Đề đa HSG toán 7 huyện thiệu hóa 2016 2017

PHÒNG GD&ĐT THIỆU HÓA
Đề chính thức

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2016 - 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 15 tháng 4 năm 2017

Câu 1: (4,0 ®iÓm) Tính hợp lí
7
−18 4 5 19
+
+ + +
−25 25 23 7 23

b)

7 8 7 3 12
× + × +
19 11 19 11 19

c) (-25) . 125. 4 .(-8). (-17)

d)

7 10 7 9 2
⋅ + ⋅ −
35 19 35 19 35

a)

Câu 2: (3,0 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau:
1
1 
1 
1  
a. A = 1 + 1 + 1 + ...1 +
2

1.3 

2.4 

3.5  
1
b. B = 2x2 – 3x + 5 với x = .
2

(

1

.
2015.2017 

)

0

 2015 
c. C = 2 x − 2 y + 13x y ( x − y ) + 15 y x − x y + 
 , biết x – y = 0.
 2016 
3

2

2

2

Câu 3: (4,0 điểm)
2

1

1. Tìm x, y biết:  2 x −  + 3 y + 12 ≤ 0.
6

3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
=
=
2. Tìm x, y, z biết:
và x + y + z = 18.
4
3
2

Câu 4: (3,0 điểm)

1. Tìm các số nguyên x, y biết: x – 2xy + y – 3 = 0.
2. Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101.
Tính f(100).
Câu 5: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác
ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB
và DC.
a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE.
b) Chứng minh rằng: DIB = 600.
c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng ∆AMN
đều.
d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 3cm, AC=4 cm. Điểm I nằm trong tam
giác và cách đều 3 cạnh tam giác ABC. Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến
BC. Tính MB .
---------------- Hết ---------------

/>

PHÒNG GD&ĐT THIỆU HÓA

MÔN TOÁN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2016 - 2017

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu
Câu 1

4đ

Điểm

Nội dung

7
−18 4 5 19
+
+ + +
= =
−25 25 23 7 23
−7 −18
4 19 5 −25 23 5
5 5
( +
)+( + )+ =
+
+ = −1 + 1 + =
25 25
23 23 7
25 23 7
7 7
7 8 7 3 12
b) × + × + = =
19 11 19 11 19
7 8 7 3
12 7 8 3
12 7 12
( × + × )+

= ( + )+
=
+
=1
19 11 19 11 19 19 11 11 19 19 19

a)

c) (-25) . 125. 4 .(-8). (-17) = (-25). 4.125.(-8) .(-17)
= (-100).(-1000).(-17) = -1700000
7 10 7 9 2
7 10 9
2
7
2
5 1
⋅ + ⋅ − =
( + )− =
−
=
=
d)
35 19 35 19 35 35 19 19 35 35 35 35 7
1


2  1.3  2.4  3.5   2015.2017 
1  2 2  3 3  4 4   2016 2016 
=  .  .  . ...
.


2  1 3  2 4  3 5   2015 2017 
1  2 2  3 3  4 4   2016 2016  2016
=  .  .  . ...
.
.
=
2  1 3  2 4  3 5   2015 2017  2017

a
1®

b
1đ
c
1đ
d
1đ

1
1 
1 
1  
a. A = 1 + 1 + 1 + ...1 +

0,5
0,5

1
1

1
nên x = hoặc x = 2
2
2
1
1
1
Với x = thì B = 2.( )2 – 3. + 5 = 4
2
2
2
1
1
1
Với x = - thì B = 2.(- )2 – 3.(- ) + 5 = 7
2
2
2
1
1
Vậy B = 4 với x = và B = 7 với x = - .
2
2

b. Vì x =
2
(3,0đ)

(

0,25
0,5
0,25

0

)

 2015 
c. C = 2 x − 2 y + 13x y ( x − y ) + 15 y x − x y + 

 2016 
= 2( x − y ) + 13 x 3 y 2 ( x − y ) − 15 xy ( x − y ) + 1 = 1 (vì x – y = 0).
3

2

2

2

10

2

1

1. Vì  2 x −  ≥ 0 với ∀ x; 3 y + 12 ≥ 0 với ∀ y, do đó:
6


0,5

2

3
(4,0đ)

1

 2 x −  + 3 y + 12 ≥ 0 với ∀ x, y. Theo đề bài thì
6

2

2

1
1


Khi đó
 2 x −  + 3 y + 12 ≤ 0 . Từ đó suy ra:  2 x −  + 3 y + 12 = 0
6
6


1
1
1

2 x − = 0 và 3 y + 12 = 0  x =
và y = −4. Vậy x =
và y = −4.
6
12
12

/>
0,25
0,5
0,75


3x − 2 y 2 z − 4 x 4 y − 3z
=
=
Suy ra:
4
3
2
4( 3x − 2 y ) 3( 2 z − 4 x ) 2( 4 y − 3 z ) 12 x − 8 y + 6 z − 12 x + 8 y − 6 z
=
=
=
=0
16
9
4
29
3x − 2 y

x y
= 0 ⇒ 3x = 2 y ⇒ =
Do đó:
(1)
4
2 3
2z − 4x
x z
= 0 ⇒ 2z = 4x ⇒ =
(2)
3
2 4
x y z
Từ (1) và (2) suy ra = = .
2 3 4

2. Ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x y z x + y + z 18
= = =
=
= 2.
2 3 4 2+3+ 4 9

4
(3,0đ)

Suy ra: x = 4; y = 6; z = 8.

1. Ta có: x – 2xy + y – 3 = 0
 2x – 4xy + 2y – 6 = 0  2x – 4xy + 2y – 1 = 5
 2x(1 – 2y) – (1 – 2y) = 5  (2x – 1)(1 – 2y) = 5
Lập bảng :
2x – 1
1
5
-1
-5
1 – 2y
5
1
-5
-1
x
1
3
0
-2
y
-2
0
3
1
Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn
Vậy ( x; y ) ∈ { (1;−2) , ( 3;0) , ( 0;3) , ( − 2;1)} .
2. Ta có: f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101
= x10 – 100x9 – x9 + 100x8 + x8 – 100x7 – x7 + … –
101x + 101

= x 9(x – 100) – x8(x – 100) + x7(x – 100) – x6(x –
100) + … + x(x – 100) – (x – 101)
Suy ra f(100) = 1.

0,5
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,75

0,5
0,25
0,5
0,5
0,5

E

A

D

Câu 5.
a

0,5

K

I
B

Câu
4.b

C

·
·
Ta có: AD = AB; DAC
và AC = AE
= BAE
Suy ra ∆ADC = ∆ABE (c.g.c)
·
·
Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ ABE
,
= ADC
·
·
mà BKI
(đối đỉnh).
= AKD
·
·
Khi đó xét ∆BIK và ∆DAK suy ra BIK
= 600 (đpcm)
= DAK

/>
0,75 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ


E

A

D

N

J

Câu 4.
c

K

M

I

B

Câu 4.

d

C

·
·
Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ CM = EN và ACM
= AEN
·
·
⇒∆ACM = ∆AEN (c.g.c) ⇒ AM = AN và CAM
= EAN
·
·
= 600. Do đó ∆AMN đều.
MAN
= CAE
Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ⇒ ∆BIJ đều ⇒ BJ = BI và
¶ = DBA
·
·
·
= 600 suy ra IBA
, kết hợp BA = BD
JBI
= JBD
·
·
·
⇒∆IBA = ∆JBD (c.g.c) ⇒ AIB

= 1200 mà BID
= 600
= DJB
·
= 600. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE
⇒ DIA
Vì I nằm trong tam giác ABC cách đều 3 cạnh nên I là giao 3
đường phân giác trong tam giác ABC.
Tam giác ABC vuông tại A nên tính BC=5 cm.
CM được ∆CEI = ∆CMI ⇒ CM = CE .
Chứng minh tương tự:AE=AD, BD=BM.
Suy ra MB = (BC+AB-AC)/2 = 2

Câu 5

/>
0,5 đ
0,5 đ

1
0.25
0.25
0,25
0,25