) = bn xn + . . . + b0 ✈í✐ am , bn = 0
am m−n

x
. ➜➷t f1 (x) = f (x) − g(x)h(x)✳ ❑❤✐ ➤ã
✈➭ n
m. ❈❤ä♥ h(x) =
bn
f1 (x) = 0 ❤♦➷❝ f1 (x) ❝ã ❜❐❝ t❤ù❝ sù ❜Ð ❤➡♥ ❜❐❝ ❝ñ❛ f (x). ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣
❈❤♦

❤î♣

f1 (x) = 0✱ t❛ t×♠ ➤➢î❝ ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛ f (x) ❝❤♦ g(x) ❧➭ r(x) = 0

✈➭ t❤➢➡♥❣ ❧➭

q(x) = h(x)✳ ◆Õ✉ f1 (x) = 0 t❤× t❛ t✐Õ♣ tô❝ ❧➭♠ t➢➡♥❣ tù ✈í✐

f1 (x) ✈➭ t❛ ➤➢î❝ ➤❛ t❤ø❝ f2 (x)✳ ❈ø t✐Õ♣ tô❝ q✉➳ tr×♥❤ tr➟♥ t❛ ➤➢î❝ ❞➲② ➤❛
t❤ø❝

f1 (x), f2 (x), . . .✱ ♥Õ✉ ❝❤ó♥❣ ➤Ò✉ ❦❤➳❝ 0 t❤× ❝❤ó♥❣ ❝ã ❜❐❝ ❣✐➯♠ ❞➬♥✳

❱× t❤Õ s❛✉ ❤÷✉ ❤➵♥ ❜➢í❝ t❛ ➤➢î❝ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❝ã ❜❐❝ ❜Ð ❤➡♥ ❜❐❝ ❝ñ❛
✈➭ ➤ã ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❞➢

g(x)

r(x)✳ ◆Õ✉ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❞➲② ❜➺♥❣ 0 t❤× ❞➢

r(x) = 0✳ ➜Ó ♥❤❐♥ t❤✃② râ ❤➡♥ t❛ ✈✐Õt r❛ ❝➳❝ ❜➢í❝✿
f1 (x) = f (x) − g(x)h(x)

f2 (x) = f1 (x) − g(x)h1 (x)
.........
fk (x) = fk−1 (x) − g(x)hk−1 (x)
✈í✐ fk (x)

= 0 ❤♦➷❝ deg fk (x) < deg g(x)✳ ❈é♥❣ ✈Õ ✈í✐ ✈Õ ❝➳❝ ➤➻♥❣ t❤ø❝

➤ã ❧➵✐✱ t❛ ➤➢î❝

f (x) = g(x)(h(x) + h1 (x) + ... + hk−1 (x)) + fk (x).
❚õ ➤ã t❛ ❝ã

q(x) = h(x) + h1 (x) + . . . + hk−1 (x) ✈➭ r(x) = fk (x)✳

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




✽
❚r♦♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥✱
♣❤Ð♣ ❝❤✐❛

q(x) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t❤➢➡♥❣ ✈➭ r(x) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➢ ❝ñ❛

f (x) ❝❤♦ g(x)✳

✶✳✶✳✹ ❱Ý ❞ô✳

❚r➟♥ tr➢ê♥❣

Q✱ t❛ ①Ðt f (x) = −2x3 − 14x2 + 4x − 3 ✈➭

g(x) = −2x2 + 2x − 1✳ ❈❤✐❛ f (x) ❝❤♦ g(x) t❛ ➤➢î❝
−x3 − 7x2 + 2x − 4 = (−2x2 + 2x − 1)(x + 8) − 11x + 5.
❚❛ ❝ã t❤➢➡♥❣

q(x) = x + 8 ✈➭ ❞➢ r(x) = −11x + 5.

◆Õ✉ ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛
❝❤♦

f (x) ❝❤♦ g(x) ❧➭ 0 t❤× tå♥ t➵✐ q(x) ∈ K[x] s❛♦

f (x) = g(x)q(x)✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭② t❛ ♥ã✐ r➺♥❣ f (x) ❝❤✐❛ ❤Õt ❝❤♦

g(x) ❤❛② g(x) ❧➭ ➢í❝ ❝ñ❛ f (x)✳
✶✳✶✳✺ ❍Ö q✉➯✳

❈❤♦ K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ a ∈ K ✳ ❑❤✐ ➤ã ❞➢ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐❛

f (x) ∈ K[x] ❝❤♦ x − a ❧➭ f (a)✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤✐❛ f (x) ❝❤♦ x − a✱ ❞➢ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ 0 ❤♦➷❝ ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝
❜❐❝

0 ✈× ❜❐❝ ❝ñ❛ (x − a) ❜➺♥❣ 1✳ ❱× ✈❐②✱ ❞➢ ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö r ∈ K ✳ ❚❛ ❝ã

f (x) = (x − a)q(x) + r✳ ❚❤❛② x = a ✈➭♦ ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❛ ➤➢î❝ r = f (a).
▲➢î❝ ➤å ❍♦♦❝♥❡ ✭❍♦r♥❡r s❝❤❡♠❡✮ ✳

●✐➯ sö

K ❧➭ ♠ét tr➢ê♥❣ ✈➭ f (x) =

an xn + . . . + a1 x + a0 ∈ K[x]. ❱í✐ a ∈ K, ❝❤✐❛ f (x) ❝❤♦ x − a t❛ ➤➢î❝
f (x) = (x−a)g(x)+r, ❞➢ r ∈ K ✈➭ g(x) = bn−1 xn−1 +. . .+b1 x+b0 . ➜å♥❣
♥❤✃t ❝➳❝ ❤Ö sè✱ t❛ ❝ã t❤Ó t×♠ ♥❤❛♥❤ sè ❞➢
❝ñ❛

g ♥❤➢ s❛✉✿

r ✈➭ ❝➳❝ ❤Ö sè bn−1 , . . . , b1 , b0



bn−1 = an





...



b = a + ab
i−1
i
i


...





b0 = a1 + ab1



r = a + b .
0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

0





ợ ồ s ợ ọ ợ ồ

an
an1
ããã
a bn1 = an bn2 = abn1 + an1 ã ã ã
ể tự ệ é

a1

a0
b0 = ab1 + a1 r = b0 + a0

x5 2x4 + 5x2 + 6x 8 x + 1

t ợ ồ

1 2 0 5 6 8
1 1 3 3 2 4 12


x5 2x4 + 5x2 + 6x 8 = (x + 1)(x4 3x3 + 3x2 + 2x 4) 12.

ị ĩ



K ột trờ P tử C ợ ọ

ột ệ ủ tứ

f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 K[x] ế

f () = an n + . . . + a1 + a0 = 0.
ừ ệ q t ó ết q s
ệ q

K ột trờ a K ó a ệ ủ

tứ f (x) K[x] ế ỉ ế tồ t tứ g(x) K[x] s

f (x) = (x a)g(x).


k > 0 ột số ột tử a K ợ ọ ột

ệ ộ k ủ tứ f (x) K[x] ế f (x) ết (x a)k
ết

(x a)k+1 . ế k = 1 tì a ợ ọ ệ

ế k = 2 tì a ợ ọ ệ é
ệ q

P tử a K ệ ộ k ủ f (x) K[x] ế

ỉ ế f (x) = (x a)k g(x) ớ g(x) K[x] g(a) = 0.
ứ sử a ệ ộ k ủ f (x). ì f (x) ết

(x a)k f (x) = (x a)k g(x) ớ g(x) K[x]. ế g(a) = 0
tì t ệ q t ó
ó

g(x) = (x a)h(x) ớ h(x) K[x]

f (x) ết (x a)k+1 , í g(a) = 0. ợ ì

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....



data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....


data error !!! can't not
read....

data error !!! can't not
read....