De thi chon HSG tỉnh NB-Toan-9.

Sở giáo dục và đào tạo Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Tỉnh ninh bình năm học 2007 - 2008
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang
Câu 1 ( 4,0 điểm)
Cho các số dơng: a; b và x =
1
2
2
+
b
ab
. Xét biểu thức P =
b
xaxa
xaxa
3
1
+
+
++
1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P.
2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Câu 2 (3,0 điểm)
Tìm x; y; z thoả mãn hệ sau:

=
=
=
xzz
zyy
yxx
3623
2423
223
3
3
3
Câu 3 ( 4,0 điểm)
Với mỗi số nguyên dơng n 2008, đặt S
n
= a
n
+b
n
, với a =
2
53
+
; b =
2
53

.
1. Chứng minh rằng với n 1, ta có S
n + 2

= (a + b)( a
n + 1
+ b
n + 1
) ab(a
n
+ b
n
)
2. Chứng minh rằng với mọi n thoả mãn điều kiện đề bài, S
n
là số nguyên.
3. Chứng minh S
n
2 =
2
2
15
2
15

+
nn
. Tìm tất cả các số n để S
n
2 là số
chính phơng.
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đờng
tròn (O
1
) đờng kính AE và đờng tròn (O
2
) đờng kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai
đờng tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O

1
) và N là tiếp điểm thuộc (O
2
).
1. Gọi F là giao điểm của các đờng thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đờng thẳng EF
vuông góc với đờng thẳng AB.
2. Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đờng tròn (O) đờng kính AB. Đờng thẳng MN cắt đ-
ờng tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Câu 5 ( 2,0 điểm)
Để lựa chọn học sinh khối lớp 9 có điểm tổng kết cao nhất các bộ môn để tham dự kiểm
tra đánh giá chất lợng học kỳ I năm học 2007-2008, với tổng số 99 học sinh đợc các thày giáo,
cô giáo lập danh sách đề nghị chọn kiểm tra đã có: 50 học sinh giỏi Toán; 45 học sinh giỏi Ngữ
văn; 48 học sinh giỏi Tiếng Anh; 25 học sinh giỏi cả Toán và Ngữ văn; 22 học sinh giỏi cả
Toán và Tiếng Anh; 15 học sinh giỏi cả Ngữ văn và Tiếng Anh; 6 học sinh không giỏi bất cứ
môn nào trong các môn trên. Hãy tính số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh.
------------- Hết-------------
Họ và tên thí sinh :.............................................. Số báo danh .......................
Chữ kí giám thị 1 Chữ kí giám thị 2
hớng dẫn chấm thi môn toán
kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS năm học 2007-2008
đề thi chính thức
Câu 1. (4,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
1. (2,75 điểm)
Ta có: a; b; x > 0

a + x > 0 (1)
Xét a x =
0
1

)1(
2
2

+

b
ba
(2)
Ta có a + x > a x 0


0
+
xaxa
(3)
Từ (1); (2); (3)

P xác định
Rút gọn:
Ta có: a + x =
1
)1(
1
2
2
2
2
+
+

=
+
+
b
ba
b
ab
a


1
)1(
2
+
+=+
b
a
bxa
a - x =
1
)1(
1
2
2
2
2
+

=
+

b
ba
b
ab
a


1
1
2
+
=
b
a
bxa

P =
bbb
bb
b
b
a
b
b
a
b
b
a
b

b
a
b
3
1
11
11
3
1
11
1
)1(
1
1
1
)1(
22
22
+
+
++
=+
+
+
+
+
+
+
+
Nếu 0 < b < 1

P =
bbb 3
4
3
1
2
2
=+
Nếu b
1



P =
b
b
b
b
3
13
3
1
2
+
=+
2. (1,25 điểm)
Xét 2 trờng hợp:
Nếu 0 < b < 1, a dơng tuỳ ý thì P =

b3
4
P
3
4

Nếu b
1

, a dơng tuỳ ý thì P =
3
2
3
1
33
1 b
b
b
b
b
+






+=+

Ta có:

3
2
3
1
3
+
b
b
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Mặt khác:
3
2
3
2

b
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Vậy P
3
4
3
2
3
2
=+
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
KL: Giá trị nhỏ nhất của P =
3
4
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2 (3,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
Biến đổi tơng đơng hệ ta có





=+
=+
=+
)2(3)1)(2(
)2(2)1)(2(
2)1)(2(
2
2
2

xzz
zyy
yxx
Nhân các vế của 3 phơng trình với nhau ta đợc:
(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)
2
(y+1)
2
(z+1)
2
= - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)

(x - 2)(y - 2) (z - 2)
[ ]
6)1()1()1(
222
++++
zyx
= 0

(x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0

x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2
Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2
Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho
1,00
0,50
0,25
0,25
0,25

0,50
0,25
Câu 3 (4,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
1. (1,0 điểm)
Với n 1 thì S
n + 2
= a
n+2
+ b
n+2
(1)
Mặt khác: (a + b)( a
n + 1
+b
n + 1
) ab(a
n
+b
n
) = a
n+2
+ b
n+2
(2)
Từ (1); (2) ta có điều phải chứng minh
2. (1,5 điểm)
Ta có: S
1
= 3; S

2
= 7
Do a + b =3; ab =1 nên theo 1 ta có: với n 1 thì S
n+2
= 3S
n+1
- S
n
Do S
1
, S
2


Z nên S
3

Z; do S
2
, S
3


Z nên S
4

Z
Tiếp tục quá trình trên ta đợc S
5
; S

6
;...; S
2008


Z
3. (1,5 điểm)
Ta có S
n
2 =
2
2
1
2
5
2
1
2
5
22

+
















+
nn
=
n
nn

+

+

+
2
15
2
15
2
2
15
2
15
22
=
2
2
15
2
15

+
nn
đpcm
Đặt a
1
=
2
15
+
; b
1
=
2
15

a
1
+ b
1
=
5
; a
1
b
1
= 1
Xét U
n
=
nn
ba
11
+
Với n 1 thì U
n+2
= (a
1
+ b
1
)(a
1
n+1
+ b
1
n + 1

) a
1
b
1
(a
1
n
+ b
1
n
)

U
n+2
=
5
U
n+1
U
n
Ta có U
1
= 1

Z; U
2
=
5

Z; U

3
= 4

Z; U
4
= 3
5

Z;...
Tiếp tục quá trình trên ta đợc U
n
nguyên

n lẻ
Vậy S
n
2 là số chính phơng

n = 2k+1 với k

Z và 0

k
1003
0,25
0,50
0,25
0,50
0,50
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4 (7,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
F
O
1
O
2
O
E
A
B
C
M
I
N
D
S
1. (4,0 điểm) O
1
M; O
2
N

MN

O
1
M/ / O
2
N
Do O
1
; E; O
2
thẳng hàng nên

MO
1
E =

NO
2
B
Các tam giác O
1
ME; O
2
NB lần lợt cân tại O
1
và O
2
nên ta có:

MEO
1
=

NBO
2
(1)
Mặt khác ta có:

AME = 90
0




MAE +

MEO
1
= 90
0
(2)



MAE +

NBO
2
= 90

0




AFB = 90
0


Tứ giác FMEN có 3 góc vuông

Tứ giác FMEN là hình chữ nhật



NME =

FEM (3)
Do MN

MO
1




MNE +

EMO
1

= 90
0
(4)
Do tam giác O
1
ME cân tại O
1



MEO
1
=

EMO
1
(5)
Từ (3); (4); (5) ta có:

FEM +

MEO
1
= 90
0
hay

FEO
1
= 90

0
(đpcm)
2. (3,0 điểm)
Ta có EB = 12 cm

O
1
M = 3 cm < O
2
N = 6 cm

MN cắt AB tại S với A nằm giữa S và B.
Gọi I là trung điểm CD

CD

OI

OI// O
1
M //O
2
N
2
1
2
1
SO
SO
NO

MO
=

SO
2
= 2SO
1


SO
1
+O
1
O
2
= 2SO
1

SO
1
= O
1
O
2
Do O
1
O
2
= 3 + 6 = 9 cm

SO
1
= O
1
O
2
= 9 cm

SO =SO
1
+ O
1
O = 15cm
Mặt khác:
11
SO
SO
MO
OI
=


OI = 5 cm
Xét tam giác COI vuông tại I ta có: CI
2
+ OI
2
= CO
2

CI
2
+ 25 = CO
2
Ta có: CO = 9 cm

CI
2
+ 25 = 81

CI =
56


CD = 4
14
cm
0,50
0.50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,50

0,25
0,50
0,50
0,25
0,25
0,25
Câu 5 (2,0 điểm)
Tóm tắt lời giải Điểm
Gọi x là số học sinh giỏi cả 3 môn Toán, Ngữ văn và Tiếng Anh ( x > 0; x

Z)
Số học sinh chỉ giỏi một môn Toán là: 50 - 25 - (22 - x)
Số học sinh chỉ giỏi một môn Ngữ văn là: 45 - 25 - (15 - x)
Số học sinh chỉ giỏi một môn Tiếng Anh là: 48 - 22 - (15 - x)
Do có 6 học sinh không giỏi bất kỳ môn nào trong các môn trên nên ta có:
99 - 6 = 50 - 25 - (22 - x) + 45 - 25 - (15 - x) + 48 - 22 - (15 - x) + 25 + (22 - x) + (15 - x)


x = 12
Số học sinh giỏi cả 3 môn là 12 học sinh
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25