Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc nhất

Header Page 1 of 145.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VÕ THỊ NI NA

HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60. 46. 01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - 2016

Footer Page 1 of 145.


Header Page 2 of 145.
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hải Trung

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn đã bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà

Nẵng vào ngày 13 tháng 08 năm 2016.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

Footer Page 2 of 145.


Header Page 3 of 145.

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời gian gần đây, lý thuyết điều khiển toán học là một
trong những lĩnh vực toán học ứng dụng được nhiều nhà nghiên cứu
rất quan tâm. Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là
dùng những mô hình và các phương pháp toán học ứng dụng để giải
quyết những vấn đề định tính của các hệ thống điều khiển. Rất nhiều
bài toán thực tiễn trong các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế…
được mô tả bởi các phương trình toán học điều khiển thuần túy và
cần đến những công cụ toán học tinh vi, hiện đại để tìm lời giải.
Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập tới vấn đề kĩ thuật,
điều khiển thường liên quan đến hệ động lực học được mô tả bởi các
phương trình sai phân với thời gian liên tục hoặc rời rạc. Nội dung
của nó là đưa các bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân
hoặc hệ phương trình sai phân. Trong lý thuyết điều khiển cũng như
trong nhiều vấn đề của các ngành khoa học khác, việc giải quyết các
phương trình sai phân có ý nghĩa rất lớn vì các mô hình động lực sẽ

dẫn đến phương trình sai phân của một hay nhiều hàm số. Thông
thường nếu gọi các biến độc lập là n và các hàm số là y1 , y 2 ,..., y k
thì thông qua việc giải các phương trình sai phân thu được ta sẽ tìm
ra các quan hệ y1 (n), y2 (n),..., yk (n) từ đó tìm ra các tính chất của hệ
động lực được khảo sát.

Footer Page 3 of 145.


Header Page 4 of 145.

2

Vì vậy, để tìm hiểu ứng dụng của toán học, cụ thể là ứng
dụng của phương trình sai phân trong việc mô tả, biểu diễn và nghiên
cứu hệ động lực học và được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn nên
tôi chọn đề tài « Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc
nhất » làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu của đề tài là dựa vào phương trình sai phân bậc nhất
phân tích một cách toàn diện và đầy đủ về sự ổn định của các hệ
động lực học phổ biến như: logistic, lều,... Ngoài ra, các nguyên lý cơ
bản của sự phân nhánh và lý thuyết ổn định cũng được đề cập và
nghiên cứu trong đề tài.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu các mô hình động lực học dạng phương trình sai
phân bậc nhất.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về các mô hình động lực học được mô tả bởi

phương trình sai phân bậc nhất một biến, giải số phương trình sai
phân, tiêu chuẩn tiệm cận, phương trình logistic và phân nhánh…
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn, các phương pháp sử dụng nằm trong các lĩnh
vực sau đây: Toán học giải tích, Giải tích hàm, Lý thuyết phương
trình vi phân, Lý thuyết sai phân…
5. Đóng góp của đề tài
Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như là tài

Footer Page 4 of 145.


Header Page 5 of 145.

3

liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy
quan tâm đến động lực học và phương trình sai phân bậc nhất…
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn gồm
hai chương.
Mở đầu
Giới thiệu cơ sở khoa học và tính thực tiễn của đề tài, mục
đích của đề tài, nội dung và một số vấn đề khác theo quy định.
Chương 1. Sơ lược về phương trình sai phân
Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình sai
phân, sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực, phương trình sai
phân bậc nhất.
Chương 2. Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc
nhất

Trong chương 2, luận văn giới thiệu về điểm cân bằng trong
hệ động lực học, sơ đồ bước cầu thang, sơ đồ mạng nhện cũng như
nghiệm số của phương trình sai phân. Ngoài ra, tiêu chuẩn tiệm cận
gần đúng của điểm cân bằng, các định nghĩa về điểm định kì và chu
trình, lưu vực hấp dẫn và sự ổn định toàn cục cũng được khái quát
trong chương 2.
Kết luận
Nêu tóm tắt những kết quả mà luận văn đạt được.

Footer Page 5 of 145.


Header Page 6 of 145.

4
CHƯƠNG 1

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
1.1. SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC.
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
1.1.1. Sai phân của hàm số một biến thực
Xét hàm số một biến thực y(n) và

h  0.

Định nghĩa 1.1. Biểu thức
y ( n )  y ( n  h )  y ( n )

(1.1)

được gọi là sai phân hữu hạn thứ nhất hay sai phân hữu hạn bậc nhất
của y ( n ), trong đó y (n) là xác định tại các điểm mà ta tiến hành
xem xét. Sai phân hữu hạn bậc cao được xác định bởi biểu thức:

 k y(n)  ( k 1 y(n)).

(1.2)

Kí hiệu 0 y(n)  y(0). Bằng phương pháp quy nạp toán học,
ta chứng minh được sai phân hữu hạn bậc k là tuyến tính, tức là:

 k ( f (n)  g(n))   k ( f (n))   k (g(n));  k (C f (n))  C  k ( f (n).
Giá trị  k y(n) dễ dàng được biểu diễn qua giá trị của hàm

y(n) tại các điểm n, n  h,..., n  kh. Ta có được công thức sau đây:
k

 k y (n)   (1)k i Cki y(n  ih).

(1.3)

i 0

Để ý rằng, nếu như trong công thức (1.3) ta thực hiện phép đổi
biến của chỉ số m  k  i và sử dụng công thức Cki  Ckk i , khi đó ta
nhận được:

Footer Page 6 of 145.

Header Page 7 of 145.

5
k

 k y(n)   (1)m Ckm y(n  (k  m)h).
m0

Một cách hoàn toàn tương tự, bằng phương pháp quy nạp toán
học, ta cũng chứng minh được công thức:
k

y (n  kh)   Cki i y(n).

(1.5)

i 0

1.1.2. Các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân
Định nghĩa 1.2. Phương trình có dạng

F (n, y(n),  y(n),...,  k y (n))  0,

(1.6)

được gọi là phương trình sai phân.
Nếu trong (1.6) ta biểu diễn các sai phân hữu hạn bởi công
thức (1.3) thì ta nhận được phương trình:

G(n, y(n), y(n  h),..., y(n  kh))  0.

(1.7)

Định nghĩa 1.3. Phương trình (1.7) được gọi là phương trình
sai phân cấp k.
Định nghĩa 1.4. Một hàm liên tục y(n) được gọi là nghiệm
của phương trình 1.7   trên tập , nếu thay nó vào phương trình thì
ta nhận được đẳng thức đúng trên .
Giả sử h  1. Khi đó phương trình 1.7   có dạng:

G(n, y(n), y(n  1),..., y(n  k ))  0.

(1.8)

1.2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT
Xét phương trình:

 y ( n )  f(n), n  0 ,

Footer Page 7 of 145.

(1.12)


Header Page 8 of 145.

6

hay
y (n  1)  y (n)  f (n).

Đặt

vào

phương

trình

cuối

lần

lượt

các

giá

trị

n  n 0 , n  n 0  1,..., n  k  1, rồi cộng dồn lại và tiến hành đổi biến
k : n ta nhận được:
n 1

y(n)  C   f (i), C  y(n0 ).

(1.13)

i  n0

Phương trình vi phân cấp một y '(x)  f (x) tương ứng với
(1.13) có dạng:
x

y ( x )  C   f ( x ) dx .
x0

Đối với phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất dạng
y '  p( x) y  f ( x) thì công thức nghiệm tổng quát có dạng:
x

x

n

x0

x0

x0

y ( x )  exp(  p ( n ) dn )[C+  f( n ) exp(   p ( ) d )dn ].

Footer Page 8 of 145.


Header Page 9 of 145.

7

CHƯƠNG 2

HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
SAI PHÂN BẬC NHẤT
2.1. CẤU TRÚC CƠ BẢN
Phương trình sai phân thường được sử dụng để mô tả sự vận
động của một hiện tượng nào đó trong tự nhiên mang tính quy luật
theo thời gian. Ví dụ như việc mô tả quá trình phát triển dân số từng
năm của một quốc gia hay một vùng nào đó. Nếu gọi x(n  1) là số
dân tại thời điểm năm thứ (n  1) thì x(n  1) là một hàm theo x(n).
Sự liên hệ này được biểu thị bởi phương trình sai phân sau đây:
x (n  1)  f ( x (n)).

(2.1)

Tập hợp {f n ( x0 ) : n  0} với f 0 ( x0 )  x0 theo định nghĩa được
gọi là quỹ đạo của x0 và được kí hiệu là O( x0 ).
Nếu hàm f trong (2.1) được thay thế bởi hàm g hai biến:

g : Z  R  R,
trong đó Z  là tập các số nguyên không âm và R là tập các số thực.
Khi đó ta có:

x(n  1)  g (n, x(n)).

(2.2)

Phương trình có dạng (2.2) được gọi là không ô-tô-nôm hay
nói một cách khác, phương trình này phụ thuộc vào biến thời gian.
Trong khi đó phương trình có dạng (2.1) được gọi là ô-tô-nôm hay

không phụ thuộc vào biến thời gian.

Footer Page 9 of 145.


Header Page 10 of 145.

8

2.2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT
Trong phần này chúng ta nghiên cứu dạng đặc biệt của (2.1) và
(2.2), đó là các phương trình tuyến tính.
Phương trình tuyến tính bậc nhất thuần nhất được cho bởi công
thức:

x(n  1)  a(n) x(n), x(n 0 )  x0 , n  n 0  0,

(2.3)

và phương trình tuyến tính không thuần nhất được cho bởi phương
trình:

y(n  1)  a(n) y(n)  g(n), y (n 0 )  y0 , n  n 0  0.

(2.4)

Nghiệm duy nhất của phương trình không thuần nhất (2.4)
được cho bởi công thức:
n 1
 n1


 n1

y(n)   a(i)  y0     a(i) g (r ).
r  n0  i  r 1

 i n0


(2.6)

Ví dụ 2.1. Giải phương trình:

y (n  1)  (n  1) y(n)  2n (n  1)!, y (0)  1, n  0.
Lời giải. 2n n !
Ví dụ 2.2. Tìm lời giải cho phương trình:

x(n  1)  2 x(n)  3n , x(1)  0.5.
Lời giải. 3n  5.2n 2
Ví dụ 2.3. Một loại thuốc được uống 4 giờ một lần. Gọi D(n)
là lượng thuốc trong hệ thống máu tại thời điểm n. Cơ thể loại bỏ

Footer Page 10 of 145.


Header Page 11 of 145.

9

một phần p nào đó trong mỗi khoảng thời gian. Giả sử lượng dùng

thêm vào là D 0 ( n ) , tìm D(n) và lim D ( n ).
n 


D 
D
D
Lời giải. D(n)   D0  0  (1  p) n  0 , lim D(n)  0 .
n

p
p
p

2.3. ĐIỂM CÂN BẰNG
Định nghĩa 2.1. Điểm x* thuộc miền xác định của hàm f
được gọi là điểm cân bằng của (2.1) nếu nó là điểm bất động của f ,
nghĩa là f  x*      x* .
Định nghĩa 2.2. Lấy một điểm x thuộc miền xác định của
hàm f . Nếu tồn tại một số r nguyên dương và điểm cân bằng x* của
(2.1) mà f r ( x )  x* , f r 1 ( x )  x * . Khi đó x được gọi là điểm cân
bằng cuối cùng.
Ví dụ 2.3. Bản đồ Lều
Xét phương trình: (Xem hình 2.3)
x (n  1)  T ( x (n)),

với

2 x
T ( x)  

2(1  x)


Như vậy

1
0 x ,
2
1
 x  1.
2

1
là điểm cân bằng cuối cùng.
4

Footer Page 11 of 145.


Header Page 12 of 145.

10

Định nghĩa 2.3. Điểm cân bằng x* của (2.1) là ổn định nếu

  0,  sao cho x0  x*   kéo theo f n ( x0 )  x*   với mọi
n  0. Và trong trường hợp ngược lại thì x* được gọi là không ổn

định.
Định nghĩa 2.4. x* được gọi là điểm hấp dẫn nếu   0 sao

cho x (0)  x*   kéo theo lim x (n)  x* .
n 

Nếu    thì x* được gọi là tập hút toàn cục.
Định nghĩa 2.5. Điểm x* được gọi là điểm cân bằng ổn định
tiệm cận nếu nó ổn định và hấp dẫn.
Nếu    thì x* được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục.
2.3.1. Sơ đồ bước cầu thang
Sau đây là một phương pháp đồ họa quan trọng cho việc phân
tích sự ổn định của điểm cân bằng của  2.1 .
Với x(n  1)  f ( x(n)) ta vẽ đồ thị của hàm f trên mặt phẳng

( x(n), x(n  1)). Sau đó, cho x(0)  x0 ta xác định giá trị của x(1)
bằng cách vẽ một đường thẳng đứng qua x0 sao cho đường thẳng này
cắt đồ thị của f tại ( x0 , x(1)).
Tiếp theo vẽ một đường ngang từ ( x0 , x(1)) giao với đường
y  x tại ( x(1), x(1)). Một đường thẳng đứng vẽ từ điểm ( x(1), x(1))

giao với đồ thị f tại điểm ( x(1), x(2)).

Footer Page 12 of 145.


Header Page 13 of 145.

11

Cứ tiếp tục quá trình này, người ta có thể thấy x(n) với mọi
n  0.

2.3.2. Định lý mạng nhện trong kinh tế học
Nếu các nhà cung cấp ít nhạy cảm giá hơn so với người tiêu
dùng ( ms  md ), thì khi đó thị trường sẽ ổn định. Trong trường hợp
các nhà cung cấp có nhạy cảm giá nhiều hơn so với người tiêu dùng
thì khi đó thị trường không ổn định.
Ta cũng có thể tìm giải đóng của (2.23) bằng cách sử dụng
các phần mềm toán học, chẳng hạn như Maple. Chương trình nhập
vào sẽ có dạng:

rsolve ({ p (n+1)  a* p (n)  b , p (0)  p0 }, p ( n )).
2.4. NGHIỆM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
2.4.1. Phương pháp Euler
Xét phương trình vi phân bậc nhất:

x '(t )  g (t , x(t )), x(t 0 )  x0 , t 0  t  b.

(2.24)

Chia đoạn t0 , b thành N khoảng con bằng nhau, kích thước
của mỗi khoảng con được gọi là kích thước bước của phương pháp
và được kí hiệu là h   b  t0  / N . Kích thước bước này định nghĩa
bởi các nút t0 , t1 , t2 ,..., t N với t j  t0  jh . Phương pháp xấp xỉ Euler

x '(t) được cho bởi phương trình ( x(t  h)  x(t )) / h.
Thay các giá trị này vào (2.24), ta được:

x(t  h)  x(t )  hg (t , x(t )).

Footer Page 13 of 145.

Header Page 14 of 145.

12

Thay t  t0  nh, ta có:

x t0  (n  1)h  x(t0  nh)  hg t0  nh, x(t0  nh) , (2.25)
với n  0,1, 2,..., N  1.
Thay x(t0  nh) bằng x(n), ta được phương trình:

x(n  1)  x(n)  hg  n, x(n).

(2.26)

Phương trình (2.26) định nghĩa thuật toán Euler với nghiệm
xấp xỉ của phương trình sai phân (2.24) tại các điểm nút.
Lưu ý rằng x

*

là điểm cân bằng của (2.26) nếu và chỉ nếu

g ( x* )  0. Vì vậy, phương trình vi phân (2.24) và phương trình sai
phân (2.26) có cùng trạng thái cân bằng điểm.
Ví dụ 2.6. Bây giờ chúng ta áp dụng phương pháp Euler cho
phương trình vi phân:

x '(t )  0.7 x 2 (t )  0.7, x(0)  1, t  0,1.
Lời giải. Phương trình sai phân tương ứng sử dụng phương

pháp Euler là:

x(n  1)  x(n)  0.7h( x 2 (n)  1), x(0)  1.
Ví dụ 2.7. Xét các phương trình vi phân logistic:

x '(t )  ax(t)(1-x(t)), x(0)  x0 .
Các điểm cân bằng thu được bằng cách cho x '(t )  0. Do đó

ax(1  x)  0 và ta được 2 điểm cân bằng x1*  0 và x2*  1 . Nghiệm
của phương trình thu được:

Footer Page 14 of 145.


Header Page 15 of 145.

13

x(t ) 

x0 eat
x0 eat

.
1  x0  x0 eat 1  x0 (eat  1)

Nếu a  0, lim x (t )  1 thì khi đó các nghiệm hội tụ đến điểm
t

*

cân bằng x2  1 . Mặc khác, nếu a  0, lim x (t )  0 thì các nghiệm
t

hội tụ đến điểm cân bằng x1*  0 .
2.4.2. Sơ đồ phi tiêu chuẩn
Xét phương trình vi phân logistic, nếu ta thay x 2 ( n) trong
phương pháp Euler bởi x(n) x(n  1) ta có:
x(n  1)  x(n)  hax(n)  hax(n) x(n  1)

Khi đó, ta thu được phương trình sai phân:
x (n  1) 

(1  ha) x( n)
,
1  hax( n)

hay
x(n  1) 

với 

 1  ha,

 x ( n)
,
1   x ( n)

    1  ha.
*

*

Phương trình này có 2 điểm cân bằng là x1  0 và x2  1 . Từ
sơ đồ mạng nhện (Hình 2.18) ta kết luận rằng lim x ( n )  1 khi
n

  1.

Footer Page 15 of 145.


Header Page 16 of 145.

14

Từ đó h  0,   1 khi và chỉ khi   0 . Như vậy, tất cả các
*
nghiệm hội tụ đến điểm cân bằng x2  1 nếu   0 như trong trường

hợp phương trình vi phân không phụ thuộc vào kích thước h.
2.5. TIÊU CHUẨN CHO SỰ ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA ĐIỂM
CÂN BẰNG
*

Định lý 2.1. Cho x là một điểm cân bằng của phương trình
sai phân

x(n  1)  f ( x(n)),
trong đó f là hàm khả vi liên tục tại x* . Khi đó, các mệnh đề sau
đây là đúng:

(i) Nếu f '( x * )  1 thì x* là ổn định tiệm cận.
(ii) Nếu f '( x * )  1 thì x* là không ổn định.
Ví dụ 2.4. Phương pháp Newton-Raphson
Phương pháp Newton-Raphson là một trong những phương
pháp nổi tiếng nhất cho việc tìm nghiệm của phương trình g ( x)  0,
trong đó g(x) là hàm khả vi liên tục. Thuật toán Newton tìm kiếm
nghiệm x* của g(x) được cho bởi phương trình sai phân:
x ( n  1)  x ( n ) 

với x (0)  x0 . Ở đây f ( x )  x 

Footer Page 16 of 145.

g ( x ( n ))
,
g '( x ( n ))

g ( x)
.
g '( x )

(2.28)


Header Page 17 of 145.

15

*

Lưu ý rằng x của g( x) là một điểm cân bằng của (2.28). Để
xác định thuật toán Newton, giả sử dãy {x(n)} hội tụ đến x* , sử
dụng định lý 2.1 ta được:
2

 g '( x* )   g ( x* ) g ''( x* )
f '( x )  1  
 0,
[g '( x* )]2
*

*
trong đó g ( x )  0 . Dựa vào định lý 2.1, lim x( n)  x* nếu
n 

x(0)  x0 tiến dần tới x* và g '(x* )  0. Chú ý rằng định lý 2.1 không
khả thi trong các trường hợp nonhyperbolic với f '( x * )  1 . Sau đây
ta tiếp tục phân tích sâu hơn để xác định trạng thái cân bằng ổn định
*

của x .
*
Trước tiên ta nghiên cứu trường hợp f '( x )  1.

Định lý 2.2. Giả sử cho trạng thái cân bằng điểm x* của (2.1),

f '( x * )  1. Khi đó, các mệnh đề sau là đúng:
(i) Nếu f ''( x * )  0 thì x* không ổn định.
(ii) Nếu f ''( x * )  0 và f '''( x * )  0 thì x* không ổn định.
(iii) Nếu f ''( x * )  0 và f '''( x * )  0 thì x* ổn định tiệm cận.

Bây giờ chúng ta sử dụng các kết quả trước đó để giải quyết bài toán
*
trong trường hợp f '( x )  1.

Trước tiên, ta tìm hiểu các khái niệm về đạo hàm hàm
Schwartz của hàm f :

Footer Page 17 of 145.


Header Page 18 of 145.

16
2

f '''( x ) 3  f ''( x ) 
Sf ( x ) 

.
f '( x ) 2  f '(x) 
*
Lưu ý rằng nếu f '( x )  1 thì:

3
Sf ( x* )   f '''( x* )  ( f ''( x* )) 2 .
2

Định lý 2.3. Giả sử

 2.1 ,

x*

là điểm cân bằng của

f '( x* )  1. Khi đó, các mệnh đề sau là đúng:

*
(i) Nếu S f ( x )  0 thì x* là ổn định tiệm cận.
*
(ii) Nếu S f ( x )  0 thì x* là không ổn định.

Định lý 2.2 (phần (ii) và (iii)) nói rằng sự ổn định tiệm cận của

x* được xác định bởi dấu hiệu của  g ( x * )  '''. Ta có:
 g ( x * )  '''   2 f '''( x * )  3[ f ''( x * )] 2 .

(2.30)

Ví dụ 2.9. Xét phương trình sai phân:

x(n  1)  x2 (n)  3x(n).
Tìm các điểm cân bằng và xác định sự ổn định của nó.
Lời giải. Đặt f ( x)  x 2  3x. Điểm x * là điểm cân bằng của
phương trình trên khi f ( x* )  x* , hay ( x* ) 2  3 x*  x* Ta được hai
điểm cân bằng là x*  0 và x*  2.
Ta có f '( x)  2 x  3. Khi đó f '(0)  3 , theo định lý 2.1 thì

x *  0 là không ổn định.

Footer Page 18 of 145.


Header Page 19 of 145.

17

Mặc khác f '(2)  1 , f ''(2)  2, f '''(2)  0. Áp dụng định
lý 2.3 và sử dụng (2.30) ta được:

2 f '''(2)  3[ f ''(2)]2  2.0  3.22  12  0.
Định lý 2.3 cho ta điểm cân bằng x*  2 là ổn định tiệm cận.
2.6. ĐIỂM ĐỊNH KỲ VÀ CHU KỲ
Định nghĩa 2.6. Cho b nằm trong miền xác định của hàm f .
Khi đó:
(i) b được gọi là điểm định kỳ của hàm f (hay của (2.27)) nếu có
một số nguyên dương k , sao cho f k (b)  b. Do đó, một điểm định
kỳ k nếu nó là điểm bất động của f k , có nghĩa là nó là điểm cân
bằng của phương trình sai phân:
(2.31)

x ( n  1)  g ( x ( n)),

với g  f k .
Quỹ

đạo

định

kỳ

của

b,

có

dạng

O(b)  {b, f (b), f 2 (b),..., f k 1 (b)} thường được gọi là một chu kỳ k .

(ii) b được gọi là điểm định kỳ k cuối cùng nếu với số m nguyên
dương, f m (b) là điểm định kỳ k . Nói cách khác, b được gọi là
điểm định kì k cuối cùng nếu:

f mk (b)  f m (b)
Ví dụ 2.10. Xét phương trình sai phân được cho bởi phương
trình Lều:

Footer Page 19 of 145.


Header Page 20 of 145.

18


2 x
T ( x)  

2(1  x)


1
0 x ,
2
1
 x 1.
2

Ta viết T ( x ) dưới dạng gọn hơn là:

1
T ( x)  1  2 x  .
2
Đầu tiên, nhận thấy rằng các điểm định kì của chu kỳ 2 cũng
2
chính là điểm bất động của T . Dễ dàng tìm được T 2 được cho bởi

công thức:

4 x

 2(1  2 x )

2
T ( x)  
 4( x  1 )

2


 4(1  x )


T 2 ( x)

1
0 x ,
4
1
1
x ,
4
2
1
3
x ,
2
4
3
 x  1.
4

có 4 điểm cân bằng (Hình 2.28) đó là x*  0,

x*   0.4,  x*  2 / 3 và x*  0.8, hai trong số đó là x*  0 và x*  2 / 3
là điểm cân bằng của T . Vì vậy 0.4,0.8 thuộc chu kỳ 2 của T .
Hình 2.29 cho thấy rằng x*  0.8 không ổn định đối với T 2 .
2 4 6
7 7 7 

Hình 2.30 mô tả đồ thị của T 3 . Dễ dàng tìm được  , , 
có chu kỳ 3. Ta có:

Footer Page 20 of 145.


Header Page 21 of 145.

19

2 4
T( )  ,
7 7

4 6
T( )  ,
7 7

6 2
T( )  .
7 7

Định nghĩa 2.7. Cho b là một điểm định kỳ k của hàm f .
Khi đó b là:
(i) Ổn định nếu nó là điểm bất động ổn định của f k .
(ii) Ổn định tiệm cận nếu nó là một điểm bất động ổn định tiệm cận
của f k .
(iii) Không ổn định nếu nó là một điểm bất động không ổn định của

f k.
Định lý 2.4. Cho O(b)  {b =x(0), x(1), ..., x(k -1)} là một chu
kỳ k của hàm f khả vi liên tục. Các mệnh đề sau là đúng:
(i) Chu kỳ k của O(b) là ổn định tiệm cận nếu:

f '( x(0)) f '( x(1)),..., f '( x(k  1))  1.
(ii) Chu kỳ k của O(b) là không ổn định nếu:

f '( x(0)) f '( x(1)),..., f '( x(k  1))  1.
2.7. PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC VÀ PHÂN NHÁNH
Bây giờ chúng ta trở lại với ví dụ quan trọng nhất trong
chương này, phương trình sai phân logistic:
x(n  1)   x(n)[1  x(n)].

(2.36)

Đặt

F ( x)   x(1  x), x  [0,1],  >0.

Footer Page 21 of 145.

(2.37)


Header Page 22 of 145.

20

2.7.1. Điểm cân bằng

Để tìm điểm cân bằng (điểm bất động của F ) của (2.36), ta
tìm lời giải cho phương trình:

F ( x* )  x* .
Khi đó, ta được điểm cố định là x*  0 và x*  (  1) / .
Tiếp theo, ta kiểm tra sự ổn định của các điểm cân bằng trong mỗi
trường hợp trên.
Hình 2.31 và 2.32 mô tả điểm cân bằng x*  0.

Khi

F ''(0)   , theo định lý 2.1 và 2.2 ta thấy rằng:
(i) 0 là một điểm bất động ổn định tiệm cận với 0    1.
(ii) 0 là điểm bất động không ổn định với   1.
Cần chú ý trong trường hợp   1 , ta có F1 '(0)  1 và

F ''(0)  2  0. Áp dụng định lý 2.2, ta kết luận rằng x*  0 là
không ổn định.
Hình

2.31

và

2.32

mô

tả

điểm

cân

bằng

x*  (  1) /  ,   1.
Để x*  (0,1] thì   1, khi đó:

F '((   1) /  )  2  .
Sử dụng định lý 2.1 và 2.3 chúng ta có được các kết luận sau
đây:

Footer Page 22 of 145.


Header Page 23 of 145.

21

(i) x là một điểm bất động ổn định tiệm cận với 1    3.
*

*
(ii) x là điểm bất động không ổn định với   3.

2.7.2. Chu kỳ 2
Để tìm chu kỳ 2 ta đi tìm lời giải cho phương trình F 2 ( x)  x
(hay đi giải phương trình x2   x1 (1  x1 ), x1   x2 (1  x2 )),

 2 x(1  x)[1   (1  x)]  x  0
Để xóa bỏ sự cân bằng điểm 0 và x * 

(2.38)

 1
, ta phân tích


(2.38) bởi phép toán x( x  (   1) /  ) để có phương trình bậc hai:

 2 x2   (  1) x+  1  0.
Giải phương trình trên ta thu được chu kỳ 2:
x(0)  [(1   )  (   3)(   1)] / 2  ,
x(1)  [(1   )  (   3)(   1)] / 2  .

(2.39)

2.7.3. Chu kỳ 22
Để tìm chu kỳ 4, ta giải phương trình F4 ( x)  x. Việc tính
toán bây giờ trở nên khó khăn hơn, do đó ta phải nhờ đến máy tính để
3
2
làm việc. Khi    2 , chu kỳ 2 phân nhánh thành chu kỳ 2 . Chu

kỳ 23 mới này hấp dẫn với 3    4 , với 4 bất kì.

Footer Page 23 of 145.

Header Page 24 of 145.

22

Quá trình phân đôi nhánh tiếp tục vô thời hạn và như vậy, ta
được một chuỗi {n }n0

với n là một phân nhánh trong chu kỳ

2n1 đến chu kỳ 2n.

2.7.4. Sơ đồ phân nhánh
Quy ước trục ngang biểu diễn cho đại lượng , trục dọc biểu
n
diễn cho quá trình lặp của F ( x). Với giá trị bất động x0 , sơ đồ

phân nhánh biểu diễn các giá trị của Fn ( x0 ).
2.8. LỰC HẤP DẪN VÀ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC
*

Định nghĩa 2.8. Cho x là một điểm bất động của bản đồ f .
Khi đó, lưu vực hấp dẫn (hoặc các thiết lập ổn định) W s ( x* ) của x*
được định nghĩa là:



W s ( x* )  x :lim f n ( x)  x*}.
n 

Nói cách khác, W s ( x* ) bao gồm tất cả các điểm phía trước

*

*

tiệm cận của x . Ta thấy rằng, nếu x là điểm bất động hấp dẫn thì

W s ( x* )

*

có một khoảng mở xung quanh x .

Khoảng tối đa

W s ( x* ) chứa x* được gọi là lưu vực hấp dẫn ngay lập tức và được kí
hiệu là B s ( x* ).
Ví dụ 2.13. Biểu đồ f ( x)  x2 có một điểm bất động hấp dẫn
là x*  0. Lưu vực hấp dẫn của nó là W s (0)  (1,1). Lưu ý rằng 1 là

Footer Page 24 of 145.


Header Page 25 of 145.

23

điểm bất động không ổn định và -1 là điểm bất động cuối cùng tiến
đến 1 sau một lần lặp.
Ví dụ 2.14. Xét biểu đồ g : [-2, 4]  [  2, 4] được cho bởi
công thức:

 x 2
g ( x)  
3 x  2

 2  x  1,
1 x  4.

Bản đồ g có 3 điểm bất động là x1*  0, x2*  1, x3*  4. Lưu
*

vực hấp dẫn của x1  0 là W s (0)  (1,1). Trong khi đó, lưu vực hấp
*

dẫn của x3  4 là W s (4)  [  2, 1)  (1,4].
Hơn nữa, lưu vực hấp dẫn ngay lập tức của x1*  0

là

B(0)  W s (0)  (1,1), trong khi B(4)  (1,4].
Định nghĩa 2.9. Một tập hợp M là bất biến dương theo biểu
đồ f nếu f (M)  M hay với mỗi x  M ta có O ( x )  M .
Định lý 2.6. Cho f : I  I , I  [a, b] là bản đồ liên tục và

x* [a, b] là điểm bất động của f . Khi đó, các mệnh đề sau là đúng:
(i) Lưu vực hấp dẫn ngay lập tức B( x* ) là khoảng chứa x* , đó là
một khoảng mở (c, d ) hay có dạng [a, c)  ( d , b ] và B( x* ) là bất
biến.
(ii) W s ( x* ) là bất biến và W s ( x* ) là hợp của hai khoảng mở
[a, c)  ( d , b ].

Footer Page 25 of 145.