Đề đa HSG toán 7 phù ninh 2015 2016

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
Năm học 2015 - 2016
Môn: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4,0 điểm)
Cho A = 3 + 32 + 33 + … + 32015 + 32016.
a) Tính A.
b) Tìm chữ số tận cùng của A.
c) A có là số chính phương không? Vì sao?
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Tìm x, biết: x − 1 +2 = 3
b) Tìm 3 phân số có tổng của chúng bằng 1

1
, các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5
70

và các mẫu số tương ứng của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.
Câu 3. (3,0 điểm)
Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 có đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
a) Tìm a.
b) Với a vừa tìm được, tính giá trị của x thỏa mãn: f(3x- 1) = f(1- 3x).
Câu 4. (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC có Â < 90 0. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng
AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
a) Chứng minh: DC = BE và DC ⊥ BE
b) Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM.
Chứng minh: AB = ME và ΔABC = ΔEMA
c) Chứng minh: MA ⊥ BC

Câu 5. (3,0 điểm):
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=

x − 2016 + 2017
x − 2016 + 2018

2) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0
------------------------- Hết -----------------------Họ và tên thí sinh: …………………………………………………. Số báo danh ..............

/>

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: Toán
Bài 1 (4,0 điểm)
Câu
Ta có:
a/
(1,5 đ)

Nội dung
Điểm
2015
2016
A= 3+3 +3 +…+3 +3
0,5
3A = 32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017
Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + … + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + …

0,5
+ 32015 + 32016)
A=

b/
(1,5 đ)
c/
(1,0 đ)

2

3

32017 − 3
.
2

0,5

Ta có: A = (3 + 32 + 33 + 34) + … +(32013 + 32014 + 32015 + 32016)
= 3(1 + 3 + 32 + 33) + ... + 32013(1 + 3 + 32 + 33)
= 3.40 + ... + 32013.40 = 40.(3 + 35 + ... + 32013)
Suy ra A có chữ số tận cùng là 0
Lập luận được A chia hết cho 3
Lập luận được A không chia hết cho 32
Mà 3 là số nguyên tố nên suy ra A không là số chính phương

0,75
0,5
0,25

0,25
0,25
0,5

Câu 2 (4,0 điểm)
Câu
a/
(2,0 đ)

b/
(2,0 đ)

Nội dung
Lập luận được x − 1 +2 > 0.

Điểm
0,5

Nên x − 1 +2 = 3 ⇒ x − 1 +2 = 3 ⇒ x − 1 = 1

0,75

⇒ x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 ⇒ x = 2 hoặc x = 0.
Vậy x = 2 ; x = 0
a b c
Gọi 3 phân số cần tìm lần lượt là ; ; thì ta có
x y z
a b c
1
a b c x y z

+ + =1
và = = ; = =
x y z
70
3 4 5 5 1 2

0,5
0,25

⇒

a x b y c z
: = : = :
3 5 4 1 5 2

a b c
y
⇒ x3 = 4 = 5z
5 1 2

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c
1
a b c
+ +
1
x = y = z = x y z = 70 = 1 ⇒ a = 3 ; b = 4 ; c = 5
x 35 y 7 z 14
3 4 5
3 4 5

71
7
+ +
5 1 2
5 1 2 10
3 4 5
; ; .
Vậy 3 phân số cần tìm là
35 7 14

Câu 3: (4,0 điểm)

/>
0,5

0,75

0,5

0,25


a/
(1,5đ)

b/
(1,5đ)

Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nên có:
a2- a = a(a+1) +4.

⇒ a2 - a = a2 +a + 4 ⇒ a = -2.
Vậy a = -2 thì đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a).
Với a = -2 ta có hàm số y = f(x) = -2x + 4
⇒ f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2.
1
Do đó: f(3x- 1) = f(1- 3x) ⇒ -6x + 6 = 6x + 2 ⇒ x = .
3
Vậy khi x =

1
thì f(3x- 1) = f(1- 3x).
3

0,5
0,75
0,25
0,5
0,75
0,25

Câu 4: (6 điểm).
a/
Xét ΔADC và ΔBAF ta có:
DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( cùng bằng 900 + BAC )
=> ΔDAC = ΔBAE(c.g.c )
=> DC = BE
Xét ΔAIE và ΔTIC
I1 = I2 ( đđ)

E1 = C1( do ΔDAC = ΔBAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC ⊥ BE
b/ Ta có: ΔMNE = ΔAND (c.g.c)

2,0

=> D1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt)
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cùng phía )
mà BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ΔABC = ΔEMA (đpcm)
c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP ⊥ MH
Xét ΔAHC và ΔEPA có:
CAH = AEP (do cùng phụ với góc PAE)
AE = CA ( gt)
PAE = HCA (do ΔABC = ΔEMA câu b)

/>
2,0


=> ΔAHC = ΔEPA
=> EPA = AHC
=> AHC = 900
=> MA

⊥

2,0

BC (đpcm)

Câu 5. (3,0 điểm):

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A=
A=

x − 2016 + 2017
x − 2016 + 2018

x − 2016 + 2018 − 1

x − 2016 + 2018
1
A=1 − x − 2016 + 2018
1
Đặt B= x − 2016 + 2018 do x − 2016 + 2018 ≥ 2018 Với mọi giỏ trị của x

Mà tử là một số dương không đổi mẫu số đạt GTNN bằng 2018 dấu “=” xẩy
ra khi x − 2016 = 0 ⇒ x = 2016
1
Vậy B đạt GTLN bằng
mà 1 là số dương không đổi ⇒ A=1-B đạt
2018
1
2017
GTNN ⇒ MinA= 1=

2018 2018

x – 2xy + y = 0

0,25
0,25
0,25
0,25

0,5

(2x – 1) (1 – 2y) = –1
Z nên (2x – 1) và (1 – 2y)

0,25

0,25

2x – 1 – 4xy + 2y = –1
Vì x, y

0,25

Z
0,25

TH 1:

( Thỏa mãn )

TH 2:

( Thỏa mãn )

Vậy ( ; ) = ( 1;1), (0;0)
------------------------- Hết -------------------------

/>
0,25
0,25