Đề đa HSG toán 8 huyện thiệu hóa 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THIỆU HOÁ

Đề chính thức
(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2015 - 2016.
MÔN TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2016

 x2
6
1  
10 − x 2



+
+
:
x
−
2
+
Câu 1. (4,0 điểm): Cho biểu thức: A =  3
 
x+2
 x − 4 x 6 − 3x x + 2  
a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của biểu thức A với giá trị của x thoả mãn |x+1| = |- 1|.
c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2. (4,0 điểm):
x +1

x −1





4

a) Giải phương trình: x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = x x 4 + x 2 + 1
(
)
b) Tìm các số nguyên (x; y) thỏa mãn: y(x – 1) = x2 + 2
Câu 3. (3,0 điểm):
a) Chứng minh rằng nếu m; n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m 2 + m = 5n 2 + n
thì: (m - n) và ( 5m + 5n + 1 ) đều là số chính phương.
b) Cho các số a; b; c thỏa mãn: 12a − b 4 = 12b − c 4 = 12c − a 4 = 2015 .
670a + b + c 670b + c + a 670c + a + b
+
+
Tính giá trị của biểu thức: P =
a
b
c
Câu 4. (5,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh
AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D,

cắt tia BA tại E.
·
·
a) Chứng minh: EAD
= ECB
.
0
·
b) Cho BMC
= 120 và SAED = 36cm2. Tính SEBC?
c) Kẻ DH ⊥ BC (H ∈ BC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH
và DH. Chứng minh CQ ⊥ PD.
Câu 5. (2,0 điểm): Cho điểm D thay đổi trên cạnh BC của tam giác nhọn ABC (D khác
B và C). Từ D kẻ đường thẳng song song với AB cắt cạnh AC tại điểm N. Cũng từ D kẻ
đường thẳng song song với AC cắt cạnh AB tại điểm M. Tìm vị trí của D để đoạn thẳng
MN có độ dài nhỏ nhất.
Câu 6. (2,0 điểm): Tìm một số có 8 chữ số: a1a 2 .. . a 8 thoã mãn đồng thời 2 điều kiện
sau:

(

a1a 2a 3 = a 7 a 8

)

2

(

)

3

và a 4a 5a 6a 7 a 8 = a 7 a 8 .

Họ tên thí sinh: ................................................... Số báo danh: .........................

/>
1


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THIỆU HÓA

HƯỚNG DẤN CHẤM ĐỀ THẨM ĐỊNH HSG 8
NĂM HỌC: 2015 - 2016
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút

Câu

Biểu
điểm

Nội dung
a) (2,0 điểm):
ĐKXĐ : x ≠ 0, x ≠ ± 2

Câu 1.
(4,0

điểm)

Rút gọn đúng A =

0,5đ
1,5đ

1
2−x

b) (1, 0 điểm):
|x+1 | = | - 1| ⇔ x = -2 hoặc x = 0
Với x = 0 hoặc x = -2 thì không thoả mãn ĐKXĐ nên A không có giá
trị
c) (1,0 điểm):
Vì x nguyên nên để A có giá trị nguyên thì
2 - x ∈{1;−1} ⇒x ∈{1;3}

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

a) (2,0 điểm):
2

Câu 2.
(4,0
điểm)

2

1 3
1 3


Ta có: x 2 + x + 1 =  x + ÷ + > 0 ; x 2 − x + 1 =  x − ÷ + > 0
2 4
2 4


2

1 3

x + x + 1 =  x 2 + ÷ + > 0 nên phương trình xác định với mọi x ≠ 0
2 4

x +1
x −1
4
Phương trình x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = x x 4 + x 2 + 1
4

⇔
⇔

0,5đ

2

( x + 1) ( x 2 − x + 1) − ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
x3

(x
+1− ( x
2

)

+ x + 1 x2 − x + 1

3

−1

x + x +1
4

)(

2

)=

(

=

)

0,5đ

4
4
x x + x2 + 1

(

)

4
2
4
⇔ 4
=
2
2
4
x + x + 1 x x + x2 + 1
x x + x +1

(

4

)

(

)

⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2 (thỏa mãn)

0,5đ
0,25đ
0,25đ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
b) (2,0 điểm):
Với x = 1 ta có: 0y = 3 (phương trình vô nghiệm).
3
x2 + 2
Xét x ≠ 1 ta có : y =
=x+1+
x −1
x −1
Vì x, y ∈ Z nên x – 1 là ước của 3. Ta có các trường hợp sau:
/>
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2


x – 1 = 1 ⇔ x = 2 ⇒ y = 6 (thỏa mãn)
x – 1 = -1 ⇔ x = 0 ⇒ y = -2 (thỏa mãn)
x– 1 = 3 ⇔ x = 4 ⇒ y = 6 (thỏa mãn)
x – 1 = -3 ⇔ x = -2 ⇒ y = -2 (thỏa mãn)
Vậy (x, y) ∈ {(4, 6), (2, 6) , (-2, -2), (0,-2)}

•
•
•
•

Câu 3.
(3,0
điểm)

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

a) (1,5 điểm):
Ta có 4m 2 + m = 5n 2 + n
0,25đ
⇔ 5( m 2 − n 2 ) + m − n = m 2 ⇔ ( m − n )( 5m + 5n + 1) = m 2 (*)
Gọi d là ƯCLN(m - n; 5m + 5n + 1) ⇒ (m - n)  d và (5m + 5n + 1)  d
0,25đ
(m - n)  d ⇒ 5m - 5n  d ⇒ (5m + 5n + 1) + (5m - 5n) d ⇒ 10m + 1 d
Mặt khác từ (*) ta có: m 2 d 2 ⇒ m d. Mà 10m + 1 d nên 1 d
0,5đ
⇒ d = 1 (Vì d là số tự nhiên)
Vậy (m - n);(5m + 5n + 1) là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa
mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.
0,5đ
b) (1,5 điểm):
12a − b 4 = 2015 12a = 2015 + b 4 a > 0




4
4
Vì 12b − c = 2015 ⇔ 12b = 2015 + c ⇒ b > 0
12c − a 4 = 2015 12c = 2015 + a 4
c > 0



- Giả sử a < b ⇔ 12a < 12b ⇔ 12a – 12b < 0 mà 12a – 12b = b4 – c4
⇒ b4 – c4 < 0 ⇔ b4 < c4 ⇔ b < c ( vì b ; c > 0 ) (1)
⇔ 12b < 12c ⇔ 12b - 12c < 0
Lại có: 12b – 12c = c4 – a4
⇒ c4 – a4 < 0 ⇔ c4 < a4 ⇔ c < a ( vì c; a > 0 ) (2)
Từ (1) và (2) ta có: b < c < a ⇒ Trái với giả sử
- Giả sử a > b. Chứng minh tương tự như trên ta được
b > c > a ⇒ Trái với giả sử
Vậy a = b ⇒ 12a – 12b = 0 ⇒ b4 – c4 = 0 ⇒ b = c ( vì b; c > 0)
⇒ a=b=c
670a + b + c 670b + c + a 670c + a + b
⇒ P=
+
+
a
b
c
672a 672b 672c
+

+
= 672 + 672 + 672 = 2016
=
a
b
c

/>
0,25đ

0,5đ
0,5đ
0,25đ

3


E

D
A

Câu 4
(5,0
điểm)

M
Q

B

P

I

C

H

a) (2,0 điểm):
- Chứng minh ∆ EBD đồng dạng với ∆ ECA (g-g)
EB ED
=
⇒ EA.EB = ED.EC
- Từ đó suy ra
EC EA
- Chứng minh ∆ EAD đồng dạng với ∆ ECB (c-g-c)
·
·
- Suy ra EAD
= ECB
b) (1,5 điểm):
·
- Từ BMC
= 120o ⇒ ·AMB = 60o ⇒ ·ABM = 30o
1
ED 1
µ = 30o ⇒ ED = EB ⇒
=
- Xét ∆ EDB vuông tại D có B

EB 2
2

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

2

- Lý luận cho

S EAD  ED 
=
÷ từ đó
S ECB  EB 

⇒ SECB = 144 cm2

c) (1,5 điểm):
- Chứng minh PQ là đường trung bình của tam giác BHD
⇒ PQ // BD
- Mặt khác: BD ⊥ CD (Giả thiết)
- Suy ra:
PQ ⊥ DC ⇒ Q là trực tâm của tam giác DPC
Hay CQ ⊥ PD

0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ

Câu 5.
(2,0
điểm)

/>
4


Dựng hình bình hành ABEC, gọi F là giao của DN và AE.
BM BD
=
Theo định lý TaLet có: Từ DM // AC ⇒
AB BC
BD AN
=
DN // AB ⇒
BC AC
AN FN
=
NF // CE ⇒
AC EC
BM FN
=
Từ đó suy ra:
(1)
AB EC

Do AB = CE nên từ (1) ta có BM = FN. Theo gt BM // FN nên
BMNF là hình bình hành, do đó MN = BF. Vậy MN nhỏ nhất khi BF
nhỏ nhất.
Do B là điểm cố định, AE cố định nên BF ngắn nhất khi F là chân
đường vuông góc hạ từ B xuống AE.
Từ đó điểm D được xác định như sau: Từ B hạ BF ⊥ AE, dựng
đường thẳng qua F song song với AB cắt BC tại D.

(

Ta có: a1a 2a 3 = ( a 7 a 8 ) (1) và a 4a 5 a 6 a 7 a 8 = a 7 a 8
2

Câu 6.
(2,0
điểm)

)

3

0,5đ

0,5đ
0,5đ

0,5đ

(2)

Từ (1) và (2) => 22 ≤ a7 a8 ≤ 31

0,5đ

(2) => (a7 a8 )3 = a4 a5 a6 00 + a7 a8  (a7 a8 )3 - a7 a8 = a4 a5 a6 00
 ( a7 a8 - 1). a7 a8 .( a7 a8 + 1) = 4.25. a4 a5 a6
Nhưng  ( a7 a8 - 1) ; a7 a8 ; ( a7 a8 + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp, trong
đó có 1 số chia hết cho 25, nhưng số đó nhỏ hơn 50 (vì tích 48.49.50 =
117600 > a4 a5 a6 00 ). Suy ra có 1 số là 25.
Nên chỉ có có 3 khả năng:
+ a7 a8 + 1 = 25 => a7 a8 = 24 => a1a 2 .. . a 8 là số 57613824

0,5đ
0,5đ

+ a7 a8 = 25 => a1a 2 .. . a 8 là số 62515625
+ a7 a8 - 1 = 25 => a7 a8 = 26 => Không thỏa mãn.

0,5đ

Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

/>
5