skkn:tu bai toan don gian den phuc tap

a. Đặt vấn đề
Trong dạy - học toán, việc tìm tòi khai thác và phát triển các bài toán từ
dễ đến khó, cũng nh việc xâu chuổi cùng 1 dạng toán với nhau là vô cùng cần
thiết.
Mặt khác trong xu thế đổi mới phơng pháp dạy học và đổi mới sách giáo
khoa nh hiện nay thì việc khai thác, phát triển và xâu chuổi các bài toán là yêu
cầu tất yếu. Thực tế qua nhiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập, sách nâng cao
ta thấy ngời ta đã chú trọng hớng đi này. Đó là con đờng giúp cho học sinh phát
triển t duy sáng tạo, nắm bắt các kiến thức một cách có hệ thống vào tạo hứng
thú học tập cho các em.
Hơn nữa trong quá trình giảng dạy việc xâu chuỗi bài toán từ dễ đến khó
(cùng 1 dạng toán) đó là phơng án tối u để học sinh học đạt kết quả cao và tốn ít
thời gian. Nó khắc phục sự choáng ngợp của học sinh trớc những bài toán khó.
Trong quá trình giảng dạy học sinh lớp 8 - tôi thấy có những bài toán liên
quan đến nhau từ đơn giản đến phức tạp. Nếu chúng ta biết cách xâu chuỗi thì
việc giải các bài toán khó tơng tự hết sức đơn giản.
Xuất phát từ ý tởng trên. Tôi xin đa ra 1 sáng kiến Giải các bài toán
phức tạp từ bài toán đơn giản.
b. giải quyết vấn đề
I. Nội dung bài toán
Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức:
)1(
1
1
11
+
=
+

xxxx
* Chứng mình:

Thật vậy:
)1(
1
)1(
1
1
11
+
=
+
+
=
+

xxxx
xx
xx
VD = VT: Đẳng thức đợc chứng minh
(Với bài toán trên học sinh dễ dàng chứng minh)
II. Các bài toán phức tạp hơn
1
Bài toán 2: Tính tổng:
)100)(99(
1
.......
)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(

1
++
++
++
+
++
+
+
xxxxxxxx
* Nếu không có bài toán 1 thì việc giải quyết bài toán 2 học sinh sẽ
thấy rất phức tạp và không biết xuất phát tính từ đâu. Tuy nhiên khi có bài toán
1 thì việc giải quyết bài toán 2 trở nên rất đơn giản.
Giải: Từ bài toán 1 ta có:
1
11
)1(
1
+
=
+
xxxx
2
1
1
1
)2)(1(
1
+

+

=
++
xxxx
3
1
2
1
)3)(2(
1
+

+
=
++
xxxx
100
1
99
1
)100)(99(
1
+

+
=
++
xxxx
Vậy ta có:
)1(
1

+
xx
+
)2)(1(
1
++
xx
+
)3)(2(
1
++
xx
+ ......... +
)100)(99(
1
++
xx
100
1
99
1
........
3
1
2
1
2
1
1
1

1
11
+

+
++
+

+
+
+

+
+
+
=
xxxxxxxx

100
11
+
=
xx
=
)100(
100
+
+
xx
xx

=
)100(
100
+
xx
(Chú thích: các thừa số ở mỗi mẫu đều hơn kếm nhau 1 đơn vị).
Bài toán 3: Tính tổng:
209
1
127
1
65
1
23
11
22222
++
+
++
+
++
+
++
+
+
xxxxxxxxxx
2
* Bài toán 3 này nằm trong hệ thống bài toán 1, bài toán 2, khi nhìn qua
thì tởng không có gì liên quan. Nhng suy nghĩ thì học sinh sẽ có một manh nha
với nhau.

Giáo viên có thể hớng dẫn:
? Hãy phân tích thành nhân tử các mẫu của các phân thức trên
Giải: Ta có:
)1(
11
2
+
=
+
xx
xx
)2)(1(
1
23
1
2
++
=
++
xx
xx
)3)(2(
1
65
1
2
++
=
++
xx

xx
)2)(3(
1
127
1
2
++
=
++
xx
xx
)5)(4(
1
209
1
2
++
=
++
xx
xx
s
Vậy:
209
1
127
1
65
1
23

11
22222
++
+
++
+
++
+
++
=
+
xxxxxxxxxx
)5)(4(
1
)4)(3(
1
)3)(2(
1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
+
++
+
++
+

++
+
++
=
+
xxxxxxxxxxxx
(Lại quay về bài toán 2)
Bài toán 4: Tính tổng:
)1(
1
.......
5.4
1
4.3
1
3.2
1
+
++++
nn
(n là h số)
* Khi gặp bài toán này học sinh cũng dễ dàng làm đợc vì nó cũng có
dạng tơng tự nh bài toán 1.
Giải:
)1(2
1
1
1
2
1

)1(
1
.......
4.3
1
3.2
1
+

=
+
=
+
+++
n
n
nnn
Bài toán 5: Tính tổng:
)12)(12(
1
.......
7.5
1
5.3
1
3.1
1
+
++++
nn

Giáo viên có thể nêu câu hỏi
3
? Hãy quan sát 2 thừa số ở mỗi mẫu đều có chung đặc điểm gì học sinh
quan sát và sẽ thấy ngay.
Nhận xét: 2 thừa số hơn kém nhau 2 đơn vị.
Giải: Chính vì có nhận xét trên nên ta áp dụng bài toán 1 và dễ dàng
chứng minh đợc






+


=
+
12
1
12
1
2
1
)12)(12(
1
nnnn
Vậy:

=
3
1
1
2
1
3.1
1






=
5
1
3
1
2
1
5.1
1

=
7
1
5
1
2
1
7.5
1
.........






+


=
+
12
1
12
1
2
1

)12)(12(
1
nnnn
Nên:
)12)(12(
1
...
7.5
1
5.3
1
3.1
1
+
++++
nn
=






+
+

++++
12
1
12

1
.......
7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1
2
1
nn
=






+

12
1
1
2
1

n
=






+
+
12
112
2
1
n
n
=
12
+
n
n
Bài toán 6: Tính tổng:
)14)(34(
1
.....
13.9
1
9.5
1
5.1

1
+
++++
nn
Ta lại có nhận xét:
* Các thừa số ở mỗi mẫu hơn kém nhau 4 đơn vị.
Nên áp dụng bài toán 1 ta có:
4






+


=
+
14
1
34
1
4
1
)14)(34(
1
nnnn
Vậy:

=
5
1
1
4
1
5.1
1







=
9
1
5
1
4
1
9.5
1

=
13
1
9
1
4
1
13.9
1
....................






+


=
+
14
1
34
1

4
1
)14)(34(
1
nnnn
Nên:
)14)(34)(34(
1
......
13.9
1
9.5
1
5.1
1
+
++++
nnn
=






+

14
1
1

4
1
n
=






+
+
14
114
4
1
n
n
=
1414
4
.
4
1
+
=
+
n
n
n

n
Bài toán 7: Tính tổng:
)17)(67(
1
.......
22.15
1
15.8
1
8.1
1
+
++++
nn
Ta có nhận xét:
* Các thừa số ở mỗi mẫu hơn kém nhau 7 đơn vị
áp dụng bài toán 1 ta có:






+


=
+
17
1

67
1
7
1
)17)(67(
1
nnnn
Vậy:






=
15
1
1
7
1
8.1
1






=
15

1
1
7
1
15.8
1
5