Khuyến khích tính sáng tạo cho học sinh lớp 12 trong dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất của biểu thức)

LỜI CẢM ƠN
Với tấm lòng biết ơn sâu sắc tác giả xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn
GS.TS. Bùi Văn nghị đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên
cứu, thực hiện đề tài.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các cán bộ của trường Đại học Tây Bắc và các
thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy tại Trường đã giúp đỡ, tạo điều kiện tốt nhất
cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã giúp
đỡ, động viên để tác giả có được kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn chắc chắn không thể tránh
khỏi những sai sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn.
Sơn la, ngày

tháng
Tác giả

Vũ Văn Nam

i

năm 2016


LỜI CAM ĐOAN
Tác giả xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của bản thân tác
giả. Đề tài luận văn này chưa được công bố ở đâu và dưới bất kì hình thức nào. Nếu
có vấn đề gì không phải tác giả hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Sơn la, ngày

tháng

Tác giả

Vũ Văn Nam

ii

năm 2016


BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ H IỆU

GV

: Giáo viên

HS

: Học Sinh

KSHS

: Khảo sát hàm số

Nxb

: Nhà xuất bản

PT

: Phương trình

THPT

: Trung học phổ thông



: Suy ra



: Tương đương

iii


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................................... i
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................................. ii
BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ H IỆU ....................................................................iii
MỤC LỤC ............................................................................................................................ iv
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu ................................................................ 2
5. Mẫu khảo sát ...................................................................................................................... 2
6. Giả thuyết khoa học ........................................................................................................... 2
7. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................................... 3
8. Cấu trúc luận văn ............................................................................................................... 3

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................................ 4
1.1. Vai trò của giáo viên trong quá trình dạy học................................................................. 4
1.2. Vai trò của bài tập toán học ........................................................................................... 4
1.3. Tính sáng tạo trong học tập của học sinh ........................................................................ 6
1.4. Những tri thức liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu
thức ........................................................................................................................................ 8
1.5. Một số thực tiễn dạy và học về “Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu
thức” ở lớp 12 Trung học phổ thông .................................................................................... 10
Tóm tắt chương 1 ................................................................................................................. 11
Chƣơng 2: THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG TẠO CƠ HỘI ĐỂ KHUYẾN
KHÍCH TÍNH SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 12 TRONG DẠY HỌC DẠNG
TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ... 13
2.1. Hệ thống bài toán tìm GTLN. GTNN của biểu thức chỉ chứa một biến số nhằm rèn luyện
cho học sinh vận dụng đúng và nhuần nhuyễn những phương pháp thông thường, đồng thời có
thể khuyến khích tính linh hoạt, sáng tạo ................................................................................ 14
2.1.1. Hệ thống bài toán ....................................................................................................... 14

iv


2.1.2. Dụng ý sư phạm ......................................................................................................... 15
2.1.3. Tóm tắt lời giải các bài toán trong hệ thống .............................................................. 17
2.2. Hệ thống bài toán tìm GTLN (GTNN) của biểu thức chứa hơn một biến, có nhiều cơ
hội sáng tạo .......................................................................................................................... 29
2.2.1. Những bài toán có thể quy về một biến số, ngoài việc khảo sát hàm số GV có thể
khuyến khích HS tìm cách giải khác hay hơn, sáng tạo hơn ............................................... 30
2.2.2. Những bài toán khó có thể quy về một biến số được, GV cần khuyến khích HS linh
hoạt, mềm dẻo hơn trong cách giải quyết vấn đề................................................................. 33
2.3. Hệ thống bài toán có cách giải độc đáo do nhìn bài toán ở dạng lượng giác hoặc hình
học và những bài toán có nhiều cách giải để chọn ra cách giải độc đáo ............................. 49

Tóm tắt chương 2 ................................................................................................................. 62
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM......................................................................... 63
3.1. Mục đích, nội dung, tổ chức thực nghiêm sư phạm.................................................... 63
3.2. Giáo án thực nghiệm sư phạm ..................................................................................... 63
3.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm ..................................................................................... 77
3.3.1. Đề kiểm tra (45 phút ) và kết quả làm bài của HS: .................................................... 77
3.3.2. Kết quả đánh giá của các giáo viên, giáo sinh dự giờ TNSP .................................... 82
3.3.3. Ý kiến của học sinh về kết quả giờ dạy thực nghiệm ............................................... 82
Tóm tắt chương 3 ................................................................................................................. 82
KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 83
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

v


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Theo Luật giáo dục Việt Nam năm 2005, mục tiêu giáo dục phổ thông của
chúng ta là “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ
và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình
thành nhân cách con người Việt Nam Xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách
nhiệm cộng đồng, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao
động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc ”. Về phương pháp giáo dục, cần phải
“Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi
dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”, “bồi dưỡng phương
pháp tự học, rèn tư duy sang tạo vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Từ những năm 1980 đến nay, việc dạy và học ở nhiều nước trên thế giới tập
trung vào người học – lấy người học làm trung tâm. Thay vì người giáo viên truyền

thụ, giảng giải tri thức cho học sinh, người giáo viên có vai trò là người tổ chức,
động viên, khuyến khích người học tự chiếm lính tri thức. Trong đó đặc biệt khuyến
khích tính sáng tạo của người học. Người học cần phải chủ động, tích cực, tự giác,
sáng tạo trong học tập.
Môn Toán là môn học công cụ, giữ một vai trò hết sức quan trọng trong
chương trình THPT. Trong đó các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là
những bài toán yêu cầu cao ở học sinh về tư duy, về kĩ năng. Dạng toán này vừa đa
dạng, vừa có nhiều cơ hội cho học sinh sáng tạo. Mỗi bài toán dạng này có thể nhìn
nhận theo nhiều phương diện, nhiều khía cạnh khác nhau, tạo ra nhiều cách giải,
trong đó có thể chọn ra cách giải độc đáo, thú vị. Song, đối với học sinh thì dạng
toán này là một trong những dạng toán khó, cần phải chú ý và có những biện pháp
để rèn luyện kĩ năng giải dạng toán này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ
đề này.

1


Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: Khuyến khích tính sáng tạo cho học
sinh lớp 12 trong dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là đề xuất những tình huống tạo cơ hội để khuyến khích
tính sáng tạo cho học sinh lớp 12 trong dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu hệ thống lí luận về khuyến khích tính sáng tạo cho học sinh
- Nghiên cứu các dạng toán và các phương pháp tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ
nhất).
- Nghiên cứu và đề xuất là đề xuất những tình huống tạo cơ hội để khuyến
khích tính sáng tạo cho học sinh lớp 12 trong dạy học giải toán tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
4. Đối tƣợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu là quá trình dạy học tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất ở trường THPT.
- Phạm vi nghiên cứu là các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở
trường THPT.
- Khách thể nghiên cứu là chương trình, nội dung môn Toán THPT.
5. Mẫu khảo sát
Một số lớp 12, trường THPT Mường Luân Điện Biên Đông, tỉnh Điện Biên.
6. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở lí luận của phương pháp dạy học môn Toán và hệ thống bài toán về
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, nếu thiết kế được những tình
huống tạo cơ hội để khuyến khích tính sáng tạo cho học sinh lớp 12 trong dạy học
dạng toán này, thì học sinh sẽ có hứng thú hơn và có khả năng sáng tạo hơn trong
quá trình giải dạng toán này, nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ở trường THPT.

2


7. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về khuyến khích tính
sáng tạo trong học tập của học sinh.
- Phương pháp điều tra quan sát: Sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình
hình dạy và học nội dung tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN)
của một biểu thức, về kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở một số lớp 12
THPT.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo án
về tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở một số lớp 12 THPT, trong một số giờ
thuộc nội dung tự chọn để đánh giá tính khả thi và hiệu qủa của đề tài.
8. Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Thiết kế một số tình huống tạo cơ hội để khuyến khích tính sáng
tạo cho học sinh lớp 12 trong dạy học dạng toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của
biểu thức
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

3


Chƣơng 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Vai trò của giáo viên trong quá trình dạy học
Trong cuốn sách “Tiến tới một phương pháp sư phạm tương tác – Bộ ba người
dạy, người học và môi trường” [5] Jean-Marc Denomme' và Madeleine Roy đã
quan niệm:
“Người học (étudiant) là người mà với năng lực cá nhân của mình tham gia
vào một quá trình để thu lượm một tri thức mới. Người học trước hết là người tìm
cách học và tìm cách hiểu. Người học trước hết là người đi học mà không phải là
người được dạy. Người dạy hướng dẫn người học, chỉ cho người học cái đích phải
đạt, giúp đỡ, làm cho người học hứng thú học và đưa họ tới đích. Chức năng chính
của người dạy là giúp đỡ người học học và hiểu”.
Năm 2007, Tổng thống Pháp Sarkozy, trong thư gửi giáo viên, cha mẹ học
sinh nhân ngày khai trường 04/ 9/ 2007, đã viết: “Giáo dục truyền dẫn lòng tự trọng
vào tất cả con trẻ và người lớn trên đất nước chúng ta bằng cách giúp họ phát hiện
ra mình có tài và khích lệ họ đạt được những gì họ vẫn tin rằng mình có thể làm
được. Theo quan điểm của tôi, đó là triết lí cơ bản trong cuộc cải cách triệt để hệ
thống giáo dục của chúng ta”.
Trong Luật giáo dục Việt Nam, năm 2005, điều 28, cũng đã ghi rõ: “Phương
pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo

của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương
pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Những điều trình bày ở trên thể hiện rõ vai trò của người giáo viên là khuyến
khích, động viên học sinh học tập một cách tính tích cực.
1.2. Vai trò của bài tập toán học
Theo Nguyễn Bá Kim [6]: Bài tập có vai trò quan trọng trong bộ môn toán.
Thông qua việc giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao
gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí

4

những hoạt động toán học phức


hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung
và những hoạt động ngôn ngữ. Những bài tập cũng thể hiện những khả năng khác
nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán: Hình thành, củng cố
tri thức kĩ năng kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kĩ năng ứng
dụng toán học vào thực tiễn ; phát triển năng lực trí tuệ ; Bồi dưỡng thế giới quan
duy vật biện chứng.... Thông qua bài tập, giáo viên có thể hoàn chỉnh hay bổ sung
những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết. Điều quan trọng hơn
cả là thông qua bài tập giáo viên sẽ rèn luyện cách tư duy sang tạo trong giải toán
cho học sinh.
Cần đặt cho học sinh câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần biết sử
dụng những câu hỏi này như công cụ kích thích sự tìm tòi, phát hiện để thực hiện
từng bước của phương pháp chung giải toán.
Việc đi sâu vào tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có vai trò
to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, rèn luyện trí thông minh, óc
sáng tạo cho học sinh. Có thể thấy rõ điều đó trong các tác dụng sau:

- Những cách giải khác nhau của một bài toán góp phần hình thành và củng
cố cho học sinh về tính chất của các phép tính số học, về quan hệ giữa các phép
tính số học.
- Trong quá trình tìm ra những cách giải khác nhau, học sinh có dịp suy nghĩ đến
những khía cạnh khác nhau của bài toán, từ đó sẽ hiểu sâu hơn về các mối quan hệ
trong bài toán đó, nắm vững và củng cố các kiến thức có liên quan.
- Việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp học sinh có dịp so sánh các cách
giải đó, chọn ra được cách hay hơn và tích luỹ được nhiều kinh nghiệm để giải toán.
- Việc tìm ra nhiều cách giải cũng góp phần rèn luyện đức tính kiên trì, tiết
kiệm, vì từ nhiều cách giải ấy học sinh có thể chọn ra được con đường ngắn nhất để
đi tới đích, không vội bằng lòng với việc tìm ra con đường đầu tiên.
- Quá trình tìm tòi những cách giải khác nhau của bài toán cũng là quá trình
rèn luyện trí thông minh, óc sáng tạo và khả năng suy nghĩ linh hoạt cho học sinh.

5


1.3. Tính sáng tạo trong học tập của học sinh
Theo từ điển Triết học: Sáng tạo là quá trình hoạt động của con người tạo ra
những giá trị mới về vật chất, tinh thần (Dẫn theo [4, tr. 7])
Theo giáo trình Tâm lí học đại cương: “Năng lực sáng tạo là năng lực sử dụng
các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát
hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí
luận hay thực hành xác định”.
Trong thực tiễn, các kỹ năng sáng tạo là điều thiết yếu. Người ta cần có chúng
để đề xướng và thiết kế sản phẩm, để tiếp thị, đóng gói, quản lý, chăm sóc trẻ, dạy
học, chế tạo, trang trí và chăm sóc nhà cửa, kiến trúc, nấu nướng, viết, nghiên cứu
và phát triển, thực hiện phát triển có tính đột phá, trang trí cửa hiệu, bày biện cửa
hàng…. Tính sáng tạo cần thiết cho bất kỳ ai dự định đưa ra những ý tưởng mới, kỹ
thuật mới, hay vào việc giải quyết khó khăn. Tính sáng tạo là công cụ nhận thức

thiết yếu chứ không phải một môn học, và nó luôn cần được thực hành. Trong hầu
hết các hoạt động học tập, người học sẽ tiếp nhận kiến thức, kỹ năng, kỹ thuật và ý
kiến của người khác. Công việc sáng tạo là một ngoại lệ quan trọng, song nó cũng
thường bị ngay cả giáo viên cũng như những người khác hiểu lầm và đánh giá thấp.
[10, tr. 296]
Công việc sáng tạo là quan trọng đối với giáo viên thuộc bất kỳ lĩnh vực nào,
vì ba lí do chính sau đây:
- Để phát triển khả năng suy nghĩ sáng tạo cho người học.
- Để tăng cường động cơ, thỏa mãn nhu cầu của con người muốn tạo nên điều
gì đó và được thừa nhận về điều đó.
- Để tạo cơ hội thăm dò cảm xúc và phát triển các kỹ năng tự biểu hiện.
Tri thức (bao gồm các khái niệm, định lí, thuật giải, phương pháp) và kĩ năng
là cơ sở của sự sáng tạo. Cần phải có kiến thức để hiểu được mục đích của hành
động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động. Cần
phải có kĩ năng để hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.

6


Tính sáng tạo của học sinh thường thể hiện qua việc giải bài tập toán học. Kĩ
năng giải bài tập toán học có thể chia thành ba mức độ khác nhau:
- Biết làm: vận dụng được lí thuyết để giải những bài tập cơ bản, hình thành
các thao tác cơ bản như: viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác
công thức, kí hiệu, tính giá trị dựa vào công thức; nắm được quy trình giải một dạng
toán nào đó tương tự như bài mẫu.
- Làm thành thạo: giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài toán theo cách giải đó
biết, trong những hoàn cảnh mới, điều kiện mới tương tự như bài đó biết; giải được
những bài tập tổng hợp, phức tạp, đa dạng.
- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: đưa ra được những cách giải ngắn gọn, cách
chuyển hóa vấn đề khéo léo, cách giải quyết vấn đề độc đáo.

Tính sáng tạo là một trong những mucjt iêu học tập. Theo Nguyễn Bá Kim [ ],
mục tiêu dạy học môn Toán là:
- Trang bị cho HS những tri thức, kĩ năng, phương pháp toán học phổ thông,
cơ bản, thiết thực.
- Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS.
- Góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa
học, biết hợp tác lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên.
- Tạo cơ sở để HS tiếp tục học Cao đẳng, Đại học, Trung cấp chuyên nghiệp,
học nghề hoặc đi vào cuộc sồng lao động.
Các mục tiêu thể hiện sự toàn diện, thống nhất và có quan hệ mật thiết, hỗ trợ,
bổ sung cho nhau: tri thức là cơ sở để thực hiện các mục tiêu khác; trong các mục
tiêu thì mục tiêu phát triển trí tuệ là quan trọng nhất; thông qua hoạt động mà rèn
luyện kĩ năng, củng cố tri thức.
Việc rèn luyện tính sáng tạo trong giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần thiết
sau: Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong
chương trình; giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ. Cụ thể là phát triển:
- Tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong không gian.

7


- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp khái quát hóa ....
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
+ Thể hiện rõ những đặc điểm của tư duy toán học.
Theo Viện sĩ B.V. Gờ-nhe-den-cô (1964), những đặc điểm của tư duy toán học là:
- Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự
thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh
- Sự cô đọng
- Sự chính xác của các kí hiệu

- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận
- Thói quen lí lẽ đầy đủ về lôgic.
Theo A.Ia. Khin-chin (1961), những nét độc đáo của tư duy toán học, là:
- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế
- Khuynh hướng tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích
- Phân chia rành mạch các bước suy luận
- Sử dụng chính xác các kí hiệu
- Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận.
1.4. Những tri thức liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên một đoạn [a; b], SGK Giải tích
12 hiện hành đã giới thiệu quy tắc:
Bước 1. Tìm các nghiệm của y’
Bước 2. Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm của y’ và tính f(a), f(b);
Bước 3. Tìm GTLN và GTNN trong các giá trị ở bước 2 và kết luận.
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên một tập K không phải là một
đoạn, ta phải xét sự biến thiên của hàm số trên từng khoảng thuộc D, từ đó mới có
kết luận.
Để tìm GTLN, GTNN của biểu thức chỉ chứa một biến số ta có thể dựa vào
cách tìm GTLN, GTNN của hàm số, ngoài ra có thể tìm tập giá trị của hàm số hoặc
dựa vào bất đẳng thức. Giả sử cần tìm GTLN, GTNN của biểu thức y = f(x) với x

8


thuộc tập số D, ta tìm các giá trị của y làm cho phương trình f(x) – y = 0 có nghiêm
x thuộc D. Từ tập giá trị này ta chỉ ra được GTLN, GTNN của biểu thức.
Ngoài ra có một số phương pháp khác có thể dùng trong bài toán tìm GTLN,
GTNN của biểu thức là phương pháp Hình học hóa hoặc phương pháp Lượng giác
hóa.

Những bất đẳng thức thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN là BĐT:
+ Bất đảng thức tam giác: Với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có:
AB  AC  BC . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn BC .
AB  AC  BC . Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và

hoặc B thuộc đoạn AC hoặc C thuộc đoạn AB .
+ BĐT lượng giác:
sin   1; cos   1  .  n 

*

: sin n   sin  ; co sn   co s 

tan   cot   2 ; tan 2   cot 2   2   k


2

+ BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Với hai số thực bất kì a; b ta có: a  b  a  b ; a  b  a  b .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.
+ BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân
xi  0 i  1; n :

1
 x1  x2  ...  xn   n x1x2 ...xn .
n

Dấu "  " xảy ra  xi  x j i; j  1; n, i  j
+ BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski:

Cho 2n số thực ai ; xi (i  1; n) ,
ta có:

 a1 x1  a2 x2  ...  an xn 

2

  a12  a2 2  ...  an 2  x12  x2 2  ...  xn 2  .

Dấu "  " xảy ra  t  R : xi  t.ai i  1; n
+ BĐT Trê-bư-sép:
Cho hai dãy số cùng tăng ( hoặc cùng giảm ): a1  a2  ...  an ; x1  x2  ...  xn

9


Ta có:  a1  a2  ...  an  x1  x2  ...  xn   n  a1 x1  a2 x2  ...  an xn  .
 a  a  ...  a

1
2
n
Dấu "  " xảy ra  
.
 x1  x2  ...  xn

Chú ý, trong chương trình phổ thông, ta chỉ được sử dụng BĐT giữa trung
bình cộng và trung bình nhân đối với n  3 và BĐT Bu-nhia-côp-ski đối với n  2 ;
Khi cần dùng BĐT Trê-bư-sep (đối với n  2 hoặc n  3 ) , ta phải chứng minh lại
trước khi dùng.

Một số hệ quả:













xi  0 i  1, n ;

1 1
1
n2
  ...  
x1 x2
xn x1  x2  ...  xn



xi  0 i  1, n ; 1  x1 1  x2  ... 1  xn   1  n x1 x2 ...xn

xi  0 i  1, n ;



n

1
1
1
n

 ... 

.
n
1  x1 1  x2
1  xn 1  x1 x2 xn

. Dấu "="  ad  bc
x 2 y 2 z 2 x  y  z 



a
b
c
abc

2

a, b, c  0 . Dấu "=" xảy ra 

x y z

  .
a b c

1.5. Một số thực tiễn dạy và học về “Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ
nhất của biểu thức” ở lớp 12 Trung học phổ thông
Chúng tôi đã lập phiếu điều tra từ 24 giáo viên và 150 học sinh thuộc hai
trường THPT trên địa bàn tình Điện Biên để nắm bắt một số tình hình dạy và học về
“Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức” ở lớp 12, làm cơ sở thực
tiễn cho việc đề xuất những tình huống dạy học chủ đề này theo hướng khuyến
khích sáng tạo của học sinh Trung học phổ thông. Đó là trường THPT Điện Biên
Đông và trường THPT Nạm Rốm tình Điện Biên.
Nội dung phiếu điều tra xin xem phụ lục 1, phụ lục 2.
Kết quả điều tra được phân tích như sau:
Về câu hỏi “Có những cách nào tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức”: đa số
HS chỉ biết tới hai quy tắc đã trình bày trong SGK, số HS biết thêm những cách

10


khác chủ yếu là số HS khá và giỏi, chiếm tỉ lệ 15%. Có nhiều HS chưa biết đến
phương pháp hình học hoặc lượng giác (86%).
Tất cả các giáo viên và học sinh (100%) được hỏi đều cho rằng dạng toán tìm
GTLN hoặc GTNN của biểu thức là dạng toán khó, không kể những bài trong SGK,
SBT vận dụng trực tiếp hai quy tắc đã biết; Những bài toán về dạng này xuất hiện
trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao Đẳng đều đòi hỏi khả năng sáng tạo
của HS.
Mặc dù hầu hết các GV và HS được hỏi (85%) đều cho rằng dạng toán tìm
GTLN hoặc GTNN của biểu thức là dạng toán hay; tuy nhiên còn nhiều GV chưa
quan tâm đầy đủ đến việc khuyến khích HS sáng tạo trong giải dạng toán này
(76%). Lí do cơ bản là học lực của HS trong trường chỉ là trung bình và trung bình

khá (86%) nên nếu giành nhiều thời gian cho việc này sẽ tốn nhiều công sức và thời
gian, dẫn đến tình trạng không thiết thực, thiếu hiệu quả.
Từ kết quả phân tích ở trên, chúng tôi cho rằng cần phải sắp đặt các bài toán về
tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức một cách hợp lí, có sự phân bậc để tạo nên
niềm tin vào khả năng giải được của HS; phải có một quá trình rèn luyện từng bước
đề HS có thể giải dạng toán này theo các cấp độ từ nhuần nhuyễn, linh hoạt đến
sáng tạo.
Tóm tắt chƣơng 1
Chương này trình bày một số vấn đề thuộc về lí luận liên quan đến tính sáng
tạo trong giải toán nói chung và trong tìm GTLN, GTNN của biểu thức nói riêng.
Những vấn đề đó là: Quan niệm về sáng tạo điều kiện để có sáng tạo; Nhiệm vụ
khuyến khích sáng tạo giải toán cho HS ở trường THPT; Vai trò của bài tập toán
học....
Chương này cũng tóm tắt những tri thức liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, gồm: Những phương pháp thông thường tìm
GTLN, GTNN của biểu thức; Những phương pháp thường dùng trong bài toán tìm
GTLN, GTNN của biểu thức.

11


Chúng tôi đã thiết kế phiếu điều tra từ 24 giáo viên và 150 học sinh thuộc hai
trường THPT trên địa bàn tình Điện Biên để nắm bắt một số tình hình về dạy và học
về “Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.
Kết quả cho thấy đây là dạng toán khó đối với HS, nên cần phải tạo ra niềm tin
và cần khuyến khích HS nâng cao khả năng giải dạng toán này thông qua hệ thống
bài toán có phân bậc và dụng ý sư phạm rõ rệt.
Đó là những căn cứ lí luận và thực tiễn để chúng tôi đề xuất giải pháp sẽ trình
bày trong chương 2.

12


Chƣơng 2
THIẾT KẾ MỘT SỐ TÌNH HUỐNG TẠO CƠ HỘI ĐỂ
KHUYẾN KHÍCH TÍNH SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 12
TRONG DẠY HỌC DẠNG TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Một trong những vai trò của giáo viên trong quá trình hoạt động sáng tạo là
phải giúp học sinh kiểm soát được quá trình suy nghĩ khi gặp những khó khăn ở họ.
Điều này được thực hiện thông qua sự lựa chọn những hoạt động của GV nhằm
giúp HS vượt qua được những trở ngại, thông qua hoạt động khuyến khích, giải
thích và thảo luận với HS.
Trong chương trình này chúng tôi trình bày kết quả thiết kế một số tình huống
tạo cơ hội để khuyến khích tính sáng tạo cho học sinh lớp 12 trong dạy học dạng
toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức. Những cơ hội được thể hiện ở
chỗ: sau mỗi bài toán, HS thường gặp trở ngại trong cách giải quyết vấn đề, trong
cách suy nghĩ; khi đó giáo viên cần khuyến khích HS vượt qua chướng ngại và cần
có sự sáng tạo.
Trên cơ sở nghiên cứu các dạng toán và các phương pháp giải những dạng toán
đó, chúng tôi chọn lọc và thiết kế thành những hệ thống bài toán có dụng ý rèn luyện
một hoặc một số thành tố nào đó của tư duy sáng tạo cho học sinh. Chúng tôi tập
trung vào ba hệ thống bài toán sau đây:
- Hệ thống bài toán tìm GTLN. GTNN của biểu thức chỉ chứa một biến số
nhằm rèn luyện cho học sinh vận dụng đúng đắn, nhuần nhuyễn và vận dụng linh
hoạt những phương pháp thông thường.
- Hệ thống bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa hơn một biến số với
những dạng khác nhau, song không thể rập khuôn máy móc cách làm từ dạng này
sang dạng khác, mà cần có sự uyển chuyển trong suy nghĩ.
- Hệ thống bài toán tìm GTLN (GTNN) của biểu thức có nhiều cách giải nhằm

tạo ra nhiều cơ hội sáng tạo trong giải toán cho học sinh.

13


2.1. Hệ thống bài toán tìm GTLN. GTNN của biểu thức chỉ chứa một biến số
nhằm rèn luyện cho học sinh vận dụng đúng và nhuần nhuyễn những phƣơng pháp
thông thƣờng, đồng thời có thể khuyến khích tính linh hoạt, sáng tạo
2.1.1. Hệ thống bài toán
Bài 1.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = x3 – x2 – x + 3 trên [– 2; 2].
x3

Bài 1.2. Tìm GTLN, GTNN của y 

x2  1

Bài 1.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số . y 

trên đoạn  0;1 .

x2  x  1
trên đoạn [– 2; 2].
x 1

Bài 1.4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  f  x  
Bài 1.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =

2 x2  x  1
trên R.
x2  x  1

2 sin 2 x  sin x  1
trên R.
sin 2 x  sin x  1

Bài 1.6. Tìm GTNN của y  2sin x  cos2x-3. trên (0;  ]
Bài 1.7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  3 sin x  cosx-x. , trên [0;  ]
Bài 1.8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y  21  sin 2 x cos 4 x  

1
cos 4 x  cos8x 
2

Bài 1.9. Tìm GTNN của hàm số y 

1
1
 

trên  0; 
sin x cos x
 2

Bài 1.10. Tìm GTNN của hàm số



y  2 3

Bài 1.11.

  2  3
2x

2x



 

Tìm GTLN, GTNN

y  tan 3 x  cot 3 x 



x
x
 3 2  3  2  3 



của hàm số sau

3
 3 cot 2 x  6 tan x  6 cot x
2
cos x

14

trên

  
12 ; 6 


Bài 1.12. Cho hàm số . y  x 2  x  2 . Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập
xác định của nó.
Bài
y

1.13.

x2  4 x 

Tìm

GTLN,

GTNN

của

hàm

số

 x  2  4  x 

1
1
Bài 1.14. Tìm GTLN của y    x 2  2   2  x    5 .
x 
x



Bài 1.15. Tìm GTNN của hàm số y 

x 4  2 x3  7 x 2  2 x  1
x2

Bài 1.16. Tìm GTNN của hàm số y   x3 


1 
1 
1


 3 x2  2   6  x    7
3 
x 
x 
x



trên  0;  .
Bài 1.17. Cho n  N *, n  2 . Tìm GTLN của f x   1  x   1  x  trên
n

n

1;1
2
 sinx  cosx. , trên
Bài 1.18. Tìm GTNN của y  4 x 
x

(0;


2

]

2.1.2. Dụng ý sư phạm
Hệ thống này được chúng tôi xây dựng theo dụng ý sau:
Trước hết là những bài toán rèn luyện tính nhuần nhuyễn tìm GTLN. GTNN
của biểu thức một biến số trên một đoạn. Loại này có hai dạng: Dạng hàm số liên
tục trên đoạn (ở bài 1.1 với y = x3 – x2 – x + 3 trên đoạn [– 2; 2] và bài 1.2
với y 

x3
x2  1

trên  0;1 . Tiếp đó là bài 1.3 với y 

x2  x  1
trên đoạn
x 1

[– 2; 2] là dạng hàm số gián đoạn trên đoạn đã cho.
Với dạng thứ nhất HS chỉ cần áp dụng quy tắc tìm GTLN. GTNN của hàm số
như đã trình bày trong SGK Giải tích 12. Nhưng với dạng thứ hai, HS không thể áp
dụng quy tắc này được, mà phải khảo sát hàm số. Đây là một sự vận dụng linh hoạt.

15


Tiếp theo là những bài toán rèn luyện tính nhuần nhuyễn tìm GTLN, GTNN
của biểu thức một biến số trên một khoảng (bài 1.4 y  f  x  

2 x2  x  1
. trên R)
x2  x  1

hoặc nửa khoảng (bài 1.6: y  2sin x  cos2x  3. trên (0;  ] ) để học sinh vận dụng
linh hoạt. Với những bài này HS có thẻ dùng phương pháp tìm tập giá trị của hàm số
để suy ra GTLN và GTNN. Tuy nhiên từ bài 1.4 đến bài 1.5 mức độ khó sẽ tăng lên,
đòi hỏi sự sáng tạo hơn: Vừa phải đặt ẩn phụ, vừa cần tập giá trị của y để phương
trình có nghiệm trên R mà là có nghiệm trên đoạn [– 1; 1].
Từ bài 1.7 chuyển sang các bài 1.8:

y  21  sin 2 x cos 4 x  
và bài 1.9: y 

1
cos 4 x  cos8x 
2

1
1
 

trên  0; 
sin x cos x
 2

có sự sai khác về chất, đòi hỏi HS phải biết đặt ẩn phụ cho dạng lượng giác.



Đến bài 1.10: y  2  3

  2  3
2x

2x



 



x

x
 3  2  3  2  3  đặt ẩn phụ



là biểu thức vô tỉ.
Từ các bài 1.11 đến bài 1.18 là những hàm số không thuận lợi khi vận dụng
quy tắc trong SGK, HS cần phải khéo léo đặt ẩn phụ hoặc phải tìm ra những cách
khác, như tìm tập giá trị, sử dụng bất đẳng thức, phương pháp lượng giác, phương
pháp hình học….
Trong hệ thống bài toán trên, chúng tôi đã thiết kế để:
- HS phải linh hoạt trong vận dụng;
- Vận dụng xen kẽ giữa cách này và cách khác;
- Linh hoạt chuyển từ hàm số này sang hàm số khác;
- Hoặc giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau.

16


2.1.3. Tóm tắt lời giải các bài toán trong hệ thống

y  f ( x)  x3  x 2  x  3 trên

Bài 1.1. Tìm G TLN, GTNN của hàm số
đoạn [– 2; 2].
Hướng dẫn
TXĐ: R

x  1

Ta có: y ,  3x 2  2 x  1, y ,  0  

x   1
3


Bảng giá trị hàm số tại các điểm nghiệm của y’ và đầu đoạn [– 2; 2] như sau:
x

–

2

y

–

7

–

1/3
86/27

1

2

2

5

Vậy GTLN của hàm số là 5, khi x = 2 và GTNN của hàm số là (– 7), khi x = – 2.
Bài 1.2. Tìm GTLN, GTNN của y 

x3
x 1
2

trên  0;1 .

Hướng dẫn
TXĐ: R
Tính y ' 

x

1  3x

2

 1

1
, y '  0  x   0;1
3
x2  1


 1 

max y  max  y  0  , y 1 , y     max 3;2 2; 10  10 
x 0;1
 3 






1
y 
 3


 1 
min y  min  y  0  , y 1 , y     min 3;2 2; 10  2 2  y 1
x 0;1
 3 






Vậy GTLN của y là 10 khi x = 1/3 và GTNN của y là 2 2 khi x = 1.
Bài 1.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y 

17

x2  x  1

trên đoạn [– 2; 2].
x 1


Hướng dẫn
Có không ít HS đã “bắt chước” cách làm của bài 1.1. như sau:
x  0
x2  2x ,
Tính y 
,
y

0

 x  2 .
( x  1)2

,

Ta có bảng giá trị hàm số tại các điểm nghiệm của y’ và đầu đoạn [– 2; 2] như
sau:
x

–

2

0

2

y

–

3

1

7/3

Vậy GTLN của hàm số là 7/3, khi x = 2 và GTNN của hàm số là – 3, khi x = – 2.
Lời giải trên sai vì đoạn [– 2; 2] đã cho trong yêu cầu bài toán chứa điểm
không xác định hàm số là x = – 1, nên HS không thể giải như bài 1.1.
Lời giải đúng như sau:
Khi x → – 1 từ bên trái thì y → – ∞, khi x → – 1 từ bên phải thì y → + ∞, nên
hàm số không có GTLN và cũng không có GTNN trên đoạn [– 2; 2].
Bài 1.4.. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  f  x  

2 x2  x  1
trên R
x2  x  1

Hướng dẫn

1
2

2
2

TXĐ: R (do x  x  1  ( x  ) 

3
 0, x  R )
4

Ta gọi y0 là một giá trị bất kì cuả hàm số đã cho. Khi đó, có x  R sao cho phương

2 x2  x  1
2
trình y0  2
hay phương trình (2  y0 ) x  (1  y0 ) x  1  y0  0,(1) có
x  x 1
nghiệm x.
+) y0  2 : (1) trở thành 3x  3  0  x  1 , do đó nhận y0  2.(*)
2
+) y0  2 : (1) có nghiệm khi và chỉ khi (1  y0 )  4(2  y0 ) x  1  y0  0

 9  6 y0  3 y02  0  1  y0  3

18


Do đó, với y0 [  1;3]( y0  2), phương trình (1) có nghiệm. (**).
Từ (*) và (**) ta suy ra phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi y0 [  1;3].
Kết luận: vậy GTLN của y là 3 khi x = 2, GTNN của y là (– 1) khi x = 0.
Bài 1.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =

2 sin 2 x  sin x  1
trên R.

sin 2 x  sin x  1

Hướng dẫn
Đặt ẩn phụ : t = sinx, với t thuộc đoạn [–1 ; 1], ta được y =
Bài toán trở thành tìm y để PT y =

2t 2  t  1
.
t2  t 1

2t 2  t  1
(*) có nghiệm trên đoạn [–1 ; 1].
t2  t 1

PT (*) biến đổi thành f(t) = (y - 2)t2 – (y + 1)t + y + 1 = 0.
Pt này có nghiệm trên đoạn [–1 ; 1] khi và chỉ khi hoặc là f(1).f( - 1) ≤ 0, hoặc là
  0
a. f (1)  0

a. f (1)  0

 1   b  1

2a

Kết quả : GTLN của y bằng 2 khi x = π/2 và GTNN của y là 0 khi x = - π/2.
Bài 1.6. Tìm GTNN của y  2sin x  cos2x-3. trên (0;  ]
Hướng dẫn
TXĐ: D  (0;  ]
Ta có:

y ,  2 cos x  2sin 2 x  2 cos x(1  2sin x)



x  2

cosx=0

,
y 0
 x 

sinx  1
6

2

5
x  

6

19


(với x  (0;  ] )
Bảng biến thiên:
x

0

y,

+





6

2

0

-

0

3
2

y
-2



5
6

+

0
3
2

-2

-

-2

Dựa vào bảng biến thiên ta có:
3

x
2
2


x  6
min y  2  
 x  5

6
maxy=

Bài 1.7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  3 sin x  cosx-x. , trên [0;  ]
Hướng dẫn
TXĐ: D  [0;  ]

Ta có: y , 3cosx-sinx  1, y ,  0  cos(x+  )= 1  x    D
6

2




Ta có: min y  min  y(0), y( ), y( )   y( )  1  
6








maxy  max  y(0), y( ), y( )   y( )  3 
6
6
6


Kết luận: max y  3   , min y  1  
6

Bài 1.8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y  21  sin 2 x cos 4 x  

1
cos 4 x  cos8x 
2

20

6