Đường đi ngắn nhất trong đồ thị.DOC

Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
Chơng 4
Đờng đi ngắn nhất trong đồ thị
Giới thiệu:
Trong các ứng dụng thực tế bài toán tìm đờng đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của một
đồ thị liên thông có ý nghĩa rất lớn. Bài toán tìm đờng đi ngắn nhất đợc ứng dụng
trong thực tế nh để chọn một hành trình tiết kiệm nhất (về thời gian hoặc chi phí)
trên một mạng giao thông đờng thuỷ, đờng bộ hoặc đờng không. Bài toán lập lịch
thi công các công đoạn trong một công trình thi công lớn. Bài toán lựa chọn đờng
truyền tin với chi phí nhỏ nhất trong mạng thông tin... Dùng thuật giải đờng đi
ngắn nhất trong đồ thị giải quyết bài toán sửa gói tin sai trong việc truyền tin... dới
đây ta xét một số thuật toán để tìm đờng đi ngắn nhất trong đồ thị có trọng số và
đồ thị không có trọng số.
I. Đờng đi ngắn nhất trong đồ thị không có trọng số
1. Định nghĩa: Đồ thị không có trọng số là đồ thị hữu hạn trên các cạnh không
có trọng số. Bài toán tìm đờng đi ngắn nhất giữa hai đỉnh a,b trong đồ thị không
có trọng số G = <X, U> là tìm đờng đi giữa hai đỉnh a, b sao cho có số các cạnh
(cung) là ít nhất.
2. Thuật toán:
Bớc 1: Tại đỉnh a ta ghi số 0
Các đỉnh có cạnh đi từ đỉnh a đến ta ghi số 1.
Giả sử ta đã ghi tới i, tức là ta đã đánh số đợc các tập đỉnh là A(0) = {a}, A(1),
A(2), ... , A(i) trong đó A(i) là tập tất cả các đỉnh đợc ghi bởi số i. Ta xác định tập
đỉnh đợc đánh số bởi số i + 1 là A(i+1) = {x / x X, x A(k) với k = 0, ...,i và
tồn tại y A(i) sao cho từ y có cạnh (cung) tới x}. Do tính hữu hạn của đồ thị, sau
một số hữu hạn các bớc, thuật toán dừng lại và cho kết quả là tập các đỉnh có chứa
b đợc đánh số bởi m là A(m).
Bớc 2: Do bớc 1 thì đỉnh b đợc đánh số bởi m, điều này chứng tỏ đờng đi từ a đến
b có m cạnh (cung) và là đờng ngắn nhất đi từ a đến b. Để tìm tất cả các đờng có
độ dài m ngắn nhất đi từ a đến b, ta xuất phát từ b đi ngợc về a theo đúng nguyên
tắc sau đây:

42
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
- Tìm tất cả các đỉnh có cạnh (cung) tới b đợc ghi số m - 1, giả sử đó là x
ik
(k = 1,
2,...).
- Với mỗi đỉnh x
ik
tìm tất cả các đỉnh có cạnh (cung) với x
ik
(k = 1, 2, ...) đợc ghi
số m -2.
Bằng cách lùi dần trở lại, đến một lúc nào đó gặp đỉnh ghi số 0, đó chính là đỉnh
a. Tất cả các đờng xác định theo các bớc trên là đờng đi từ a đến b có độ dài ngắn
nhất là m cần tìm.
Hình 1.1
Ví dụ đồ thị nh hình 1.1 xây dựng đờng đi ngắn nhất theo thuật toán trên:
Bớc 1: Đỉnh a đợc đánh số 0 và có A(0) = {a}
A(1) = {x
1
, x
6
, x
7
}
A(2) = {x
2
, x
5
, x

8
}
A(3) = {x
3
, b, x
9
}
Bớc 2: Từ bớc 1 ta có b A(3) nên từ a đến b là đờng đi ngắn nhất có 3 cung.
Tiếp theo ta xác định tất cả các đờng đi ngắn nhất có độ dài 3:
Đỉnh có cung về b đợc đánh số 2 là x
5
Đỉnh có cung tới x
5
đợc đánh số 1 là x
6
Đỉnh có cung về x
6
đợc đánh số 0 là a
Vậy đờng cần tìm là a - x
6
- x
5
- b.
Ii. Đờng đi ngắn nhất trong đồ thị có trọng số
1. Các khái niệm
Cho đồ thị hữu hạn G = <X, U> với mỗi cạnh u U ta đặt tơng ứng với số dơng
l(u) gọi là trọng số của u.
Đồ thị có cạnh nh trên đợc gọi là đồ thị có trọng số.
Gọi là một đờng đi nào đó trong G = <X, U>
Giả sử = xi

1
ui
1
xi
2
ui
2
... xi
n - 1
ui
n-1
xi
n
, x
ij
X , u
ij
U (j = 1, 2, ...,n).
Khi đó ký hiệu gọi là trọng số của đờng
43


=
1
)()(
n
j
ij
ull

x
1
x
2
x
3
x
4
x
7
x
8
x
9
x
10
x
6
x
5
b
a
0
1
2 3
3
3
2
1
1

2
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
Ta ký hiệu D(a,b) là tập tất cả các đờng đi nối đỉnh a với đỉnh b trong đồ thị G. Đ-
ờng đi giữa a và b là ngắn nhất nếu thoả mãn l() = min {l() / D(a,b)}
Bài toán: Cho đơn đồ thị G = <X, U> liên thông có trọng số, và a, b X. Tìm các
đờng đi ngắn nhất giữa 2 đỉnh a, b.
2. Thuật toán tìm đờng đi ngắn nhất cho đồ thị có trọng số
2.1 Cơ sở thuật toán tìm đờng đi ngắn nhất
Cho G = <X, U> tìm đờng đi ngắn nhất từ đỉnh a tới đỉnh b
Với x X nếu độ dài đờng đi từ đỉnh xuất phát tới đỉnh x có trọng số là l() thì
(x) = l() gọi là trọng số của đỉnh x. Cơ sở của tất cả các thuật toán tìm đờng đi
ngắn nhất là xác định đợc các trọng số nhỏ nhất cho tất cả các đỉnh từ đó tìm đờng
đi ngắn nhất.
Bớc 1: Đánh trọng số các đỉnh, trọng số của đỉnh xuất phát là (a) = 0.
Tại các đỉnh còn lại ta ghi một số dơng nào đó sao cho nó đủ lớn hơn trọng số của
các đỉnh từ a tới.
Bớc 2: Thực hiện việc giảm trọng số các đỉnh. Giả sử tại đỉnh x đợc ghi trọng số
(x). Nếu tồn tại đỉnh y có trọng số (y) từ y sang x mà (x) > (y) + l(y, x) thì ta
thay trọng số của (x) bởi trọng số '(x) = (y) + l(y, x). Trờng hợp (x) < (y) +
l(y, x), trọng số của x giữ nguyên là (x). Quá trình thực hiện cho tới khi trọng số
của tất cả các đỉnh trong G = <X, U> đạt cực tiểu, tức là x X không tồn tại y
X kề với x mà (y) + l(y, x) < (x).
Bớc 3: Xác định đờng từ a đến b có trọng số ít nhất.
Từ bớc 3 ta xác định đợc trọng số của đỉnh b. Xuất phát từ b đi về đỉnh kề với b,
chẳng hạn đó là đỉnh xi
n
có tính chất (b) = (x) + l(xi
n
, b). Nếu không có đỉnh kề
với xi

n
nh vậy thì ta đi về đỉnh kề với b có trọng số cạnh (cung) từ đỉnh đó về b là
ít nhất.
Từ đỉnh xi
n
ta đi ngợc về đỉnh xi
n-1
có tính chất (xi
n
) = (i
n-1
) + l(xi
n-1
, xi
n
) nếu
không đi về đỉnh kề với xi
n
mà trọng số cạnh (cung) giữa chúng là ít nhất.
Bằng cách đó ta sẽ đi về đỉnh xi
1
mà đỉnh kề là a sao cho (xi
1
) = (a) + l(a, xi
1
) =
l(a, xi
1
) với (a) = 0.
Đờng = axi

1
xi
2
... xi
n - 1
xi
n
b là đờng đi từ a đến b có trọng số ít nhất trong số tất
cả các đờng từ a đến b.
Thật vậy l() = l(a,xi
1
) + l(xi
1
,xi
2
) + ... + l(xi
n-1
,xi
n
) + l(xi
n
,b) = [(xi
1
)- (a)] +
[(xi
2
) - (xi
1
)] + ...
+ [(xi

n
) - (xi
n-1
)] + [(b) - (xi
n
)] = (b) (1)
Giả sử D(a, b) là 1 đờng bất kỳ từ a đến b và có dạng:
= aj
1
xj
2
... xj
k-1
xj
k
b. Theo bớc 2 ta có bất đẳng thức sau:
44
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
l(a, xj
1
) (xj
1
) - (a) = (xj
1
)
l(xj
1
, xj
2
) (xj

2
) - (xj
1
)
.....................................
l(xj
k-1
,xj
k
) (xj
k
) - (xj
k-1
)
l(xj
k
, b) (b) - (xj
k
)
Cộng 2 vế ta có:
l() = l(a, xj
1
) + l(xj
1
, xj
2
) + ... + l(xj
n-1
, xj
k

) + l(xj
k
, b) (b) (2)
So sánh (1) và (2) ta có:
l() = min{ l() / D(a, b)}
2.2 Thuật toán Dijkstra
Có thể khái quát thuật toán bằng thủ tục sau:
Procedure Dijikstra(G: đồ thị liên thông có trọng số dơng)}
{G: có các đỉnh a = v
0
, v
1
, ..., v
n
= b và trọng số l(v
i
, v
j
) =

nếu (v
i
, v
j
)

U
của G}
For i:=1 to n (vi) := ;
(a) := 0;

S :=
{ban đầu các trọng số đợc khởi tạo sao cho trọng số của a = 0, còn các đỉnh khác
bằng , tập S rỗng}
While b S Begin
u:= đỉnh không thuộc S có (u) nhỏ nhất;
S := S {u};
For tất cả các đỉnh v không thuộc S
if (u) + l(u,v) < (v) then (v) := (u) + l(u,v)
{thêm vào S đỉnh có trọng số nhỏ nhất và sửa đổi trọng số của các đỉnh không
thuộc S}
End;
{l() = l(a, b) = độ dài đờng đi ngắn nhất từ a đến b}
Độ phức tạp của thuật toán là O(n
2
), tức là phải dùng O(n
2
) phép cộng và so sánh
đờng đi ngắn nhất giữa 2 đỉnh trong đồ thị đơn vô hớng liên thông có trọng số.
2.3 Thuật toán Ford - Bellman
Khác với thuật toán Dijkstra xác định các trọng số bé nhất của tất cả các đỉnh
bằng cách "nổi bọt" dần các trọng số bé nhất, mỗi lần trọng số bé nhất đợc tìm
thấy thì lấy nó làm hạt nhân để điều chỉnh và xác lập các trọng số cho các đỉnh
45
Luận văn tốt nghiệp Phan Thanh Long
khác, còn thuật toán Ford - Bellman xác định các trọng số nhỏ nhất cho tất cả các
đỉnh bằng cách duyệt tất cả các đỉnh, trọng số nhỏ nhất của một đỉnh đợc xác lập
là sau một số lần hữu hạn điều chỉnh nhờ các vòng lặp.
Thuật toán đợc mô tả bằng thủ tục sau:
Procedure Ford_Bellman;
{Input: Đồ thị có hớng G = <X, U> n đỉnh, a

X là đỉnh xuất phát.
t(i, j) với i, j

X là ma trận trọng số
Output: Với x

X tìm các

(x) bé nhất và Truoc(x) để ghi nhận đỉnh đi trớc x
trong các đờng đi ngắn nhất từ a đến x.
}
Begin
{Khởi tạo}
For x X do Begin
(x) := t[a, x];
Truoc[x] := a;
End;
(a) := 0;
For k:=1 to n - 2 do
For x X \ {a} do
For y X do
if (x) > (y) + t[y, x] then begin
(x) := (y) + t[y, x];
Truoc(x) := y;
End;
End;
Độ phức tạp của thuật toán là O(n
3
) chúng ta có thể chấm dứt vòng lặp theo k

khi phát hiện trong quá trình thực hiện 2 vòng lặp trong không có biến d[u] nào bị
thay đổi giá trị. Đối với những đồ thị có số cạnh m thoả mãn m < 6.n thì tốt hơn là
sử dụng danh sách kề để biểu diễn đồ thị, khi đó vòng lặp theo y cần viết dới dạng
For tất cả các đỉnh y kề với x do
if (x) > (y) + t[y, x] then begin
(x) := (y) + t[y, x];
Truoc(x) := y;
End;
Trong trờng hợp này thuật toán có độ phức tạp là O(n.m).
2.4 Thuật toán Floyd.
46
1 2 3 4 5 6